Guia paso a paso de Diseño Factorial y Regresión Lineal

1. Dise˜o de Experimentos
n
Ingenier´ Industrial y de Sistemas
ıa
Universidad del Valle de M´xico
e
Apuntes de clase
Profesor: Dr Dolores V´lez Jim´nez
e e
Segunda Edici´n
o
Juan Carlos Clemente Jarqu´ 1
ın
Abril 10 de 2012
1
Numero de cuenta 100000783

2. ´
Indice
1. Dise˜ o Factorial
n 1
1.1. Ventajas de los Dise˜os Factoriales . . . . . .
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1. C´lculo de los efectos . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.2. Preguntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.3. Planteamos las hip´tesis . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.4. An´lisis de Varianza (ANOVA) . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.5. Suma de cuadrados totales y del error. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.6. Estad´ ıstico de Prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.7. Modelo de Regresi´n . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.8. Representaci´n geom´trica . . . . . . .
o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.9. Respuesta predicha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4. Ejercicio en clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5. Dise˜o factorial 23 . . . . . . . . . . . . . . .
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5.1. Efectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7. Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Analisis de Regresi´n Lineal
o 10
2.1. Regresi´n Lineal Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 10
2.1.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2. Ejercicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Referencias 14
A. Ap´ndice
e I

3. J.C Clemente 1
1. Dise˜ o Factorial
n
Efectos
2k Dise˜o Completo
n
2k (2 ≤ k ≤ 5) (1)
Para dar respuestas mas precias, necesitamos aplicar un an´lisis de regresi´n (por eso son procesos
a o
completos).
Comenzamos con un dise˜o 22 (2 niveles para 2 factores).
n
1.1. Ventajas de los Dise˜ os Factoriales
n
Permiten estudiar el efecto de los distintos factores (k)
Son dise˜os que precisamente se pueden aumentar en el n´mero de factores para una exploraci´n
n u o
mas completa
La interpretaci´n y el c´lculo de los experimentos factoriales son simples, especialmente cuando
o a
cada factor se prueba en 2 niveles.
1.2. Ejemplo
Interesa estudiar el efecto del tama˜o de broca y de la velocidad sobre la vibraci´n que produce un
n o
barrenador. Se decide realizar un dise˜o factorial 22 para evaluar el proceso. Los datos son los siguientes:
n
Factor Niveles Unidad
Broca (a) 1/16 1/8 Pulgadas
Velocidad (b) 40 90 RPS
Cuadro 1: Tabla de datos
1 2
Generamos la Matriz de Dise˜o
n agregando la Notaci´n de Yates
o
Broca (A) Velocidad (B) Signos R´plicas (vibracion)
e Yates
1⁄16 40 −− 18.2 18.9 12.9 14.4 64.4 1
1⁄ 8 40 +− 27.2 24 22.4 22.5 96.1 a
1⁄16 90 −+ 15.9 14.5 15.1 14.2 59.7 b
1⁄ 8 90 ++ 41 43.9 36.3 39.9 161.1 ab
Y i = 381,3
Cuadro 2: Matriz de Dise˜o
n
1.2.1. C´lculo de los efectos
a
1
A= [a + ab − b − 1] (2)
2n
1
B= [b + ab − a − 1] (3)
2n
1
AB = [ab + 1 − a − b] (4)
2n
1 listamos de menor a mayor
2 Representa los totales o sumas de las observaciones en cada tratamiento

