Guía evaluación financiera de proyectos. Prof. Antonio Contreras

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA
VICERRECTORADO ACADÉMICO
PROYECTO DE INGENIERIA EN INFORMATICA
PROBLEMARIO TEORÍCO-PRÁCTICO
DE INGENIERÍA ECONÓMICA
Econ. Antonio Contreras
Espec. Gerencia tributaria Integral
Econ. Virginia Noriega
Espec. Gerencia tributaria Integral
Puerto Ordaz, Enero 2009

2
ÍNDICE GENERAL
pp.
Introducción 4
Orígenes de la Ingeniería económica 6
Terminología Básica
12
15
 La ingeniería
16
 La economía
18
 La Ingeniería Económica
20
 Objetivos de la Ingeniería Económica
25
 Principios Generales de la Ingeniería Económica
12
 Tipos de decisiones en la Ingeniería económica
13
 Aplicaciones de la Ingeniería Económica
14
 Metodología de análisis en la Ingeniería Económica
14
 Términos básicos en la equivalencia financiera
15
 Diagrama de flujo de Efectivo 16
 La Capitalización 17
 El período de Capitalización 18
 La Frecuencia de Capitalización 18
 La Actualización 19
 Equivalencia Financiero 22
 Capital Financiero Co 22
 La Tasa de Interés (i) 23

3
 El tiempo (n) 24
 El interés Simple (Is) 25
 El Capital Final o Monto Simple (Cn) 25
 El sistema Financiero Simple 31
 El Sistema Financiero Compuesto 35
 El Sistema Financiero de Anualidades y Rentas Ordinarias 40
 Métodos para la evaluación financiera en las decisiones de
alternativas de inversión 48
 La Tasa Mínima Atractiva de Rendimiento (TMAR)
47
 El Flujo Neto de Efectivo (FNE)
51
 El Valor Presente Neto (VPN) 56
 La Tasa Interna de Retorno (TIR) 65
 El Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE) 70
 Período de Recuperación de la Inversión (PRI) 75
 Rendimiento Sobre las Ventas (R/V) 78
 Rendimiento Sobre la Inversión (P/I) 80
 Interpretación de los indicadores de evaluación económica
financiera 82
Conclusiones 84
Referencias Bibliográficas 86

4
Introducción
La Ingeniería Económica es una especialidad que integra los
conocimientos de ingeniería con los elementos básicos de la microeconomía.
Su principal objetivo es la toma de decisiones basada en las
comparaciones económicas de las distintas alternativas tecnológicas de
inversión. Las técnicas empleadas abarcan desde la utilización de planillas
de cálculo estandarizadas para evaluaciones de flujo de caja, hasta
procedimientos más elaborados, tales como análisis de riesgo e
incertidumbre, y pueden aplicarse tanto a inversiones personales como a
emprendimientos industriales.
Los autores siguieron la metodología de varias Facultades de
Tecnología de Alimentos e Ingeniería Química de Universidades
norteamericanas, que normalmente ofrecen uno o más cursos, usualmente a
nivel de maestría, donde se incluye el análisis microeconómico de las
industrias de alimentos y química. Se adaptó libremente esta metodología a
las características y necesidades percibidas en la industria pesquera, y
particularmente para países en vías de desarrollo.
En muchos países en vías de desarrollo existen dificultades reales
respecto al entendimiento práctico y a la aplicación de conceptos claves
como la depreciación (amortización), la financiación y formación de costos,
particularmente cuando se trata con industrias de pequeña y mediana escala,
incluyendo el procesamiento artesanal de productos.
En consecuencia, el profesional debe considerar que el diseño y
Operación de plantas industriales y su evaluación económica constituyen un
todo relacionado.
Finalmente, el término "inversión" es usado en este problemario
práctico en un amplio contexto; puede estar dirigido a: una gran planta, una
línea de procesamiento, un cambio en la línea de procesamiento, al
desarrollo de un nuevo producto, la decisión entre dos o más tecnologías

