2. MULTIPLICACIÓN y DIVISIÓN DE POLINOMIOS
CONSULTAR:
1) ¿Cómo se llaman las cantidades que se multiplican entre sí?
Factores
2) ¿Qué es un producto en la operación de multiplicación?
El resultado
3) ¿Cuál es la propiedad conmutativa de la multiplicación?
La ley conmutativa es al que dice que el orden de los factores no altera el
producto: Así el producto ab puede escribirse ba; el producto abc puede escribirse
también bac o acb,
4) ¿Qué son números primos?
Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos
divisores distintos: él mismo y el 1.
Ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61…
5) ¿Qué son números compuestos?
Losnúmeros compuestos, son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de
sí mismos y del 1.
Ejemplo: 4, 6, 8, 9, 10, 12,18….
NOTA: El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto
6) ¿Cómo se llama el producto cuándo en la multiplicación se repite varias veces
un mismo factor?
Potencia
7) ¿Cómo se multiplican potencias de la misma base?
Para multiplicar potencias de la misma base, se coloca la misma base y se suman
los exponentes.
Ejemplo: (b2) (b5)(b4)=b11
8) ¿Cuál es la Ley de los signos para la multiplicación?
Se distinguen dos casos:
Signo del producto de dos factores. En este caso, la regla es :
Signos iguales dan más (+), así: (+a) x (+b)= +ab; (-a) x (-b)= +ab
Signos diferentes dan menos (-), así: (-a) x (+b)=-ab
Signo del producto de más de dos factores, en este caso la regla es:
a) El signo del producto de varios factores es + cuando tiene un número
par de factores negativos o ninguno, así:
(-a)x(-b)x(-c)x(-d)=abcd
3. b) El signo del producto de varios factores es menos (–) cuando tiene un
número impar de factores negativos, así:
(-a)x(-b)x(-c)=-abc
9) ¿Cómo se multiplica un monomio por un monomio?
Se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las
letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente
igual a la suma de exponentes que tenga en los factores. El signo del producto
vendrá dado por la ley de los signos.
Ejemplo:
Multiplicar 2a2 por 3a3
2a2 x 3a3 =6a2+3 = 6a5
Multiplicar 3a2b por –4b2x
3a2b por –4b2x= -12a2b1+2x= -12a2b3x
10) ¿Cómo se multiplica un monomio por un polinomio?
Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en
cada caso la regla de los signos, y se separan los productos con sus propios
signos.
Ejemplo:
Multiplicar 3x2-6x+7 por 4ax2
(3x2-6x+7)x(4ax2) =3x2(4ax2)- 6x(4ax2)+7(4ax2)
=12ax4-24ax3+28ax2
11) ¿Cuál propiedad de la multiplicación debemos aplicar al multiplicar un
monomio por un polinomio?
La propiedad distributiva (esta propiedad dice que la suma de dos números por un
tercero es igual a la suma de cada sumando por el tercer número. Por ejemplo 4 *
(6 + 3) = 4 * 6 + 4 * 3
12) ¿Cómo se multiplica un polinomio por un polinomio?
Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos
del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos y se reducen los términos
semejantes, si los hay.
Ejemplo:
Multiplicar a-4 por 3+a
a-4 x 3+a= 3a+a2-12-4a
= a+a2-12
13) ¿Cuál es la regla de los signos para la división?
La regla de los signos en la división es la misma que en la multiplicación, es decir
signos iguales dan más (+) y signos diferentes dan menos (-)
4. 14) ¿Cómo se dividen potencias de la misma base?
Para dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se le pone de
exponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del
divisor.
Ejemplo:
Sea el cociente a5 ÷ a3, decimos que:
a5 ÷ a3 = a5 / a3 = a5-3= a2
15) ¿Cuál es la regla para dividir un monomio por un monomio?
Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a
continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a cada letra un
exponente igual a la diferencia entre el exponente que tienen en el dividendo y el
exponente que tiene en el divisor. El signo lo da la ley de los signos.
Ejemplo:
Dividir 4a3b2 entre -2ab
= 4a3b2 ÷ -2ab = 4a3b2 / -2ab= -2a2b
16) ¿Cuál es la regla para dividir un polinomio por un monomio?
Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los
cocientes parciales con sus propios signos.
Ejemplo:
Dividir 34x2+24x-12x3 entre 4x
17) ¿Cuáles son las partes de la División?
Dividendo, divisor y cociente.
Así:
6a2 ÷ 2a = 6a2 / 2a = 3a, donde
6a2 Es el dividendo; 2a es el divisor; 3a es el cociente.
18) ¿Cuál es la regla para dividir un polinomio por un polinomio?
División entre polinomios.
En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los
pasos a seguir son los siguientes.
Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo
sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es
completo se dejan los espacios de los términos que faltan.
5. El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del
dividendo entre el primer miembro del divisor.
Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del
divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del
dividendo.
El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del
dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer
término del divisor.
Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del
divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del
dividendo parcial.
Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo
parcial cuyo primer término no pueda ser dividido por el primer término del
divisor.
Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.
La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar
el término que se encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.
Ejemplos:
6. 19) ¿Cuál es la División Sintética o Regla de Ruffini?
La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el
resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x-a. Veamos el
algoritmo con un ejemplo, consideremos P(x)=2x3 + x2 - 3x + 5 y Q(x)=x-1. La
división se realiza como sigue:
a) Se ordena el polinomio P(x) de mayor a menor grado y se colocan los
coeficientes de cada término. Si no apareciese algún término entre el de
mayor grado y el de menor se coloca un 0. A la izquierda se pone el
número que se resta a x en Q(x), en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente
del término de mayor grado, este paso se corresponde con la figura 1.
b) Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el que se ha colocado a
la izquierda (1). El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente
del término siguiente y se suman. Figura 2
c) El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el número situado a la
izquierda y se repite el proceso. Figuras 3 y 4.
d) El último número (recuadro rojo en Fig. 4) se corresponde con el resto de la
división mientras que el resto de números de la fila inferior son los
coeficientes del cociente.
2 3 2 2
Resto = 5 y C(x)=2x + 3x por tanto 2x + x - 3x + 5 =(x-1) (2x + 3x) +5
