UACH Kinesiologia Fisica 1.2 Translación

Física en la Kinesiología
1.2 Traslación
Teoría

Dr. Willy H. Gerber

Instituto de Física,
Universidad Austral, Valdivia, Chile

20.08.2009

W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 1 / 57

Velocidad

Si deseamos describir la Traslación de un cuerpo debemos
comenzar por estudiar como cambia la Posición en el Tiempo.
Esto corresponde a la Velocidad que estudiaremos viendo:

▶ Camino recorrido
▶ Tiempo transcurrido
▶ Velocidad
▶ Diagrama Posición-Tiempo
▶ Velocidad Media
▶ Velocidad Instantánea


Camino recorrido I

Caminar lo hacemos tan
automático que no nos damos
cuanta física estamos aplicando.

Un símbolo cotidiano Johnnie
Walker (Whisky).


Camino recorrido II

Ya habíamos hablado de que para
medir una distancia Δx
necesitamos un Origen, que
podemos denominar x0 .
Para medir la distancia a un punto
x(t), en que nos encontramos en
el tiempo t, simplemente
calculamos la diferencia:

Δx = x(t) − x0 (1)

Origen y Distancia

Camino recorrido III
A modo de ejemplo, podemos
indicar la posición x(t) de un bus
en todo tiempo t. Supongamos
que salio a las 8 : 00 de Valdivia
(x0 = 0) y se dirige a Santiago. Si
consultamos la posición a las
14 : 00 nos indicara

x(14 : 00) = 439 km o Chillan

Como el Origen lo elegimos como
cero, la distancia recorrida es
simplemente

Δx = x(14 : 00) − x(8 : 00) = 439 km


Tiempo transcurrido I

En forma similar, se puede deﬁnir
un Origen t0 en la escala de
Tiempo. Con ello a un tiempo t ha
transcurrido un tiempo

Δt = t − t0 (2)

Cronometro


Tiempo transcurrido II
En nuestro ejemplo del bus
estamos llegando a Chillan a las
t = 14 : 00 siendo nuestro Origen
del tiempo t0 = 8 : 00. El tiempo
transcurrido seria

Δt = t − t0 = 14 : 00 − 8 : 00 = 6 hrs

Esta duración es la típica que se
observa en la mayor parte de las
Alfarería de la Zona de empresas que cubren la ruta
Chillan Valdivia - Santiago.


Velocidad I

En nuestro mundo, en que todo
tiene que ir rápido, uno de los
conceptos que nos permite
describir esa rapidez es la
velocidad. Podemos deﬁnir esta
como:
Δx
=
Δt
Nota: se habla de rapidez cuando
se indica la velocidad sin la
dirección o sentido en que se
viaja. Por ejemplo el tacometro del
auto indica rapidez ya que no dice
en que dirección viajamos.


Velocidad II

En nuestro ejemplo la velocidad
seria:
434 km
= = 72,3 km/hr
6 hr
lo que parece un poco bajo ya que
los buses típicamente viajan a
velocidades entre 90 − 100 km/hr.
¿Porqué esta diferencia?


Diagrama Posición-Tiempo I

Capaz podemos entender
Chillan
mejor lo que esta pasando si
diagramamos la Posición x(t)
en función del Tiempo t.
Si se supone que la velocidad
Posicion fue realmente 72,3 km/hr esto
correspondería a una recta
que pasa por por Valdivia (a
las 8 : 00) y Chillan (a las
14 : 00).
Valdivia
8 : 00 Tiempo 14 : 00


Diagrama Posición-Tiempo II
Mirando la gráﬁca de la lamina
anterior, nos damos cuenta que
hemos asumido que la velocidad
fue siempre la misma. Sin
embargo el viajero experimentado
sabe que el bus probablemente
paso por Temuco, capaz incluso
por Los Ángeles. Concluimos que
la velocidad calculada no es la
Kultrun de la Zona de
velocidad real, es una Velocidad
Temuco
promedio o Velocidad Media.


