1. Prof: Nancy Andrades
Integrales dobles

2. Cálculo III (A, C y E)
Repaso de la situación en una variable
Sea f, función continua y no negativa sobre [a,b] que se divide en
n subintervalos de igual longitud ∆x. Si xj es el extremo izquierdo
del j-esimo subintervalo entonces, la integral de f en [a,b] se define:
Gráficamente representa el área bajo la gráfica de f en [a,b]
F(a)-F(b)dxx
n
)f(xlim
b
a
f(x)
1j
j
n
==∑ ∫
=∞→
Δ
a b
xj xj+1

3. Cálculo III (A, C y E)
La integral doble
Sea f, continua en una región R del plano xy . Usando líneas
paralelas a los ejes para aproximar R por medio de n rectángulos
de área ∆A. Sea (xj,yj) un pto del j-esimo rectángulo, entonces la
integral doble de f sobre R es:
∫∫ ∑
=∞→
=
R
ΔA
n
lim
1j
)jy,jf(x
n
y)dAf(x,
( xJ, xj+1)

4. Cálculo III (A, C y E)
Interpretación gráfica
La integral doble de una función no negativa en dos variables
se interpreta como el volumen bajo la superficie z = f(x,y) y
sobre la región R del plano xy.
Región R
z = f(x,y)

5. Cálculo III (A, C y E)
La integral doble de f sobre la región R, está dada por el valor
común de las dos integrales iteradas.
Donde a, b, c y d son los límites de integración de la región R.
Para resolver la integral doble, se mantiene fija una variable y
se integra con respecto a la otra variable.
Cálculo de integrales dobles
∫ ∫∫ ∫∫∫ ==
b
a
d
c
d
c
b
a
R
y)dydxf(x,y)dxdyf(x,y)dAf(x,

6. Cálculo III (A, C y E)
Propiedades
∫∫∫∫ =
RR
y)dAf(x,Ky)dAK.f(x,a)
∫∫ ∫∫∫∫ +
∪=
=
1 2R RR
y)dAf(x,y)dAf(x,y)dAf(x,
sobreponenseno2Ry1Rdonde,2R1RRSid)
∫∫ ∫∫∫∫ ±± =
R RR
y)dAg(x,y)dAf(x,y)dAg(x,y)f(x,b)
∫∫ >∈∀>
R
0y)dAf(x,Ry)(x,0,y)f(x,Sic) ,

7. Cálculo III (A, C y E)
Límites de integración
Secciones transversales verticales: La región R está limitada por
las gráficas de g1 y g2 en el intervalo [a, b]. Si R es descrita por
R: a ≤ x ≤ b , g1(x) ≤ y ≤ g2(x)
y = g1(x)
y = g2(x)
a b
R
∫ ∫∫∫ =
b
a
(x)g
(x)g
R
2
1
y)dydxf(x,y)dAf(x,

8. Cálculo III (A, C y E)
Límites de integración
Secciones transversales horizontales: La región R está limitada por
las gráficas de h1 y h2 en el intervalo [c, d]. Si R es descrita por
R: c ≤ y ≤ d , h1(y) ≤ x ≤ h2(y)
x = h1(x)
x = h2(x)
c
d
R
∫ ∫∫∫ =
d
c
(y)h
(y)h
R
2
1
y)dxdyf(x,y)dAf(x,