1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Sen 2 x 1 Cos 2 x
Sen 2 x Cos 2 x 1 ; x R
Cos 2 x 1 Sen 2 x
Ciclo 2013-II
2 2
Sec x Tan x 1
Sec 2 x Tan 2 x 1 ; x R (2n 1) ; n Z
2 Tan 2 x Sec 2 x 1
TRIGONOMETRÍA
C sc 2 x Cot 2 x 1
Csc 2 x Cot 2 x 1 ; x R n ; n Z
Cot 2 x Csc 2 x 1
“Identidades Trigonométricas” Semana Nº 7
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Si:
Son aquellas igualdades que relacionan funciones 1
csc x ctgx m csc x ctgx
trigonométricas de una cierta variable, las cuales se m
verifican para todo admisible, clasificándose de la
senx 1 cos x cos x 1 senx
siguiente manera: ;
1 cos x senx 1 senx cos x
1.- IDENTIDADES RECIPROCAS
Sen . Cosec = 1 R - n (senx cosx)2 = 1 2senx.cosx
Cos . Sec = 1 R–(2n+1)
Tan . Cotan = 1 R – n /2 RECORDAR
Verso de “x” : ver x = 1 – cosx
2. IDENTIDADES POR DIVISION Converso de “x” : cov = 1 – senx
Tan = Sen / Cos R–(2n+1)/2 Ex secante de “x” : ex sec = secx – 1
Cotan = Cos / Sen R – n
PROPIEDAD: si multiplicamos a los ángulos de
3. IDENTIDADES PITAGORICAS una identidad trigonométrica por un factor
Sen2 + Cos2 = 1 R
numérico cualquiera, la identidad sigue
1 + Tan2 = Sec2 R–(2n+1)/2
1 + Ctg2 = Csc2 R – n cumpliéndose.
Sen 2 2x + cos 2 2x = 1
1+ tg 2 x/2 = sec 2 x/2
4. IDENTIDADES AUXILIARES
Sen 5x . csc 5x = 1
sen4 x + cos4x =1-2sen2x cos2x
tg 10x sen 10x
cos 10x
sen6 x + cos6 x =1-3sen2x cos2x
tg x + cotg x = sec x . cosec x 5. TIPOS
A continuación te proponemos algunas guías o
sugerencias que te servirán para desarrollar
sec2x + cosec2x = sec2 x . cosec2x
ejercicios, estas son:
Escoger el miembro más complicado de la
(1 senx cosx)2 =2 (1 senx)(1 cosx) identidad.
Colocar el miembro escogido en términos
Si: de senos y cosenos.
Hacer uso de identidades algebraicas,
asenx +bcosx = C c a 2 b2 según sea el caso.
Entonces: Cuando haya potencias puede ser útiles
a b hacer factorizaciones
senx cos x
c c De las identidades fundamentales se
podrán deducir otras.