4. J.C Clemente 2
1
A= [96,1 + 161,1 − 59,7 − 64,4] = 16,63
2n
1
B= [59,7 + 161,1 − 96,1 − 64,4] = 7,53
2n
1
AB = [161,1 + 64,4 − 96,1 − 59,7] = 8,125
2n
Por magnitud del efecto, el tama˜o de broca es el que tiene mayor influencia sobre el estudio de
n
vibracion que estamos realizando.
1.2.2. Preguntas
1. ¿La velocidad y el tama˜o de broca afectan la vibraci´n?
n o
Si, ambos afectan la vibraci´n
o
2. ¿Cual combinaci´n de velocidad y tama˜o de broca miniza la vibraci´n?.
o n o
Menos tama˜o de broca y mayor velocidad
n
1.2.3. Planteamos las hip´tesis
o
H0 : Ef ectoA = 0
H0 : Ef ectoB = 0
H0 : Ef ectoAB = 0
1.2.4. An´lisis de Varianza (ANOVA)
a
Suma de cuadrados de los efectos.
[a + ab − b − 1]2
SCA = = 1107,22 (5)
n22
[b + ab − a − 1]2
SCB = = 227,56 (6)
n22
[ab + 1 − a − b]2
SCAB = = 303,66 (7)
n22
1.2.5. Suma de cuadrados totales y del error.
Y i)2
(
SCtot = Cij − = 1709,8343 (8)
4n
SCE = SCtot − SCA − SCB − SCAB = 71,3943 (9)
Cuadrados Medios.3 4
CMA = 1107,22 (10)
CMB = 227,56 (11)
CMAB = 303,66 (12)
SCtot 1709,8343
CMtot = 2 = = 113,9889 (13)
n2 − 1 15
SCE 71,3943
CME = = = 5,9495 (14)
4(n − 1) 12
3 Para SCA
22 igualamos CMA = SCA debido a la f´rmula CMA =
o g.l.
porque en este caso g.l. = 1
4 g.l = (Favor de preguntarle a Luismo)

5. J.C Clemente 3
1.2.6. Estad´
ıstico de Prueba
Calculamos los valores de F y lo comparamos con F de Snedecor
CMA
F0A = = 186,103 (15)
CME
CMB
F0B = = 38,022 (16)
CME
CMAB
F0AB = = 50,8008 (17)
CME
Ftablas (1,12) = 4,75 (18)
F0A > Ftablas Se rechaza H0
F0B > Ftablas Se rechaza H0
F0AB > Ftablas Se rechaza H0
1.2.7. Modelo de Regresi´n
o
¯
Y i = 23,8312
ˆ ¯ A B AB
Y =Yi+ + +
2 2 2
ˆ
Y = 23,8312 + 8,315x1 + 3,7687x2 + 4,4562x1 x2
Signos Notaci´n
o Aplicar en el modelo de regresi´n
o
x1 x2 y
−− −1 − 1 16.10
+− +1 − 1 24.01
−+ −1 + 1 14.93
++ +1 + 1 40.96
Cuadro 3: Sustituyendo x1 y x2 en el modelo de regresi´n
o
1.2.8. Representaci´n geom´trica
o e
Figura 1: Representaci´n geom´trica
o e

6. J.C Clemente 4
1.2.9. Respuesta predicha
X1 = A = 0
X2 = B = 0
ˆ
Y = 23,8312
1.3. Ejercicio
A continuaci´n se muestran los resultados de un experimento:
o
A B I II III Total
- - 82 80 84 246
+ - 78 82 79 239
- + 71 70 66 207
+ + 89 88 93 270
Yi 962
Cuadro 4: Resultados de un experimento
a) ¿Que nombre recibe este dise˜o y porque?
n
Dise˜o factorial 22 porque tiene 2 factores y 2 niveles
n
b) ¿Cuantos tratamientos tiene este dise˜o?
n
4 tratamientos
c) ¿Cuantas r´plicas tiene este dise˜o?
e n
3 r´plicas
e
d) ¿Cu´les efectos se pueden estudiar atrav´s de este dise˜o?
a e n
El principal de A, el principal de B, y la interacci´n AB
o
e) Calcule tales efectos a partir de sus contrastes
1
A= [a + ab − b − 1] = 9,3
2n
1
B= [b + ab − a − 1] = −1,3
2n
1
AB = [ab + 1 − a − b] = 11,6
2n
El mayor efecto es el de la interacci´n de factores (AB)
o
f) Complete el an´lisis de varianza
a
Planteamos las hip´tesis
o
H0 : Ef ectoA = 0
H0 : Ef ectoB = 0
H0 : Ef ectoAB = 0

