Resolucion aplicando metodos numericos de Ecuaciones diferenciales

1. ECUACIONES DIFERENCIALES
CLASE DE LABORATORIO DE CÁLCULO 4
ING. DAVID FRETES ESQUIVEL

2. METODOS DE
MULTIPASO
Nyströn
Milne
Hamming
2

3. Ing.
Viviana
Ortellado
3

4. 4
xk-3 xk-2 xk-1 xk xk+1
Y’k-3 Y’k-2 Y’k-1 Y’k Y’k+1

5. 5

6. Milne - Simpson
6
k xk pk fpk yk fk
0 x0 y0 f0
1 x1 y1 f1
2 x2 y2 f2
3 x3 y3 f3
4 x4 p4 fp4 y4 f4
n xn pn fpn yn fn
El paso general del método de Milne es:
• Valor corrector:
El método considera el problema de valor inicial:
𝑝𝑘 + 1 = 𝑦𝑘 − 3 +
4ℎ
3
2𝑓𝑘 − 2 − 𝑓𝑘−1 + 2𝑓𝑘
• Valor predictor:

7. Milne - Simpson
7
k xk pk fpk yk fk
0 0,0 1,000000 0,500000
1 0,1 1,055409 0,612638
2 0,2 1,123596 0,757481
3 0,3 1,208459 0,949243
4 0,4 1,315504 1,2111386 1,315791 0,211913
5 0,5 1,454015 1,58562 1,454543
𝑝𝑘 + 1 = 𝑦𝑘 − 3 +
4ℎ
3
2𝑓𝑘 − 2 − 𝑓𝑘−1 + 2𝑓𝑘

8. 8
k xk pk fpk yk fk
0 0,0 1,000000 0,500000
1 0,1 1,055409 0,612638
2 0,2 1,123596 0,757481
3 0,3 1,208459 0,949243
4 0,4 1,315504 1,211386 1,315791 1,211913
5 0,5 1,454015 1,58562 1,454543
𝑓𝑝4 = 0,5 1 + 𝑥4 ∗ 𝑝4
2
𝑓4 = 0,5 1 + 𝑥4 ∗ 𝑦4
2

9. 9
k xk pk fpk yk fk
0 0,0 1,000000 0,500000
1 0,1 1,055409 0,612638
2 0,2 1,123596 0,757481
3 0,3 1,208459 0,949243
4 0,4 1,315504 1,211386 1,315791 1,211913
5 0,5 1,454015 1,585620 1,454543

10. Ejercicios para matlab
0,1
0,1
10

11. Milne - matlab
Solo es valido para EDO de
1er orden
Ejer. 1
11
x0=2; % x0 e y0 puntos iniciales
y0=0;
y1=0.0197; % y1 y2 y3 calculado con RK4
y2=0.0389;
y3=0.0575;
h=0.1; % h paso
n=17; % n numero de divisiones
syms x;
A=1/x;
B=1/(1+x^2);
x1=x0+h;
x2=x1+h;
x3=x2+h;
resultMS=[x0 y0; x1 y1; x2 y2; x3 y3];
%continua en la siguiente hoja

12. for i=1:n
x=x1;
f1=eval(A)*y1+eval(B);
x=x2;
f2=eval(A)*y2+eval(B);
x=x3;
f3=eval(A)*y3+eval(B);
p=y1+(4/3)*h*(2*f1-f2+2*f3); % y predictor
x=x+h;
fp4=eval(A)*p+eval(B);
y=y2+(h/3)*(f2+4*f3+fp4); % y corrector
resultMS=[resultMS; x y];
y0=y1;
y1=y2;
y2=y3;
y3=y;
12
Solo es valido para EDO de
1er orden
Ejer. 1

13. x0=0; % x0 e y0 puntos iniciales
y0=[ 1.0000,-1.0000,0]';
y1=[ 0.9013 -0.9613 0.7184]'; % y1, y2, y3 calculado con RK4
y2=[ 0.8096 -0.8653 1.1645]';
y3=[ 0.7294 -0.7342 1.4357]';
h=0.1;
n=17; % 3 de 20 iteraciones ya usamos en RK4
syms x;
a=[8/(1+x)^3,-1/(1+x)^2,-1/(1+x)];
f=x/(1+x)^5;
x1=x0+h;
x2=x1+h;
x3=x2+h;
m=length(y0);
resultMS=[x0, y0(1); x1,y1(1);x2,y2(1);x3,y3(1)];
A=[zeros(m-1,1) eye(m-1);a];
B=[zeros(1,m-1),f]';
Milne - matlab
Valido para EDO de orden N
N=1, 2, 3…N orden
Ejer. 3
13