La Velocidad Media

Podemos así definir una
Velocidad Media la
podemos definir como:
Chillan
Δx
¯= (3)
Δt
72,3 km/hr
donde Δx es el camino
Posicion recorrido y Δt el tiempo que
transcurrió. Las Unidades
serán Largo [L] dividido por
434 km
tiempo [T]. Esto podría ser
m/s, km/hr o mm/aõs según
n
sea la escala que se
6 hr
Valdivia requiera.
8 : 00 Tiempo 14 : 00

Nuevo Diagrama Posición-Tiempo I

Si incluimos a Temuco, ambas
pendientes se vuelven más
Chillan empinadas, lo que signiﬁca
que ahora la velocidad de
viaje es mayor. De hecho si
se asume que la distancia
Valdivia - Temuco es de 162 km
Posicion y el viaje tardo 2,0 horas, la
10 : 00 velocidad media en el primer
Temuco trayecto es de:
10 : 30
162 km
¯= = 81 km/hr
2 hr
Valdivia
8 : 00 Tiempo 14 : 00 que es mayor.


Nuevo Diagrama Posición-Tiempo II
Sin embargo los 81 km/hr
continúan siendo una
velocidad media en el
trayecto Valdivia - Temuco.
Incluso en dicho tramo deben
de existir ﬂuctuaciones.
Primer esta el hecho que
entre Valdivia y San Jose existe
carretera y luego entre
San Jose y Temuco autopista.
Fuera de eso existen curvas,
traﬁco, maniobras de
adelantar, etc.. ¿Cómo
podemos entonces calcular
una velocidad instantánea?


Velocidad Instantánea I

De los ejemplos anteriores
vemos que solo podemos
calcular una velocidad
instantánea si la medimos en
un tiempo muy corto, tan
corto que la velocidad no
varia en dicho tiempo. O sea
podemos expresar esto en
lenguaje matemático como:

Δx
= limΔt→0 (4)
La velocidad en la montaña Δt
rusa...


Velocidad Instantánea II
La expresión (4) no es otra
cosa que dividir la Distancia
Δx por la Duración Δt con la
condición que la Duración
sea corta (limΔt→0 ). Esto se
denomina en matemáticas
una derivada. En el limite
Δt → 0 la Distancia se
escribe como Δx → dx y la
Duración se escribe Δt → dt
de modo que queda:
dx
... depende de la posición. = (5)
dt


Aceleración

Ahora que sabemos como describir la variación en el tiempo de
la Posición podemos explorar lo que signiﬁca la variación de la
Velocidad. Para ello veremos:

▶ Otro Problema de la Curva
▶ Aceleración Media
▶ Aceleración Instantánea
▶ Aceleración Constante
▶ Aceleración Gravitacional


Otro Problema con la Curva

Otro de los problemas con nuestra
Velocidad de curva es que saltamos de estar en
crusero Reposo a tener Velocidad de
Crucero. En otras palabras, la
Posicion Velocidad tiene que ir aumentando
paulatinamente, lo que
En reposo denominamos Aceleración.

Tiempo


Aceleración Media
Al igual que en el caso de la
velocidad (3) podemos deﬁnir
una aceleración media
Δ
¯=
a (6)
Δt
Con esta deﬁnición podemos
caracterizar como
aceleramos al correr:
tardamos por ejemplo 1,5 s en
llegar a una velocidad de
5 m/s, o sea aceleramos con:

5 m/s
¯=
a = 3,33 m/s2
1,5 s


Aceleración Instantánea

Al igual que con la Velocidad
media (5) existe la necesidad
de conocer la aceleración en
un instante, la que se obtiene
considerando intervalos de
tiempo en que la aceleración
es prácticamente constante:
Δ d
a = limΔt→0 = (7)
Δt dt
en que limΔt→0 nos recuerda
que debemos tomar tiempos
lo mas cortos posibles.


Aceleración Constante I

Un caso simple es el de la aceleración constante (¯ = a). Para
a
este caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δt
muy pequeños. En este caso la diferencia de la velocidad sera
la velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0 :
Δ = (t) − 0

y correspondientemente el tiempo transcurrido sera
Δt = t − t0
Por ello la aceleración sera:
Δ (t) − 0
a= = (8)
Δt t − t0
y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene
(t) = 0 + a(t − t0 )

Aceleración Constante II

Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuación de la
velocidad se reduce a:

(t) = 0 + at (9)

Con esta Ecuación podemos calcular como va aumentando la
Velocidad si la Aceleración es positiva (a > 0) o esta disminuye
si la Aceleración es negativa (a < 0) o sea se esta frenando.