Si:
1 Los ejercicios sobre IDENTIDADES
sec x tgx n sec x tgx TRIGONOMETRICAS, son de 4 tipos:
n Demostraciones
Simplificaciones
1
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2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
Condicionales
K
1 senx 1 senx 1 senx
Eliminación del ángulo
2 senx cos x
PROBLEMA DE CLASE K
1 senx 2 senx k
1 senx
2 senx cos x cos x
1. Simplifique:
3. Eliminar “x” si:
E
1 cov x 1 vers x cov x
1 vers x cov x 2 sec2 x atgx
A) vers x B) cov x C) 2 -vers x 2 csc2 x ctgx
D)2-cov x E) 2 + cov x A) a2 b B) a2 b2 0 C) ab 0
E
1 cov x 1 vers x cov x D) a b 0 E) a 2 b
1 vers x cov x 2 sec2 x atgx 2 1 tg2x
1 1 senx 1 1 cos x 1 senx
E atgx 1 tg x atgx ………(*)
2
1 1 cos x 1 senx
senx 1 senx cos x senx cos x 1
2 csc2 x b ctgx 2 1 ctg2x
E
cos x senx 1 senx cos x 1
b ctgx 1 ctg2x b ctgx
sen x 1 cos x sen2x
2 tg2 x 1 b
E tg2 x tg x
2 sen x cos x
tg2 x 1 b tgx …………….…(*)(*)
1 cos x 1 cos x 1 cos x
2
E (*) + (*) (*)
2 cos x
1 cos x 1 cos x 1 cos x 0 (a b)tgx a b 0
E
2 cos x
E 1 cos x 4. Si: tg2 x sen 2 x
A tgB x
E 1 1 vers x ctg2 x cos2 x
E 2 vers x Halle: (A + B)
A) 3 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10
2 2 cos x sen2 x
2. Simplifique: k 1 sen x
2
cos2 x sen2 x sec2 x 1
sen x cos x 1
A) cos x B) 1 sen x C) 1- sen x
cos 2 x
cos2 x
cos2 x csc2 x 1
1 sen x cos x sen x
2
D) 1 + sen x cos xE) sen2 x 1 tg2 x 1
tg2 x tg2 x
1 sen x tg6 x
cos x 1 ctg x 1
2
2
1
2 2 cos x tg2 x
K 1
sen x cos x 1 1 tg6 x A tg B x A = 1; B = 6 A + B =7
senx cos x 1 2 2 cos x
K
sen x cos x 1 PROBLEMA DE CLASE
K
senx cos x 1 senx cos x 1
senx cos x 1 senx cos x 1 1) Determinar A +B, si la siguiente igualdad:
senx 1 cos x
2 2
K 2sen 2 x cos 2 x cos4 x
Asec 2 x B
2 senx cos x cos4 x
1 senx 1 senx 1 senx
2
Represente una identidad
K
2 senx cos x A) 3 B)1 C) – 2 D) 2 E) – 3
2
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2) Si ctg +csc = a. Halle sen; sabiendo que 1 1
es agudo D) a2 – b2 E) a b
a a2 1 2a 1 a2 1
a2
A) 1 a2 B) C) 1 a D) E) 10) Si es un ángulo agudo, y se cumple que
2
a 2a a
sec + tg = 8/3, entonces al reducir
3) Reducir: F=73sen +48tg , se obtiene:
1 2senx.cos x A) 0 B)44 C) 55 D)88 E) 110
E cos x csc x
senx cos x
11) Calcule el valor de m para que E sea
A) cscx B)senx C)1 D) 0 E)– 1
independiente de x , si:
4) Reducir la siguiente expresión:
E=(1 + senx + cosx)2 + (1 + senx – cosx)2+ m senx
sen10 x cos10 x sen 8 cos8 x
E A) 1 B) – 3 C)– 2 D) 3 E) – 4
sen 6 x cos6 x
12) Si: 1 ,
sen 2 2x sen 2 2x sen2x sen4 x a .Cos 4 bSen 4
A) B) C) sen 2x D) 2 E) 1 1
2
4 2 4
a b
5 4 4 , tal que a 0 y b 0 ,
5) Si sen cos =ktg , simplifique:
Calcular Sec
P=(k+sen2 )(k +cos2 ) – k
a) a b b) a b c) a
A) k sen2 B) k cos2
a b b
C) k2 sen2 D) k2 tg2 E) k2 sec2 a b a b
d) e)
b a
6) Si 5senx =1 – cosx; entonces al reducir
F= 10 + 10 cosx, se obtiene: 13) Si: Sen 3x Senx Cos 2x ; calcular
A) senx B) 2senx C) 4senx F Cscx Sen 3x
D) sen(2x) E) 2sen(2x) a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2
7) Reducir: 14) Si: p q t , determinar la relación que
H =(sec2x + csc2x).tg2x(1 – cos2x)ctg4x senx cos x tgx
elimina el arco “x”
A) csc2 x B) sen5 x C) cos6 x
a) q 2 p 2 t 2 p 2q 2 b) t 2 p 2 q 2 p 2t 2
D) cos5 x E) csc4 x
c) p 2 p 2 q 2 q 2t 2 d) q 2 p 2 t 2 q 2 p 2
8) Si: sec = m + n, tg =m – n, entonces el valor
e) p 2 p 2
q q t
2 2 2
1 15) Calcular “k”, para que la siguiente igualdad sea
R
de 8mn , es: una identidad.
