Este documento introduce conceptos sobre límites y continuidad en cálculo diferencial. Explica límites infinitos y al infinito, así como cómo determinar si una función es continua en un punto analizando su comportamiento a izquierda y derecha de ese punto. Contiene ejemplos y ejercicios para ilustrar estos conceptos fundamentales del cálculo.

1. Introducción al Cálculo Diferencial
Demetrio Ccesa Rayme

2. Límites y Continuidad
• Límites infinitos.
• Límites al infinito.
• Continuidad.

3. ¿Qué podría comentar sobre los valores que toma f(x) conforme
x se acerca a –1?
¡Eureka!
+=−
−→
)(
1
xflím
x
−=+
−→
)(
1
xflím
x

4. Límites infinitos
A ver, si x se acerca por la derecha, f(x) toma valores que son
cada vez más negativos, o decrece indefinidamente; mientras que
si x se acerca por la izquierda, f(x) toma valores que son cada
vez más grandes, o crece indefinidamente.
Es claro, entonces, que en situaciones como esa el límite no
existe, pues en caso de existir, éste debiera ser un número.
Intentaremos dar cuenta de estas situaciones escribiendo:
+=−
−→
)(
1
xflím
x
−=+
−→
)(
1
xflím
x

5. Observación:
Las expresiones anteriores el signo de igualdad no está siendo
usado con propiedad, pues en realidad, el límite no existe. Lo
único que deseamos comunicar es que la función crece o decrece
indefinidamente, conforme x está cada vez más cerca de – 1, ya
sea por la derecha o por la izquierda.
Teniendo en cuenta todo lo anterior, definimos los límites
infinitos.
+=
→
)(
0
xflím
xx
, si )(xf crece indefinidamente cuando .0

→ xx
−=
→
)(
0
xflím
xx
, si )(xf crece indefinidamente cuando .0

→ xx

6. Caso Ilustrativo
•Veamos un caso muy sencillo en el que podamos ilustrar
nuestras definiciones:
•De acuerdo con el gráfico
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
y=f(x)
-1.4 1.4
¿para qué valores de x0 se
tiene ?)(
0
+=
+
→
xflím
xx

7. Calcule los siguientes límites:
a)
x
lím
x
1
0+
→
b)
x
lím
x
1
0−
→
c)
1
1
1 −+
→ x
lím
x
d)
1
1
1 −−
→ x
lím
x
e) 22 )2(
1
−→ x
lím
x
f) 23 )3(
1
+−→ x
lím
x
g)
8
5
8 −→ x
lím
x
h)
4
5
4 −
+
→ x
x
lím
x
Ejercicio

8. Trace el gráfico de una función que presente las siguientes
características:
i. )(
3
xflím
x −→
existe.
ii. .2)(
3
=
+
−→
xflím
x
iii. .0)()(
22
=−=
+−
−→−→
xflímyxflím
xx
iv. .)()(
00
+=+=
+−
→→
xflímyxflím
xx
v. .)( RfDom =
Ejercicio

9. Límites al infinito
)(xfy =
¿Qué ocurre con los valores que toma f(x) conforme x crece (decrece)
indefinidamente?

10. Límites al infinito
Cuando los valores que toma f(x) se acerquen al número L,
conforme x crezca indefinidamente, escribiremos
Lxflím
x
=
+→
)(
Cuando los valores que toma f(x) se acerquen al número M,
conforme x decrezca indefinidamente, escribiremos
Mxflím
x
=
−→
)(
Definiciones:

11. Límites al infinito
)(xfy =
Del gráfico adjunto podemos concluir que:
1)( −=
+→
xflím
x
1)( =
−→
xflím
x

12. )
11
1(1 2
22
xx
xxx ++=++
¿Cómo haría para calcular ?12
++
+→
xxlím
x
Es claro que
Además, 0
1
=
+→ x
lím
x
y, 000)
1
)(
1
()
1
)(
1
(
1
2
====
+→+→+→+→ x
lím
x
lím
xx
lím
x
lím
xxxx
Note que todo se reduce a determinar 2
xlím
x +→
, pues los demás
límites valen cero
Ejercicio

13. ¿Y si se tratara de ?254 3
xxlím
x
+−
−→
Intentemos replicar el argumento anterior:
Factoricemos x3
)
2
5
4
(254 23
33
xx
xxx +−=+−
0)
1
)(
1
)(
1
(4
1
4)
1
)(4(
4
333
====
+→+→+→+→ xxx
lím
x
lím
x
lím
x
lím
xxxx
Calculemos 3
4
x
lím
x +→
y 2
2
x
lím
x +→
:
Otra vez, todo se reduce a calcular un solo límite:
3
5xlím
x
−
+→
Pues los demás límites valen cero.
Ejercicio