Aceleración Gravitacional I

Una de las aceleraciones
mas comunes que todos
experimentamos y que es
constante es la Aceleración
Gravitacional. Su valor es de
9,8 m/s2 y su signo depende
del sistema de coordenadas
con el que estamos
describiendo el movimiento.

Torre de Pisa (Italia)


Aceleración Gravitacional II

Si medimos la posición de un
cuerpo z en un sistema de
ˆ
z coordenadas en que el eje ˆ z
esta diseccionado alejándose
de la tierra, la Aceleración
a = −g gravitacional es negativa. O
sea el Cuerpo acelera en
z<0 dirección del Centro de la
Tierra por lo que:

(t) = 0 − gt (10)


Aceleración Gravitacional III
En el caso contrario, en que
medimos desde un punto en
dirección del Centro de la
Tierra, la Aceleración
ˆ
z gravitacional debe ser
tomada como positiva:
a = +g
(t) = 0 + gt (11)
z>0
La Ecuación puede variar
pero el fenómeno que
describe y el comportamiento
observado es el mismo.


Posición

Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleración
buscamos pronosticar la Posición para una Aceleración dada.
Para ello estudiaremos:

▶ Calculo del Camino
▶ Área Curva v-t
▶ Caso Aceleración Constante
▶ Ecuación de Movimiento
▶ Camino y Velocidad


Calculo del Camino

Aun no hemos logrado
calcular como evoluciona la
Posición de un cuerpo para el
caso de que la Velocidad no
sea constante. Solo
contamos con la Ecuación
para el caso de que el
Intervalo del Tiempo sea
pequeño.


Área Curva v-t I
Si graﬁcamos la Velocidad en
función del Tiempo y
consideramos un intervalo
(pequeño) de Tiempo Δt
podemos dibujar un rectángulo
debajo de la curva. Este
Δt = Δx
rectángulo tiene una altura de
y base Δt por lo cual su área es

Area = Δt

Sin embargo según (3) esto es
Δt t justo la Distancia recorrida Δx
durante el tiempo Δt.


Área Curva v-t II
Esto es extensible a cualquier
intervalo de tiempo para lo cual
hay que sumar los distintos
intervalos de camino recorrido:

Δx = Δxk = k Δtk
k k

en donde los Intervalos de
Tiempo Δtk deben ser
pequeños. Esto corresponde a
lo que se denomina una
integral:
t1 t t2 t2
Δx = limΔtk →0 k Δtk = (t)dt
k t1


Caso Aceleración Constante I
Para el caso de aceleración
constante el calculo del área
es relativamente simple.
Dado que la velocidad esta
data en este caso por (9), la
(t) curva es una recta como
at muestra la gráﬁca. Por ello el
1
2 at ⋅t área es la suma de un
rectángulo

0 0t 0 0t

y un triangulo
t
1 1
at ⋅ t = at2
2 2

Caso Aceleración Constante II

Con ello el camino recorrido
Δx es
(t)
at 1
1 Δx = 0t + at2
2 at ⋅t 2
o, empleando (1)

0 0t 0 1
x(t) − x0 = 0t + at2
2

t


Ecuación de Movimiento

Si despejamos x(t) se
obtiene así
1
x(t) = x0 + 0t + at2 (12)
2
que es la ecuación con la que
podremos describir la
posición de un cuerpo que se
desplaza con aceleración
constante.


Camino y Velocidad
Si se despeja el tiempo t de
(9)
(t) − 0
t=
a
y se introduce en (12) se
obtiene
2 − 2
0
x = x0 + (13)
2a
Esta ecuación nos permite
calcular la Posición en
función de la velocidad del
Cuerpo.


Caminando

▶ Observando
▶ Modelo Simpliﬁcado
▶ Altura al Caminar
▶ Aceleración del Pie
▶ Frenado del Pie
▶ Pie en Reposo
▶ Movimiento de la Rodilla
▶ Correr


Observando I

Antes de comenzar a modelar el caminar, podemos estudiar
una Secuencia de Imágenes que muestran como la persona
camina.