7. J.C Clemente 5
Suma de Cuadrados
[a + ab − b − 1]2
SCA = = 261,3
n22
2
[b + ab − a − 1]
SCB = = 5,3
n22
[ab + 1 − a − b]2
SCAB = = 408,3
n22
( Y i)2
SCtot = Cij − = 719,66
4n
SCE = SCtot − SCA − SCB − SCAB = 44,67
Cuadrados Medios
SCtot
CMtot = = 65,42
n22 − 1
SCE
CmE = = 5,58
4(n − 1)
Calculamos los valores de F y lo comparamos con F de Snedecor
CMA
F0A = = 46,8
CME
CMB
F0B = = 0,955
CME
CMAB
F0AB = = 73,13
CME
Ftablas (1,8) = 5,32
F0A > Ftablas Se rechaza H0 Si hay efecto de A
F0B < Ftablas Se acepta H0 No hay efecto de B
F0AB > Ftablas Se rechaza H0 Si hay efecto de AB
1.4. Ejercicio en clase
Plantear el dise˜o 22 Aplicado al entorno laboral
n
1.5. Dise˜ o factorial 23
n
2 niveles 3 factores (8 tratamientos)
A B C Yates
1 - - - 1
2 + - - a
3 - + - b
4 + + - ab
5 - - + c
6 + - + ac
7 - + + bc
8 + + + abc
Cuadro 5: Matriz, signos y notacion de Yates
Efectos principales a,b,c
Efectos Interacci´n ab,ac,bc,abc
o

8. J.C Clemente 6
1.5.1. Efectos
a + ab + ac + abc − (1) − b − c − bc
A=
4n
b + ab + bc + abc − (1) − a − c − ac
B=
4n
c + ac + bc + abc − (1) − a − b − ab
C=
4n
ab − b − a + abc + (1) − bc − ac + c
AB =
4n
(1) − a + b − ab − c + ac − bc + abc
AC =
4n
(1) + a − b − ab − c − ac + bc + abc
BC =
4n
abc − bc − ac + c − ab + b + a − (1)
ABC =
4n
1.6. Ejemplo
A continuaci´n se presentan los resultados de un dise˜o factorial no replicado.
o n
a) Elaborar la matriz de dise˜o con la notaci´n de Yates.
n o
A B C Y Yates A B C Y
1 - + - 25 (1) - - - 30
2 + + + 12 a + - - 17
3 - - - 30 b - + - 25
4 + - + 10 ab + + - 14
5 - - + 10 c - - + 10
6 + + - 14 ac + - + 10
7 - + + 31 bc - + - 31
8 + - - 17 abc + + + 12
Cuadro 6: Tabla de datos
b) Determinar los efectos principales de A y B
a + ab + ac + abc − (1) − b − c − bc 17 + 14 + 10 + 12 − 30 − 25 − 10 − 31
A= = = −10,75
4n 4(1)
b + ab + bc + abc − (1) − a − c − ac 25 + 14 + 31 + 12 − 30 − 17 − 10 − 10
B= = = 3,75
4n 4(1)
c) Calcular el efecto de interacci´n AB
o
ab − b − a + abc + (1) − bc − ac + c 14 − 25 − 17 + 12 + 30 − 31 − 10 + 10
AB = = = −4,25
4n 4(1)