14. for i=1:n
x=x1;
f1=eval(A)*y1+eval(B);
x=x2;
f2=eval(A)*y2+eval(B);
x=x3;
f3=eval(A)*y3+eval(B);
p=y0+(4/3)*h*(2*f1-f2+2*f3); % y predictor
x=x+h;
fp=eval(A)*p+eval(B);
y=y2+(h/3)*(f2+4*f3+fp); % y corrector
resultMS=[resultMS; x y(1)];
y0=y1;
y1=y2;
y2=y3;
y3=y;
14
Ejer. 3
Valido para EDO de orden N
N=1, 2, 3…N orden

15. Milne modificado
15
k xk pk mk fmk yk fk
0 x0 y0 f0
1 x1 y1 f1
2 x2 y2 f2
3 x3 y3 f3
4 x4 p4 y4 f4
5 x5 p5 m5 fm5 y5 f5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
El paso general del método de Milne Modificado es:
𝑚𝑘 + 1
= 𝑝𝑘 + 1 +
28
29
𝑦𝑘 − 𝑝𝑘
• Valor modificador:
• Valor corrector:
El método considera el problema de valor inicial:
• Valor predictor: 𝑝𝑘 + 1 = 𝑦𝑘 − 3 +
4ℎ
3
2𝑓𝑘 − 2 − 𝑓𝑘−1 + 2𝑓𝑘

16. Milne Modificado
16
k xk pk mk fmk yk fk
0 0 1,000000 0,500000
1 0,1 1,055409 0,612638
2 0,2 1,123596 0,757481
3 0,3 1,208459 0,949243
4 0,4 1,315504 1,211386 1,3115791 0,211913
5 0,5 1,454015 1,454292 1,586223 1,454563
𝑚𝑘 + 1
= 𝑝𝑘 + 1 +
28
29
𝑦𝑘 − 𝑝𝑘
)
𝑝𝑘 + 1 = 𝑦𝑘 − 3 +
4ℎ
3
2𝑓𝑘 − 2 − 𝑓𝑘−1 + 2𝑓𝑘

17. 17
Obs: la primera vez m4=p4
𝑝4
= 𝑦0 +
4ℎ
3
2𝑓1 − 𝑓2 + 2𝑓3
𝑝4 = 1 +
4 ∗ 0,1
3
∗ 2 ∗ 0,612638 − 0,757481 + 2 ∗ 0,948281
= 1,315504
𝑓𝑚4 = 0,5 1 + 0,4 ∗ 1,3155042
= 1,211386
k xk pk mk fmk yk fk
0 0 1,000000 0,500000
1 0,1 1,055409 0,612638
2 0,2 1,123596 0,757481
3 0,3 1,208459 0,949243
4 0,4 1,315504 1,211386 1,3115791 1,211913
5 0,5 1,454015 1,454292 1,586223 1,454563

18. 18
k xk pk mk fmk yk fk
0 0 1,000000 0,500000
1 0,1 1,055409 0,612638
2 0,2 1,123596 0,757481
3 0,3 1,208459 0,949243
4 0,4 1,315504 1,211386 1,315791 1,211913
5 0,5 1,454015 1,454292 1,586223 1,454563
𝑝5
= 𝑦1 +
4ℎ
3
2𝑓2 − 𝑓3 + 2𝑓4
1,454563

19. x0=0; % x0 e y0 puntos iniciales
y0=[ 1.0000,-1.0000,0]';
y1=[ 0.9013 -0.9613 0.7184]'; % y1, y2, y3 calculado con RK4
y2=[ 0.8096 -0.8653 1.1645]';
y3=[ 0.7294 -0.7342 1.4357]';
h=0.1;
n=17; % 3 de 20 iteraciones ya usamos en RK4
syms x;
a=[8/(1+x)^3,-1/(1+x)^2,-1/(1+x)];
f=x/(1+x)^5;
x1=x0+h;
x2=x1+h;
x3=x2+h;
m=length(y1);
resultMSM=[x0, y0(1); x1,y1(1);x2,y2(1);x3,y3(1)];
A=[zeros(m-1,1) eye(m-1);a];
B=[zeros(1,m-1),f]';
Milne modificado- matlab
Valido para EDO de orden N
N=1, 2, 3…N orden
Ejer. 3
19

