Este documento presenta varias identidades trigonométricas y ejercicios de simplificación relacionados con funciones trigonométricas. Se definen identidades como sen2x + cos2x = 1 y se piden simplificar expresiones utilizando estas identidades.

1. Trigonometría
SEMANA 9
1  sen x   1  sen x  
4 1 sen2 x 
2 2
2 2
IDENTIDADES Q 
1  cos x   1  cos x  4 1  cos x 
2 2 2
2 2
TRIGONOMÉTRICAS PARA
EL ARCO SIMPLE
 Q  tg2 x
1. Simplifique: RPTA.: B
W
 cos   sen    sec   Csc  
tg   ctg  3. Simplifique:
cosb  tgb senb  secb  tgb
1
A) 2 B) -2 C) A) 2 sen b B) 2 cos b C) tg b
2
D) sec b E) ctg b
D) 1 E) -1
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN
senb 1 senb
 1 1  V  cos b  senb  
 cos   sen     cosb cosb cosb
 cos  sen  
 W sen b
2
1 senb
sen  cos  V  cos b   

cos  sen  cosb cosb cosb
 sen   cos   cos b  sen2 b  1  senb
2
  sen   cos    
V
 cos  sen   cosb
 W V  tgb
sen 2   cos2 
sen  cos  RPTA.: C
 W

 sen2   cos2   4. Indique el equivalente de la
sen   cos  2 2 expresión:
 
P  sen2 x  cos2 x   tgx  ctgx 
2 2
 W  1
RPTA.: E
A) sen6 x cos6 x
2. Simplifique:
B) 1  sen2 x cos2 x
sec x  sen x  tg x   cos x
2
2 2 2 4
Q C) 1  sen2 x cos2 x
csc x  cos x  ctg x   sen x
2
2 2 2 4
D) 1  3 sen2 x cos2 x
A) 1 B) tg2x C) ctg2x
E) sen6 x  cos6 x
D) sec2 x E) csc2 x
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN  
P  sen4 x  cos4 x  2 sen2 x cos2 x  senx csc x 
2
1  1
2
1 

P  1  2 sen x cos x  2 sen x cos x  
2 2 2 2
 
 cos x senx 
sec x  tg x  sen x   cos x 
2 2
2 2 2 2
Q  
P  1  4 sen2 x cos2 x  cos x senx 
2
csc x  c tg x  cos x   sen x 
2 2
2 2 2 2
P  1  4 sen2 x cos2 x  sen2 x cos2 x
“1” P  1  3 sen2 x cos2 x
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2. Trigonometría
 P  sen6 x  cos6 x A) 4  b2 B)  4  b2
RPTA.: E
C) b2  4 D) b2  4
5. Simplifique: E)  b2  4
P  sen2  tg   cos2  ctg   2 sen  cos 
RESOLUCIÓN
A) sec  csc  B) sec   csc 
2 2
tgx  ctgx  b
C) tg   ctg  D) tg   c tg  Elevando al cuadrado:
E) 1 tg2 x  ctg2 x  2  b2
tg2 x  ctg2 x  2  b2  4
RESOLUCIÓN  tg x  ctg x   b2  4
2
P  sen2  tg   cos2  ctg   2 sen  cos 
sen3  cos3 
 tg x  ctg x    b2  4
P   2 sen  cos  RPTA.: D
cos  sen 
sen4   cos 4   2 sen2  cos2  8. Calcule: senx cos x
P
sen  cos  a b
Si: 
1  2 sen  cos2   2 sen2  cos2 
2
sen x cos x
P
cos  sen 
P  sec  csc  a2  b2 b2  a2
A) B)
P  tg   ctg  ab ab
RPTA.: C ab ab
C) 2 D) 2
a  b2 a  b2
6. Reducir: a2
  
E  tg  1  ctg2   ctg  1  tg2   E)
ab
A) sen  B) cos  RESOLUCIÓN
C) tg  D) sen 30º 1 1
senx cos x    ??
E) sen 180º sec x csc x tgx  ctgx
a b a
  tg x 
RESOLUCIÓN sen x cos x b
 
