Ejercicio 4C3 del capitulo 4 - Mecánica vectorial para ingenieros- Beer Johnston

1. E-mail:xavier.gonzalezc@ucuenca.ec
1
Variación Del Momento Respecto A La Fuerza Y Distancia Sobre Una1
Barra2
Oscar X. González, Willam A. Salinas, Juan J. Hidalgo, Christian X. Mora3
Estática I, Universidad de Cuenca, Ec.4
Resumen5
El presente trabajo fue realizado con el fin de hacer uso del software informáticos de cálculo6
como es el caso de (Matlab) en la resolución de las diferentes problemáticas, en el transcurso de7
la asignatura de estática se recolecto información que complemento el presente proyecto, los8
conocimientos obtenidos y elsoftware utilizado nos ayudaron con la resolución de los problemas,9
permitiéndonos formular ecuaciones que de manera sencilla arrojen resultados veraces. El10
software antes mencionado empleado para la obtención de resultados también permitió crear11
graficasen función de las ecuacionesobtenidas, que también fueron de gran ayuda para identificar12
de manera rápida y precisa los resultados que las problemáticas planteaban.13
El ejercicio fue resuelto de forma manualmente mediante distintas ecuaciones vistas en el14
trascurso de la asignatura tales como: sumatoria de fuerzas, equilibrio de cuerpos, momento y15
reacciones, que se aplicaron al analizar la acción de una fuerza en un punto determinado de una16
barra. Con los datos otorgados se obtuvo la fórmula en función x, la incógnita que el ejercicio17
requería.18
De forma precisa se demuestra que es factible utilizar distintos tipos de software para la19
resolución de este ejercicio, puesto que incluyen un rango extenso de valores y nos ahorran20
tiempo considerablemente. Gracias a Matlab se pudo obtener estos valores de una manera21
inmediata, que de otra manera al hacerlos a mano casi resultaría imposible o muy tardado. De la22
misma manera el programa también fue capaz de otorgar graficas exactasenbase a las ecuaciones23
que el problema requería.24
25
Palabras Clave: Fuerza,Momento, Barra.26
27
Fuerza: La fuerza esuna magnitud vectorial, y estoda causa capazde cambiar elestadode reposo28
o de movimiento de un cuerpo.29
Momento: El momento de una fuerza (respecto a un punto dado) a una magnitud30
(pseudo)vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de31

2. 2
aplicación de la fuerza (con respecto al punto al cual se toma el momento) por el vector fuerza,32
en ese orden.33
Barra:Pieza de metal larga y delgada, generalmente de sección cuadrada, rectangular o34
cilíndrica35
36
Abstract37
The work was carried out in order to use graphical and calculation software in the resolution of38
exercises, in this way the knowledge obtained during the course of the cycle in the subject of39
Static wasused,which later helped us with the resolution of the problems and thus, obtain a series40
of formulas and results based on the software used. The software usedto obtain results and graphs41
of the functions wasMathlab 2015, this together facilitated the resolution of the exercise fulfilling42
all the parameters that he himself required43
The exercise was solved manually by means of different equations such as sum of forces,44
equilibrium of bodies, moment and reactions, which were determined when analyzing the action45
of a force in a given point of a bar, with the data given the formula was obtained in function x,46
the unknown that the exercise required.47
As a purpose, this project shows that it is feasible to use different types of software for the48
resolution of this exercise since they include anextensive range of values and save us considerable49
time. Thanks to Mathlab it was possible to obtain these values in an immediate way, which50
otherwise would be impossible or very slow to make them by hand.51
52
Keywords: Strength, Moment, Bar.53
54
Strength: The force is a vector magnitude, and is any cause capable of changing the state of rest55
or movement of a body.56
Moment: The moment of a force (with respect to a given point) to a magnitude (pseudo) vector,57
obtained as a vector product of the position vector of the point of application of the force (with58
respect to the point at which the moment is taken) by the force vector, in that order.59
Bar: Long thin metal part, usually square, rectangular or cylindrical.60
61
62

