sucesiones

1. Universidad de oriente
núcleo de Monagas
matemática (008-1613)
Progresiones y sucesiones aritméticas
Profesora : Bachilleres:
Coraspe milagros figueroa vanessa
C.I:8.355.808 C.I: 27809460
Garcia alejandra
C.I:29879404
Maturin,26 marzo 2018

2. Progresiones Aritméticas
O Una progresión aritmética es un tipo de
sucesión, es decir, una colección
ordenada e infinita de números reales,
donde cada término se obtiene sumando
una cantidad constante al anterior.

3. O Ejemplo
O Si consideramos la sucesiones que tiene
como primeros términos:

4. O Y, en cada una de ellas calculamos la
diferencia entre cada término y el anterior:
O En ,

5. O En los tres casos se encuentra que estas
diferencias valen siempre el mismo
valor: en la primera sucesión, en la
segunda y en la tercera.
O Dicho de otra forma, cada término se
obtiene sumando a el anterior un mismo
número.

6. Suma de términos de una progresión aritmética
O El objetivo es encontrar una fórmula que nos permita
calcular la suma de los primeros términos de una
progresión aritmética sin necesidad de calcularlos.
O Consideremos la progresión aritmética: .
Consideremos solamente los seis primeros términos:
O Los representamos en una cuadrícula, juntamente
con ellos mismos colocados de forma invertida
O La suma de los primeros seis términos es el área
limitada por el polígono rojo, que por construcción,
coincide con la del polígono blanco, y ambas son la
mitad que el área del rectángulo entero.

7. O El hecho de haber obtenido un rectángulo nos refleja una
importante propiedad de las progresiones aritméticas. Se
observa que la base del rectángulo tiene como longitud la
suma del primer y el sexto términos, que coincide con la
suma del quinto y el segundo, y con la suma del tercero y
el cuarto; y estos tres pares de términos, son equidistantes
de los extremos primero y sexto.
O En general se puede decir que si se consideran n términos
de una progresión aritmética la suma de dos términos
equidistantes de los extremos coincide con la suma de los
extremos (la suma del primero y el último término coincide
con la suma del segundo y el penúltimo y con la suma del
tercero y el antepenúltimo, etc, por cualquiera que sea la
cantidad de términos que estemos considerando de una
progresión aritmética).

8. formulación
O En una progresión aritmética, si se toman dos términos consecutivos cualesquiera
de esta, la diferencia entre ambos es una constante, denominada diferencia. Esto se
puede expresar como una relación de recurrencia de la siguiente manera:
O {displaystyle a_{n+1}-a_{n}=d}.Conociendo el primer término a1 y la diferencia d, se
puede calcular el enésimo término de la progresión mediante sustitución sucesiva en
la relación de recurrencia
O {displaystyle a_{1},,underbrace {(a_{1}+d)} _{a_{2}},,(underbrace {underbrace
{a_{1}+d} _{a_{2}}+d} _{a_{3}}),,cdots ,,,(underbrace {underbrace {a_{1}+(n-2)d}
_{a_{n-1}}+d} _{a_{n}})}con lo que se obtiene una fórmula para el término general de
una progresión aritmética, escrita de manera compacta como:
O (I){displaystyle a_{n}=a_{1}+{(n-1)}{d},}
O donde d es un número real cualquiera.

9. O También se puede escribir el término general de otra forma.
Para ello se consideran los términos am y an (m<n) de la
progresión anterior y se ponen en función de a1:
O {displaystyle {begin{matrix}a_{m}=&a_{1}+(m-
1)da_{n}=&a_{1}+(n-1)dend{matrix}}}Restando ambas
igualdades, y trasponiendo, se obtiene:
O (II){displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d,}