E  tg  1  ctg2   ctg  1  tg2    sen x cos x 
1
 2
ab
E  tg   ctg  tg   ctg   tg  ctg 
2 2 a b a  b2

E  tg   ctg   ctg   tg  b a
E0 RPTA.: D
E  sen180º
9. Reduce:
RPTA.: E
E   sen   cos  tg  ctg   csc 
7. Si: tgx  ctgx  b
Calcule: E  tgx  ctgx A) sen  B) cos 
C) sec  D) csc 
E) 1
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3. Trigonometría
RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN
2
E  4 sen6 x  cos6 x   3 cos2 x  sen2x 
   
H   sen   cos   tg   ctg   csc 
2
E  4 1  3sen2 x cos2 x  3 cos4 x  sen4x  2sen2x cos2 x 
H   sen   cos   sec  csc   csc     
2
H  csc  sen  sec   1  1
  E  4  12sen2x cos2 x  3 1  2 sen2x cos2 x  2 sen2x cos2 x 
 
H  csc  sen  sec  E  4  12sen2x cos2 x  3 1  4 sen2x cos2 x 
 
1
H  sec 
E  4  12 sen2x cos2 x  3  12 sen2x cos2 x
RPTA.: C
E  43  1
1 RPTA.: A
10. Si: sen2 x  sen2 y 
8 12. Halle el valor de “A” si:
Halle: sec4 x  sec2 x  tg4 x  A
A  cos x cos y  sen x sen y
2 2 2 2
A) tg x B) ctg x
1 5 7 C) ctg2 x D) tg2 x
A) B) C)
8 8 8 E) 1
9 11
D) E)
8 8 RESOLUCIÓN
sec4 x  sec2 x  tg4 x  A
RESOLUCIÓN
1
sen2 x  sen2 y  ……………..….. I sec4 x  tg4x  sec2 x  A
8
E  cos x cos y  sen x sen y
2 2 2 2 sec 2
 
x  tg2x sec2 x  tg2x  sec2 x  A
  
E  1  sen2 x 1  sen2 y  sen2 x sen2 y 1
E  1  sen x  sen y  sen x sen y  sen x sen y
2 2 2 2 2 2
sec x  tg x  sec2 x  A
2 2

E  1  sen2 x  sen2 y   A  tg2 x
1 RPTA.: D
E 1
8
13. Si: 12 cos2 x  23 senx  22
7
E= Entonces “sen x” es:
8
RPTA.: C
5 2 1
A) B) C)
11. Reduce: 4 3 3
2 4 2 5
E  4 sen6 x  cos6 x   3 cos2 x  sen2 x 
    D) E) ;
5 3 4
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
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4. Trigonometría
RESOLUCIÓN 16. Si: 2 ctg2 x  3 ctg2 y  1
Donde: Halle: sen2 x csc2 y
 
12 1  sen x  23 sen x  22
2
12 sen2 x  23 senx  10  0 1 2
A) 1 B) C)
3 sen x  2 4 sen x  5  0 3 3
1
2 D) 2 E)
 sen x  9
3
RPTA.: B
RESOLUCIÓN
2 ctg2 x  3 ctg2 y  1
14. Simplifique:   
2 csc2 x  1  3 csc2 y  1  1 
V  sec6 x  tg6 x  3tg4 x  3tg2 x
2 csc2 x  3 csc2 y
2
A) 0 B) 1 C) 2 sen2 x csc2 y 
D) 3 E) 4 3
RPTA.: C
RESOLUCIÓN
17. Indique el equivalente de :
 
3
V  1  tg2 x  tg6x  3 tg4x  3 tg2x  cos x 1   sen x
2
1 
2
W  
 
V  1  3tg2x 1  tg2 x  tg6x  3 tg4x  3tg2 x   
 1  sen x ctg x   1  cos x tg x 
V 1
RPTA.: B A) sec2 x  cos2 x
B) sen2 x cos2 x
15. Calcule “n” para que la siguiente
igualdad sea una identidad. C) sen2 x  csc2 x
D) sec2 x  csc2 x
1  cos x 1  cos x E) 1
 sen x  n
sen x cos x n
RESOLUCIÓN
A) tg x B) ctg x C) sen x  1  sen x
2
  1  cos x 
2
D) cos x E) sec x W    tgx    ctgx 
 cos x   sen x 
2
 1 cos x cos x 
2
RESOLUCIÓN  1 senx senx 
W       
El primer miembro: 
 cos x cos x cos x   senx senx senx  
 
