MATERIALANUAL ADUNI

2. Productos notables I
ÁLGEBRA
Docente: José Luis Vásquez Carhuamaca
Semana 05

3. - ÁLGEBRA
Objetivos:
✓ Reconocer los principales productos
notables.
✓ Utilizar adecuadamente los productos
notables.
✓ Resolver problemas diversos con la ayuda
de los productos notables.

4. - ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. El tiempo es oro
3. Producto de binomios con un término común
4. Trinomio cuadrado perfecto
2. Nociones previas
5. Identidades de Legendre
6. Diferencia de cuadrados

5. - ÁLGEBRA
El tiempo es oro
Nos invita a ser diligentes en nuestros
asuntos, a la vez que nos recuerda que la vida es
breve, por lo que se debe aprovechar el tiempo que
se nos concede.
Las operaciones matemáticas pueden
consumirnos mucho tiempo, la solución son los
productos notables.
𝒙 + 𝒚 𝟐 = + 𝒚𝟐
𝒚
𝒙
𝒚
𝒙
𝒙𝟐 𝒙𝒚
𝒙𝒚 𝒚𝟐
𝒙𝟐+ 𝟐𝒙𝒚

6. - ÁLGEBRA
I. Ley conmutativa 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎
Ejemplos
• 2.5 = 5.2
• 𝑥. 3 = 3. 𝑥
II. Ley distributiva
𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐
Ejemplos
• 5 ∙ (𝑥 + 2) = 5𝑥 + 10
• (𝑦 + 4) ∙ 7 = 7𝑦 + 28
• (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) = (𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
• 3 ∙ (𝑧 − 8) = 3𝑧 − 24
• (𝑥 + 2)(𝑥 + 7) = 𝑥2
+ 7𝑥 + 2𝑥 +14
= 𝑥2
+ 9𝑥 + 14
7 ∙ (𝑦 + 4) =
• (𝑥 + 3). 4 = 4. (𝑥 + 3)
NOCIONES PREVIAS
LEYES DE LA MULTIPLICACIÓN
En toda multiplicación se tiene:
𝑎. 𝑏
𝑎 ; 𝑏 son llamados factores
Donde:
𝑃 es llamado producto
Luego, llamaremos PRODUCTOS NOTABLES a
resultados de ciertas multiplicaciones que se
obtienen de manera directa, sin la necesidad de
aplicar sus leyes.
= 𝑃

7. - ÁLGEBRA
1) Multiplicación de binomios con un término común
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥2
+ (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏
Ejemplos
• (𝑥 + 2)(𝑥 + 5) = 𝑥2
+ 2 + 5 𝑥 +2 ∙ 5
• (𝑥 + 3)(𝑥 + 6) = 𝑥2
+ 9𝑥 + 18
• (𝑥 − 5)(𝑥 + 7) = 𝑥2
+ 2𝑥 − 35
• (𝑥 − 9)(𝑥 + 3) = 𝑥2
− 6𝑥 −27
Ejercicio
Si 𝑥2 + 7𝑥 − 3 = 0, determine el valor de
𝑆 = (𝑥 + 5)(𝑥 + 2) + (𝑥 − 1)(𝑥 + 8) + 6
Resolución
𝑆 = 𝑥2
+ 7𝑥 + 10 + 𝑥2
+ 7𝑥 − 8 + 6
Dato: 𝑥2 + 7𝑥 − 3 = 0 → 𝑥2 + 7𝑥 = 3
𝑆 = 3 + 10 + 3 − 8 + 6
∴ 𝑆 = 14
Reemplazando:
= 𝑥2
+ 7𝑥 + 10
Operando lo pedido:
PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES
• (𝑥 + 7)(𝑥 − 2) = 𝑥2
+ 7 − 2 𝑥 + 7 ∙ −2
= 𝑥2
+ 5𝑥 − 14
• (𝑥 − 4)(𝑥 − 2) = 𝑥2
− 6𝑥 + 8

