1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS Sen 2 x  1  Cos 2 x

Sen 2 x  Cos 2 x  1 ; x  R 
Cos 2 x  1  Sen 2 x


Ciclo 2013-II
2 2
  Sec x  Tan x  1
Sec 2 x  Tan 2 x  1 ; x  R  (2n  1)  ; n  Z 
 2  Tan 2 x  Sec 2 x  1

TRIGONOMETRÍA
C sc 2 x  Cot 2 x  1

Csc 2 x  Cot 2 x  1 ; x  R  n  ; n  Z 
Cot 2 x  Csc 2 x  1

“Identidades Trigonométricas del Semana Nº 9
ángulo doble y mitad” 2 Tan 
Sen 2 
2 1  Tan 2 
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Tan 
1  DEL 2 Tan 
Así tenemos:
ÁNGULO DOBLE
2
sen2= Sen 2 
2 Tan  Cos 2  1  Tan 
2 1  Tan 2 
1  Tan 2 
sen2 = 2sen cos 2sen40º =
1  Tan 2  Tan 
 cos2 =1 2
sen8= Tan Ejemplos:
2 2
cos2 = cos  - sen  cos40º = Tan 2 
Cos 2  1 = 2Tg9
 2 cos4 =  Sen18° 2
1  Tan Tg2 9
1
2tan 2  tan2 = __________________
1  Tan
tan2 = 2 1  Tg2 4 x
1 - tan  tan2 = __________________ =
 Cos8x
 1  Tg2 4 x
También:
2
 Cos 2x  1  2Sen x Fórmulas de Degradación:
2
 Cos 2x  2Cos x  1 2 Sen 2 x  1  Cos 2 x 8 Sen 4 x  3  4 Cos 2 x 
Ejemplos: 2 4
 Sen80° = 2Sen40°Cos40°  2 Cos x  1  Cos 2 x 8 Cos x  3  4 Cos 2 x 
 2Sen3xCos3x = Sen6x  Cotx  Tanx  2Csc 2x Cotx  Tanx  2Cot 2 x
 Cos72° = Cos236° – Sen236°
Cotx  Tanx  2Csc 2 Cotx  Tanx  2Cot 2 x Sec 2 x  Csc 2 x  4 Csc 2 2 x
x
 Cos10x = 2Cos25x – 1 Tan 2 x
5x  Tan 2xTanx  Sec 2 x  1 Tanx
 Sec 2 x 
 Cos5x = 1 – 2Sen2 Tan 2 x
2 Tan 2 xTanx  Sec 2 x  1  Sec 2 x  1
   Tanx
 2Cos2 – 1 = Cos 3 1
8 4 Sen4  Cos4    Cos4
 1 – 2Sen225° = Cos50°
 4 4
5 3
2Tg15 Sen6   Cos6    Cos4
  Tg30 8 8
1  Tg215 Ejemplos:
Triángulo del Ángulo Doble: 4
 2Sen 3x = 1 – Cos 6x
 2Cos2  = 1 + Cos 
2 Tan 
Sen 2  
18 9
= 2Sen 2 
2
 1 – Cos60° 1  Tan30°
1  Tan 2  2 Tan   1 + Cos74° = 2Cos37°
 Cot15° + Tg15° = 2Csc30°
 Cot3x – Tg3x  Tan 2 
= 2Cot6x
Cos 2   1 4
2  Sen 15° + Cos 15° =2   1 Cos60°
1  Tan
3
4
4 4
1  Tan 2 
 Sen  + Cos  = 5  3 Cos 
6 6
8 8 8 8 2
1
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2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
IDENTIDADES DEL ÁNGULO MITAD
2. Si: tg       9
 