10. O expresión más general que (I), pues da los
términos de la progresión conociendo uno
cualquiera de ellos, y la diferencia.
O Dependiendo de si la diferencia d en una
progresión aritmética es positiva, nula o negativa,
se tiene que:
• d>0: progresión creciente. Cada término es mayor
que el anterior.Ejemplo: 3, 6, 9, 12, 15, 18... (d=3)
• d=0: progresión constante. Todos los términos son
iguales.Ejemplo: 2, 2, 2, 2, 2... (d=0)
• d<0: progresión decreciente. Cada término es
menor que el anterior.Ejemplo: 5, 3, 1, -1, -3, -5, -
7... (d=-2)

11. suma
O La suma de los términos en un segmento inicial de una progresión
aritmética se conoce a veces como serie aritmética. Existe una
fórmula para las series aritméticas. La suma de los n primeros
valores de una sucesión finita viene dada por la fórmula:
O {displaystyle sum _{i=1}^{n}a_{i}={n(a_{1}+a_{n}) over
2},}donde {displaystyle a_{1}} es el primer término, {displaystyle
a_{n}} es el último y {displaystyle Sigma } es la notación
de sumatorio.
O Por ejemplo, considérese la suma:
O {displaystyle 2+5+8+11+14}La suma puede calcularse rápidamente
tomando el número de términos n de la progresión (en este caso
5), multiplicando por el primer y último término de la progresión
(aquí 2 + 14 = 16), y dividiendo entre 2. Tomando la fórmula, sería:
O {displaystyle 2+5+8+11+14={frac {5(2+14)}{2}}={frac {5times
16}{2}}=40.}

12. O Esta fórmula funciona para cualquier progresión
aritmética de números reales
conociendo {displaystyle a_{1}} y {displaystyle
a_{n}}. Por ejemplo:
O {displaystyle left(-{frac {3}{2}}right)+left(-{frac
{1}{2}}right)+{frac {1}{2}}={frac {3left(-{frac
{3}{2}}+{frac {1}{2}}right)}{2}}=-{frac
{3}{2}}.}Obtención de la fórmula
O Sea una progresión aritmética de término
general {displaystyle a_{n},} y de diferencia d, la
suma de los n términos es:
O {displaystyle sum
_{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+cdots
+(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d),}

13. O aplicando la fórmula (II), cada término a1, a2, a3, ..., am de la
progresión se puede expresar en términos del enésimo
como {displaystyle textstyle a_{m}=a_{n}-(n-m)d,}. Así :
O {displaystyle sum _{i=1}^{n}a_{i}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-
2)d)+cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n},}Sumando
miembro a miembro las dos igualdades anteriores, se
anulan todos los términos que están multiplicados por d:
O {displaystyle 2sum _{i=1}^{n}a_{i}=n(a_{1}+a_{n}),}de lo
que se obtiene que
O {displaystyle sum _{i=1}^{n}a_{i}=n{frac
{(a_{1}+a_{n})}{2}},}.

14. Términos equidistantes
O Los siete primeros términos de la progresión aritmética de término general an = 5n. Se
comprueba que la suma de los términos primero y último es igual a la suma de dos términos
equidistantes a éstos, e igual al doble del término central.
O En cualquier progresión aritmética de diferencia d la suma del primer y último término es
igual a la del segundo y el penúltimo, a la del tercero y el antepenúltimo, y así
sucesivamente. Es decir, la suma de dos términos equidistantes de los extremos es
constante, siempre que (n-k)≥1.
O {displaystyle a_{1}+a_{n}=a_{1+k}+a_{n-k}=2a_{1}+(n-1)d=mathrm {cte} ,}Si la progresión
cuenta con un número impar de términos, el término central ac es aquél que por el lugar que
ocupa en la progresión equidista de los extremos a1 y an de ésta.
O Representado de esta manera, es muy sencillo deducir la fórmula de la suma de
los n términos de la progresión, anteriormente descrita. Para el caso en el que el número de
términos es par, hay n/2 sumas contantes, con valor (a1 + an). Para el caso impar, hay (n-
1)/2 sumas con valor (a1 + an) más el término central, que está ubicado en la posición
O {displaystyle c={frac {n+1}{2}},}.