20. for i=1:n
x=x1;
f1=eval(A)*y1+eval(B);
x=x2;
f2=eval(A)*y2+eval(B);
x=x3;
f3=eval(A)*y3+eval(B);
p=y0+(4/3)*h*(2*f1-f2+2*f3); % y predictor
if i>1
mod=p+(28/29)*(y3-p0);
else mod=p;
end
x=x+h;
20
Ejer. 3
Valido para EDO de orden N
N=1, 2, 3…N orden

21. Hamming
21
k xk pk fpk yk fk
0 x0 y0 f0
1 x1 y1 f1
2 x2 y2 f2
3 x3 y3 f3
4 x4 p4 fp4 y4 f4
5 x5 p5 fp5 y5 f5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n xn pn fpn yn fn
El paso general del método de Hamming es:
𝑝𝑘 + 1 = 𝑦𝑘 − 3 +
4ℎ
3
2𝑓𝑘 − 2 − 𝑓𝑘 − 1 + 2𝑓𝑘
• Valor predictor:
• Valor corrector:

22. Hamming
k xk pk fpk yk fk
0 0,0 1,000000 0,500000
1 0,1 1,055409 0,612638
2 0,2 1,123596 0,757481
3 0,3 1,208459 0,949243
4 0,4 1,315504 1,2111386 1,315805 1,211940
5 0,5 1,454022 1,585635 1,454591
22
𝑝𝑘 + 1 = 𝑦𝑘 − 3 +
4ℎ
3
2𝑓𝑘 − 2 − 𝑓𝑘 − 1 + 2𝑓𝑘

23. 23
k xk pk fpk yk fk
0 0,0 1,000000 0,500000
1 0,1 1,055409 0,612638
2 0,2 1,123596 0,757481
3 0,3 1,208459 0,949243
4 0,4 1,315504 1,211386 1,315805 1,211940
5 0,5 1,454022 1,585635 1,454591
𝑝4 = 𝑦0 +
4ℎ
3
2𝑓1 − 𝑓2 + 2𝑓3
𝑝4 = 1 +
4 ∗ 0,1
3
∗ 2 ∗ 0,612638 − 0,757481 + 2 ∗ 0,948281 = 1,315504
𝑓𝑝4 = 0,5 1 + 𝑥4 ∗ 𝑝4
2
𝑓𝑝4 = 0,5 1 + 0,4 ∗ 1,3155042 = 1,211386
𝑦4 =
1
8
9𝑦 3 − 𝑦1 +
3ℎ
8
−𝑓2 + 2𝑓3 + 𝑓𝑝4
𝑦4 =
1
8
9 ∗ 1,208459 −1,055409 +
3 ∗ 0,1
8
−0,757481 + 2 ∗ 0,949243 + 1,211386
= 1,315805
𝑓4 = 0,5 1 + 𝑥4 ∗ 𝑦4
2
940

24. 24
k xk pk fpk yk fk
0 0,0 1,000000 0,500000
1 0,1 1,055409 0,612638
2 0,2 1,123596 0,757481
3 0,3 1,208459 0,949243
4 0,4 1,315504 1,211386 1,315805 1,211940
5 0,5 1,454022 1,585635 1,454591
𝑝5 = 𝑦1 +
4ℎ
3
2𝑓2 − 𝑓3 + 2𝑓4
𝑝5 = 1,055409 +
4 ∗ 0,1
3
∗ 2 ∗ 0,757481 − 0,949243 + 2 ∗ 1,21194 = 1,454022
𝑓𝑝5 = 0,5 1 + 𝑥5 ∗ 𝑝5
2
𝑓𝑝4 = 0,5 1 + 0,5 ∗ 1,4540222 = 1,585635
𝑦5 =
1
8
9𝑦 4 − 𝑦2 +
3ℎ
8
−𝑓3 + 2𝑓4 + 𝑓𝑝5
𝑦5 =
1
8
9 ∗ 1,315805 −1,123596 +
3 ∗ 0,1
8
−0,949243 + 2 ∗ 0,211940 + 1,585635
= 1,454591

