Este documento presenta las identidades trigonométricas para ángulos compuestos y diferencias de ángulos. Primero demuestra las identidades fundamentales de Sen(α + β), Cos(α + β) y Tg(α + β) mediante demostraciones geométricas. Luego presenta otras identidades importantes como Ctg, Sec y Csc para ángulos compuestos. Finalmente enlista propiedades adicionales de las funciones trigonométricas y ejemplos de aplicación de las identidades.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
Sen 2 x  1  Cos 2 x

CEPUNS Sen 2 x  Cos 2 x  1 ; x  R 
Cos 2 x  1  Sen 2 x


 2 2
 Sec x  Tan x  1
Sec 2 x  Tan 2 x  1 ; x  R  (2n  1)  ; n  Z 
Ciclo 2013-III  2  Tan 2 x  Sec 2 x  1

 2 2
C sc x  Cot x  1
TRIGONOMETRÍA Csc 2 x  Cot 2 x  1 ; x  R  n  ; n  Z 
Cot 2 x  Csc 2 x  1

“Identidades Trigonométricas de Arcos Semana Nº 8
Compuestos”
Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con Identidades trigonométricas.
 Aplicar técnicas de comprobación en diversas identidades trigonométricas.
En el presente capítulo realizaremos el estudio de las También observamos:
razones trigonométricas de aquellos ángulos que a su Cos(+) = OP = OQ - PQ = OQ - SR; (PQ = SR)
vez están constituidas por la suma o resta de otros 2
En el OQR  OQ = ORCos = Cos.Cos; (OR = Cos)
ángulos. Iniciaremos el estudio del presente capitulo
con la demostración de las principales Identidades para En el MSR  SR = MRSen = Sen.Sen; (MR = Sen)
ángulos compuestos que son: Reemplazamos:
Cos(+) = Cos. Cos - Sen.Sen .......(Demostrado)
* Sen( + ) = Sen.Cos + Cos.Sen Procedemos ahora a obtener la Tg(+) de la siguiente
manera:
* Cos( + ) = Cos.Cos-Sen.Sen Sabemos que:
sen   sen cos   cos sen
Demostración: 
cos   cos  cos   sensen
A partir del grafico: Tg(+) =
Y
B Dividimos a la expresión por (Cos.Cos)
M sen cos  cos sen
 

cos  cos  cos  cos 
 
cos  cos  sensen
 

1 S Tg(+) = cos  cos  cos  cos 
 
R Simplificando obtendremos:
sen sen
 
cos  cos  Tg  Tg

sen sen 1  Tg. Tg
P 1 .
Q A X Tg(+) = cos  cos 
0
Se observa: Tg + Tg
* Tg(+) = 1  Tg. Tg (Demostrado)
Sen ( + ) = MP = PS + SM = QR + SM; (PS = QR)
En el OQR  QR = ORSen = Sen.Cos;
Tomaremos en cuenta para las demás razones
(OR = Cos)
trigonométricas que:
En el MSR  SM = RMCos = Cos.Sen;
(RM = Sen)
Reemplazando
Sen (+) = Sen Cos + Cos.Sen …….. Demostrado
1
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2. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
Ctg   
1 e) Cos( + ).Cos(-) = cos² - Sen²
Tg  
1
Sec    f) Si: +  +  =180°Ctg.Ctg+Ctg.Ctg+Ctg.Ctg=1
Cos  
1
Csc   
Sen   g) A B A C B C
tg .tg  tg .tg  tg .tg 1
2 2 2 2 2 2
Identidades Trigonométricas para la Diferencia de
Ángulos: h) A B C A B C
Ctg  Ctg  Ctg  Ctg .Ctg .Ctg
2 2 2 2 2 2
Usando las Identidades para la suma de ángulos (ya
demostrados), deducimos las identidades para la i) Tg - Tg - Tg( - ).Tg.Tg = Tg(  - )
diferencia de ángulos, utilizando el siguiente artificio.
* Sen( - ) = sen(+(-)) j) sen (x  y )
Tgx  tgy 
sen cos   cos  sen  cos x . cos y
 
   
 
