teoria_de_errores

1. TEORIA de ERRORES

3. Generalidades:
 Una “discrepancia" es la diferencia entre dos valores
medidos de la misma cantidad.-
 La “precisión” se refiere al grado de consistencia de un
grupo de mediciones y se evalúa tomando como base la
magnitud de las discrepancias,.
 La “ exactitud” indica una absoluta aproximación al
verdadero valor de la cantidad medida.-
La exactitud se ve influenciada por :
* La precisión de los instrumentos.-
* La precisión de los métodos.-
* Un adecuado proyecto de mediciones.-
Faltas: Son inexactitudes groseras, generadas en gran parte
por la imprudencia del observador.-

4.  La precisión de un instrumento o un método de
medición esta relacionada a la sensibilidad o menor
variación de la magnitud que pueda detectar.
 Por otra parte, la exactitud de un instrumento o
método de medición se relaciona a la concordancia
contra la referencia patrón del mismo. Cuando un
instrumento es fabricado se calibra a una medida de
referencia, que varia con el funcionamiento del
mismo, por lo que periódicamente debe ser
restablecida su exactitud exacto.
 La exactitud es una medida de la calidad de la
calibración

7. Tipos de Errores
 Errores Sistemáticos: Resultan de factores que
comprenden el “ sistema de medición” e incluyen
el medio ambiente, los instrumentos y el
observador.- Si las condiciones se mantienen
constantes, los errores también lo serán.-
 Errores Accidentales o Aleatorios: Son
ocasionados por factores que están fuera del
control observador y obedecen a las leyes de la
probabilidad. Estos errores están presentes en
todas las mediciones topográficas.-

8. UN ERROR
valor verdadero
es una
con respecto a
imperfección de los
sentidos de una
persona
imperfección de
los instrumentos
utilizados
por efectos
climáticos
ocasionado por la
diferencia

9. Tipo de Observaciones
 Directas: Son aquellas que se realizan
directamente sobre la magnitud que queremos
conocer.-
 Indirectas: Son aquellas que se hacen sobre una o
varias cantidades de las que depende la magnitud
que deseamos conocer.-
 Condicionales: Son aquellas que bien siendo
directas o indirectas deben cumplir con ciertos
teoremas geométricos o bien de un análisis
matemático.-

10. Residuo de Observaciones
Curva de Distribución Normal
Probabilidades

11. El valor más probable
 Ninguna medición es exacta y nunca se conoce el valor
verdadero de la cantidad que se está midiendo.
 Para remediar los errores aleatorios se pueden tomar
repetidas observaciones de la misma medida
(observaciones redundantes) y valerse de la ley de
probabilidades. Siendo n el número de observaciones y Xi
el resultado de cada una de ellas, se puede calcular un
valor medio, cercano a la medida exacta:

12.  Este valor contiene un error que se expresa en función de
la desviación estándar de las observaciones. Para conocer
la desviación estándar (sigma) es necesario averiguar la
diferencia entre cada observación y la media, lo que se
conoce como residuo o error residual (Vi = Xi - Media); de
manera que la desviación estándar de la media es:

13.  Cuando se realizan varias observaciones los
resultados tienden a acumularse alrededor de la
media y a distribuirse de una forma particular,
denominada curva de distribución normal. Esta
curva tiene una típica forma de campana y sirve
para determinar un intervalo dentro del que, con
determinada probabilidad, se encuentra el valor
exacto (o mejor, más probable) de la medición. La
amplitud de la curva también permite conocer la
precisión de la observación en conjunto.

14. Las anteriores son curvas de distribución normal en las
que el eje de las abscisas marca los intervalos de clase, o
el tamaño del residuo escogido para la distribución, y el
eje de las ordenadas (el vertical) indica la frecuencia de
ocurrencia, o el número de observaciones que caen
dentro de cada intervalo

15.  La desviación estándar señala el punto de inflexión de cada
curva y, la amplitud indica la precisión, de manera que las
mediciones que se hicieron para obtener la curva roja
fueron más precisas que las de la gráfica azul -nótese que
la desviación estándar es menor en el primer caso que en el
segundo-.
 El área bajo la curva indica a su vez la probabilidad de
error para un determinado valor. Así que, si se quiere tener
una certeza del 50% respecto a una medida, se debe
calcular el error probable como:

16. Relación entre Error y % de Área bajo la Curva de Distribución
Normal

17.  En general, se puede calcular Ep como:
 En donde Cp es un factor que sale de la gráfica anterior,
que relaciona el porcentaje del área bajo la curva de
probabilidad y el error.
 En topografía se utilizan comúnmente los errores del 50%,
90%, 95% (o 2·sigma) y 99,7% (o 3·sigma), los cuales
tienen su correspondiente factor:

18.  Finalmente se obtiene el valor más probable de
la medición como:
El error unitario de la medición se puede calcular con la
siguiente expresión:
que indica la error que se produjo al medir una unidad, por
ejemplo 0,0003 m por cada metro que se mide, y se expresa
generalmente como:
y se lee “uno a ‘inverso del error unitario’” y
consiste en el grado de precisión de la medición.

