progresiones aritmeticas

1. U N I V E R S I DA D D E O R I E N T E
N Ú C L E O D E M O N AG A S
M A T E M Á T I C A I ( 0 0 8 - 1 6 1 3 )
Progresionesy sucesionesaritméticas
Profesora : Bachiller:
Coraspe milagros lopez lisbeth
C.I:8.355.808 C.I: 27660882
Maturin,26 marzo 2018

2. PROGRESIONES ARITMÉTICAS
 Una progresión aritmética es un tipo de sucesión, es decir,
una colección ordenada e infinita de números reales, donde
cada término se obtiene sumando una cantidad constante al
anterior.

3.  Ejemplo
 Si consideramos la sucesiones que tiene como primeros
términos:

4.  Y, en cada una de ellas calculamos la diferencia entre
cada término y el anterior:
 En ,

5.  En los tres casos se encuentra que estas diferencias
valen siempre el mismo valor: en la primera sucesión, en la
segunda y en la tercera.
 Dicho de otra forma, cada término se obtiene sumando a
el anterior un mismo número.

6. S U M A D E T É R M I N O S D E U N A P R O G R E S I Ó N
A R I T M É T I C A
 El objetivo es encontrar una fórmula que nos permita calcular la suma de los
primeros términos de una progresión aritmética sin necesidad de calcularlos.
 Consideremos la progresión aritmética: . Consideremos solamente los seis
primeros términos:
 Los representamos en una cuadrícula, juntamente con ellos mismos colocados
de forma invertida
 La suma de los primeros seis términos es el área limitada por el polígono rojo,
que por construcción, coincide con la del polígono blanco, y ambas son la mitad que
el área del rectángulo entero.

7.  El hecho de haber obtenido un rectángulo nos refleja una importante propiedad
de las progresiones aritméticas. Se observa que la base del rectángulo tiene como
longitud la suma del primer y el sexto términos, que coincide con la suma del quinto
y el segundo, y con la suma del tercero y el cuarto; y estos tres pares de términos,
son equidistantes de los extremos primero y sexto.
 En general se puede decir que si se consideran n términos de una progresión
aritmética la suma de dos términos equidistantes de los extremos coincide con la
suma de los extremos (la suma del primero y el último término coincide con la suma
del segundo y el penúltimo y con la suma del tercero y el antepenúltimo, etc, por
cualquiera que sea la cantidad de términos que estemos considerando de una
progresión aritmética).

8. FORMULACIÓN
 En una progresión aritmética, si se toman dos términos consecutivos cualesquiera de
esta, la diferencia entre ambos es una constante, denominada diferencia. Esto se puede
expresar como una relación de recurrencia de la siguiente manera:
 {displaystyle a_{n+1}-a_{n}=d}.Conociendo el primer término a1 y la diferencia d, se
puede calcular el enésimo término de la progresión mediante sustitución sucesiva en la
relación de recurrencia
 {displaystyle a_{1},,underbrace {(a_{1}+d)} _{a_{2}},,(underbrace {underbrace
{a_{1}+d} _{a_{2}}+d} _{a_{3}}),,cdots ,,,(underbrace {underbrace {a_{1}+(n-2)d} _{a_{n-
1}}+d} _{a_{n}})}con lo que se obtiene una fórmula para el término general de una
progresión aritmética, escrita de manera compacta como:
 (I){displaystyle a_{n}=a_{1}+{(n-1)}{d},}
 donde d es un número real cualquiera.

