tematica de leyes de algebra

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICE RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
Leyes de Algebra
Alumna: Almarys Vargas 24393652
Cabudare 2017

2. LOGICA PROPOSICIONAL:
El ser humano en la vida diaria, se comunica con sus semejantes a través de un
lenguaje determinado (oral, escrito,..., etc.) por medio de las denominadas frases u
oraciones, estas pueden tener diferentes significados pero siempre van a resumirse a
las formas de verdaderas o falsas, siendo este el precedente fundamental para el
desarrollo del pensamiento humano. Lo importante en el presente estudio es el hecho
de que, a partir de los enunciados (frases u oraciones) y de acuerdo a su significado
es posible establecer una proposición y a partir de un conjunto de estas podemos llegar
a una conclusión, siendo la ciencia encargada del estudio de estas, la lógica.
Ejemplos:
1) Prohibido fumar.
2) x2+y2≥9
3) Tribunal en Lima verá denuncias sobre Ancash
4) 4x – 1= – 5
5) ¿Qué hora es?
6) Fallo contra megacomisión enfrenta al Poder Judicial y al Congreso
7) Él es estudiante de la facultad de ciencias Administrativas y Contables
8) - 6,78 > 1,43
PROPOSICIÓN.- Una proposición es un enunciado que tiene la propiedad de ser
verdadera (V) o falsa (F), pero no ambas simultáneamente.
Representación simbólica: p, q, r, s, t,..., etc.
Ejemplos:
REPRESENTACIÓN
SIMBÓLICA
PROPOSICIÓN
VALOR DE
VERDAD
p: El pentágono tiene cuatro lados F
r: Mario Vargas Llosa escribió conversación
en la catedral
V
s: Ica es la región más afectada por el
terremoto del 2 007
V
t: El parque de la identidad se encuentra
ubicado en Chilca
F
p: - 4 + 3 = 7 F
r: 3,56 > 0,099 V
El valor veritativo o valor de verdad de una proposición se expresa
simbólicamente. Si p es una proposición, su valor de verdad se denota por V(p)
Se escribe: V(p) = V. Si valor de verdad de la proposición p es verdadera
Se lee: el valor de verdad de la proposición p es verdadera
Se escribe: V(p) = F. Si valor de verdad de la proposición p es falsa
Se lee: el valor de verdad de la proposición p es falsa
EXPRESIONES QUE NO SON PROPOSICIONES LÓGICAS

3. Son las expresiones que indican orden, advertencia, saludo,
exclamación o interrogación. Es decir, estas expresiones sólo se quedan como
enunciados.
Ejemplos:
- ¡Buenos días!.
- ¿Quién tocó la puerta?
- No faltes.
- ¿Así se llaman esas criaturas?
- ¡Hola, Harry!
- ¿Qué edad tienes?
- Prohibido fumar.
- ¡Viva la matemática!
ENUNCIADOS ABIERTOS
Los enunciados que usan las palabras “el”, “ella” o las letras x, y, z, ...
, etc. No tienen la propiedad de ser verdaderos o falsos, es decir, no son proposiciones.
Pero, si a estas palabras o letras se les asigna un determinado objeto o valor, llamado
constante, el resultado es una proposición. A este tipo de enunciados se les
denomina enunciados abiertos.
Ejemplos:
- Ella es estudiante de contabilidad
- x – 3 > 7
- 5x + 3y = 2
Si en el primer ejemplo reemplazamos ella por Meredditt, se tiene, “Meredditt es
estudiante de contabilidad”, que es una proposición donde su valor de verdad es V ó F
dependiendo de que si Meredditt sea o no estudiante de contabilidad.
Si en el segundo ejemplo “x” toma un valor menor o igual que 10 la proposición
es falsa y si “x” toma un valor mayor a 10 la proposición es verdadera.
En el tercer ejemplo las variables o letras “x” , “y” pueden tomar infinitos valores
para que el valor de verdad de la ecuación sea verdadera o falsa.
CONECTIVOS U OPERADORES LÓGICOS:
Los conectivos lógicos son símbolos que enlazan proposiciones simples o atómicas, sin
formar parte de ellas: estos símbolos también toman el nombre de operadores.
Los conectivos lógicos que usamos en matemática son:
LENGUAJECOLOQUIAL
LENGUAJE
SIMBÓLICO
NOMBREDEL OPERADOR
no ~ La negación
y  La conjunción
o  La disyunción inclusiva
Si ... entonces ...  La condicional
... sí y sólo sí ...  La bicondicional
O bien ... o bien  La disyunción exclusiva
 = Delta (Cuarta letra del alfabeto griego que corresponde a “d” latina)
CLASES DE PROPOSICIONES LÓGICAS:
PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS
Cuando en ella no existe conectivo u operador lógico alguno.
Ejemplos:
- p: El cuadrado tiene 5 lados
- q: 3 x 4 = 12
- r: 9 es múltiplo de 3

4. PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES
Cuando en ella existe o está presente al menos un conectivo u operador
lógico.
Ejemplos:
-  p: 12 - 5 ≠ 9
- q  p: Rosario jugó, aunque estuvo lesionado
- q  p: Llegué tarde porque el carro se malogró
OPERACIONES CON PROPOSICIONES:
Así como en aritmética y en álgebra se estudian operaciones entre números, en
lógica se estudian operaciones entre proposiciones.
LA NEGACIÓN
La negación de una proposición p se escribe “~ p”
y se lee “no p” ó “no es cierto que p” ó “es falso
que p” y es otra proposición que niega que se
cumpla p.
p ~ p
V F
F V
Ejemplo:
Sea la proposición: p: 4 x 5 = 20 (V)
Su negación es: ~ p: no es cierto que 4 x 5 = 20 (F)
o se puede escribir: ~ p: 4 x 5 ≠ 20 (F)
Simbólicamente: V( ~ p) = F
LA CONJUNCIÓN
Dadas las proposiciones p, q, se simboliza
“p q” y se lee “p y q”, sólo es verdadero
cuando ambos son verdaderos, en los
demás casos siempre es falso.
p q p  q
V V V
V F F
F V F
F F F
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 7 es un número par (F)
q: 7 es menor que 5 (F)
p  q: 7 es un número par y 7 es menor que 5 (F)
Simbólicamente: V(p  q) = F
NOTA: En toda proposición, las palabras: “pero”, “sin embargo”, “además”, “no
obstante”, “aunque”, “a la vez”, etc. Equivalen al conectivo ” “
LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA
Dadas dos proposiciones p, q se escribe
“p  q” y se lee “p ó q”, sólo es falso cuando
ambos son falsos, en los demás casos
siempre es verdadero.
p q p  q
V V V
V F V
F V V
F F F
Ejemplo:
Dadas las proposiciones:
p: 4 < 7 (V)
q: 4 = 7 (F)