9. J.C Clemente 7
1.7. Ejercicio
En una f´brica de piezas de cer´mica se tienen problemas con la calidad. En los intentos por resolver
a a
los problemas se han hecho cambios en algunos factores del proceso. Se decide correr un dise˜o de n
experimentos 23 . Los factores y niveles son:
A Temperatura 90 130 grados cent´
ıgrados
B Tiempo 8 15 minutos
C Tama˜o de part´
n ıcula sin con tamizado
Cuadro 7: Factores y niveles
La Variable de respuesta es el porcentaje de piezas de calidad.
a) Establezca la matriz de dise˜o
n
Yates A B C A B C I II Total
(1) - - - 90 8 ST 76.4 76.9 153.3
a + - - 130 8 ST 76.3 76.9 153.2
b - + - 90 15 ST 80.4 81 161.4
ab + + - 130 15 ST 77.9 79.6 157.5
c - - + 90 8 CT 84.4 84.6 169
ac + - + 130 8 CT 84.7 84.5 169.2
bc - + - 90 15 CT 82.7 83.2 165.9
abc + + + 130 15 CT 85 84.7 169.7
Cuadro 8: Tabla de datos, R´plicas de % de Calidad
e
b) Estime todos los efectos posibles y establezca cuales son significativos
a+ab+ac+abc−(1)−b−c−bc 153,2 + 157,5 + 169,2 + 169,7 − 153,3 − 161,4 − 169 − 165,9
A= = =0
4n 4(2)
b+ab+bc+abc−(1)−a−c−ac 161,4 + 157,5 + 165,9 + 169,7 − 153,3 − 153,2 − 169 − 169,2
B= = = 1,225
4n 4(2)
c+ac+bc+abc−(1)−a−b−ab 169 + 169,2 + 165,9 + 169,7 − 153,3 − 153,2 − 161,4 − 157,5
C= = = 6,05
4n 4(2)
ab−b−a+abc+(1)−bc−ac+c 157,5 − 161,4 − 153,2 + 169,7 + 153,3 − 165,9 − 169,2 + 169
AB = = = −0,025
4n 4(2)
(1)−a+b−ab−c+ac−bc+abc 153,3 − 153,2 + 161,4 − 157,5 − 169 + 169,2 − 165,9 + 169,7
AC = = =1
4n 4(2)
(1)+a−b−ab−c−ac+bc+abc 153,3 + 153,2 − 161,4 − 157,5 − 169 − 169,2 + 165,9 + 169,7
BC = = = −1,875
4n 4(2)
abc−bc−ac+c−ab+b+a−(1) 169,7 − 165,9 − 169,2 + 169 − 157,5 + 161,4 + 153,2 − 153,3
ABC = = = 0,925
4n 4(2)
De acuerdo a esta estimaci´n el efecto de C es el m´s significativo
o a
c) Realice un an´lisis de varianza y obtenga conclusi´n
a o
c.1 Hip´tesis
o

