1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Sen 2 x 1 Cos 2 x
Sen 2 x Cos 2 x 1 ; x R
Cos 2 x 1 Sen 2 x
Ciclo 2013-III
2 2
Sec x Tan x 1
Sec 2 x Tan 2 x 1 ; x R (2n 1) ; n Z
2 Tan 2 x Sec 2 x 1
2 2
C sc x Cot x 1
TRIGONOMETRÍA Csc 2 x Cot 2 x 1 ; x R n ; n Z
Cot 2 x Csc 2 x 1
“Identidades Trigonométricas del Semana Nº 9
ángulo doble y mitad”
Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Objetivos:
Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con Identidades trigonométricas.
Aplicar técnicas de comprobación en diversas identidades trigonométricas.
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DEL
ÁNGULO DOBLE Triángulo del Ángulo Doble:
sen2=
sen2 = 2sen cos sen40º =
sen8=
cos2 =
2 2
1 Tan 2 2 Tan
cos2 = cos - sen cos40º =
cos4 =
2tan tan2 = __________________ 2 2 Tan
tan2 = 2
Sen 2
1 - tan tan2 = __________________
2
1 Tan 2 1 Tan 2
1 Tan 2 Tan
Así tenemos:
También:
2
Cos 2x 1 2Sen 2x Sen 2
2 Tan Cos 2 1 Tan
2
1 Tan 2 1 Tan 2
1 Tan 2 2 Tan
Cos 2x 2Cos 2x 1 2
1 Tan Ejemplos:
2
Ejemplos: Cos 2Sen18° = 2Tg9
1 Tan
2 2
1 Tan 1 Tg2 9
Sen80° = 2Sen40°Cos40°
2
2Sen3xCos3x Tan
1 = Sen6x
Cos72° = Cos 36° – Sen236°
2 1 Tg2 4 x
Cos8x =
Cos10x = 2Cos25x – 1 1 Tg2 4 x
5x
Cos5x = 1 – 2Sen2 Fórmulas de Degradación:
2
2Cos2 – 1 = Cos 2 Sen 2 x 1 Cos 2 x 8 Sen 4 x 3 4 Cos 2 x
8 4
1 – 2Sen225° = Cos50° 2 4
2Tg15
2 Cos x 1 Cos 2 x 8 Cos x 3 4 Cos 2 x
1 Tg215
Tg30 Cotx Tanx 2Csc 2x Cotx Tanx 2Cot 2 x
Cotx Tanx 2Csc 2 Cotx Tanx 2Cot 2 x Sec 2 x Csc 2 x 4 Csc 2 2 x
x
Tan 2 x
Tan 2 xTanx Sec 2 x 1 Sec 2 x
Tanx
1
Centro Preuniversitario de la UNS S-09 Ingreso Directo
2. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
Tan 2 x PROBLEMAS RESUELTOS
x Sec 2 x 1 Sec 2 x 1
Tanx
1. Halle “x”
3 1 x
Sen4 Cos4 Cos4
4 4
5 3
Sen6 Cos6 Cos4 1
8 8
Ejemplos: 4
A) 17 B) 8
C) 1 D) 4 E) 5
2Sen43x = 1 – Cos 6x 15 15 15 15 18
RESOLUCIÒN
2Cos2 = 1 + Cos
18 9 tg2
2 tg
1 – Cos60° = 2Sen230° 1 tg2
1 + Cos74° = 2Cos37° 1
Cot15° + Tg15° = 2Csc30° 1
2 8
Cot3x – Tg3x = 2Cot6x tg2 4 tg2 2 tg2
2 15 15
Sen415° + Cos415° = 3 1 Cos60° 1
1 16
4 4 4
Sen + Cos6 = 5 3 Cos
6 8 x 1 32 ; x
17
x 1
8 8 8 8 2 15 4 15 15
RPTA.: A
IDENTIDADES DEL ÁNGULO MITAD
2. Si: tg 9
4
1 cos 1 cos Halle E = ctg 2
sen cos
D) 11
2 2 2 2
A) - 9 B) 5 C) 1 E) 1
40 18 40 40 25
1 cos RESOLUCIÒN
tg ; x x
2 1 cos tg tg x 9
4 4
4
NOTA: el signo (±) se elige según el M ctg2 ctg 2 x M ctg 2x tg2x
4 2
cuadrante del arco y de la R.T. a la 2 9
2 tg x 18 18
2 M M
que afecta. 1 tg2 x 1 92 1 81 80
M
9 RPTA.: A
AUXILIARES 40
sen
tg csc ctg 3. Reduce: x x
2 1 cos E ctg 2 cos2 ctg x
2 2
A) 1 B) cos x C) sen x D) tg xE) ctg x
ctg csc ctg sen RESOLUCIÒN
2
1 cos x x
E ctg 2 cos2 ctg x
2 2
2sen 2 2 2 ... 2 E csc x ctg x 1 cos x ctg x
2n 1
" n " radicales E csc x ctg x ctg x cos x ctg x
1 cos x 1 cos2
2 cos 2 2 2 ... 2 E cos x
2 n1
sen x sen x sen x
" n" radicales
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-09 Ingreso Directo
3. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
sen2 x a) K > 0 b) K = Sen2 c) K = Sen4
E
sen x d) K = 0 e) K = Cos2
E sen x RPTA.: C 3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I