Observando II

Empleando programas de Tracking se puede analizar el
Desplazamiento de distintos Puntos:


Observando III

Si se observa la Funcion de Posición del Pie en la Dirección
horizontal, se observa una Curva con trazas tipo curvas
parabólicas de aceleración y frenado:


Modelo Simpliﬁcado
En este primer modelo
trataremos de trabajar como
si el caminar fuera un
proceso que se puede
describir en forma
unidimensional. Esta es
apropiado en la mayor parte
del cuerpo. Solo el Pie
presenta un desplazamiento
de hasta 12 cm en la dirección
vertical. Por ello veremos
mas adelante la Dinámica del
Pie en forma separada.


Altura del Caminar
Sea l el largo de la pierna y d
el del paso. Eso signiﬁca que
la altura en que se desplaza
el Punto de Giro es de

d2
h= l2 − (14)
4
Si el largo de la Pierna es de
l = 0,88 m y el largo del paso
d = 1,18 m entonces la altura
en que esta el Punto de Giro
es de:

h = 0,65 m


Aceleración del Pie I

Si focalizamos en la aceleración,
al iniciarse el movimiento desde el
reposo, la ecuación de movimiento
es según (12)
1 2
x(t) = aa t (15)
2
con aa la Aceleración del Pie. Si
colocamos el Origen en el punto
donde se inicia la aceleración, el
tiempo es a = 0,5 s y el camino
x( a ) = 0,64 m la aceleración es de:

2x( a )
aa = 2
= 5,12 m/s2
Aceleración del Pie a


Aceleración del Pie II

De igual forma podemos calcular
con (9) la Velocidad máxima que
alcanza el Pie

(t) = aa t (16)

Con el tiempo indicado
anteriormente y la aceleración
calculada se obtiene:

max = aa a = 2,56 m/s

Aceleración del Pie

Frenado del Pie I
En el caso del frenado, teniendo el
Pie la velocidad calculada
anteriormente, la ecuación de
movimiento esta dada por (12). Si
considerando un nuevo origen
espacio-tiempo en el momento
que comenzamos a frenar, se
tiene
1
x(t) = max t − af t2 (17)
2
y para la velocidad (9)

Frenado del Pie (t) = max − af t (18)


Frenado del Pie II

Como descocemos tanto el tiempo
f como la aceleración af de
frenado, podemos trabajar con la
ecuación de camino y velocidad
(13)
2− 2
max
x= (19)
2af
Para el caso en que nuestro pie se
detiene la ultima ecuación se
reduce a
2
max
x( f ) = (20)
2af
Frenado del Pie


Frenado del Pie III

Con x( f ) = 0,54 m el camino
restante para terminar el paso y
los valores de la velocidad máxima
se obtiene:
2
max
af = = 6,07 m/s2
2x( f )

Con este valor y empleando la
ecuación (??) ﬁnalmente se puede
calcular el tiempo
max
2 =− = 0,42 s
af
Frenado del Pie


Pie en Reposo

Si medimos el tiempo en que el
Pie esta en reposo vemos que
dicho tiempo es de r = 0,46 s.
Con ello la velocidad media del pie
es según (3)

x( a ) + x( f )
¯= = 0,833 m/s
a+ f + r

que corresponde a la velocidad
con que se mueve la Cadera y el
Desplazamiento Cadera
Hombro.
y Pie


Movimiento de la Rodilla I
Como vimos anteriormente la
altura en que se encuentra
nuestro cuerpo al caminar
esta determinada por el largo
de la pierna y del paso que
damos. Dicha altura es
siempre menor al largo de la
pierna lo que nos obliga a
encoger la cada vez que
pasa del punto de apoyo
posterior al delantero. Al
hacer este movimiento la
rodilla tiene un movimiento
relativo al cuerpo y el pie que
buscamos modelar.


Movimiento de la Rodilla II
Si l1 es el largo de la Pierna,
l2 el del Muslo, xk es la
Posición de la Rodilla, xt la
xc del Tobillo, xc la del Trocánter
Mayor y h la altura con que
l1 caminamos, entonces se
cumple que
h xk
h = l2 − (xk − xt )2
1

l2 − (xk − xc )2
2 +
l2 (21)
xt La Posición de la Rodilla se
puede calcular despejando
de esta ecuación el valor de
xk (ver Anexo).

Correr

Si tratamos de aplicar los cálculos al correr, veremos que
tenemos algunas diﬁcultades ya que pareciera ser que los
pasos se vuelven muy largos. Esto es porque en la realidad
nos desprendemos del suelo. Existe una aceleración vertical
que hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedad
volvemos a caer. La pregunta es que origina esta aceleración.
En la próxima clase veremos que causa este efecto.