15. O equidistantes a éstos, e igual al doble del término central.
O En cualquier progresión aritmética de diferencia d la suma del primer y último término es
igual a la del segundo y el penúltimo, a la del tercero y el antepenúltimo, y así
sucesivamente. Es decir, la suma de dos términos equidistantes de los extremos es
constante, siempre que (n-k)≥1.
O {displaystyle a_{1}+a_{n}=a_{1+k}+a_{n-k}=2a_{1}+(n-1)d=mathrm {cte} ,}Si la progresión
cuenta con un número impar de términos, el término central ac es aquél que por el lugar que
ocupa en la progresión equidista de los extremos a1 y an de ésta.
O Representado de esta manera, es muy sencillo deducir la fórmula de la suma de
los n términos de la progresión, anteriormente descrita. Para el caso en el que el número de
términos es par, hay n/2 sumas contantes, con valor (a1 + an). Para el caso impar, hay (n-
1)/2 sumas con valor (a1 + an) más el término central, que está ubicado en la posición
O {displaystyle c={frac {n+1}{2}},}.Sustituyendo c en la fórmula (I) y operando un poco, el
término también queda representado en función de (a1 + an), como
O {displaystyle a_{c}={frac {2a_{1}+(n-1)d}{2}}={frac {a_{1}+a_{n}}{2}},}por lo que en total,
hay n/2 sumas con valor (a1 + an) como en el caso par y la fórmula queda validada para
todo n.

16. Ejemplos notables
O Hallar la suma de los n primeros enteros positivos, corresponde a calcular la serie
aritmética de los n términos de la progresión aritmética de diferencia d=1 y término
inicial a1=1:
O {displaystyle 1+2+cdots +n={frac {n(n+1)}{2}},}que, para cada valor de n, también
se conoce como número triangular.
O Una historia muy conocida es la del descubrimiento de esta fórmula por Carl
Friedrich Gauss cuando tenía diez años. Su maestro, en la primera clase de
aritmética, pidió a sus alumnos hallar la suma de los 100 primeros números y él
calculó el resultado de inmediato: 5050.1

17. producto
O Producto[editar]
O El producto de los términos de una progresión aritmética
finita cuyo término inicial es a1, diferencia d, y n elementos
en total está determinado por la expresión en forma
cerrada
O {displaystyle prod _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}a_{2}cdots
a_{n}=d{frac {a_{1}}{d}}dleft({frac
{a_{1}}{d}}+1right)dleft({frac {a_{1}}{d}}+2right)cdots
dleft({frac {a_{1}}{d}}+n-1right)=d^{n}{left({frac
{a_{1}}{d}}right)}^{overline {n}}=d^{n}{frac {Gamma
left({frac {a_{1}}{d}}+nright)}{Gamma left({frac
{a_{1}}{d}}right)}},}donde {displaystyle x^{overline
{n}}} denota el factorial ascendente y {displaystyle Gamma
} denota la

18. Funcion gamma
O . (Nótese sin embargo que la fórmula no es válida cuando {displaystyle a_{1}/d} es un
entero negativo o cero.)
O Esto es una generalización del hecho de que el producto de la progresión {displaystyle
1times 2times cdots times n} es dado mediante el factorial {displaystyle n!} y de que el
producto
O {displaystyle mtimes (m+1)times (m+2)times cdots times (n-2)times (n-1)times
n,!}para enteros positivos {displaystyle m} y {displaystyle n} viene dado por
O {displaystyle {frac {n!}{(m-1)!}}.}

19. O Tomando la fórmula de arriba, por ejemplo, el
producto de los términos de la progresión
aritmética dada por an = 3 + (n-1)5 hasta el 50-
ésimo término es
O {displaystyle P_{50}=5^{50}cdot {frac {Gamma
left({frac {3}{5}}+50right)}{Gamma left({frac
{3}{5}}right)}}approx 3.78438times 10^{98}.}