1  cos x
N  sen x  W   sec x  csc x 
2 2
sen x cos x
N  1  cos x  tgx  ctgx   senx  W  sec2 x csc2 x
N  1  cos x  tgx  (1  cos x)ctgx  senx
 W  sec2 x  csc2 x
1  cos x RPTA.: D
N  tgx 
tgx
 N  tg x
RPTA.: A
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5. Trigonometría
18. Si: csc x  ctgx  3;Halle : " tgx " 20. Si: cos2 x  cos x  1  0 .
Halle: W  sec2 x  ctg2 x
3 3 4
A) B)  C)
4 4 3 A) 0 B) 1 C) 2
4 1 D) -1 E) -2
D)  E)
3 3
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN * cos2 x  cos x  1  0  cos x 
Piden: tg x =? 1  cos2x  cos x  sen2x
Dato: cos x senx 1
csc x  ctgx  3  csc x  3  ctgx   senx    tgx  csc x
senx cos x senx
csc2 x  3  ctgx   1  ctg2x 
2
  tg 2x  csc2 x  sec2 x  1 
9  6 ctgx  ctg2 x 1  ctg2x  sec2 x  ctg2x  2
1 6 3 RPTA.: C
 8  6 ctgx    tgx  
ctgx 8 4
RPTA.: B 21. Si: " sec  " y "csc  " son las
“raíces” de la ecuación:
19. Si: 2  sen   cos   x; halle: x2  p x  q  0 ; luego se cumple
" 2 sen  cos  " la relación:
A)  x  2  x  2 A) q2  2q  p2
B)  x  3  x  1 B) p2  2p  q2
C) q2  2q  p2
C)  x  3  x  1
D) p2  2p  q2
D)  x  3  x  1
E) p2  q2  1
E)  x  3  x  1
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÒN x1  sec 
Piden: 2 sen  cos   ?
x  px  q  0
2
Dato: 2  sen   cos   x
x2  csc 
sen   cos   x  2
sen2   cos2   2 sen  cos   x2  4x  4 Se observa:
“1” i) x1 x2  q  sec  csc   q …..(I)
2 sen  cos   x2  4x  3 ii) x1  x2  p  sec   csc   p ..(II)
x -3
(II)2 :  sec   csc    p
2 2
x -1
 sec2   csc2   2 sec  csc   p2
 2 sen  cos    x  3  x  1 "sec2  csc2  "
RPTA.: E sec  csc   2  sec  csc   p2
2

