Sucesiones, sumatorias, y progresiones (aritméticas y geométricas)

1. UNIVERSIDAD DE ORIENTE
DEPARTAMENTO SOCIO HUMANÍSTICO
MATEMÁTICA I
NÚCLEO MONAGAS
Sucesiones, Sumatorias y Progresiones
(Aritméticas y Geométricas)
Profesora:
Milagros Coraspe
Integrantes:
Pantoja Lianys C.I 27.118.572
Prado Reymari C.I 26.984.646
Maturín, Febrero 2017

2. Estos temas se dice que fueron estudiados por los
babilonios en la época babilónica (2000 a.C), también
pudieron encontrarse que los egipcios y árabes también
los estudiaron e incluso hallaron fórmulas, fueron
encontrando los por artes, las secesiones fueron primero
para luego multiplicar el termino anterior por un numero
fijo y sacaron las progresiones y luego encontraron en
una progresión de forma aritmética y geométrica. En
épocas recientes, el estudio de las progresiones y de su
sumas aparece relacionado con la aproximación de
números irracionales o de funciones.

3. Es aquella en la cual la diferencia entre dos términos
consecutivos es una constante. La formula para el termino general
de una sucesión aritmética es
an + b en donde a y b son constantes y n es el numero del termino
deseado.
Ejemplo:
Notemos la sucesión: 8,11,14,17,20,23,26
La diferencia entre cualquier termino y el anterior es 3 de modo que
el termino general de la sucesión es: 3n+5.
Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer termino, en
donde n=1.
De esta forma, 3(1)+b=8, y por lo tanto b=5.
Por lo tanto, el termino general de la sucesión es 3n+b.
Si queremos encontrar el termino 25 de la sucesión, sustituimos 25
en la anterior formula: 3(25)+25=80.
De modo que el termino 25 de la sucesión tiene el valor de 80.
Si queremos encontrar la suma de los primero 12 términos de esta
sucesión utilizamos la formula a = 3b = 5 y n =12.
3
2
(12)(12+1)+5(12)=294.

4. Encontrando el termino
N-esimo
(pasos)
1. Determinar el valor de a(1). Es
el primer termino de la
sucesión.
2. Realizar la diferencia d entre
dos términos consecutivos en la
sucesión, esa diferencia b debe
ser igual ara cualquier par de
términos escogidos.
3. Comprobar el resultado dado,
haciendo la respectiva sucesión
paso a paso.
Si no tenemos una sucesión,
entonces utilizamos la formula
cuando tenemos un termino y la
constante o distancia entre dos
términos.

5. Una sucesión geométrica es aquella en la cual el cociente
entre dos términos consecutivos es una constante llamada
razón r y puede ser positiva o negativa .
Ejemplo:
Sea la sucesión 5,15,45,135,405,1215 es geométrica porque
cada termino es multiplicado por la misma constante que es
3.
Sea la sucesión -2, 4, -8, 1, -32, 64,… es geométrica porque
cada términos multiplicado por la misma constante, que es 2.
Notación:
Comúnmente se denominan los términos de una sucesión del a siguiente manera:
a(1) = primer termino de la sucesión
a(2) segundo termino de la sucesión
a(n) = n-esimo termino de la sucesión
r= razón
El n-esimo termino de una sucesión geométrica es la regla que determina como se
calculan los términos de la misma

6. • Convergente: son las sucesiones que tienen limite finito: 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
,…
1
𝑛
.
• Divergentes: estas no tienen limite finito: 5,7,9,11,13,… 2n + 3
limite: ∞
• Oscilante: estas no son convergente ni divergentes. Sus términos
alternan de mayor a menor y viceversa: 1,0,3,0,5,0,7.
• Alternas: son aquellas que alternan los signos de sus términos:
• -1,2,-3,4,-5…(−1) 𝑛
n
Tipos de Sucesiones:

7. Para saber lo que es una suma aritmética y geométrica debemos de conocer lo
que es sucesión y progresión, ya que esto no es mas que la suma de los términos de
estas.
La suma de los términos en un segmento inicial de una progresión se conoce a
veces como serie. Existe una formula para las series. La suma de los n rimeros
valores de una sucesión finita viene dada por la formula:
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 =
𝑛(𝑎1 + 𝑎 𝑛)
2
Donde 𝑎1 es el primer termino, 𝑎 𝑛 es el ultimo y ∑ es la notación del sumatorio
Por ejemplo:
2+5+8+11+14 La suma puede calcularse rápidamente tomando el numero de
términos n de la progresión ( en este caso 5), multiplicando el primer y ultimo termino
de la progresión ( aquí 2 + 4 =16), y dividiendo entre 2. Tomando la formula seria:
2+5+8+11+14 =
5(2+14)
2
=
5𝑥16
2
= 40 Esta formula funciona para cualquier
progresión aritmética de números reales conociendo 𝑎1, 𝑎 𝑛.

8. Es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos
cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada
«𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛» , «𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎» o incluso «𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎».
Por ejemplo:
3, 5, 7, 9, es una progresión aritmética de diferencia constante 2 .
Términos y diferencia de
una progresión aritmética:
𝑎1= Primer término.
𝑎2 = Segundo término.
𝑎3 = Tercer término.
𝑎4 = Cuarto término.
𝑎 𝑛 = Ultimo término.
Termino General:
En todas las progresiones aritméticas se
puede encontrar una expresión que
permite obtener cualquier termino,
sabiendo el lugar que ocupa. A esta
expresión se le denomina termino general
de la progresión aritmética

9. Es una secuencia en la que el elemento siguiente se obtiene
dividiendo el elemento anterior por una constante denominada
razón o factor de la progresión. Se suele reservar el termino
progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de
términos mientras que se usa sucesión o serie cuando hay una
cantidad infinita de términos así: 5, 15, 45, 135, 405,… Es una
progresión geométrica con razón igual a 3, porque cada elemento
es el triple del anterior. Se puede obtener el valor de un elemento
arbitrario de la secuencia mediante la expresión del termino
general, siendo an el termino en cuestión, 𝑎1 al primer termino y r,
la razón:
an = 𝑎1 • 𝑟(𝑛−1)
.

10. Clasificación progresión geométrica:
Ascendente: aquella en que cada termino tiene mayor valor que el ascendente
Descendente: aquella en que cada termino tiene menor valor que el antecedente.

11. Se han obtenido conjunto de números cuyos términos
cumplen una determinada regla lo que nos permite
encontrar en otros términos de manera única. Es decir,
se puede determinar cual es el primer termino, cual es el
segundo y así sucesivamente.
Esta forma de proceder es valida para resolver
cualquier otro tipo de ejercicio, pues la esencia es
encontrar como se obtienen unos términos a partir de
otros dados o la regla de formación.

12. www.thelles.es/matematicas/progresiones.com
Anónimo, 2015
www.vitutor/sucesiones.com
Autor: Giménez Luis. Junio 2016
www.hiru.es.matematicas.progresiones.sucesiones.geometricas.com
anónimo,
www.vandenumeros.es.com
anónimo, noviembre 2014