10. J.C Clemente 8
H0 : Ef ectoA = 0HA : Ef ectoA =0
H0 : Ef ectoB = 0HA : Ef ectoB =0
H0 : Ef ectoC = 0HA : Ef ectoC =0
H0 : Ef ectoAB = 0HA : Ef ectoAB =0
H0 : Ef ectoAC = 0HA : Ef ectoAC =0
H0 : Ef ectoBC = 0HA : Ef ectoBC =0
H0 : Ef ectoABC = 0HA : Ef ectoABC =0
Apuntar de nuevo esto, esta mal
c.2 Sumatoria de Cuadrados
( Y i)2 (1299,2)2
SCT OT ALES = Ci − k
= 105671,08 − = 176,4
n2 16
(a+ab+ac+abc−(1)−b−c−bc)2 (153,2+157,5+169,2+169,7−153,3−161,4−169−165,9)2
SCA = = =0
n2k (2)23
(b+ab+bc+abc−(1)−a−c−ac)2 (161,4+157,5+165,9+169,7−153,3−153,2−169−169,2)2
SCB = = = 6,025
n2k (2)23
(c+ac+bc+abc−(1)−a−b−ab)2 (169+169,2+165,9+169,7−153,3−153,2−161,4−157,5)2
SCC = = = 146,41
n2k (2)23
(ab−b−a+abc+(1)−bc−ac+c)2 (157,5−161,4−153,2+169,7+153,3−165,9−169,2+169)2
SCAB = = = 0,0025
n2k (2)23
((1)−a+b−ab−c+ac−bc+abc)2 (153,3−153,2+161,4−157,5−169+169,2−165,9+169,7)2
SCAC = = =4
n2k (2)23
((1)+a−b−ab−c−ac+bc+abc)2 (153,3+153,2−161,4−157,5−169−169,2+165,9+169,7)2
SCBC = = = 14,062
n2k (2)23
(abc−bc−ac+c−ab+b+a−(1))2 (169,7−165,9−169,2+169−157,5+161,4+153,2−153,3)2
SCABC = = = 3,422
n2k (2)23
SCERROR = SCT OT ALES − SCief ecto = 2,141
c.3 Cuadrados Medios
5
Calculamos los cuadrados medios
CMA = 0
CMB = 6,025
CMC = 146,41
CMAB = 0,0025
CMAC = 4
CMBC = 14,062
CMABC = 3,422
SCerror 2,141 2,141
CMerror = 3 = 3 = = 0,2676
2 (n − 1) 2 (2 − 1) 8
c.4 F de Snedecor
5 Los grados de libertad de cada efecto es 1, debido a que tenemos 16 datos, los grados de libertad ser´n 15, como el error
a
utiliza 8 grados de libertad los 7 restantes por lo tanto estar´n en cada uno de los efectos.
a

11. J.C Clemente 9
SCA 0
F0 = = =0
CMerror 0,2676
SCB 6,025
F0 = = = 22,51
CMerror 0,2676
SCC 146,41
F0 = = = 547,12
CMerror 0,2676
SCAB 0,0025
F0 = = = 0,0093
CMerror 0,2676
SCAC 4
F0 = = = 14,94
CMerror 0,2676
SCBC 14,062
F0 = = = 52,54
CMerror 0,2676
SCABC 3,422
F0 = = = 12,78
CMerror 0,2676
(1,8)
Fcrit = 5,32
c.5 Concluimos con
A
F0 < Ftabla Se acepta H0 No hay efecto de A
B
F0 > Ftabla Se rechaza H0 Si hay efecto de A
C
F0 > Ftabla Se rechaza H0 Si hay efecto de A
AB
F0 < Ftabla Se acepta H0 No hay efecto de A
AC
F0 > Ftabla Se rechaza H0 Si hay efecto de A
BC
F0 > Ftabla Se rechaza H0 Si hay efecto de A
ABC
F0 > Ftabla Se rechaza H0 Si hay efecto de A

12. J.C Clemente 10
2. Analisis de Regresi´n Lineal
o
2.1. Regresi´n Lineal Simple
o
Explica en forma matem´tica el comportamiento de una variable de respuesta en funci´n de una
a o
variable independiente.
2.1.1. Ejemplo
En un laboratorio se requiere investigar la forma en que se relaciona la cantidad de fibra en la pulpa
de celulosa con la resistencia del papel como producto. Los datos obtenidos en un estudio experimental
se muestran a continuaci´n:
o
% Fibra Resistencia Xi2 Y i2 XiY i
1 4 134 16 17956 536
2 6 145 36 21025 870
3 8 142 64 20164 1136
4 10 149 100 22201 1490
5 12 144 144 20736 1728
6 14 160 196 25600 2240
7 16 156 256 24336 2496
8 18 157 324 24649 2826
9 20 168 400 28224 3360
10 22 166 484 27556 3652
11 24 167 576 27889 4008
12 26 171 676 29241 4446
13 28 174 784 30276 4872
14 30 183 900 33489 5490
Σ 238 2216 4956 353342 39150
Cuadro 9: Tabla de datos
Podemos llegar simple y llanamente a la ecuac´on de linea recta.
ı´
Y = b0 + b1 X
( Xi)( Y i)
XiY i − n
b1 = ( Xi)2
Xi2 − n
Yi Xi
b0 = − (b1 )( )
n n
Basta con obtener las sumatorias para sustituirlas en este modelo de regresi´n.
o
(238)(2216)
39150 − 14
b1 = = 1,6241
2
4956 − (238)
14
2216 238
b0 = − (1,6241)( ) = 130,6747
14 14
La linea Recta que explica la relaci´n es
o
Y = 130,6747 + 1,6241X
6
Para poder hacer estimaciones con presici´n aceptable, se obtiene el coeficiente de determinaci´n
o o
6 Por R2 aplica al 93 % de los casos α = 0.07
Por R2 ajustada si se puede utilizar para predicci´n
o