14. Límites infinitos para funciones polinómicas
Para determinar el límite al infinito de una función polinómica
basta con analizar el límite al infinito del término de mayor
grado, es decir:
,...)( 01
1
1 axaxaxaxf n
n
n
n ++++= −
−
n
n
xx
xalímxflím
→→
=)(
xxxlím
x
+−
+→
35
23
8
9
3
2
4 xx
x
lím
x
−+−
−→
a)
b)
c)
e)
xxxlím
x
+−
−→
10010
26
4
5
3
xx
x
lím
x
+−
−→
Resolver:
Ejercicio

15. Límites al infinito para funciones racionales
¿Cómo calcularía el valor de
xx
xxx
lím
x 62
93
2
23
+−
−+
+→
?
Factoricemos el numerador y el denominador:
xx
xxx
lím
x 62
93
2
23
+−
−+
+→
)
6
1
2
(
)
1
9
3
(
2
2
2
3
xx
x
xx
x
lím
x
+−
−+
+→=
Propiedad
m
m
n
n
xx xb
xa
límxflím
→→
=)(
,
...
...
)(
01
1
1
01
1
1
bxbxbxb
axaxaxa
xf m
m
m
m
n
n
n
n
++++
++++
= −
−
−
−
Si
Entonces:

16. 32
54
2
2
+
+
+→ x
x
lím
x
x
xx
lím
x 21
34
−
−
+→
25
5
−
−
−→ x
xx
lím
x
3
7
2
−
+
+→ x
x
lím
x
Resolver:
Ejercicio
a)
b)
c)
d)

17. Si se siembra cierto cultivo en una tierra
donde el nivel de nitrógeno es ,N entonces el
volumen de la cosecha Y puede modelarse con
la función de Michaelis-Menten,
,)(
NB
AN
NY
+
= con ByA constantes positivas
y .0N ¿Qué ocurrirá con el volumen de la
cosecha cuando el nivel de nitrógeno aumente
indefinidamente?
Ejercicio

18. Continuidad
¿Cómo haría para determinar si el gráfico de una función f, en un
punto x0 de su dominio, presenta un comportamiento del tipo que
se muestra a continuación?
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−2
−1
1
2
3
4
x
y
xo
y=f(x)

19. )(
0
xflím
xx→

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−2
−1
1
2
3
4
x
y
xo
y=f(x)
En la gráfica tenemos que…
)(
0
xflím
xx +
→

)(
0
xflím
xx −
→

)()( 0
0
xfxflím
xx
=−
→
)()(
00
xflímxflím
xxxx +−
→→


20. Continuidad
¿Y si el comportamiento de la función f en x0 fuera así?:
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−2
−1
1
2
3
4
x
y
xo
y=f(x)

21. ¿Y si el comportamiento de la función f en x0 fuera así?:
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−2
−1
1
2
3
4
x
y
x
o
y=f(x)
)(lim
0
xf
xx +
→

)(lim
0
xf
xx −
→

)(lim)(lim
00
xfxf
xxxx +−
→→
=
)(lim
0
xf
xx→

)()(lim 0
0
xfxf
xx

→

22. Continuidad
Teniendo en cuenta todo lo anterior, ¿qué debiera ocurrir para
que el gráfico de la función f presente la siguiente característica
en x0?
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−2
−1
1
2
3
4
x
y
xo
y=f(x)

23. Continuidad
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−2
−1
1
2
3
4
x
y
xo
y=f(x)
)()(lim 0
0
xfxf
xx
=
→
)(lim
0
xf
xx +
→

)(lim
0
xf
xx −
→

)(lim)(lim
00
xfxf
xxxx +−
→→
=
)(lim
0
xf
xx→


24. Continuidad
Definición:
Una función es continua en un punto x0 de su dominio, siempre que:
).()( 0
0
xfxflím
xx
=
→
Ejercicio 1:
En cada uno de los siguientes casos, analice la continuidad de la
función f en x = x0.
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
x0
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
x0

25. −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
x0
Analice la continuidad de la función f en x = x0.
Ejercicio 2:

26. Analice la continuidad de la función.




−+

−
+
=
4,6
4,
4
3
)(
2
xxx
x
x
x
xf
en x = 3, x = 6 y x = 4.
Ejercicio 3:
Ejercicio 4:
Para que valores de A y B la función es continua en x = 1.





−
=
+
=
1,2
1,
1,2
)(
2
xAx
xB
xAx
xf