5
diferentes para obtener el mismo producto, al análisis de una operación
aislada (por ej., el mantenimiento del pescado en hielo), la introducción de un
nuevo sistema de control de calidad, etc. Al mismo tiempo, el término
"inversión" es usado independientemente del nivel de inversión y de la fuente
de financiamiento.
La ingeniería en la actualidad no se limita a la solución de problemas
en sus correspondientes campos del conocimiento, sino que toma en
consideración todas las variables que pueden afectar la aplicación de las
soluciones y el desarrollo de proyectos.
Una de estas variables es la economía y los costos, lo que puede
cambiar las tomas de decisión o la forma en la que se deben plantear las
soluciones, por esto se considera necesario que los ingenieros estén
consientes de la importancia de esta rama de la ingeniería la que cada día
adquiere mayor importancia.
Por último, para mostrar a los estudiantes de ingeniería la importancia
de este campo y su aplicación práctica. La presente investigación es de tipo
documental con un criterio de profundidad exploratoria y descriptiva, y bajo
una metodología de investigación de enfoque general aplicando un método
analítico-sintético y un enfoque cuantitativo, haciendo uso del método
hipotético-deductivo, a través de datos, estudios y programas de ingeniería
de costos tomados del estudio de casos, que a partir de ellos se obtenga
nuevos conocimientos y resultados del mismo.
Orígenes de la Ingeniería económica
The Economic Theory of the Location of Railways (Teoría económica
del trazado de vías férreas), obra escrita por Arthur M. Wellington en 1887,
inició el interés de la ingeniería en las evaluaciones económicas. Wellington,
que era ingeniero civil, razonaba que debía utilizarse el método de análisis de
costo capitalizado para seleccionar las longitudes preferidas de las vías

6
férreas o las curvaturas, de dichas vías. En forma muy peculiar Wellington, A
(1887) capturó la orientación de la Ingeniería económica, afirmando:
Sería bueno que a la Ingeniería se le considerara en forma
menos general o Incluso que no se le definiera, como el arte
de construir. En un sentido ciertamente es más bien el arte de
no construir, o para decirlo en forma más burda, aunque no
Inadecuada, viene a ser el arte, de hacer con un dólar lo que
cualquier ignorante puede hacer gastando dos. (p. 125)
En los años 20 J. C. L. Fish y 0. B. Coldman analizaron las Inversiones
efectuadas en estructuras de ingeniería desde la perspectiva de las
matemáticas actuariales. Fish formuló un modelo de inversión relacionado
con el mercado de obligaciones. Coldman, en su libro titulado Financial
Engineering (Ingeniería Financiera) proponía un método de Interés
compuesto para determinar los valores comparativos y afirmaba:
Resulta raro, y desde luego muy desafortunado, que tantos autores,
en sus libros de ingeniería no den consideración o le presten muy poca a los
costos, a pesar del hecho de que el primer deber del Ingeniero es el de tener
éstos en cuenta al objeto de obtener una economía real, es decir, lograr que
el mayor número posible de dólares y centavos obtengan el óptimo
rendimiento financiero.
Los límites de la Ingeniería económica clásica fueron trazados en
1930 por Eugene L. Grant en su texto Principles of Engineering Economy
(Principios de Ingeniería Económica). El profesor Grant examinó la
Importancia de los factores de Juicio y de la evaluación de Inversiones a
corto plazo, al mismo tiempo.
Los desarrollos modernos están empujando fronteras de la Ingeniería
Económica hasta hacerlas abarcar nuevos métodos de riesgo, sensibilidad,
análisis de intangibles. Los métodos tradicionales están siendo refinados
para reflejar la preocupación actual por la conservación de los recursos y la
utilización eficaz de los fondos públicos.

