Este documento contiene 26 problemas de álgebra lineal y geometría en Rn relacionados con vectores, rectas, planos y curvas paramétricas. Los problemas incluyen verificar identidades con normas de vectores, determinar ángulos entre vectores, encontrar ecuaciones de rectas y planos, y calcular puntos tangentes y de mínima distancia para curvas dadas paramétricamente. El documento fue emitido por el Laboratorio 01 de Matemática III de la Universidad Nacional Santiago Antunez de Mayolo para el semestre 2006-I.

1. Universidad Nacional
"Santiago Antunez de Mayolo"
Laboratorio 01 de Matematica III
Docente : Lic. Angel Yglesias Jauregui.
Escuela : Ingeniera Civil.
Semestre : 2006-I.
Cuestionario
1. Sean W1 y W2 dos vectores de R3. Veri

2. -
que que:
(a). ∥w1 + w2∥2 = ∥w1∥2 + 2⟨w1;w2⟩ +
∥w2∥2.
(b). ∥w1 w2∥2 = ∥w1∥2 2⟨w1;w2⟩ +
∥w2∥2.
(c). w1 y w2 son ortogonales si y solo s ∥w1+
w2∥ = ∥w1 w2∥.
2. Sea fw1;w2;w3g un conjunto de vectores
unitarios de R3, y ortogonales entre si (se
dice que son ortonormales). Si w = 1w1+
2w2+3w3 es un vector unitario. Pruebe
que las constantes i, i = 1; 2; 3 son los
cosenos de los angulos i formados por w
y wi.
3. Considere el vector u = (1; 2;1). (a) Ob-
tenga dos vectores no nulos de R3 u1, u2,
ortogonales a u y ortogonales entre si. (b)
Sea v un vector ortogonal a u, pruebe que
v se escribe como una combinacion lineal
de los vectores u1, u2, obtenidos en (a).
4. Pruebe que si u, v son dos vectores no
nulos de R3 tal que u v = 0, entonces
u = rv, para algun numero real r no nulo.
5. Sean u1, u2 dos vectores no paralelos de
R3. Si u; u1 = 0 y u; u2 = 0, en-
tonces u = (u1 u2), para algun numero
real .
6. Cada pareja de los vectores u, v, w em
Rn forma un angulo de =3. Si ∥u∥ = 1,
∥v∥ = 2 y ∥w∥ = 3, calcule ∥u + v + w∥.
7. Sean u y v dos vectores no nulos de Rn
tales que ∥u∥ = ∥v∥ = ∥uv∥. Demuestre
que el angulo entre u y v es de =3. Cual
es el angulo entre u y u v?, y entre v y
uv? Discuta el contenido geometrico de
este ejercicio en el caso n = 2.
8. Como calcula usted la distancia de un
punto a una recta?, de un punto a un
plano? discuta varios casos.
9. Suponga que los vectores u, v forman en-
tre si un angulo de =4, demuestre que
u; v = ∥u v∥.
10. Suponga que los vectores u, v forman entre
s un angulo de =6. Si ∥u∥ = 6, ∥v∥ = 5,
calcule ∥u v∥.
11. Encuentre el angulo que forman los planos
P1 : x + y = 1 y P2 : y + z = 2.
12. Determine la normal al plano: (a) cuyas
ecuaciones parametricas son: x = 23t+s,
y = 8t+7s, z = 4+3s. (b) P = f(6; t; s
t)=t; s 2 Rg. (c) el plano que pasa por los
puntos (2;1; 3), (11;13; 6) y (5; 5; 5).
13. Determine la ecuacion del plano, si: (a) Pa-
sa por el punto (1;4; 3) y tiene normal
paralela a la recta que pasa por los puntos
(2;1; 3) y (4; 8; 0). (b) contiene a la recta
L = f(1; 2 + 3t; 2 + t)=t 2 Rg y el punto
(2;3; 8).
14. Encuentre la ecuacion de la recta que: (a)
Pasa por el punto (1; 2; 3) y es ortogonal al
plano f(2; 1;1)+u(1; 1; 1)+v(1; 1; 0)=u; v 2
Rg. (b) pasa por el punto (0; 2;2) y es or-
togonal al plano que pasa por los puntos
(2; 1;1), (3; 1; 0) y (4;6; 2).
15. Determine el punto donde la recta que pa-
sa por (1; 3; 1) es ortogonal al plano P :
3x 2y + 5z = 15, e intercepta a P.
16. Demuestre que los planos P1 = f(2; 0; 4)+
u(1; 7; 3) + v(3; 8; 0)=u; v 2 Rg y P2 =
f(3; 2; 3)+s(4;1; 3)+t(9; 5; 9)=u; v 2 Rg
son paralelos. Encuentre la distancia entre
P1 y P2.
17. Encuentre la ecuacion del plano que con-
tiene a la recta L = f(1; 1; 1)+t(5;2; 3)=t 2
Rg y al punto (1; 2;3).
18. Considere los planos de R3 determinados
por las ecuaciones p p0; u1 = 0 y
p p0; u2 = 0, donde u1, u2 no son
paralelos. Sea u = u1 u2. (a) Veri

3. que
que la recta determinada por p = p0 +
tu est+a contenida en los dos planos. (b)
Pruebe que si p es un punto que pertenece
a ambos planos, entonces p = p0 + t0u.
19. Encuentre un plano que pase por el origen
y cruce al plano P : 2x + 3y + z = 12
en angulo recto. Como sabe Usted que su
plano es perpendicular a P?.

4. 20. Sea f : [0; 2] ! R2 el camino tal que
f(t) = (a cos t; b sin t), donde a y b son
dos reales positivos. Demuestre que f(t)
es ortogonal a f
′
(t) para todo t 2 [0; 2],
si y solo s a = b. Interprete este hecho
geometricamente.
21. Determine para que valores de t el vector
tangente al camino f : R ! R2 tal que
f(t) = (2t2+1; 3t2), es paralelo al vector
V = (2;1).
22. Considere el camino f : I R ! R2, tal
que f = (t; ϕ(t)). Demuestre que la ecua-
cion de la recta tangente a la gra

5. ca de la
funcion ϕ (donde, ϕ : I ! R) en el punto
x = x0 2 I es: y = ϕ′(x0)(x x0) + ϕ(x0).
23. Determinar los puntos en que la recta tan-
gente a la curva descrita por el camino f :
R ! R3, dado por f(t) = (3tt3; 3t2; 3t+
t3) es paralela al plano P : 3x+y +z = 5.
24. Hallar el punto de la imagen de f(t) =
(t + 1; 3t 2; 2t 1), que este mas cerca
del origen.
25. Demuestre que el punto p sobre la imagen
del camino f(t) = (at + ; bt +

6. ; ct +
),
esta mas cerca del origen es p = f(t0),
donde t0 = a+b

7. +c
a2+b2+c2 .
26. Proporcione una funcion que tenga como
rango la curva determinada por un pun-
to p

8. jo en una circunferencia de radio 1,
la cual rueda sobre el lado interior de un
crculo de radio 4. La curva mencionada se
llama hipocicloide. Use el parametro t.
Huaraz, 07 de Junio del 2006.