19.  También se puede evaluar cada observación por separado, calculando
su desviación estándar:
 Este estadígrafo tiene varias propiedades interesantes para la
determinación del valor promedio.
 1. Para las distribuciones normales (n≥30), en el intervalo
aparecerán aproximadamente el 68,27% (0,6827) de los valores
medidos, es decir una desviación estándar a cada lado de la media.
 2. El 95,45 % (0,9545) de los datos probablemente estará incluido en
el intervalo (dos desviaciones a cada lado).
 3. Alrededor del 99.95 % (0.9995) de las observaciones se encuentran
en el intervalo

21. EJEMPLO
Se mide una misma distancia cinco veces
con la misma cinta métrica y en iguales
condiciones climáticas obteniendo los
siguientes resultados: 19,23 m ; 19,19 m ;
19,27 m ; 19,24 m ; 19,21 m . ¿Cuál fue
la distancia medida?

22. SOLUCION
 Hay que tabular los datos de la siguiente manera y
aplicar lo explicado :
Xi (m) V (m) V2 (m2)
19,23 + 0,002 0,000 004
19,19 - 0,038 0,001 444
19,27 + 0,042 0,001 764
19,24 + 0,012 0,000 144
19,21 - 0,018 0,000 324
∑ = 96,14 ∑ = 0,000 ∑ = 0,003 68

23.  Como el número de mediciones es igual a 5,
entonces n=5; por lo tanto, la media es:
X media = 96,14 m / 5 = 19,228 m
 La desviación estándar se calcula conociendo la
sumatoria de los residuos al cuadrado (0,003 68) y
la cantidad de observaciones:
= [(0,003 68)/(5-1)]½ = 0,03033 m
 Aplicando la fórmula para un error probable del
50% (Cp = 0,674 5) se tiene:
Ep = 0,674 5 *(0,03033 m) = 0,020 m
 Entonces se puede afirmar que existe un 50% de
probabilidad de que la distancia sea:
X = 19,228 m ± 0,020 m

24.  Con estos resultados se puede calcular la precisión con la
que se efectuó la medida:
E = 0,020 m / 19,228 m = 0,001064
 Que significa que por cada metro que se midió se cometió
un error de 0,0010 m , que expresado como grado de
precisión queda:
Precisión = 1 : (19,228 / 0,020) = 1 : 961
lo cual quiere decir que, si se midiera con la misma
precisión una distancia de 961 m , se cometería un error de
1 m .

25. ERROR
Diferencia entre el valor medido
o calculado y el real.
Se clasifican de acuerdo a las
fuentes que los producen
Personales
Instrumentales
Naturales
En la topografía se consideran
distintas clases de errores
Error real Equivocación
Discrepancia
Error
sistemático
Error
accidental
Se aplica la teoría
de errores o de
probabilidades
Para calcular el valor más
probable o la precisión más
probable en la que se hayan
eliminado los errores
sistemáticos.

26.  Criterio para el Rechazo de Observaciones.
 A diferencia de aquellas observaciones que resultan
evidentemente anormales, y que se apartan con facilidad del
grupo de mediciones, existen otras que no pueden
despreciarse con tanta facilidad por el efecto que pueden
provocar en la precisión del resultado final, y deben hacerse
uso de razones consistentes para su análisis.-
 Una manera de tratar el asunto es haciendo uso de las
propiedades de la desviación Standard, como se dijo
anteriormente si podemos esperar que alrededor del 99.95 %
(0.9995) de las observaciones se encuentran en el intervalo
[x-3s ; x+3s ] , entonces al construir este intervalo, los valores
externos a el no pertenecen con seguridad a la distribución y
pueden eliminarse.

27.  Usualmente se aplica una prueba mas
restrictiva conocida como criterio de
Chauvenet, que indica que una observación
puede eliminarse, si la probabilidad de
obtener una desviación particular en valor
promedio es menor de 1/2n; los valores de
esta razón de desviación aceptable se
muestran en la Tabla siguiente.

