El documento presenta una introducción a las ecuaciones y su resolución en el contexto de un curso de cálculo diferencial. Explica qué son las ecuaciones y cómo se utilizan para resolver problemas de movimiento. Luego define ecuaciones lineales y cuadráticas, y describe los pasos para resolver este tipo de ecuaciones, incluyendo el uso del discriminante para determinar el número de soluciones. Finalmente, presenta ejercicios y problemas para practicar la resolución de ecuaciones.

1. ESCUELA DE INGENIERIAS Y
ADMINISTRACION
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
Introducción al Cálculo Diferencial
PRIMER SEMESTRE 2015
Taller 4
PROFESOR:
ECUACIONES
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones. Las ecuaciones se utilizan en cualquier
campo que se empleen números reales, por ejemplo la distancia que ha recorrido un objeto
donde es la distancia, es la rapidez (velocidad) y es el tiempo.
En este caso particular, la ecuación se utiliza para resolver problemas relacionados con el
movimiento de un objeto.
EJEMPLO 1. Calcular la distancia que recorre un automóvil que viaja a una velocidad constante de
50 km/h (kilómetros por hora) durante 3 h (horas) .
Solución. se sabe que la velocidad es km/h y el tiempo es h, entonces la distancia
es
Así, la distancia recorrida por el automóvil es de
EJEMPLO 2. Un transportador debe ir de Bucaramanga a Piedecuesta en 1 hora, ¿cuál debe ser
la velocidad promedio si estos municipios están separados por 25 km?
Solución. Reemplazando los valores de tiempo ( ) y distancia ( ) en la ecuación, se
obtiene
En este caso la incógnita es la rapidez (velocidad), despejando
así, la velocidad promedio a la que debe ir el transportador es de 25 km/h.
Las ecuaciones se pueden presentar en una o en varias variables, en el caso del objeto que se
mueve, la ecuación presenta tres variables . Ejemplos de ecuaciones que tienen una sola
variable son:

2. En cada ejemplo la variable es , aunque aparezca con exponente 1, 2 o 3. Este tipo de
ecuaciones se denomina ecuación algebraica en .
1. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN: La solución de una ecuación es un número real que al ser
reemplazado por la variable satisface la igualdad original. Ejemplo:
La ecuación tiene como solución a 1, pues al reemplazar por 1 se obtiene la igualdad
2. ECUACIONES EQUIVALENTES: Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen
exactamente las mismas soluciones. Ejemplo:
La ecuación es equivalente a la ecuación
Pues al reemplazar por 2 se obtiene una igualdad para ambas ecuaciones (verificar).
3. RESOLVER UNA ECUACIÓN: Resolver una ecuación consiste en encontrar todas las
soluciones posibles que tenga dicha ecuación. Ejemplo:
Para resolver la ecuación se deben encontrar todos los valores reales que
solucionan dicha ecuación. Esto se logra factorizando la parte izquierda de la ecuación de la
siguiente manera
Teniendo en cuenta que las tres ecuaciones anteriores son equivalentes, se procede a encontrar
los valores de que satisfacen la ecuación
Por tratarse de un producto, se observa que las soluciones son , y , (verificar).
Las soluciones se representan por el conjunto {-4, 0, 3}.
3.1 Ecuación Lineal: es una ecuación en la variable que se puede escribir de la forma
donde son números reales y .
EJEMPLO 4. Las siguientes ecuaciones son lineales

3. EJEMPLO 5. Resolver la ecuación lineal
3.2 Ecuación cuadrática: Es una ecuación en la variable que se puede escribir de la forma
donde son números reales y .
EJEMPLO 6. Las siguientes ecuaciones son cuadráticas
EJEMPLO 7. Resolver la ecuación
Esto indica que el conjunto solución es {6,-2}.
Sin embargo, una ecuación cuadrática puede tener dos soluciones, una solución o ninguna
solución, por ejemplo la ecuación no tiene solución en los números reales ¿por qué?
Para determinar si una ecuación cuadrática tiene o no solución, se utiliza la forma general
En primer lugar se despeja el término constante
se factoriza el término
asumiendo que , la ecuación anterior es equivalente a

4. luego es necesario completar un cuadrado perfecto en el lado izquierdo de la ecuación, esto es un
polinomio de la forma . Haciendo
se obtiene y finalmente . Así, sumando en ambos lados de la ecuación se
obtiene la ecuación
o de forma equivalente
aplicando raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad
despejando la variable
sumando las fracciones del lado derecho, finalmente se obtiene
Con la expresión anterior, se representan todas las posibles soluciones de una ecuación
cuadrática, en caso de que existan.
La expresión se denomina discriminante de la ecuación cuadrática y su signo está
asociado con las soluciones de la ecuación de la siguiente manera:
EJERCICIOS
En los ejercicios 1 – 20 encontrar la solución de las siguientes ecuaciones

5. 1. – 2. –
3. 4.
5. – 6.
7. 8. –
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19.
20.
PROBLEMAS
1. ¿Si un lado de un triángulo es la tercera parte del perímetro, el segundo lado mide
7 cm y el tercer lado es un quinto del perímetro, cuál es el perímetro del triángulo?
2. ¿Un estudiante en un curso de álgebra y trigonometría tiene como calificación 3.7
en el primer examen (40%), cuánto debe sacar en el segundo examen (60%) para
obtener un 4.0 en la nota de exámenes?
3. Una tienda de ropa que realiza una venta de liquiación anuncia que todos los
precios tienen un descuento de 20%. Si un vestido está a la venta en
$68.000,¿Cuál es el precio de preventa?
4. Se cuenta con dos bombas para llenar un tanque de almacenamiento de
combustible. La bomba A, empleada sola, puede llenar el tanque en 3 horas y la
bomba B, empleada sola, puede llenar el tanque en 4 horas. Si ambas bombas se
usan simultáneamente, ¿cuánto tardará en llenarse el tanque?
5. El salario bruto que un trabajador lleva a su casa es de $900.000 después de
restar deducciones que totalizan el 25% del mismo ¿cuál es el salario bruto?