dcvsdv

2. Leyes de exponentes
Potenciación
ÁLGEBRA
Docente: José Luis Vásquez Carhuamaca
Semana 02

3. - ÁLGEBRA
Objetivos:
✓ Reconocer los elementos de la
potenciación.
✓ Utilizar adecuadamente la definición y los
teoremas de la potenciación.
✓ Aplicar la potenciación en la resolución de
problemas matemáticos y contextualizado.

4. - ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. Introducción
3. Teoremas
4. Problemas resueltos
2. Definición de la potenciación
5. Conclusión

5. - ÁLGEBRA
INTRODUCCIÓN:
El Sol es una estrella que se
encuentra a una distancia de 150 millones
de kilómetros de la Tierra. La radiación que
emite tarda algo más de 8 minutos en
alcanzar nuestro planeta, a razón de unos
300.000 km/s. Su diámetro es de 1 392 700
km y su masa equivale a la de unos 332 946
planetas iguales a la Tierra.

6. - ÁLGEBRA
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Números Reales ℝ
Números Racionales ℚ
Números Enteros ℤ
Números Naturales ℕ
Cero
0
Enteros negativos
Fracciones:
Números Irracionales 𝕀
2 = 1.4142 …
3 = 1.7320 …
3
5 = 1.7099 …
𝜋 = 3.1415 …
1; 2; 3; 4; 5; ⋯
−1; −2; −3; −4; −5; ⋯
=
323
100
3
5
; −
7
2
; 0.5 =
1
2
; 3.23
Pueden expresarse
como fracción
Nadie es fracción

7. - ÁLGEBRA
POTENCIACIÓN EN ℝ
𝑏𝑛 = 𝑝
base
exponente
potencia
423
= 65 536
Base
Exponente
Potencia
2
5
32
32
23
43 046 721
4
23
65 536
Es una operación matemática, donde a partir de
dos elementos llamados base y exponente, se
busca un tercer elemento llamado potencia.
25
= 32 (32)23
= 43 046 721
Expresión
𝒑, 𝒃 ∈ ℝ 𝒏 ∈ ℤ = ⋯ ; −𝟐; −𝟏; 𝟎: 𝟏; 𝟐; 𝟑; ⋯
Cuando n = 1
Cuando 𝑛 ≥ 2
43
Ejemplos
se lee: 4 elevado a la 3, 4 a la 3 o 4 al
cubo
𝑏1 = 𝑏
𝑏𝑛
= 𝑏 ∙ 𝑏 ∙ 𝑏 ∙ ⋯ ∙ 𝑏
𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
• 43
= 4 ∙ 4 ∙ 4
3 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
= 64
82
se lee: 8 elevado a la 2, 8 a la 2 o 8 al
cuadrado
• 82
= ถ
8 ∙ 8
2 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
= 64
EXPONENTE NATURAL

8. - ÁLGEBRA
• −6 3
= −6 ∙ −6 ∙ −6
3 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
= −216
• −5 2
= −5 ∙ −5
2 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
= 25
𝟑𝟒
se lee: 3 elevado a la 4, 3 a la 4 o 3 a la
cuarta
• 34
= 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3
4 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
= 81
Ley de signos:
− 𝑝𝑎𝑟
= + − 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
= −
• −3 4
= + 34 = 81
• −2 5 = − = −2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2
25
= −32
• −10 6
= + 106
= 1 000 000
• −32 = − ถ
3 ∙ 3
2 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
= −9
• 𝑎𝑏4 = 𝑎 𝑏𝑏𝑏𝑏
4 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
• 𝑎𝑏 3 = 𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏
3 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
• −2 7 = − 27 = −128
= 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7
5 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
= 75
• 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ 7
• 11 ∙ 11 ∙ ⋯ ∙ 11
25 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
= 1125
• (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 + 2) ∙ ⋯ ∙ (𝑥 + 2)
𝑛+5 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
= 𝑥 + 2 𝑛+5
• 𝑥2
∙ 𝑥2
∙ ⋯ ∙ 𝑥2
15 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
= 𝑥215
¡Falso!

9. - ÁLGEBRA
• 𝑥2
∙ 𝑥2
∙ ⋯ ∙ 𝑥2
15 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
= 𝑥2 15
Observación:
𝑏 + 𝑏 + 𝑏 + ⋯ ∙ +b
𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
= 𝑛 ∙ 𝑏
• 5 + 5 + 5 + ⋯ ∙ +5
8 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
= 8 ∙ 5 = 40
• 6 + 6 + 6 + ⋯ ∙ +6
20 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
= 20 ∙6 = 120
• 𝑥2
+ 𝑥2
+ 𝑥2
+ ⋯ ∙ +𝑥2
18 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
= 18 ∙ 𝑥2
• 3𝑥 + 3𝑥 + 3𝑥 + ⋯ ∙ +3𝑥
𝑛+5 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
= 𝑛 + 5 ∙ 3𝑥
Ejemplos
EXPONENTE CERO
𝑏0
= 1 𝑏 ≠ 0
• 50 = 1
• 20200
= 1
• −3 0 = 1
• −60 = −1
Observación:
00 : No esta definido
• 25 − 52 0
: No esta definido
00