3. 3
1. Introducción63
En este ejercicio se analizará la variación de magnitud de P con respecto a una distancia x, que se64
genera al ejercer una fuerza sobre un punto en una barra. Para ello es necesario conocer y hacer65
uso de los siguientes conceptos.66
La estática es elestudio de los cuerpos que están en reposo o se mueven con velocidad constante.67
El momento de una fuerza indica la tendencia de un cuerpo a girar con respecto a un eje que pasa68
por un punto específico O.69
Se establece que el momento de una fuerza con respecto a un punto es igual a la suma de los70
momentos de las componentes de la fuerza con respecto a punto.71
En la resolución del problema puede hacer uso de la regla de la mano derecha, la cual permite72
determinar el sentido de giro delmomento. Esta regla consiste en que elsentido de rotación quede73
indicado por los dedos y el pulgar es dirigido a lo largo del eje de momento, o línea de acción del74
momento. La magnitud del momento se determina mediante la siguiente formula:75
𝑴 𝑂 = 𝐹𝑑 Eq. 176
Para determinar el momento en tres dimensiones se hace uso del producto cruz:77
𝑴 𝑂 = 𝒓 𝑥 𝑭 Eq. 278
(Russel C. Hibbeler, 2004).79
En un sistema de equilibrio, cuando actúa una fuerza externa, cambia el comportamiento de las80
tensiones que soportan el mismo. Este comportamiento es estudiado mediante las gráficas que las81
ecuaciones de equilibrio nos proporcionan.82
Para la resolución de los siguientes problemas es necesario saber que un vector se define como83
una expresión matemática que posee magnitud, dirección y sentido, los cuales se suman de84
acuerdo con la ley del paralelogramo. (Beer, Johnston & Eisenberg, 2007).85
El vector posición r se define como un vector fijo, que localiza un punto del espacio con relación86
a otro punto.87
r = xi + yj + zk Eq. 388
Russel C. Hibbeler define a la fuerza como un “empujón” o un “jalón” ejercido por un cuerpo89
sobre otro. Esta interacción puede ocurrir cuando hay un contacto directo entre los cuerpos, como90
cuando una persona empuja una pared, o bien puede ocurrir a través de una distancia cuando los91
cuerpos están separados físicamente. Entre los ejemplos del último tipo están las fuerzas92

4. 4
gravitacionales, eléctricas y magnéticas.En cualquier caso,una fuerza se caracteriza por completo93
por su magnitud, dirección y punto de aplicación. (Russel C. Hibbeler, 2004).94
𝐹𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹𝑛 Eq. 495
Para el análisis del comportamiento de las tensiones se utiliza el concepto de equilibrio de una96
partícula, que nos dice que si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es97
cero, la partícula se encuentra en equilibrio (Beer, Johnston & Eisenberg, 2007).98
𝑹 = ∑ 𝑭 = 0 Eq. 599
Donde 𝑭 se puede descomponer en:100
∑ 𝐹𝑥 = 0 Eq. 6101
∑ 𝐹𝑦 = 0 Eq. 7102
∑ 𝐹𝑧 = 0 Eq. 8103
104
2. Materiales YMétodos105
El método que se utiliza para la obtención del comportamiento de la fuerza P en función de x, es106
el analítico-deductivo, para el cual se procede obteniendo los vectores de las fuerzas presentes en107
el sistema. (Figura 1)108
Primero se debe trazar el diagrama de cuerpo libre. (Figura 2)109
La distancia desde el punto A hasta el punto intermedio de la barra donde radica el peso de la110
misma se la representara como (x/2).111
En la siguiente Ecuación se representa la suma de momentos.112
∑ 𝑀𝐴= 0 Eq. 9113
Primer momento se determina como el producto del peso con signo negativo por la distancia114
perpendicular a este desde el punto A.115
−𝑤 ∗
𝑥
2
= 𝑀𝑜1 Eq. 10116
El momento 2 se determina como P la fuerza ejercida multiplicada por la altura 16.117
P (16)=0118
Sumando los momentos, y despejando P se obtiene la ecuación pedida en función de x.119
−𝑤 ∗
𝑥
2
+ 𝑃 (16) = 0 Eq. 11120

5. 5
𝑝 =
𝑤 ∗
𝑥
2
16
121
𝑝 =
𝑤∗𝑥
32
Eq. 12122
123
124
El software que se utilizó para el análisis de las gráficas es Matlab debido a su precisión al125
momento de presentar las gráficas. De la misma forma su programación nos permite analizar los126
rangos de valores requeridos, en este caso las tenciones en función del Angulo 𝜃, al comparó127
con otros software que realizan la misma función y se observó que Matlab obtuvo mejor128
rendimiento.129
Matlab es uno de los software de mayor uso en el ámbito de análisis para investigaciones130
científicas, por este aspecto es de gran aporte en el desarrollo de la presente investigación.131
132
3. Resultados133
Haciendo uso del software especializado de programación Matlab se pudo resolver las134
interrogantes planteadas en el ejercicio.135
Para ello primero se ha ingresado los comandos en el software antes mencionado.136
137
clear all138
clc139
a=input('nn INTRODUZCA EL VALOR DE DISTANCIA x (entre 0in y140
30in):')141
x=a;142
b=input('nn INTRODUZCA EL VALOR DE W DE LA BARRA(entre 0lb y143
20lb):')144
w=b;145
P=(w*x)/(32)146
147
x=0:0.01:30;148
P=(w*x)/(32);149
plot(x,P,'r');grid on150
hold on151
ylabel 'lb';152
xlabel 'in';153
154
En el ingreso de los presentes datos se puede observar los comandos ingresados en el155
software.156
Los resultados obtenidos se vieron reflejados como una función en la (figura 3).157
Los valores numéricos se representaron dentro de la (tabla 1).158
159
160