28.  Tabla1.0 Criterio de Chauvenet para rechazar una
observacion
Número de lecturas Razón de desviación
n máxima aceptable
3 1.38
4 1.54
5 1.65
6 1.73
7 1.80
8 1.86
9 1.92
10 1.96
12 2.03
14 2.10
15 2.13
20 2.24
25 2.33
50 2.57
100 2.81

29. Distribución de Student

30. Ejemplo
Se ha medido por un mismo operador y en
idénticas condiciones el largo de una
parcela. Obteniéndose los resultados que
aparecen en la tabla 1.
Considerando que el proceso se aproxima a
un comportamiento normal, determine con
un 95% de confianza el verdadero valor de
la longitud.

31.  Tabla 1 Resultados de la medición
Lectura l (metros) Di di/σ
1 40.300 0,313 0,50
2 40.730 0,117 0,19
3 41.770 1,157 1,85
4 40.260 0,353 0,56
5 39.330 1,283 2,05
6 40.450 0,163 0,26
7 41.090 0,477 0,76
8 40.640 0,027 0,04
9 40.810 0,197 0,31
10 40.750 0,137 0,22

32.  1. Cálculo:
a. Media aritmética = 40.613 mts
b. Desviación Estándar = 0.627 mts.-
c. Rechazo de Observaciones :
En la tabla 1 las dos últimas columnas indican la desviación
de cada valor a la media y la razón obtenida al dividir con la
desviación estándar (di/σ).- Estos valores se comparan con los
de la tabla 1.0 que para 10 valores muestra una razón máxima
aceptable de 1.96 notando que la quinta observación (39.330),
tiene un cociente superior (di/σ=2.05), lo que justifica su
eliminación.
Nuevamente, con los nueve valores restantes recalculados ,
quedando: media =40.756 mts. y la desviación
estándar= 0.462 mts.-

33.  d. Intervalo de confianza:
Distribución de Student n = 9, Pt = 0.95 de
donde t =2.26, utilizando la ecuación
 Respuesta: El verdadero valor del lado medido, es
de 40,756 mts, ± 0,348 mts. con un 95 % de
confiabilidad.

34. Propagación del errores
Hasta el momento hemos analizado como acotar los
errores en la medición directa de una magnitud
física, que se mide, pero en muchos de los casos es
necesario, medir indirectamente la cantidad en
estudio, a partir de otros parámetros que se le
relacionan físicamente y con estos determinar la
medida deseada.-
Pero: ¿Cómo influye el error en la medición de cada
variable, en el error total?

35. Cálculo del error en las mediciones indirectas
 Medición indirecta: Es la medición en que la cantidad de la
magnitud a medir se determina mediante la dependencia conocida
entre esta y los valores de otras cantidades de magnitud, halladas
directamente unas o a su vez indirectamente otras con o sin la
ayuda de tablas [Coello, 2006]. Ejemplo de ello es el cálculo de los
valores angulares empleando relaciones trigonométricas, etc.
 Si definimos eT como el error total, y e1, e2,…, en , el error en
cada una de las variables independientes, y si cada uno de ellos
tiene la misma probabilidad de ocurrencia, entonces según estas
probabilidades, el error total estará dado por [Delfino, 1985]:

36. Ejemplo
 Calcule el área de la sección transversal de un elemento
rectangular, si se determina por medición directa que sus
lados miden a=100 ± 0.008 mts. y b=75 ± 0.003 mts.
 Este ejemplo trata, de la determinación de forma indirecta del
área del elemento empleando la relación A=a*b, las variables
independientes que se miden directamente son los lados a y b
del rectángulo y el error asociado a su medición directa son
ea= ±0.008 y eb= ±0.003

37.  Luego:
1. Área=a*b=100*75= 7500 m2
2.
sustituyendo en la ecuación anterior,
tenemos: +/- 0.671 mts2
 Finalmente el área es: 7500 +/- 0.671 mts2.

38. Propagación de Errores
 Suma:
y si se trata de n sumandos
 Producto entre variables:
 Cuociente:

39.  CONCLUSIONES:
El conocimiento de los posibles errores que
se pueden cometer en el proceso de
medición permite controlar la magnitud e
influencia de estos en el resultado final, en
el caso de los errores aleatorios aun cuando
no pueden ser eliminados del resultado final
es posible acotar el intervalo de
incertidumbre , y con ello lograr la certeza
de su valor.-