7
Terminología Básica
Se revisan a continuación los conceptos de ingeniería, economía e
ingeniería económica, para obtener una visión más completa sobre el tema
de investigación, dado que, la estructura intelectual que fundamenta la
concepción de la realidad es lo que determina la orientación, enfoque o
paradigma que fundamentará y facilitará el diseño de la investigación.
La Ingeniería
La ingeniería es el conjunto de conocimientos y técnicas científicas
aplicadas, que se dedica a la resolución u optimización de los problemas que
afectan directamente a la humanidad.
En ella, el conocimiento, manejo y dominio de las matemáticas y física,
obtenido mediante estudio, experiencia y práctica, se aplica con juicio para
desarrollar formas eficientes de utilizar los materiales y las fuerzas de la
naturaleza para beneficio de la humanidad y del ambiente.
Pese a que la ingeniería como tal (transformación de la idea en
realidad) está intrínsecamente ligada al ser humano, su nacimiento como
campo de conocimiento específico viene ligado al comienzo de la revolución
industrial, constituyendo uno de los actuales pilares en el desarrollo de las
sociedades modernas.
Otro concepto que define a la ingeniería es el saber aplicar los
conocimientos científicos a la invención, perfeccionamiento o utilización de la
técnica en todas sus determinaciones. Esta aplicación se caracteriza por
utilizar principalmente el ingenio de una manera más pragmática y ágil que el
método científico, puesto que una actividad de ingeniería, por lo general, está
limitada a un tiempo y recursos dados por proyectos. El ingenio implica tener
una combinación de sabiduría e inspiración para modelar cualquier sistema
en la práctica.

8
A continuación se muestran algunas especialidades de aplicación de
la ingeniería y sus características:
Ingeniería Objeto
Mentalidad
científica
dominante
Formación
Mecánica
Diseño, control,
mantenimiento y
operación de las
máquinas
Leyes del manejo
de la energía y
funcionamiento de
las cosas. Ahorro
de energía.
Física, estática, dinámica,
materiales, mecánica, hidráulica,
operación de máquinas, térmica,
electricidad, medición, conformado,
control, dibujo, diseño.
Eléctrica y en
sistemas
electrónicos
Diseño,
construcción y
aplicación de
dispositivos que
permitan la
operación de otros
dispositivos
Control del flujo de
electrones, campos
magnéticos y el
cálculo y manejo de
circuitos de bajo y
alto voltaje
Electricidad, magnetismo, circuitos,
dispositivos electrónicos, máquinas,
transformadores y redes eléctricas,
redes de potencia, micro
procesadores, medición, diseño
lógico, electrónica, ingeniería de
control, comunicaciones.
Industrial
Diseño y
programación de la
producción.
Planeación,
organización,
dirección y control
de la producción,
buscando siempre
la efectividad y
eficiencia.
Probabilidad y estadística, estudio
del trabajo, procesos de
manufactura, logística,
administración de la calidad,
administración para ingenieros,
administración de la producción y
plantas industriales, ingeniería
económica y financiera,
mercadotecnia, seguridad industrial,
envase y embalaje, relaciones
industriales, evaluación de proyectos.
Cibernética,
Informática,
computación y
sistemas
Manejo de la
información y
aplicación de la
mecánica y la
electrónica para
controlar aparatos
y dispositivos
Teoría de sistemas,
manejo de la
información y
elaboración de
sistemas.
Programación, lenguajes de
programación, diseño de sistemas,
arquitectura de computadoras,
ingeniería de software, sistemas
operativos, modelos de simulación,
compiladores, ingeniería de control,
inteligencia artificial, ingeniería de
sistemas, tecnología de la
información
Civil
Diseño,
construcción y
administración de
obras civiles
Equilibrio, estática
y administración
Topografía, dibujo, estructuras
isostáticas, geología, hidráulica,
construcción, administración,
ingeniería del transporte, ingeniería
ambiental, ingeniería sanitaria,
puertos y aeropuertos, ingeniería
sísmica.
Fuente: elaborado por el autor sobre la base Blank, L. y Tarquin, A. (1998)