9.  También se puede escribir el término general de otra forma. Para
ello se consideran los términos am y an (m<n) de la progresión
anterior y se ponen en función de a1:
 {displaystyle {begin{matrix}a_{m}=&a_{1}+(m-
1)da_{n}=&a_{1}+(n-1)dend{matrix}}}Restando ambas
igualdades, y trasponiendo, se obtiene:
 (II){displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d,}

10.  expresión más general que (I), pues da los términos de la progresión
conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia.
 Dependiendo de si la diferencia d en una progresión aritmética es positiva, nula
o negativa, se tiene que:
• d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior.Ejemplo: 3, 6, 9, 12, 15,
18... (d=3)
• d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales.Ejemplo: 2, 2, 2, 2, 2... (d=0)
• d<0: progresión decreciente. Cada término es menor que el anterior.Ejemplo: 5, 3, 1, -1, -3, -
5, -7... (d=-2)

11. SUMA
 La suma de los términos en un segmento inicial de una progresión aritmética se conoce a
veces como serie aritmética. Existe una fórmula para las series aritméticas. La suma de
los n primeros valores de una sucesión finita viene dada por la fórmula:
 {displaystyle sum _{i=1}^{n}a_{i}={n(a_{1}+a_{n}) over 2},}donde {displaystyle a_{1}} es el
primer término, {displaystyle a_{n}} es el último y {displaystyle Sigma } es la notación
de sumatorio.
 Por ejemplo, considérese la suma:
 {displaystyle 2+5+8+11+14}La suma puede calcularse rápidamente tomando el número de
términos n de la progresión (en este caso 5), multiplicando por el primer y último término de la
progresión (aquí 2 + 14 = 16), y dividiendo entre 2. Tomando la fórmula, sería:
 {displaystyle 2+5+8+11+14={frac {5(2+14)}{2}}={frac {5times 16}{2}}=40.}

12.  Esta fórmula funciona para cualquier progresión aritmética de números
reales conociendo {displaystyle a_{1}} y {displaystyle a_{n}}. Por ejemplo:
 {displaystyle left(-{frac {3}{2}}right)+left(-{frac {1}{2}}right)+{frac
{1}{2}}={frac {3left(-{frac {3}{2}}+{frac {1}{2}}right)}{2}}=-{frac
{3}{2}}.}Obtención de la fórmula
 Sea una progresión aritmética de término general {displaystyle a_{n},} y
de diferencia d, la suma de los n términos es:
 {displaystyle sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+cdots
+(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d),}

13.  aplicando la fórmula (II), cada término a1, a2, a3, ..., am de la progresión se puede
expresar en términos del enésimo como {displaystyle textstyle a_{m}=a_{n}-(n-
m)d,}. Así :
 {displaystyle sum _{i=1}^{n}a_{i}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+cdots +(a_{n}-
2d)+(a_{n}-d)+a_{n},}Sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores,
se anulan todos los términos que están multiplicados por d:
 {displaystyle 2sum _{i=1}^{n}a_{i}=n(a_{1}+a_{n}),}de lo que se obtiene que
 {displaystyle sum _{i=1}^{n}a_{i}=n{frac {(a_{1}+a_{n})}{2}},}.

14. TÉRMINOS EQUIDISTANTES
 Los siete primeros términos de la progresión aritmética de término general an = 5n. Se comprueba que la suma de
los términos primero y último es igual a la suma de dos términos equidistantes a éstos, e igual al doble del término central.
 En cualquier progresión aritmética de diferencia d la suma del primer y último término es igual a la del segundo y el
penúltimo, a la del tercero y el antepenúltimo, y así sucesivamente. Es decir, la suma de dos términos equidistantes de los
extremos es constante, siempre que (n-k)≥1.
 {displaystyle a_{1}+a_{n}=a_{1+k}+a_{n-k}=2a_{1}+(n-1)d=mathrm {cte} ,}Si la progresión cuenta con un número
impar de términos, el término central ac es aquél que por el lugar que ocupa en la progresión equidista de los
extremos a1 y an de ésta.
 Representado de esta manera, es muy sencillo deducir la fórmula de la suma de los n términos de la progresión,
anteriormente descrita. Para el caso en el que el número de términos es par, hay n/2 sumas contantes, con valor (a1 + an).
Para el caso impar, hay (n-1)/2 sumas con valor (a1 + an) más el término central, que está ubicado en la posición
 {displaystyle c={frac {n+1}{2}},}.