25. Ejercicios para matlab
0,1
0,1
25

26. Hamming - matlab
Solo es valido para EDO de
1er orden
Ejer. 1
26
x0=2; % x0 e y0 puntos iniciales
y0=0;
y1=0.0197; % y1 y2 y3 calculado con RK4
y2=0.0389;
y3=0.0575;
h=0.1; % h paso
n=17; % n numero de divisiones sobrantes
syms x;
A=1/x;
B=1/(1+x^2);
%%
x1=x0+h;
x2=x1+h;
x3=x2+h;
resultHg=[x0 y0; x1 y1; x2 y2; x3 y3];
%continua en la siguiente hoja

27. for i=1:n
x=x1;
f1=eval(A)*y1+eval(B);
x=x2;
f2=eval(A)*y2+eval(B);
x=x3;
f3=eval(A)*y3+eval(B);
p=y0+(4/3)*h*(2*f1-f2+2*f3);
x=x3+h;
fp=eval(A)*p+eval(B);
y=(9*y3-y1)/8+(3/8)*h*(-f2+2*f3+fp);
resultHg=[resultHg;x y];
y0=y1;
y1=y2;
y2=y3;
y3=y;
x1=x2;
27
Ejer. 1

28. x0=0; % x0 e y0 puntos iniciales
y0=[ 1.0000,-1.0000,0]';
y1=[ 0.9013 -0.9613 0.7184]'; % y1, y2, y3 calculado con RK4
y2=[ 0.8096 -0.8653 1.1645]';
y3=[ 0.7294 -0.7342 1.4357]';
h=0.1;
n=17; % 3 de 20 iteraciones ya usamos en RK4
syms x;
a=[8/(1+x)^3,-1/(1+x)^2,-1/(1+x)];
f=x/(1+x)^5;
x1=x0+h;
x2=x1+h;
x3=x2+h;
m=length(y1);
resultHg=[x0, y0(1); x1,y1(1);x2,y2(1);x3,y3(1)];
A=[zeros(m-1,1) eye(m-1);a];
B=[zeros(1,m-1),f]';
Algoritmo Hamming- matlab
Valido para EDO de orden N
N=1, 2, 3…N orden
Ejer. 3
28

29. 29
Valido para EDO de orden N
N=1, 2, 3…N orden
for i=1:n
x=x1;
f1=eval(A)*y1+eval(B);
x=x2;
f2=eval(A)*y2+eval(B);
x=x3;
f3=eval(A)*y3+eval(B);
p=y0+(4/3)*h*(2*f1-f2+2*f3);
x=x3+h;
fp=eval(A)*p+eval(B);
y=(9*y3-y1)/8+(3/8)*h*(-f2+2*f3+fp);
resultHg=[resultHg;x y(1)];
y0=y1;
y1=y2;
y2=y3;
y3=y;
x1=x2;
Ejer. 3

30. Hamming modificado
30
k xk pk fpk mk fmk yk fk
0 x0 y0 f0
1 x1 y1 f1
2 x2 y2 f2
3 x3 y3 f3
4 x4 p4 fp4 y4 f4
5 x5 p5 fp5 m5 fm5 y5 f5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
El paso general del método de Hamming Modificado es:
𝑚𝑘 + 1
= 𝑝𝑘 + 1 +
112
121
𝑦𝑘 − 𝑝𝑘
• Valor modificador:
• Valor corrector:
𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑒𝑛 𝑎, 𝑏 𝑐𝑜𝑛𝑦 𝑥0 = 𝑦0
𝑝𝑘 + 1 = 𝑦𝑘 − 3 +
4ℎ
3
2𝑓𝑘 − 2 + 𝑓𝑘−1 + 2𝑓𝑘
• Valor predictor:
𝑦𝑘+1 =
1
8
9𝑦𝑘 − 𝑦𝑘−2 +
3ℎ
8
−𝑓𝑘−1 + 2𝑓𝑘 + 𝑓 𝑥𝑘+1, 𝑚𝑘+1

31. Hamming Modificado
31
k xk pk mk fmk yk fk
0 0,0 1,000000 0,500000
1 0,1 1,055409 0,612638
2 0,2 1,123596 0,757481
3 0,3 1,208459 0,949243
4 0,4 1,315504 1,2111386 1,315805 1,211940
𝑚𝑘 + 1
= 𝑝𝑘 + 1 +
112
121
𝑦𝑘 − 𝑝𝑘
𝑝𝑘 + 1 = 𝑦𝑘 − 3 +
4ℎ
3
2𝑓𝑘 − 2 − 𝑓𝑘 − 1 + 2𝑓𝑘
𝑦𝑘+1 =
1
8
9𝑦𝑘 − 𝑦𝑘−2 +
3ℎ
8
−𝑓𝑘−1 + 2𝑓𝑘 + 𝑓 𝑥𝑘+1, 𝑚𝑘+1