5. p  q: 4 < 7 ó 4 = 7 (V)
Simbólicamente: V(p  q) = V
LA CONDICIONAL
Dadas dos proposiciones p, q se escribe
“p  q” y se lee “si p entonces q” ó “p implica q” ó
“p es suficiente para que q”, etc., sólo es falso
cuando el primero es verdadero y el segundo
es falso, en los demás casos siempre es
verdadero.
( p = antecedente y q = consecuente)
p q p  q
V V V
V F F
F V V
F F V
Ejemplo:
p  q : Si gano las elecciones entonces bajaré el precio de los combustibles
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 3 es un número primo (V)
q: 31 es un número par (F)
p  q : si 3 es un número primo entonces 31 es un número par (F)
Simbólicamente: V(p  q) = F
NOTA: En toda proposición las palabras: “porque”, “puesto que”, “ya que”,
“siempre que”, “cuando”, “si”, “cada vez que”, “dado que”, son conectivos que
representan a la condicional. Se caracterizan porque después de cada uno de estos
términos esta el antecedente
Ejemplo:
No jugué porque llegué tarde
p: no jugué (consecuente)
q: llegué tarde (antecedente)
Simbólicamente: q  p
LA BICONDICIONAL
Dadas dos proposiciones p, q se escribe
“p  q” y se lee “p si y solo si q”, es verdadero
cuando los valores de verdad son iguales y es
falso cuando los dos valores de verdad son
diferentes.
p q p  q
V V V
V F F
F V F
F F V
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 3 < 7 (V)
q: 3 + 5 < 7 + 5 (V)
p  q: 3 < 7 si y solamente si 3 + 5 < 7 + 5 (V)
Simbólicamente: V(p  q) = V
LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
Dadas las proposiciones p, q se escribe “p  q”
y se lee “o bien p o bien q”, es falso si
los valores de verdad de las
proposiciones son iguales y es verdadero
si los valores de verdad de las
proposiciones son diferentes.
p q p  q
V V F
V F V
F V V
F F F

6. Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 4 > 7 (F)
q: 4 < 7 (V)
p  q: o bien 4 > 7 o bien 4 < 7 (V)
Simbólicamente: V(p  q) = V
EXPRESAR EN EL LENGUAJE SIMÓLICO PROPOSICIONES LÓGICAS DEL LENGUAJE
ESCRITO:
Para expresar en el lenguaje simbólico proposiciones que se encuentran en el lenguaje
escrito es necesario subrayar y escribir el conectivo u operador correspondiente.
DETERMINAR EL VALOR DE VERDAD DE PROPOSICIONES LÓGICAS
Para determinar el valor de verdad de una proposición, primero se expresa en el lenguaje
simbólico, luego se asigna el valor d verdad de la proposición simple, para luego operar
con los conectivos correspondientes hasta determinar el valor de verdad de la
proposición compuesta.
RESUMEN
TABLA DE VALORES DE VERDAD
Consiste en obtener los valores del operador principal a partir de la validez de
cada una de las variables proposicionales.
Para evaluar una tabla de verdad de dos variables proposicionales se necesitan
22 = 4 valores de verdad en cada columna. En general el número de valores de verdad
que se asigna a cada variable resulta de aplicar la fórmula 2n, donde “n” es el número
de variables que hay en el esquema molecular o proposición lógica.
Las combinaciones de todas las posibilidades de V y F se hacen en las columnas de
referencia al margen izquierdo del esquema, luego se procede a aplicar la regla a cada
uno de los operadores, empezando por el de menor alcance hasta llegar al de mayor
jerarquía.
Ejemplo:
Construye la tabla de verdad del esquema molecular:
~ (p  q )  (~ p)  (~ q)
Solución:
Aplicando la fórmula 2n = 22 = 4 (n=2) porque el número de variables o
proposiciones son 2, p y q.
En la columna de p se escribe hacia abajo 2 verdaderos y dos falsos,
seguidamente en la siguiente columna, columna de q se escribe, un verdadero y un
falso, un verdadero y un falso.
p q p  q p  q p  q p  q p  q
V V V V V V F
V F F V F F V
F V F V V F V
F F F F V V F