5) Si: 1 m
2
1 m :
2 entonces
x Tg ; Ctg
4. Reduce: tg ctg x 4 n2 4 n2
M 2
x m4 n 4 es igual a:
ctg x ctg
2 n2
a) b) c)
A) 1 B) -1 C) 0 D) ½ E) 1/3 sen
Tg
Ctg
RESOLUCIÒN 2 2 2
x d) e)
ctg x tg ctg x csc x ctg x Sec
Csc
2 M 2 2
M ctg x csc x ctg x
x
ctg x ctg 6) Si: Tg2 +ctg2= 66; y ; entonces, el
2
4 2
ctg x csc x ctg x csc x
M valor de Ctg2es:
ctg x csc x ctg x csc x
a) 2 b) 3 c) -3 d) -4 e) 5
M=1 RPTA.: A 2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 - III
7) Si: x = 11º25`; entonces el valor de E, tal que
Problemas DE CLASE x x
E 8.sen . cos . cos x . cos 2x , es
2 2
1) Si tg +Ctg= 40 , entonces el valor de
a) 2 b) 1 c) 2 d) 2 e) 2 2
9 2
sen2, es;
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 - III
a) 9/10 b) 9/20 c) 19/25 d) 11/13 e) 19/20
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2009 - III 8) Si: 2sen2x – 3cos2x = 3 ; calcular el valor de
P 26 csc 2 x 5 sec 2 x; Cosx 0
2) Si: 0 , entonces el máximo valor de: A) -13 B) 39 C) 13 D) -39 E)1
; es
E ctg ctg
2 9) Si: a = sen – cos , b= cos2 ;
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 entonces, se puede afirmar que:
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 III
A) a 2a b 0 B) a 3a b 0
4 2 2 4 2 2
C) a a b 0 D) a a b 0
4 2 2 4 2 2
3) Del grafico mostrado, Hallar “x”
E) 2a 2a b 0
4 2 2
10) Si: x ε IIIC tal que Csc 2 2x = 1.75 ,
Calcular Tg7x + Ctg7x
A) 37 7 B) 42 7 C) 63 7 D) 91 7 E) 94 7
11) Si: Senx
1 ; Calcular x
Tg 2
3 4 2
a) X = 6 b) X = 8 c) x = 10 d) x = 12 e) x = 14
A) ½ B) ¼ C) 1/6 D) 1/9 E) 4/9
4) Si: K Sen4 .Ctg 2 .Sec2 donde: 3 ; 12) Determinar la variación numérica de:
Csc 2 8 2
se afirma que: E Ctg .Cos 2Cos .Cos 2 .Ctg
2 2
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-09 Ingreso Directo
4. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
A) 1 ; 1 B) 1 ; 1 C) 1 ; 1
16 16
8 8
4 4
19) Calcular el valor de k que satisface la igualdad:
D) 1 ; 1 E) 1;1
2 2
a) 2 b) 4 c) 6
d) 1/2 e) ¼
13) Si: 96 ;
31
Calcular Csc Csc Csc Csc Csc 20) Si: ( ) ( )
2 4 8 16 Calcular:
A)0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
( )
14) Si: sec2 x ntgx , n 2 , entonces
a) k b) 1/k c) 2/k
sen x cos 3 x es igual a:
3
d) e)
senx cos x 3
21) Del grafico mostrado , calcular el valor de:
a) n 3 b) n 1 c)
n 1
n 2 n 2 n 2
d) n 3 e) n 2
n 2 n 2
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 III
y
15) Si: tg ) = 2 y tg() = 3, calcular: 2x x
K 7 sen 2 cos 2
a) 1 b) 0 c) -1 d) 2 e) -2
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 III
a) 1 b) 2 c) 3
16) Si x 0, , al reducir: 2 , d) 4 e) 5
8 2 2 2Cos4 x
se obtiene: 22) Si:
a) Senx b) Cosx c) Secx d) Cscx e) Tgx ( )( )( ) ( ) ( )
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I Calcular:
17) Si: x, y ε R+ y x + y = 1, determine el máximo
valor de M si 1 1 1 1 M
a) 0 b) 1 c) 2
x
y d) 3 e) 4
Sugerencia: utilice identidades del ángulo
doble
A)6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 18
18) Simplificar la expresión:
( )
( )
a) sen2x b) sen4x c) csc2x
d) e) csc4x
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-09 Ingreso Directo