A) 1/8 B)1/6 C)1/4 D) 1/2 E) 1 sen k x 1 sen k x 1
6sen 2 x 2 cos 4 x
senx 1 senx 1
9) Si: Sec + tg = a a) 2 b) 4 c) 6 d)8 e) 10
csc + ctg= b
16) Si la siguiente expresión es una identidad:
halle w =sec – tg + csc – ctg
1 cos x 1 cos x
1 1
1 1
senx k
A) a b B) a + b C) b a senx . cos x k
Calcular el valor de “k”
3
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4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
a) senx b) cosx c) tgx a) m – n = p – q b) m + n = p + q
d) senx.cosx e) Cscx.Tgx c) m2 + n2 = p2 + q2 d) m 2 – n2 = p2 – q 2
e) m 3 – n2 = p2 – q 3
8. Hallar A2 en la siguiente identidad:
PROBLEMAS DE REPASO
1 Senx A
3 3 1 Senx Cscx 1
H
1. Simplificar: 1 senx csc x 1 2
2 2
a) Sen x b) Cos x c) Tg x
A) 3 + 6tg2x B) 6 + 3tg2x 2 2
d) Ctg x e) Sec x
C) 3 + 6ctg2x D) 6+ 3ctg2x E) 3 + 6tg2x
9. Reducir la expresión
2. Hallara una relación entre a y b a partir de: cos sec
k= 3
a senx = bsenx +cosx sen c sec
b cosx = senx – a cosx a) Senα b) cosα c) tagα d) ctagα e) 1
A) a2 + b2 B) a – b =1
10. Si: tg + ctg = 25/12 Calcular el valor
C) ab = 1 D) a2– b2=1 E) a + b =1
de: sen + cos
a) 7/5 b) 5/7 c) 4/3 d) -3/4
3. Si se cumple que sec +tg = 6, entonces el
1 sen 11. Si: tg 2x 2 2 y 1 ; calcular
tg
w ,es
valor de: cos F 2Cos 2x Cos 2 y
A) ½ B) 1/3 C) 1/6 D) 5/6 E) 7/6 a) Cosx b) Cosy c) tgx d) 0 e) 1
2
12. Si: Tga Tgb ,
4. Si: Secx Tgx a ; csc x Ctgx b tg a Tg b
2 2
Determinar la relación que elimina el arco “x” Senx Tgx
de “x” determinar Cosx en función de tg a y tg b.
a) 4a .b a 2 1 b 2 1 b) 2a .b a 2 1 b 2 1 a) tgb b) tga c) tga + tgb
c) a .b a 2b 2 d) 2a .b a tga tgb
2 2 2
1b 2
1
e) 4a .b a 1b 1
2 2 d) tga 1 e) 2tga
tgb 1 tgb
5. Calcular el valor k para que la expresión F
sea independiente de x, si:
13. Si: m tg ctg 32
F tg 4 x 3 2x k sec 4 x sec 2 x
tg n Sec .Csc 12
a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2 Determinar la relación que elimina el arco
de “”
6. Reducir: a) m n 1 b) m n 2
sen 8x cos 8 x c) n m 4 d) 2 m n 3
F cos 2 x
1 2sen 2 x . cos 2 x e) n m4
a) Sen 2 x b) Cos 2 x c) Sen 2 x
d) Cos 2 x e) Sen 4 x 14. Al simplificar la expresión:
p q sen 4 cos4 x
7. Si: m q .tgx ; n p .tgx F cos x
cos x cos x senx cos x
Determinar la relación que elimina el arco se obtiene.
de “x” A) 0 B)1 C)senx D) cosx E)tgx
4
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