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La Economía
Es una ciencia social que estudia los procesos de producción,
intercambio, distribución y consumo de bienes y servicios. Según otra de las
definiciones más aceptadas, propia de las corrientes marginalistas o
subjetivas, la ciencia económica analiza el comportamiento humano como
una relación entre fines dados y medios escasos que tienen usos
alternativos.
Esta definición, propuesta por Lionel Robbins en 1932, hace hincapié
en tres aspectos que conviene comentar en detalle:
 Su objeto de estudio es la actividad humana y, por tanto, es una ciencia
social.
 Las ciencias sociales se diferencian de las ciencias puras o naturales en
que sus afirmaciones no pueden refutarse o convalidarse mediante un
experimento en laboratorio y, por tanto, usan una diferente modalidad del
método científico. Sin embargo, la economía posee un conjunto de
técnicas propias de los economistas científicos.
 La ciencia económica está justificada por el deseo humano de satisfacer
sus propios fines.
Este aspecto de la definición propuesta por Robbins es discutible y
probablemente es el que menos se ha desarrollado en toda la historia del
análisis económico salvo, por la Escuela Austríaca y especialmente por
Ludwig von Mises. En ocasiones, al definir la economía se ha sustituido el
término fines por el de necesidades humanas, y se ha dicho de ellas que son
ilimitadas. Hasta el momento la economía no se ha ocupado en exceso de
determinar cómo se forman las necesidades humanas ni de si son ilimitadas
o no, y para ello debería avanzar en el desarrollo de la antropología y la
sociología económicas.
La materia prima de trabajo de los economistas es el conjunto de
recursos escasos que pueden satisfacer usos alternativos. Los recursos al

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alcance del hombre para satisfacer sus necesidades son escasos o, al
menos, la economía sólo se ocupa de aquellos que lo son y, como tales,
existe la necesidad de seleccionar entre ellos para satisfacer fines
alternativos. Si un recurso no es escaso o tiene un único fin, no está
justificado su tratamiento desde el punto de vista económico, a menos que
pretenda asignársele otra utilidad.
La Ingeniería Económica
Hace algunos decenios, hasta antes de la segunda guerra mundial, los
bancos y las bolsas de valores de los países eran las únicas instituciones
que manejaban términos como interés, capitalización, amortización... Sin
embargo, a partir de los años 50, con el rápido desarrollo industrial de una
gran parte del mundo, los industriales vieron la necesidad de contar con
técnicas de análisis económico adaptado a sus empresas, creando en ellas
un ambiente para tomar decisiones orientadas siempre a la elección de la
mejor alternativa en toda ocasión.
Así, como los viejos términos financieros y bancarios pasan ahora al
ámbito industrial y particularmente al área productiva de las empresas, a este
conjunto de técnicas de análisis para la toma de decisiones monetarias,
empieza a llamársele Ingeniería Económica.
De esta forma con el paso del tiempo se desarrollan técnicas
específicas para situaciones especiales dentro de la empresa como:
- Análisis solo de costos en el área productiva.
- Reemplazo de equipo sólo con el análisis de costos.
- Reemplazo de equipo involucrando ingresos e impuestos.
- Creación de plantas totalmente nuevas.
- Análisis de inflación.
- Toma de decisiones económicas bajo riesgo, etc.

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Conforme el aparato industrial se volvía más complejo, las técnicas se
adaptaron y se volvieron más específicas. Por lo tanto, la ingeniería
económica o análisis económico en la ingeniería, se convirtió en:
1. Conjunto de técnicas para tomar decisiones de índole
económica en el ámbito industrial, considerando siempre el
valor del dinero a través del tiempo.
2. Disciplina que se preocupa de los aspectos económicos de la
ingeniería; implica la evaluación sistemática de los costos y
beneficios de los proyectos técnicos propuestos.
3. Técnicas de análisis económico adaptadas a sus empresas,
creando en ellas un ambiente para toma de decisiones
orientadas siempre a la ejecución de la mejor alternativa en
toda ocasión.
En el nombre, la ingeniería económica lleva implícita su aplicación, es
decir, en la industria productora de bienes y servicios. Los conceptos que se
utilizan en análisis financiero, como las inversiones en bolsa de valores, son
los mismos, aunque para este caso también se han desarrollado técnicas
analíticas especiales.
La ingeniería económica esta basada en conceptos y técnicas
matemáticas aplicadas en el análisis, comparación y evaluación económica
de alternativas relativas a proyectos de ingeniería.
Se preocupa de los aspectos económicos de la ingeniería; implica la
evaluación sistemática de los costos y beneficios de los proyectos técnicos
propuestos. Los principios y metodología de la ingeniería económica son
parte integral de la administración y operación diaria de compañías y
corporaciones del sector privado, servicios públicos regulados, unidades o
agencias gubernamentales, y organizaciones no lucrativas. Estos principios
se utilizan para analizar usos alternativos de recursos financieros,
particularmente en relación con las cualidades físicas y la operación de una
organización.