4 
 1  cos   1  cos 
sen  cos  Halle E = ctg 2
2 2 2 2
A) - 9 B)  5 C)  1 D) 11 E) 1
40 18 40 40 25
 1  cos  RESOLUCIÒN
tg 
2 1  cos   
tg      tg x  9
; x
 
 x
4  4 4
NOTA: el signo (±) se elige según el   
M  ctg2  ctg  2   x 
 
M  ctg   2x   tg2x
cuadrante del arco  y de la R.T. a la  4  2 
2 2 tg x 2 9 18 18
que afecta. M   M
1  tg x 1  92 1  81
2
80
AUXILIARES
 M
9 RPTA.: A
40
 sen
tg  csc   ctg  
 2 1  cos  3. Reduce: x x
E  ctg    2 cos2   ctg x
 2 2
ctg  csc   ctg  sen A) 1 B) cos x C) sen x D) tg x E) ctg x
2  RESOLUCIÒN
 1  cos 
x x
 E  ctg    2 cos2   ctg x
 2 2
2sen  2  2  2  ... 2
2n 1   
 
E  csc x  ctgx  1  cos x ctgx
 
" n " radicales
E  csc x  ctgx  ctgx  cos x ctgx
 
2 cos  2  2  2  ... 2 1 cos x 1  cos2
2 n1  
  E  cos x 
sen x sen x sen x
" n" radicales
sen2 x
PROBLEMAS RESUELTOS E
sen x
1. Halle “x” E  senx RPTA.: C
x
x
4. Reduce: tg    ctg x
 1
M 2
 x
4 ctg x  ctg  
2
A) 17 B) 8 C) 1 D) 4 E) 5
A) 1 B) -1 C) 0 D) ½ E) 1/3
15 15 15 15 18 RESOLUCIÒN
RESOLUCIÒN
x
 tg2 
2 tg  ctg x  tg   ctg x   csc x  ctg x 
1  tg2  M 2 M 
ctg x   csc x  ctg x 
1 x
1 ctg x  ctg  
2  8 2
4 tg2  2  tg2 
tg2  15 15 ctg x  csc x  ctg x  csc x
1
2
M 
1  16 ctg x  csc x  ctg x  csc x
4
M=1 RPTA.: A
 8 x 1 32 ; 17
   x 1 x
15 4 15 15
RPTA.: A
2
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3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
PROBLEMA DE CLASE A)  1 ; 1  B)  1 ; 1  C)  1 ; 1 
 16 16 
   8 8
   4 4
 
1) Si: 2sen2x – cos2x = 3 ; calcular el valor de
D)  1 ; 1  E)  1;1
P  26 csc 2 x  5sec 2 x; Cosx  0  2 2
 
A) -13 B) 39 C) 13 D) -39 E)1 
1  cos
10) Si:  ε <4;6> y 2  5 entonces
2) Si: a = sen  – cos  , b= cos2 ; entonces, se
2 13
puede afirmar que:
Calcule: Sen 
A) a  2a  b  0 B) a  3a  b  0
4 2 2 4 2 2
8
C) a  a  b  0 D) a  a  b  0
4 2 2 4 2 2
A) 5 26 B) 3 26 C) 23 26
E) 2a  2a  b  0
4 2 2
26 26 26
D) 7 26 E) 1
3) Si: Ctg  = 7 y tg  2 ; entonces el valor de 26 26
11
Tg (+2) es:
11) Si: 96 ;
A) ½ B) 1 C) 3/2 D) 2 E) 5/2 
31
4) Si: xε IIIC tal que Csc 2 2x = 1.75 , calcular Calcular Csc  Csc   Csc   Csc   Csc 
Tg7x + Ctg7x 2 4 8 16
A)0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
A) 37 7 B) 42 7 C) 63 7 D) 91 7 E) 94 7
5) Simplifique la expresión: 12) Si: sec2 x  ntgx , n  2 , entonces
16sen 7  24sen 5  8sen 3
sen .sen4
sen x  cos 3 x  es igual a:
3
A)sen B) sen2 C) sen3 D) sen4 E) sen5 senx  cos x 3
a) n 3 b) n  1 c)
n 1
6) Sabiendo que:
1 A B C ;
n 2 n 2 n 2
  