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6. Trigonometría
 q2  2q  p2 1  cos x   1  cos x  1  cos x 
2
RPTA.: A E
2 cos x
22. Si: sen x  sen2 x  1 E
1  cos x 1  cos x  1  cos x 
2 cos x
Calcule: E  1  cos x 2
E  1  cos x
E  1  1  vers x
A) sen2 x B) cos 2 x
E  2  vers x
C) tg2 x D) ctg2 x RPTA.: C
E) csc2 x
2  2 cos x
24. Simplifique: k  1 
RESOLUCIÓN sen x  cos x  1
* sen x  sen2 x  1
sen x  1  sen2 x cos x 1  sen x
A) B)
sen x  cos2 x 1  sen x cos x
tgx  cos x  ctg x = sec x C) 1- sen x D) 1 + sen x
cos x
E)
E  1  cos2 x 1  sen x
E  1  tg2 x
RESOLUCIÓN
E  sec2 x
2  2 cos x
E  ctg2 x K 1
sen x  cos x  1
RPTA.: D
senx  cos x  1  2  2 cos x
K
23. Simplifique: sen x  cos x  1
1  cov x  1  vers x  cov x  K
senx  cos x  1 senx  cos x  1
E
1 vers x  cov x  senx  cos x  1 senx  cos x  1
 senx  1
2
 cos2 x
A) vers x B) cov x K
C) 2 -vers x D)2-cov x 2 senx cos x
1  senx   1  senx 1  senx 
2
E) 2 + cov x
K
2 senx cos x
RESOLUCIÓN
1  cov x  1  vers x  cov x  K
1  senx 1  senx  1  senx 
E 2 senx cos x
1  vers x  cov x 
1  senx 2 senx   k  1  senx
1  1  senx  1  1  cos x   1  senx  K
E    2 senx cos x cos x
1  1  cos x   1  senx 
senx 1  senx  cos x  senx  cos x  1
  RPTA.: B
E
cos x  senx  1 senx  cos x  1
    25. Eliminar “x” si:
sen x 1  cos x   sen x
2 
2
2  sec2 x  atgx
E  
2 sen x cos x 2  csc2 x  ctgx
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7. Trigonometría
A) a2  b B) a2  b2  0 27. Reducir:
C) a  b  0 D) a  b  0 H  1  tg2 x  tg4 x  tg6 x  tg8 x  …………… 
E) a  2b
A) sen2 x B) cos2 x C) tg2 x
RESOLUCIÓN D) ctg2 x E) 1

2  sec x  atgx  2  1  tg x
2 2

 atgx  1  tg2x  atgx ………(*) RESOLUCIÓN
H  1  tg2 x  tgx4  tgx6  tgx8  …………… 

2  csc2 x  b ctgx  2  1  ctg2x  H  1  tg2 x 1  tg2 x  tg4x  tg6 x  .............
 
 b ctgx  1  ctg2x  b ctgx
“H”
tg2 x  1 b H  1  tg x H 2

tg x
2
tg x H  H tg2 x  1
tg x  1  b tgx …………….…(*)(*)
2
 
H 1  tg2 x  1  Hsec2 x  1
(*) + (*) (*) H  cos2 x
0  (a  b)tgx  a  b  0 RPTA.: B
RPTA.: D
28. Si: sen3 x  csc3 x  7
tg x  sen x
2 2
26. Si:  A tgB x Calcule: sen3 x  csc3 x
ctg x  cos x
2 2
Halle: (A + B) A) 51 B) 53 C) 57
D) 59 E) 61
A) 3 B) 6 C) 7
D) 8 E) 10 RESOLUCIÓN
sen 
2
RESOLUCIÓN
3
x  csc3 x  72
sen2 x
 sen2 x
cos2 x


sen2 x sec2 x  1   sen6 x  2 sen3x csc3 x  csc6 x  49
cos 2 x
 cos x
2 
cos2 x csc2 x  1  49  sen6 x  csc6 x  2
sen2 x
51  sen6 x  csc6 x
sen2 x 1  tg2 x  1
  tg x tg x
2 2
   tg6 x
cos x 1  ctg x  1
2

2

1 sen6 x  csc6 x  2 sen3 x csc3 x
tg2 x  51  2
sen x  csc x
2
B
3 3
 53  sen3 x  csc3 x
 1 tg x  A tg x
6
A=1 B=6  53
A + B =7 RPTA.: B
RPTA.: C
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8. Trigonometría
29. Si: csc2   csc   1 1
Halle: csc x csc x
E 
H  ctg2  1  ctg   ctg   1 1 csc2 x  1
1
csc 2 x
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 0 Reemplazando
5 10  14
RESOLUCIÓN E
9
csc2   csc   1
RPTA.: A
1  ctg   1  csc   csc   ctg 
2 2
H  ctg2  1  ctg   ctg   1
H  ctg2  ctg2   1 
 
H  ctg4   ctg2 
H  csc2   ctg2 
H1
RPTA.: A
30. Si: csc x  2  10
Calcule el valor de tgx sec x
5 10  14
A)
9
5 10  14
B)
9
5 5  14
C)
9
5 5  14
D)
9
5 2  14
E)
9
RESOLUCIÓN
sen x 1
E  tg x sec x 
cos x cos x
sen x sen x
E 
cos x 1  sen2 x
2
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