10. - ÁLGEBRA
EXPONENTE NEGATIVO
𝑏−𝑛 =
1
𝑏𝑛
𝑏 ≠ 0
⦁ 7−2
=
1
(−3)2
⦁ (−3)−2
=
1
9
Ejemplos
=
1
72 =
1
49
⦁ 3−1
=
1
31
=
1
3
⦁ 12−1
=
1
12
1
8
⦁ = 8−1
1
53
⦁ = 5−3
𝑎
𝑏
−𝑛
=
𝑏
𝑎
𝑛
𝑎𝑏 ≠ 0
⦁
3
5
−2
⦁ −
2
3
−3
Ejemplos
=
5
3
2
=
5
3
∙
5
3
⦁ 3−4
=
3
1
−4
=
25
9
= −
3
2
3
= −
3
2
3
= −
27
8
=
1
3
4
⦁ 5−3
=
1
5
3

11. - ÁLGEBRA
a
b
c
= a
m
Ejemplos
EXPONENTES SUCESIVOS
=
1
3
⦁ 232
= 29
= 512
⦁ 507
= 50 = 1
⦁ 3−40
= 3−1
= 65 536
⦁ 2222
= 224
= 216
TEOREMAS:
𝒙𝒏
. 𝒙𝒎
= 𝒙𝒏+𝒎
1.
⦁ 𝑥4. 𝑥7
= 𝑥4+7
= 𝑥11
⦁ 23+𝑛
= 23
. 2𝑛
⦁ 𝑎5. 𝑎−3
= 𝑎5+ −3 = 𝑎5−3
⦁ 22. 23. 24 = 22+3+4 = 29 = 512
= 𝑎2
= 8. 2𝑛
𝒙𝒏
𝒙𝒎
= , 𝒙 ≠ 𝟎
𝒙𝒏−𝒎
⦁
𝑥9
𝑥5
= 𝑥9−5
⦁
𝑥3
𝑥5
= 𝑥3−5
=
1
𝑥2
= 𝑥4
2.
= 𝑥−2

12. - ÁLGEBRA
⦁
37
34
= 37−4
= 27
= 33
⦁
52
5−2
= 52− −2 = 54
= 52+2
= 625
⦁ 4 𝑛−2
=
4𝑛
42
=
4𝑛
16
(𝑥. 𝑦)𝑛 =
⦁ (5𝑥)2
= 52
⦁ 𝑚4𝑛4
3. 𝑥𝑛. 𝑦𝑛
= (2. 5)4
𝑚𝑛
𝑥2
𝑥
𝑦
𝑛
=
𝑥𝑛
𝑦𝑛
⦁
𝑥
2
5
=
𝑥5
25 =
⦁
275
95 =
5
= 3 5 = 243
4.
275
95 =
, 𝑦 ≠ 0
27
9
⦁ 3𝑎𝑏 4 = 34𝑎4
= 25𝑥2
𝑏4 = 81𝑎4𝑏4
= 𝑚4 𝑛4
⦁ 8𝑥3
= (2. )3
2𝑥
= 23
𝑥3
⦁ 𝑥 + 2 3 = 𝑥3 + 23 (Falso)
𝑥5
32
⦁
3𝑥
5
2
=
3𝑥 2
52
=
32𝑥2
52 =
9𝑥2
25
(𝑥𝑛)𝑚 =
⦁ ((𝑥5
)4
)2
= 𝑥5.4.2 = 𝑥40
⦁ 24𝑥 = 𝑥
= 16𝑥
5. 𝑥𝑛.𝑚
24
⦁ 𝑥3 6
= 𝑥3.6
= 𝑥18

13. - ÁLGEBRA
(𝑥𝑛
)𝑚
=
5. (𝑥𝑚
)𝑛
⦁ 𝑥2
𝑦5 3
= 𝑥2 3
𝑥6 𝑦15
𝑦5 3
=
⦁ 𝑎5
𝑏2 4
= 𝑎20 𝑏8
⦁ 𝑎23 5
= 𝑎23×5
(Falso)
⦁ 𝑎23 5
= 𝑎23×5
= 𝑎8×5
= 𝑎40
⦁ 2𝑛 3
= 23 𝑛
= 8𝑛
⦁ 𝑎𝑏3 2
= 𝑎2 𝑏3
⦁ 𝑥𝑥3 3
= 𝑥3 𝑥3
Si 𝑏𝑚
= 𝑏𝑛
6. entonces m = n
⦁ 7𝑚 = 73
→ 𝑚 = 3
⦁ 2𝑥
= 32 → 2𝑥
= 25
⦁ 32𝑥−5
= 27
𝑏 ∈ ℝ+
− 1
→ 𝑥 = 5
→ 32𝑥−5
= 33
→ 2𝑥 − 5 = 3
→ 2𝑥 = 3 + 5
→ 2𝑥 = 8
∴ 𝑥 = 4

14. w w w. aduni. edu. pe