7. Para resolver se tiene en cuenta los signos de agrupación y el orden, en nuestro
ejemplo se procede así:
 Se resuelve la columna 1 con el operador de la conjunción.
 Se resuelve la columna 2, en este caso, es la negación del resultado de la columna 1.
 Se resuelve la columna 3, que es la negación de la proposición p.
 Se resuelve la columna 4, que es la negación de la proposición q.
 Columna 5, es el resultado de operar las columnas 3 y 4, con el operador de la disyunción
inclusiva.
 Columna 6, es el resultado de operar las columnas 2 y 5, con el operador de la
bicondicional.
OBSERVACIÓN
- Para combinar los valores de verdad de las variables p y q, se realiza lo siguiente: n
= 2 ( 2 variables)
- Se aplica la fórmula 2n
= 22
= 4
- Significa que en la primera columna se tendrán 4 valores, 2 verdaderos y 2 falsos
- En la segunda columna se tendrán la mitad de lo anterior, en este caso, un
verdadero y un falso
La columna 6 es el resultado de evaluar el esquema molecular o proposición
compuesta por el método de la tabla de valores de verdad. La columna resultado
presenta diferentes formas, que a continuación estudiamos.
TAUTOLOGÍA.- Llamamos tautología si en la columna resultado todos los valores son
verdaderos
CONTRADICCIÓN.- Llamamos contradicción si en la columna resultado todos los
valores son falsos.
CONTINGENCIA.- Llamamos contingencia si en la columna resultado se encuentra
verdaderos y falsos, sin considerar cuántos verdaderos o cuántos falsos existan, es
suficiente que se encuentren ambos.
IMPLICACIÓN LÓGICA Y EQUIVALENCIA LÓGICA
IMPLICACIÓN LÓGICA
Se llama implicación lógica o simplemente implicación a toda condicional
p  q que sea tautología.
p q ~ (p  q)  (~p)  (~q)
V V
V F
F V
F F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
PASOS 2 1 6 3 5 4

8. Ejemplo:
Verifica si la siguiente condicional es una implicación lógica:
(p  q)  ~ q  ~ p
En la columna resultado se
observa los valores de verdad, en este caso todos son verdaderos. Entonces, afirmamos
que la condicional es tautología, por tanto, es una implicación lógica. Si en la columna
resultado se obtiene contradicción o contingencia, entonces, no existe implicación lógica.
EQUIVALENCIA LÓGICA
Se llama equivalencia lógica o simplemente equivalencia a toda bicondicional
p  q que sea tautología.
Ejemplo:
Verifica si la siguiente bicondicional es una equivalencia lógica:
p  (p  q)  p
Como se verifica que el resultado de la bicondicional, es tautología, afirmamos
que es una equivalencia lógica.
Entonces, podemos afirmar que: p  (p  q)  p
LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
Las proposiciones equivalentes se convierten en leyes lógicas. Existen infinitas
proposiciones equivalentes. Pero sólo consideraremos algunas a las que llamaremos
leyes del álgebra proposicional
1) Leyes del tercio excluido
p   p  V p   p  F
6) Leyes distributivas
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
2) Ley de involución o doble
negación
~ (~ p)  p
7) Leyes de De Morgan
 (p  q)   p   q
 (p  q)   p   q
3) Ley de idempotencia
p  p  p p  p  p
8) Leyes condicionales
p  q   p  q
p q (p  q)  ~
q  ~ p
V V
V F
F V
F F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
p q  p  (p  q)  p
V V
V F
F V
F F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F

9. 4) Leyes conmutativas
p  q  q  p
p  q  q  p
p  q  q  p
9) Leyes bicondicionales
p  q  (p  q)  (q  p)
5) Leyes asociativas
(p  q)  r  p  (q  r)
(p  q)  r  p  (q  r)
10) Leyes de absorción
p  (p  q)  p
p  (p  q)  p
p  ( p  q)  p  q
p  ( p  q)  p  q
11) Formas normales para la conjunción y disyunción
V  V  V F  F  F
p  V  p p  F  p
p  F  F p  V  V
Las leyes del álgebra proposicional se aplican o utilizan en la validación de
proposiciones compuestas, es decir, para determinar el valor de verdad de una
proposición. Además se utiliza en la simplificación de proposiciones compuestas.
Ejemplo:
Simplifica la proposición  (p   q)  (p  q) aplicando las leyes del álgebra
proposicional.
  (p   q)  (p  q) ……………… Ley condicional
(p   q)  (p  q) ……………… Ley de doble negación
p  ( q  q) ……………… Ley distributiva
p  V ……………… Ley del tercio excluido
p ……………… Formas normales