Cosx.Cos 2 x Cosx Cosx  Senx Cosx  Senx d) n  3 e) n  2
calcular  A  B 
n 2 n 2
  3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 III
 C 
A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E)2
13) Si: tg ) = 2 y tg() = 3, calcular:
K  7sen2  cos 2
7)
1
Si: Senx  ; Calcular  x 
Tg 2    a) 1 b) 0 c) -1 d) 2 e) -2
3  4 2
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 III
A) ½ B) ¼ C) 1/6 D) 1/9 E) 4/9
8) Simplifique: 14) Si x  0,  , al reducir: 2 ,
 
 
tg 2 x 8 2  2  2Cos4 x

E    2sen2 x  Sec 2 x
 2 csc 2 x  Ctgx 
 se obtiene:
a) Senx b) Cosx c) Secx d) Cscx e) Tgx
C) Tg x  1
2 2
A) 2Tg x B) 2Tgx
1  tgx 1  Tg 2 x 1  tg 2 x 2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I
D) 1  Tg x
2
E) 2Tgx
15) Reducir la siguiente expresión:
1  tg x
2
1  tg 2 x Senx  cos x  1 
E  2 csc x ; si : x   ;
senx  cos x  1 3
9) Determinar la variación numérica de:
  A)  Tg x B)  CTg x C)1
E  Ctg .Cos  2Cos .Cos 2 .Ctg 2 2
2 2
3
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4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
D) CTg x E) Tg x 5) Si: 0     , entonces el máximo valor de:
 ; es
2 2 E  ctg  ctg  
 
2
16) Si: x, y ε R+ y x + y = 1, determine el máximo a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
valor de M si 1  1 1  1   M
   3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 III
 x 
 y
Sugerencia: utilice identidades del ángulo 6) Del grafico mostrado, Hallar “x”
doble
A)6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 18
PROBLEMA DE REPASO
1) Al reducir: ,
2
    
M  tg      tg     .ctg 2 2
 4  4 
Se obtiene:
A) 3 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A. a) X = 6 b) X = 8 c) x = 10 d) x = 12 e) x = 14
2 3
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2009 - II 7) Si: K  Sen 4 .Ctg 2 .Sec 2 donde: 3  ;
 
Csc2 8 2
2) Si tg +Ctg= 40 , entonces el valor de se afirma que:
9 a) K > 0 b) K = Sen2 c) K = Sen4
sen2, es; d) K = 0 e) K = Cos2
a) 9/10 b) 9/20 c) 19/25 d) 11/13 e) 19/20 3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2009 - III
8) Si:   1 m
2
  1 m :
2 entonces
Tg   ; Ctg   
3) En un sector circular cuyo ángulo central es 4 n2 4
2
n
“” está inscrito un cuadrado de lado “L” , el m4 n 4 es igual a:
radio de la circunferencia correspondiente es: n2
a)  b) c) 
x
a) L       
ctg 2    ctg    5 sen  
  Tg  
  Ctg  
 
2
 2 2  2 2 2
d)  e) 
b) L  2       d) L     Sec  
  Csc  
 
ctg    2ctg    5 ctg    2 2 2
2 2 2  2
 2 
c) L  2    e) L    
dd

rrt
   9) Si: Tg2 +ctg2= 66; y   ; entonces, el
ctg    4ctg    5 ctg    2  
2 2 2  2 2
  4 2
EXAMEN PREFERENTE – UNS 2010 valor de Ctg2es:
a) 2 b) 3 c) -3 d) -4 e) 5
4) Del gráfico mostrado, R= 9 y r = 4.Calcular tg  2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 - III
10) Si: x = 11º25`; entonces el valor de E, tal que
x x
E  8.sen . cos . cos x . cos 2x , es
2 2
a) 2 b) 1 c) 2 d) 2 e) 2 2
2
a) 11/3 b) -11/3 c)13/7 d) -13/7 e) -5/12 2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 - III
4
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