13. J.C Clemente 11
R2 que mide la proporci´n de la variabilidad en los datos. Para R2 (Determinaci´n)
o o
SCR Suma de Cuadrados de Regresi´n
o
R2 = =
SCT Suma de Cuadrados Totales
2 ( Y i)2
SCT = Yi −
n
( Y i)2
SCR = b0 Y i + b1 XiY i −
n
(2216)2
SCT = 353342 − = 2580,8571
14
(2216)2
SCR = 139,6747(2216) + 1,6241(39159) − = 2400,5318
14
SCR 2580,8571
R2 = = = 0,930
SCT 2400,5318
Para R2 Ajustada
2 CMtotales − CMerror
Rajustado = = 0,9243
CMtotales
SCT 2580,8571
CMtotales = = = 198,5274
n−1 13
SCE = SCT − SCR = 180,3252
SCE 180,3252
CMerror = = = 15,0279
12 12
R2 ajustado Debe ser mayor a 0.7 para utilizar el modelo para fines de predicci´n.
o
¿Que pasaria si el porcentaje de fibra es del 25 %? (en unidades de resistencia)
Y = 130,6747 + (1,6241)(25) = 171,27
El coeficiente de correlaci´n (asociaci´n) mide la intensidad de la relaci´n lineal entre dos variables.
o o o
Coeficiente de correlaci´n (0 ≤ R ≤ 1)
o
√
R= R2 = 0,9644
Relaci´n o asociaci´n fuerte entre las variables. Si hay efecto del porcentaje de fibra
o o

14. J.C Clemente 12
2.1.2. Ejercicio
En un proceso de manufactura se utiliza una herramienta de corte y se requiere investigar la relaci´n
o
entre la velocidad de corte (metros por minuto) y tiempo de vida de la herramienta (horas). De acuerdo
a los siguientes datos determine si se puede utilizar el an´lisis de regresi´n como modelo de predicci´n.
a o o
Velocidad Vida
1 20 8.7
2 20 9.5
3 25 8.5
4 25 7.7
5 25 8.4
6 30 8
7 30 5.3
8 30 7.3
9 35 7.8
10 35 5.7
11 35 6.1
12 40 4.3
13 40 4.2
390 91.5
Cuadro 10: Tabla de datos

15. J.C Clemente 13
22 de Mayo: Tarea
29 de Mayo: Trabajo7 (enviar por mail)
8
29 de Mayo: Se pod´n entregar los apuntes a cuenta de trabajo
a
5 de Junio: Examen ejercicio 23 (7:00 - 7:30)
7 Escoger 1 art´ıculo de los enviados por mail para incluir un resumen del mismo dentro del trabajo
8 ser´
a necesario agregar el resumen del art´
ıculo

16. J.C Clemente 14
Referencias
[1] Douglas C. Montgomery Die˜o y An´lisis de Experimentos. M´xico D.F.: Limusa Wiley 2a edici´n
n a e o
2004.

17. J.C Clemente i
A. Ap´ndice
e
Adjunto agregamos varias tablas de referencia.