Diapositivas realizadas con fines educativos, sobre el Teorema de Varignon.

1. TEOREMA DE VARIGNON
NOMBRE:
DOCENTE:
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
FÍSICA CLÁSICA

2. Uno de los principios más útiles de la Mecánica es el teorema de
Varignon.
Establece que el momento de una fuerza respecto a un punto
cualquiera es igual a la suma de los momentos de sus
componentes respecto a dicho punto.

3. Para demostrar este teorema, consideremos la Fuerza R actuante en
el plano del cuerpo de la figura que se muestra a la derecha, Sean P y
Q dos fuerzas que representan sendas componentes no rectangulares
rectangulares cualesquiera de R. El momento de ésta respecto a O es:
𝑀 𝑂 = 𝑟 × 𝑅
(2.9)

4. Como 𝑹 = 𝑷 + 𝑸, podemos escribir:
𝑟 × 𝑅 = 𝑟 × 𝑃 + 𝑄
Finalmente, aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial,
tenemos:
𝑀 𝑂 = 𝑟 × 𝑅 = 𝑟 × 𝑃 + 𝑟 × 𝑄
(2.8)

5. Lo que muestra que el momento de 𝑅 respecto a 𝑂 es igual a la
suma de los momentos respecto a 𝑂 de sus componentes 𝑃 y 𝑄, tal
como afirma el teorema.
El teorema de Varignon no es necesario limitarlo al caso de dos
componentes sino que es perfectamente aplicable a tres o más.
Para la demostración anterior podría haberse empleado un número
cualquiera de componentes de R.

6. Para destacar el significado físico de este principio, la equivalente
escalar de la expresión 2.8 podemos escribirla como sigue para la
configuración de la figura 2.9a de la diapositiva 3.
𝑀 𝑂 = 𝑅𝑑 − 𝑝𝑃 + 𝑞𝑄
donde se toma como positivo el sentido horario.
En su enunciado original, el teorema de Varignon se limitaba al caso de dos componentes concurrentes de
una fuerza dada

7. Ejemplo:
Calcular el momento de la fuerza de 600 𝑁 respecto al punto 𝑂 de la base, siguiendo cinco
procedimientos diferentes.
(I) El brazo de momento de la fa fuerza 600 𝑁 es:
𝑑 = 4 cos 40° + 2 sin 40° = 4,35 𝑚
Según M = 𝐹𝑑 el momento es de sentido horario y su módulo vale
𝑀 𝑂 = 600 4,35
𝑀 𝑂 = 2610 𝑁 ∗ 𝑚
(II) Sustituir la fuerza por sus componentes rectangulares en 𝐴
𝐹1 = 600 cos 40° = 460 𝑁 𝐹2 = 600 sin 40° = 386 𝑁
Por el teorema de Varignon, el momento será:
𝑀 𝑂 = 460 4 + 386 2
𝑀 𝑂 = 2610 𝑁 ∗ 𝑚

8. (III) Utilizando el principio de transmisibilidad, se desplaza la fuerza a lo largo de su recta soporte hasta el punto B,
con lo cual desaparece el momento de la componente 𝐹2. El brazo de momento de 𝐹1 se hace:
𝑑1 = 4 + 2 tan 40° = 5,68 𝑚
Y el momento es
𝑀 𝑂 = 460 5,68
𝑀 𝑂 = 2610 𝑁 ∗ 𝑚
(IV) Trasladando la fuerza al punto C se elimina el momento de la componente 𝐹1. El brazo de momento de 𝐹2 se hace
𝑑2 = 2 + 𝑐𝑜𝑡 40° = 6,77 𝑚
Y el momento es
𝑀 𝑂 = 386 6,77
𝑀 𝑂 = 2610 𝑁 ∗ 𝑚

9. (V) Utilizando la expresión vectorial del momento, para el sistema de coordenadas indicado en la figura y
aplicando las reglas del producto vectorial, tenemos:
𝑀 𝑂 = 𝑟 × 𝐹 = 2𝑖 + 4𝑗 × 600 𝑖 cos 40° − 𝑗 sin 40°
𝑀 𝑂 = −2610𝑘 𝑁 ∗ 𝑚
El signo menos indica que el vector tiene el sentido del semieje z negativo. Su módulo es:
𝑀 𝑂 = 2620 𝑁 ∗ 𝑚