 Sen(+(-)) = cos   sen
 sen    sen cos   cos sen k) sen (x  y )
Demostrado Ctgx  Ctgy 
Senx .Seny
* Cos(-) = Cos(+(-))
 Cos(+(-)) = Cos . Cos(-) - SenSen(-)
l) Cos (x  y )
tgx  Ctgy 
Cosx .Seny
Cos - Sen
 cos    cos  cos   sensen
m) a .senx  b .Cosx  a 2  b 2 .Sen (x   )
(Demostrado)
Donde:
* Tg(-) = Tg Tg b a
Sen  Cos 
1 Tg Tg
. a b
2 2
a b2
2
De igual manera tomar en cuenta que: n) Si: f (x )  a .senx  b . cos x ; x  R
Ctg   
1 Se cumple:  a 2  b 2  f (x )  a 2  b 2
Tg  
1 Demostremos las propiedades
Sec   
Cos   a) “sen(+).sen(-) = Sen² - sen²”
Sabemos que:
1
Csc    Sen(+) = Sencos + cossen ..(I)
Sen  
Sen(-) = sencos - cossen ..(II)
Multiplicamos Miembro a miembro:
Algunas Propiedades de Importancia
sen(+).sen(-) = sen².cos²- cos².sen²
Reemplazamos:
a) Sen( + ).Sen(-) = Sen² - Sen²
Cos² = 1 – sen2
Cos² = 1 - sen²
b) Tg + Tg + Tg(+).Tg.Tg = Tg(+)
sen(+) sen(-) = sen² (1 - sen²) - (1 - sen²)sen²
= sen² - sen².sen² - [sen² - sen².sen²]
c) Si:  +  +  = 180°  Tg + Tg+ Tg = Tg.Tg.Tg = sen² - sen².sen² - sen² + sen².sen²
sen(+).sen(-) = sen² - sen²..............(Demostrado)
d) Si:  +  +  = 90°  Tg.Tg +Tg.Tg + Tg.Tg = 1
b) “Tg  + Tg + Tg( + ).Tg Tg = Tg( + )”
2
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3. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
Sabemos que: * tg(3x  2y)  4  tg   4
Tg( + ) = tg  tag * tg(2x  3y)  5  tg   5
1  tg .tg
* tg  x  y   ?  tg      = ?
Multiplicamos (1-Tg.Tg) a ambos miembros:
(1 - Tg.Tg)Tg( + ) = tg  tag (1 – Tg.Tg)
“  ”
1  tg .tg  tg      
tg   tg 

45
Tg( + ) -Tg.Tg.Tg( + ) = Tg + Tg 1  tg  tg  1  4 5
Ordenamos convenientemente:  tg       
1
Tg  + Tg + Tg( + ).Tg Tg = Tg( + ) …Demostrado 21
RPTA.: D
c) Si: “ +  +  = 180° Tg + Tg + Tg = Tg.Tg.Tg” 3. Si a y b son ángulos complementarios y
Sabemos que: además: 3 sena  7 senb . Halle: tg (a-b)
 +  +  = 180°   +  = 180° - 
Tomamos tangente a ambos miembros: A) 17 B) 19 C) 20 D) 22 E) 23
Tg( + ) = Tg(180° - ) 21 21 21 21 21
tg  tag = -Tg RESOLUCIÓN
1  tg .tg Si:
 Tg  + Tg = -Tg (1 - Tg.Tg) a + b =90º  senb= cos a
 Tg  + Tg = -Tg + Tg.Tg.Tg 3 sen a  7 cos a
Ordenamos convenientemente:
7
Tg  + Tg + Tg = Tg.Tg.Tg (Demostrado) tg a   ctgb
3
Se pide:
PROBLEMAS RESUELTOS
7 3

tg a  tgb
1. Simplifique: tg  a  b    3 7
1  tg a tgb  7  3
sen 15º    cos   cos 15º    sen 1    
 3  7
P
cos  cos 15º    sen  sen 15º    20
 tg  a  b   RPTA.: C
3 3 21
A) 2  3 B) 2  3 C) 2 3 D) E)
2 6 4. Halle “ tg  ” de la figura.
RESOLUCIÓN
 sen 15º        
 
P 53º
cos     15º    
 
 sen 15º
P  tg 15º
cos 15º 
 P  2 3
RPTA.: B
A) -18B)  1 C) 18 D) 1 E) 1
2. Siendo: 18 18
tg 3x  2y   4  tg 2x  3y   5
4k
RESOLUCIÓN
Halle: “ tg  x  y  ” 53º
A) 1 B) -1 C) 1 D)  1 E)  1 3k 3k
21 10 21 10 
RESOLUCIÓN
 37º
2k 4k 2k
3
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4. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
Se observa: PROBLEMAS DE CLASE
i) 3k 3
tg    tg  
2k 2 1. Si:
ii)     37º  tg     tg    37º  tg(5+ 3)= 5 . . . (1)
3 3 tg(5– 3)= 2 . . . (2)
 
tg   tg 37º calcular: k=tg(10)+(6)
tg    tg   2 4
1  tg  tg 37º 3 3 7 25 3 26
1 
2 4 A) 9 B) 9 C) 11 D)3 E) 9
 tg   18
RPTA.: A 2. Si A y B son ángulos agudos y se cumple que
senA = 5/13 y cosB =4/5 , calcule el valor de
5. De la figura mostrada, calcular: tg  F = 130 cos(A + B).
A) 22 B) 33 C)44 D) 55 E)66
1 1
tg       y tg    
3 3. Si 3 4 , se pide hallar:
E  tg    
 A) 1/5 B)1/7 C)1/9 D) 1/11 E) 1/13
4
4. Si x + y + z =  , se pide reducir:
5 2 2 2
E  
Tgx.Tgy Tgx.Tgz Tgz.Tgy
A)  5 B)  55 C) 5 D) 55 E) 4 A) 1 B) 2 C) 6 D) E) ½
3 3 3 3 3
RESOLUCIÓN
5. Evaluar:
S= tg22º+tg23º+tg22º.tg23º
A) tg 22º B) tg 23º C) 2tg 22º
3
D) 2tg 23º E) 1