8. - ÁLGEBRA
2) Trinomio cuadrado perfecto (T.C.P.)
Ejemplos
• 𝒙 + 𝟑 𝟐
= 𝑥2 + = 𝑥2 + 6𝑥 + 9
2. 𝑥. 3 + 32
• (𝑥 − 4)2
= 𝑥2 = 𝑥2 − 8𝑥 + 16
− 2. 𝑥. 4 + 42
• (5𝑚 + 2𝑛)2
= (5𝑚)2
= 25𝑚2 + 20𝑚𝑛 + 4𝑛2
𝑥2
+ 2𝑥
1
𝑥
+
1
𝑥
2
EJERCICIO
Si 𝑎 + 𝑏 = 5 y 𝑎𝑏 = 6. Calcule el valor de
𝑎2 + 𝑏2
Resolución
Del dato ( )
2
( )
2
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
= 25
𝑎2+ 12 + 𝑏2
6
= 25
∴ 𝑎2 + 𝑏2 = 13
= 𝑥2
+ 2 +
1
𝑥2
𝒂 + 𝒃 𝟐 =
𝒂 − 𝒃 𝟐 =
𝒂𝟐
𝒂𝟐
+𝒃𝟐
+𝟐𝒂𝒃
+𝒃𝟐
−𝟐𝒂𝒃
+(2𝑛)2
+ 2(5𝑚)(2𝑛)
• 𝑥 +
1
𝑥
2
=
• 𝒙 + 𝟓 𝟐 = 𝑥2 + 10𝑥 + 25
• 3𝒙 − 𝟒 𝟐
= 9𝑥2 −24𝑥 +16
𝑎 + 𝑏 = 5

9. - ÁLGEBRA
3) Identidades de Legendre
Ejemplos
• (𝑥 + 6)2
+ (𝑥 − 6) 2
= 2(𝑥2 + 62)
= 2(𝑥2 + 36)
• (𝑦 + 5)2− (𝑦 − 5) 2
= 20𝑦
• 7 + 3
2
+ 7 − 3
2
= 2( 7
2
+ 3
2
)
= 2(7 + 3) = 20
EJERCICIO
Si 𝑎 − 𝑏 = 5 además 𝑎𝑏 = 5. Calcule el menor
valor de 𝑎 + 𝑏.
Resolución
(𝑎 + 𝑏)2 − (𝑎 − 𝑏)2 = 4𝑎𝑏
Sabemos que
𝑎 + 𝑏 2 − 5 2 = 4.5
𝑎 + 𝑏 2 − 5 = 20
(𝑎 + 𝑏)2 = 25
𝑎 + 𝑏 = 5 𝑜 𝑎 + 𝑏 = −5
∴ El menor valor de 𝑎 + 𝑏 es − 5
= 4. 𝑦. 5
(𝒂 + 𝒃)𝟐
+(𝒂 − 𝒃)𝟐
=
(𝒂 + 𝒃)𝟐
−(𝒂 − 𝒃)𝟐
=
𝟐( )
𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐
𝟒𝒂𝒃
• 𝑥 +
1
𝑥
2
− 𝑥 −
1
𝑥
2
= = 4
4. 𝑥.
1
𝑥

10. - ÁLGEBRA
4) Diferencia de cuadrados
Ejemplos
• (𝑥 + 6)(𝑥 − 6) = 𝑥2 − 62 = 𝑥2 − 36
• (𝑦 − 5)(𝑦 + 5) = 𝑦2 − 52 = 𝑦2 − 25
• 5 + 2 5 − 2 = 5
2
− 2
2
= 3
• (𝑚3 + 𝑛2)(𝑚3 − 𝑛2) = (𝑚3)2
− (𝑛2)2
= 𝑚6 − 𝑛4
• 𝑥2 − 49 = 𝑥2 − 72 = (𝑥 + 7)(𝑥 − 7)
EJERCICIO
Simplifique la expresión
𝑆 = (x + 1)(x − 1)(x2 + 1) + 1
Resolución
Tenemos:
= (x2 − 1)(x2 + 1) + 1
= 𝑥2 2 − 12 + 1
= 𝑥4
= 𝑥2
(x2 + 1) + 1
+ 1 = 𝑥4 −1 + 1
+ 1
12
5 + 2
=
12 ∙ 5 − 3
5 + 2 . 5 − 3
5 − 2
5 − 2
=
12 ∙ 5 − 2
3
= 4 5 − 2
(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐
− 𝒃𝟐
•
𝑆 = (x + 1)(x − 1)(x2 + 1) + 1

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