15.  equidistantes a éstos, e igual al doble del término central.
 En cualquier progresión aritmética de diferencia d la suma del primer y último término es igual a la del segundo y el
penúltimo, a la del tercero y el antepenúltimo, y así sucesivamente. Es decir, la suma de dos términos equidistantes de los
extremos es constante, siempre que (n-k)≥1.
 {displaystyle a_{1}+a_{n}=a_{1+k}+a_{n-k}=2a_{1}+(n-1)d=mathrm {cte} ,}Si la progresión cuenta con un número
impar de términos, el término central ac es aquél que por el lugar que ocupa en la progresión equidista de los
extremos a1 y an de ésta.
 Representado de esta manera, es muy sencillo deducir la fórmula de la suma de los n términos de la progresión,
anteriormente descrita. Para el caso en el que el número de términos es par, hay n/2 sumas contantes, con valor (a1 + an).
Para el caso impar, hay (n-1)/2 sumas con valor (a1 + an) más el término central, que está ubicado en la posición
 {displaystyle c={frac {n+1}{2}},}.Sustituyendo c en la fórmula (I) y operando un poco, el término también queda
representado en función de (a1 + an), como
 {displaystyle a_{c}={frac {2a_{1}+(n-1)d}{2}}={frac {a_{1}+a_{n}}{2}},}por lo que en total, hay n/2 sumas con
valor (a1 + an) como en el caso par y la fórmula queda validada para todo n.

16. EJEMPLOS NOTABLES
 Hallar la suma de los n primeros enteros positivos, corresponde a calcular la serie
aritmética de los n términos de la progresión aritmética de diferencia d=1 y término
inicial a1=1:
 {displaystyle 1+2+cdots +n={frac {n(n+1)}{2}},}que, para cada valor de n, también se
conoce como número triangular.
 Una historia muy conocida es la del descubrimiento de esta fórmula por Carl Friedrich
Gauss cuando tenía diez años. Su maestro, en la primera clase de aritmética, pidió a sus
alumnos hallar la suma de los 100 primeros números y él calculó el resultado de inmediato:
5050.1

17. PRODUCTO
 Producto[editar]
 El producto de los términos de una progresión aritmética finita cuyo término
inicial es a1, diferencia d, y n elementos en total está determinado por la expresión
en forma cerrada
 {displaystyle prod _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}a_{2}cdots a_{n}=d{frac
{a_{1}}{d}}dleft({frac {a_{1}}{d}}+1right)dleft({frac {a_{1}}{d}}+2right)cdots
dleft({frac {a_{1}}{d}}+n-1right)=d^{n}{left({frac {a_{1}}{d}}right)}^{overline
{n}}=d^{n}{frac {Gamma left({frac {a_{1}}{d}}+nright)}{Gamma left({frac
{a_{1}}{d}}right)}},}donde {displaystyle x^{overline {n}}} denota el factorial
ascendente y {displaystyle Gamma } denota la

18. FUNCION GAMMA
 . (Nótese sin embargo que la fórmula no es válida cuando {displaystyle a_{1}/d} es un entero
negativo o cero.)
 Esto es una generalización del hecho de que el producto de la progresión {displaystyle 1times
2times cdots times n} es dado mediante el factorial {displaystyle n!} y de que el producto
 {displaystyle mtimes (m+1)times (m+2)times cdots times (n-2)times (n-1)times
n,!}para enteros positivos {displaystyle m} y {displaystyle n} viene dado por
 {displaystyle {frac {n!}{(m-1)!}}.}

19.  Tomando la fórmula de arriba, por ejemplo, el
producto de los términos de la progresión aritmética
dada por an = 3 + (n-1)5 hasta el 50-ésimo término es
 {displaystyle P_{50}=5^{50}cdot {frac {Gamma
left({frac {3}{5}}+50right)}{Gamma left({frac
{3}{5}}right)}}approx 3.78438times 10^{98}.}