Progresiones aritméticas y geométricas

1. UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NUCLEO DE MONAGAS
UNIDAD DE ESTUDIOS BÁSICOS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
SECCION DE MATEMATICAS
MATEMATICA I
BACHILLERES:
Ángelica Velásquez
Lisette Penagos
Samuel Alfonzo
MATURIN, NOVIEMBRE DE 2017
PROFESORA: Milagros Coraspe

2. Progresiones es una sucesión de números
entre los cuales hay una ley de formación
constante. Se distinguen dos tipos: Progresión
aritmética: aquella en que la diferencia entre
sus términos es constante. Progresión
geométrica: aquella en que la razón o cociente
entre sus términos es constante.
Las progresiones muestra la forma de obtener
los términos de una progresión, su término
general y la suma de los términos.

3.  Una sucesión se dice que es una progresión
aritmética (PA) si la diferencia entre cualquier
término y el anterior es la misma a lo largo de
toda la sucesión.
 La diferencia entre cada término y el anterior se
denomina diferencia común y se denota por “d”.

4. Si a es el primer término y d la diferencia común de una
PA, los términos sucesivos son: a, a+d, a+2d, a+3d,… por
lo tanto, el n-ésimo término, o término general está dado
por:
◦an = a1 + (n - 1)d

5.  Ejemplos:
Los pagos mensuales que José realiza al banco por un
préstamo, forma una PA. Si sus pagos sexto y décimo son de
3.450 Bs y 3.330 Bs, respectivamente ¿de cuánto será su
décimo quinto pago pago al banco?
Datos:
a6= 3.450 Bs FORMULA
a10= 3.330 Bs n= a+(n-1)d
a15= ?
n= 15 Sustituimos la formula:
a6 = a+(6-1)d= 3.450
a10 = a+(10-1)=3.330

6. Despejamos d
4
d= 120
=-30
Calculamos a (sustituyendo el valor de d)
𝑎 + 5𝑑 = 3450
𝑎 + 5 −30 = 3450
𝑎 - 150 = 3450
𝑎 = 3450 + 150 = 3600

7. Tenemos:
si n=15
a15 = 3600 + (15 − 1)(−30)
a15 = 3600 + (14)(−30)
a15 = 3600 − 420
a15 = 3180 Bs
Entonces: la cuota décimo quinta será de Bs 3.180

8.  Una persona comienza un trabajo en el cual el monto de su
pago mensual está en PA. Sabiendo que el décimo mes
recibió 36.443 Bs y el décimo quinto mes recibió 54.223
determine:
a) El monto del pago correspondiente al décimo sexto mes.
b) ¿En que número de mes recibe un pago de 82.671?
Sean a y d el primer termino y la diferencia de la PA. Luego:
a10 =36.443 ⇔ a + 9d=36.443
a15= 54.223 ⇔ a + 14d= 54.223

9. Del sistema de ecuaciones
(-1) a + 9d=36.443
a + 14d= 54.223
5d= 17.780
d= 17.780 =3.556
5
Calculamos a: a+9d=36.443
a+9 (3.556)=36.443
a+32.004= 36.443
a=36.443 – 32004= 4.439
Se obtiene que a= 4.439, d= 3.556

10. a16 =4.439 + (16-1) (3.556) = 57.779
a) Entonces, el décimo sexto mes se pago Bs 57.779.
Sea n el numero del mes
an =82.671 ⇔ 4.439+ (n-1) . 3.556= 82.671
(n-1) .3.556=82671-4.439
(n-1) . 3.556 = 78.232
n-1= 78.232/3.556
n-1= 22
n=22+1= 23
b) Entonces el mes número 23 recibió 82.671 Bs

11.  Sea P una cantidad de dinero invertida a una
tasa de interes anual del R por ciento. En un
año, la cantidad de interes ganada esta dada
por:
I = 𝑃 +
𝑅
100

12. Si la inversión es a interés simple, la sucesión
de los valores anuales de la inversión son:
P, P+I, P+2I, P+3I,…
Forman una PA cuyo primer término es R y
diferencia común I. Después de t años el valor
está dado por:
v𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑡 𝑎ñ𝑜𝑠 = 𝑃 + 𝐼. 𝑡

13.  Ejemplo:
Se invierte una suma de 2000 Bs con interés simple a una
tasa de interés anual del 15%.
a) Encontrar una expresión para el valor de la inversión t
años después de que se realizó.
b) Calcular el valor después de 5 años.
Datos:
P=2000 Bs FORMULAS
R= 15% I = 𝑃 +
𝑅
100
a) Después de t años= ? 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 𝑡 𝑎ñ𝑜𝑠 = 𝑃 + 𝐼. 𝑡
b) Después de 5 años= ?
t= 5

14. Solución:
I = 𝑃 +
𝑅
100
= 2000 +
15
100
= 300
a) 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 𝑡 𝑎ñ𝑜𝑠 = 2000 + 300 . 𝑡
b) 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢é𝑠 𝑑𝑒 5 𝑎ñ𝑜𝑠 = 2000 + 300 5 = 3500 Bs

15.  Si a es el primer termino y r la razón común de una PG,
los términos sucesivos son:
𝑎, 𝑎𝑟, 𝑎𝑟2, 𝑎𝑟3, 𝑎𝑟4, …
 Así que el n-ésimo término general esta dado por:
n= 𝑎 . 𝑟 𝑛−1

16.  Si a es el primer término y r la razón común
e una PG, entonces la suma de n términos
esta dada por:
𝑆𝑛 =
𝑎(1 − 𝑟 𝑛
)
1 − 𝑟

17.  Ejemplos:
Una persona decide donar una cierta cantidad de dinero
mensualmente a una fundación benéfica. Estos montos
mensuales se encuentran en PG. Se sabe que el séptimo mes
donó 768 millones de Bs y el décimo mes 6.144 millones.
a) Determinar el monto donado en el vigésimo segundo
mes.
b) Determinar el monto total de dinero donado, después de
transcurrido un año.
Sean a y r el primer termino y la razón:
a7 =768 ⇔ ar6 = 768
a10 = 6.144 ⇔ ar9 = 6.144

18. Dividiendo ambas ecuaciones, se tiene: ar9= 6.144
ar6 768
⇔ r3 = 8
⇔ r= 2
Reemplazando en ar6 = 768 se obtiene: a . 26 = 768
a. 64=768
a=768/64=12
⇔ a= 12

19. a) El monto donado en el vigésimo segundo mes es:
a22 = 12 . 221
a22 = 12 . 2.097.152=25.165.824 millones de Bs.
b) El monto total de dinero donado, después de transcurrido un
año es:
S22 =12 (1-212)=49.140
1-2

20.  Ricardo inicia guardando 20.000 bs y por cada día que pasa
después del primero, guarda la mitad de lo que guardó el día
anterior. ¿Cuánto tendrá guardado a los 10 días?
Datos:
a1 = 20.000
n= 10 FORMULA
r= ½ = 0.5 Sn = a (1-rn)
Sn= ? 1-r

21. Sn = 20.000 (0.0510 -1)
0.5 - 1
Sn = 20.000 (0.0009765 -1)
0.5 - 1
Sn = 20.000 (-0.999) = -19.980,47=
0.5 -0.5
Sn= 39.960,94
A los diez días Ricardo tendrá guardado 39.960,94 bs.

22. Las progresiones aritméticas y geométricas se
puede decir que son de gran importancia al
estar en nuestro camino de formación como
profesionales, para una mejor formación
académica, ya que en algún momento de
nuestro día a día pondremos en practica dicho
tema.