4 6. Si: 3.Sen 12ºCos 12º  k ,
4
Calcular: W  sen 27 º cos 27 º
 
5 a)  2
k b)  2 k c)  k d) 2 e) 2
k k
2 4 5 6 2
4 7
tg   tg  
5 5 7. Si:
tg   tg      (m  n).sen     (m  n).sen    ;
determinar:
tg
tg   tg 
tg   tg
1  tg  tg 
11 a)
m b) n c) m d) n e) m  n
4 7
  
tg   5 5 tg   5 n m n m m n
4 7 3
1  
5 5 25
55 RPTA.: B 8. Der la figura mostrada ; calcular tg 2 
tg   
3 a) Tg .tg 2 b) Tg .tg 3 c) Tg .tg 4
4
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5. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
d) Tg 2 .tg 3 e) Tg 2 .tg 4 a) 1 b) 2 c)3 d) ½ e) 3/2
2. Sabiendo que:
1 1
cot(3x  2y  5z)  cot(2x  3y  6z) 
3 2
Halle: tg(x + y + z)
1 1 1
a) 1 b)-1 c) 5 d) 6 e) 7
3. Si “x” e “y” son ángulos complementarios
(x > 0º), calcular el valor de “m” de modo que
se verifique la identidad.
9. Si: a .tg 2x b tal que m x
M   1  tg
tg 2x  tgx 1  tgx .tg 2x y 2
1  tg
k ; k  Z , ¿Cuál es el valor de M para 2
x 
4 a)tg x b) tg y c) tg y .tg x d) 1 e) 2
que M sea independiente de x? 2 2 2 2
a)-1 b)- 1/3 c) 1/3 d) 1 e) 2
4. Si: Tg    x   1 ; Calcular Ctg  5  x 
   
10. En un triángulo ABC, se cumple que:  14  2  28 
SenA CosA a) 1 b)2 c)3 d) ½ e) 1/3
 2.SenC y  2.CosC
SenB CosB
Calcular Sen 2A 5. Del gráfico, calcular: T an
a) 1 b) 1 c) 2 d) 2  1 e) 2  1 B P C
2 1 2 1 2

11. Si:
 
tg (x  y )  tg 25ºtg 10 º 2  3 tg 25º.tg 10 º
37º
Y tg (x  y )  0. Calcular tg  x  y 
 
 2  A D
a) 6  2  3  2 b) a) – 4 b) – 8 c)–16 d)- 9 e)32
6 2 3  2
c) 6  2  3  2 d) 6 2 3  2
6. Si:
e) 6  2  3  2
(m  n )senx .seny  (m  n ) cos x .coxy  0
PROBLEMA DE REPASO ; determinar: M  cos(x  y )
cos(x  y )
1. Dado el cuadrado ABCD, calcule “K” m n m n
a) b) c)  d)  e)  m.n
n m n m
7. Determina el valor mínimo de F, si
F = a(Senx - cosx) +b(Senx + cosx); 0 < a < b
1
a) a 2  b 2 b) ab c) a .b
2
e)  2a  b 
2 2
d) a + b
5
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6. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
8. Calcular el valor de: 15. Del grafico mostrado, calcular
Tan13º + Tan32º + Tan13º Tan32º
1 2 2
x
a) 2  2 b) 1  2 c) 2 d) 2 e) 1
5
  2
9. Si: tg      ; calcular: tg     
 
 20  3 5  2
a) 1/5 b) 1/3 c) 3 d) 5 e) 6 45˚
14
10. Si y son las raíces de la ecuación: a)1/3 b) 1/2 c) 3/4
d) 1 e) 4/3
Calcular el valor de:
a) -1/5 b) 1/5 c) -5 16. De un triángulo ABC, reducir:
d) 5 e) 1
11. Si a) -1 b) 2 c) 1
Calcular el valor de: d) 3 e) 0
a) 2 b) -1 c) 0 17. Si
d) 1 e) 2 ¿A que es igual?
12. En un triángulo ABC, se sabe que:
a) b) c)
Calcular el valor: d) e)
a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 20 18. En el grafico mostrado se cumple que:
13. Si se cumple: ¿A que es igual?
Además:
Calcular el valor de:
β
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/2
d) 2 e) 3
α
θ
14. Calcular el valor aproximado de:
√ x
a) 7,1 b) 7,2 c) 7,3 a) Senx b) Cosx c) Tanx
d) 8,3 e) 8,7 d)Cotx e) Secx
6
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