6. 6
3.1.Análisis161
Como podemos observar en las gráficas, este es un resultado lineal creciente, que explica que162
cuando la distancia x es mayor la fuerza P necesaria para mantener el sistema en equilibrio será163
mucho mayor, esto también se ve reflejado en la tabla de valores (Tabla 1), donde podemos164
apreciar que a una distancia de 30 in la fuerza ejercida por P será de 18.7 N. Si la distancia165
perpendicular de la fuerza al punto A es 0 la fuerza ejercida por la fuerza también será cero,estos166
resultados se ven presente tanto en la ecuación como la gráfica, lo que no lleva a verificar la167
veracidad de los datos.168
4. Discusión169
El uso de software ayuda en gran parte a la interpretación de los ejercicios de forma rápida y170
precisa. Estos datos no aparecen al mismo tiempo en la resolución del ejercicio por lo que171
debemos ingresar los datos de la función por separado para poder obtener los datos completos del172
ejercicio, para poder comprobar los resultados obtenidos en la resolución del ejercicio.173
Una ventaja que nos ofrece el programa es el dibujo de las gráficas. Este las realiza de manera174
inmediata luego de haber ingresado todos los datos, evitando así el uso de software adicional de175
graficacion.176
Matlab no cuenta con una versión en español que facilite el ingreso y comprensión de los177
comandos requeridos para la utilización de este software. Se requiere de un conocimiento previo178
del inglés para el ingreso de los códigos de programación.179
Los comandos varían de acuerdo al tipo de datos.180
181
5. Conclusión182
- La grafica da un resultado lineal lo que nos dice, que cuando la distancia x es mayor la183
fuerza ejercida por P también será mayor en este caso la mayor fuerza se verá dada por184
una distancia de 30 in.185
- Se concluye que el resultado en base a la idea propuesta resulto beneficioso, y se cree que186
es una forma factible de la resolución de ejercicios de estática, ya que se ha logrado187
alcanzar y superar las expectativas de los miembros participantes del proyecto y, sobre188
todo, cumplen con los objetivos planteados al iniciar el proyecto.189
- Se considera al método planteado como viable, ya que es una manera muy óptima de190
resolver un ejercicio, que como ya se ha dicho presenta cálculos exactos y de sencilla191
forma de interpretar. Uno de los grandes puntos a favor que tiene la metodología en192
cuestión, es su sencillo uso, resumidas funciones, ventanas de ayuda al usuario, variedad193

7. 7
de tutoriales en línea, facilidad de acceso a funciones y muchas otras comodidades que194
permite a un individuo para realizar sus cálculos en un menor tiempo.195
- La función extra de graficar del software, permitió verificar tanto de manera analítica196
como visual los resultados esperados, ya que se observó un crecimiento lineal en la197
función, producto de la variación de la distancia tal como se representó en elresultado de198
las ecuaciones.199
200
Agradecimiento201
Este trabajo se pudo concluir con ayuda del Ing. Santiago Vélez Guayasamín docente de estática202
de la Universidad de Cuenca quien nos aportó los conocimientos necesarios para la resolución de203
las diferentes problemáticas. De igual manera expresamos nuestro más sincero agradecimiento a204
nuestros padres, quienes con su apoyo constante fueron un pilar primordial y fuente inagotable de205
motivación. De forma muy especial agradecemos a nuestros compañeros de grupo los mismos206
que con sus aportes y diferentes puntos de vista permitieron concluir el presente proyecto.207
Referencias208
[1] BEER, JOHNSTON & EISENBERG, Mecánica Vectorial para Ingenieros (8 ed.), 2007, 3.209
[2] RUSSEL C. HIBBELER, Ingeniería mecánica estática (12 ed.), 2004, 10.210
211
TABLAS212
213
x w P
10 20 lb 6.25 N
20 20 lb 12.5 N
30 20 lb 18.7 N
214
Tabla 1: En la tabla 1 podemos observar los valores que nos arroja el software en donde se215
ven representadas las distancias de x y la fuerza ejercida por P en cada una de ellas.216
217
FIGURAS218

8. 8
219
Figura 1: En la figura 1 se observa un diagrama con las fuerzas y distancias representadas220
en el sistema.221
222
223
Figura 2: En la figura 2 se representa un diagrama de cuerpo libre, en donde se224
incorporan las distancias, fuerzas y ángulos presentes en el sistema.225
226

9. 9
227
Figura 3: En la figura 3 se representan los resultados como un función lineal.228