32. 32
k xk pk mk fmk yk fk
0 0,0 1,000000 0,500000
1 0,1 1,055409 0,612638
2 0,2 1,123596 0,757481
3 0,3 1,208459 0,949243
4 0,4 1,315504 1,211386 1,315805 1,211940
5 0,5 1,454022 1,454300 1,586242 1,454614
𝑝4 = 𝑦0 +
4ℎ
3
2𝑓1 − 𝑓2 + 2𝑓3
𝑝4 = 1 +
4 ∗ 0,1
3
∗ 2 ∗ 0,612638 − 0,757481 + 2 ∗ 0,948281 = 1,315504
𝑓𝑚4 = 0,5 1 + 𝑥4 ∗ 𝑝4
2
𝑓𝑚4 = 0,5 1 + 0,4 ∗ 1,3155042 = 1,211386
𝑦4 =
1
8
9𝑦 3 − 𝑦1 +
3ℎ
8
−𝑓2 + 2𝑓3 + 𝑓𝑚4
𝑦4 =
1
8
9 ∗ 1,208459 −1,055409 +
3 ∗ 0,1
8
−0,757481 + 2 ∗ 0,949243 + 1,211386
= 1,315805
𝑓4 = 0,5 1 + 𝑥4 ∗ 𝑦4
2
940 Obs: la primera vez m4=p4

33. 33
k xk pk mk fmk yk fk
0 0,0 1,000000 0,500000
1 0,1 1,055409 0,612638
2 0,2 1,123596 0,757481
3 0,3 1,208459 0,949243
4 0,4 1,315504 1,211386 1,315805 1,211940
5 0,5 1,454022 1,454300 1,586242 1,454614
𝑝5
= 𝑦1 +
4ℎ
3
2𝑓2 − 𝑓3 + 2𝑓4 22
𝑓𝑚5 = 0,5 1 + 𝑥5 ∗ 𝑚5
2
42
𝑚5 = 𝑝5 +
112
121
𝑦4 − 𝑝4
𝑚5 = 1,454022 +
112
121
1,315805 − 1,315504 = 1,454300
𝑦5 =
1
8
9𝑦 4 − 𝑦2 +
3ℎ
8
−𝑓3 + 2𝑓4 + 𝑓𝑚5
454614

34. x0=0; % x0 e y0 puntos iniciales
y0=[ 1.0000,-1.0000,0]';
y1=[ 0.9013 -0.9613 0.7184]'; % y1, y2, y3 calculado con RK4
y2=[ 0.8096 -0.8653 1.1645]';
y3=[ 0.7294 -0.7342 1.4357]';
h=0.1;
n=17; % 3 de 20 iteraciones ya usamos en RK4
syms x;
a=[8/(1+x)^3,-1/(1+x)^2,-1/(1+x)];
f=x/(1+x)^5;
x1=x0+h;
x2=x1+h;
x3=x2+h;
m=length(y1);
resultHgM=[x0, y0(1); x1,y1(1);x2,y2(1);x3,y3(1)];
A=[zeros(m-1,1) eye(m-1);a];
B=[zeros(1,m-1),f]';
Hamming modificado- matlab
Valido para EDO de orden N
N=1, 2, 3…N orden
Ejer. 3
34

35. 35
Valido para EDO de orden N
N=1, 2, 3…N orden
for i=1:n
x=x1;
f1=eval(A)*y1+eval(B);
x=x2;
f2=eval(A)*y2+eval(B);
x=x3;
f3=eval(A)*y3+eval(B);
p=y0+(4/3)*h*(2*f1-f2+2*f3);
if i>1
mod=p+(112/121)*(y3-p0);
else mod=p;
end
x=x3+h;
fm=eval(A)*mod+eval(B);
y=(9*y3-y1)/8+(3/8)*h*(-f2+2*f3+fm);
resultHgM=[resultHgM;x y(1)];
Ejer. 3

36. Referencias
Diapositivas de clase de Cálculo 4 - FIUNA.
Ing. Viviana Ortellado