Posición de la Rodilla

Para despejar en (21) la Posición de la Rodilla se debe cuadrar
dos veces la ecuación despejando el termino con la raíz.
Después de algún trabajo algebraico se obtiene:

xk = xk1 + xk2 (22)

con

h (−(xt − xc )2 + (l1 + l2 )2 − h2 )((xt − xc )2 − (l1 − l2 )2 + h2 )
xk1 =
2((xt − xc )2 + h2 )
(23)
y

x3 − xc xt − x2 xt + x3 + (l2 − l2 )(xc − xt ) + h2 (xc + xt )
t
2
c c 2 1
xk2 = (24)
2((xt − xc )2 + h2 )


Unidades

Simbolo Tipo Ejemplos
L Largo m, cm, mm, m
T Tiempo s, min, hrs
M Masa kg
% Porcentaje −

Simbolo Tipo Ejemplos
L2 Área, Superﬁcie m2 , cm2
L3 Volumen m3 , cm3
M/L3 Densidad kg/m3 , g/cm3


Conversiones I

1 m = 10−6 m 1 nm = 10−9 m 1 nm3 = 10−9 m3
1 mm = 10−3 m 1 nm2 = 10−18 m2 1 m3 = 10−18 m
1 cm = 10−2 m 1 m = 10−12 m 1 mm3 = 10−9 m3
1m = 10+2 cm 1 mm2 = 10−6 m2 1 cm3 = 10−6 m3
1m = 10+3 mm 1 cm2 = 10−4 m2 1 m3 = 10+6 cm3
1m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3
1m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3
1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3
1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10−3 m3
1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt
1m2 = 10−4 ha


Conversiones II

1 g/cm3 = 10+3 kg/m3 1s = 1,67 × 10−2 min
1 kg/m3 = 10−3 g/cm3 1s = 2,78 × 10−4 hr
1s = 1,16 × 10−5 dias
1 m/s = 3,6 km/hr 1s = 3,17 × 10−8 aos
1 km/hr = 0,278 m/s 1 ao = 3,15 × 10+7 s
1 dia = 8,64 × 10+4 s
1 hr = 3600 s
1 min = 60 s


Bibliograﬁa I

Textos recomendados. En caso de links a Google Books se
trata de un acceso gratuito a una versión incompleta del libro.
Introduction to Kinesiology: Studying Physical Activity, S.J.
Hoffman (Editor), Human Kinetics Publishers, 2008,
ISBN-13: 9780736076135
→ Leer en Google Books
Dance Anatomy and Kinesiology, K. Clippenger, K.S.
Clippinger, Human Kinetics Publishers, 2006, ISBN-13:
9780880115315


Bibliograﬁa II

Kinesiology: Movement in the Context of Activity, D.P.
Greene, S.L. Roberts, Elsevier Science, 2004, ISBN-13:
9780323028226
Kineseology for Occupational Therapy, M. Rybski, SLACK,
Inc., 2004, ISBN-13: 9781556424915
ACSM’s Resources for the Personal Trainer: Techniques,
Complications, and Management, American College of
Sports Medicine, K.E. Baldwin, N.I. Pire (Editors),
Lippincott Williams Wilkins, 2006, ISBN-13:
9780781790536


Bibliograﬁa III

Biomechanics: Principles and Applications, D.R. Peterson,
J.D. Bronzino (Editors), Taylor Francis, Inc., 2007,
ISBN-13: 9780849385346
Principles of Biomechanics Motion Analysis, I.W. Grifﬁths,
Lippincott Williams Wilkins, 2005, ISBN-13:
9780781752312
Comparative Biomechanics: Life’s Physical World, S. Vogel,
A. Defarrari, Princeton University Press, 2003, ISBN-13:
9780691112978


Bibliograﬁa IV

Human-Like Biomechanics: A Uniﬁed Mathematical
Approach to Human Biomechanics and Humanoid
Robotics, V.G. Ivancevic, T.T. Ivancevic, Springer-Verlag
New York, LLC, 2006, ISBN-13: 9781402041167


Contacto

Dr. Willy H. Gerber
wgerber@gphysics.net

Instituto de Física
Universidad Austral de Chile
Campus Isla Teja
Valdivia, Chile
+(56) 63 221125


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