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Objetivo de la Ingeniería Económica
Su objetivo fundamental es lograr un análisis técnico, con énfasis en
los aspectos económicos, de manera de contribuir notoriamente en la toma
de decisiones.
Se encarga del dinero en las decisiones tomadas por los ingenieros al
trabajar para hacer que una empresa sea lucrativa en un mercado altamente
competitivo. Inherentes a estas decisiones son los cambios entre diferentes
tipos de costos y el desempeño (Tiempo de respuesta, seguridad, peso,
confiabilidad, etc.) proporcionado por el diseño propuesto a la solución del
problema.
Principios Generales de la Ingeniería Económica
El desarrollo, estudio y aplicación de cualquier disciplina debe
comenzar con una base fundamental; la cual en ingeniería económica se
definirá como un conjunto de principios, o conceptos fundamentales, que
proporcionan una doctrina comprensiva para llevar a cabo la metodología. La
experiencia ha mostrado que la mayoría de los errores cometidos en esta
disciplina tienen su origen en transgresiones o en el seguimiento inadecuado
de los siete principios básicos, que a continuación se definen:
1. Desarrollar opciones: La elección se da entre las alternativas. Es
necesario identificar las alternativas y después definirlas para el análisis
subsecuente.
2. Enfocarse en las diferencias: Al comparar las alternativas debe
considerarse sólo aquello que resulta relevante para la toma de
decisiones, es decir, las diferencias en los posibles resultados.

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3. Utilizar un punto de vista consistente: Los resultados posibles de las
alternativas, económicas y de otro tipo, deben llevarse a cabo
consistentemente desde un punto de vista definido.
4. Utilizar una unidad de medición: Utilizar una unidad de medición para
enumerar todos los resultados probables hará más fácil el análisis y
comparación de las alternativas.
5. Considerar los criterios: La selección de una alternativa requiere del
uso de uno o varios criterios. El proceso de decisión debe considerar los
resultados enumerados en la unidad monetaria y los expresados en
alguna otra unidad de medida o hechos explícitos de una manera
descriptiva.
6. Hacer la incertidumbre: La incertidumbre es inherente al proyectar los
resultados futuros de las alternativas y debe reconocerse en su análisis y
comparación.
7. Tomar decisiones: La toma de decisiones mejorada resulta de un
proceso adaptativo, los resultados iniciales proyectados de la alternativa
seleccionada deben compararse posteriormente con los resultados reales
logrados.
Tipo de decisiones en la Ingeniería Económica
Deben ser evidentes dos características en las preguntas anteriores,
la primera es que en cada una se elige entre varías alternativas, y la segunda
es que todas están relacionadas con consideraciones económicas.
La amplitud de los problemas, la profundidad de análisis y el
panorama, de aplicación que un Ingeniero encuentra en su trabajo varían
mucho. A los ingenieros recién graduados se les asigna regularmente a
proyectos de reducción de costos, y se espera que tengan conciencia de los
costos en la totalidad de sus actividades. A medida que logran experiencia

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pueden convertirse en especialistas en ciertos terrenos de aplicación, o
enfrentarse a responsabilidades más generales como gerentes.
Los principiantes se ven limitados habitualmente a tomar decisiones a
corto plazo, correspondientes a operaciones de política que afectan grandes
cantidades de dinero, a la vez, que resultan Influenciadas por muchos
factores de consecuencias futuras a largo plazo. A ambas situaciones se
aplican los principios y las prácticas de la economía aplicada a la ingeniería.
La mayoría de las grandes decisiones, Incluso las de carácter
personal, tienen resonancia económica. Este empleo repetido hace que el
tema de la Ingeniería económica resulte tan desafiante como plagado de
recompensas.
Aparte del trabajo tradicional realizado con los hombres de ciencia
para desarrollar nuevos descubrimientos sobre la naturaleza y convertirlos en
productos útiles, se espera ahora que los ingenieros no solamente generen
soluciones tecnológicas nuevas, sino que también hagan análisis financieros
bien fundados acerca de los efectos de la implementación.
En las relaciones, actualmente tan estrechas y confusas entre la
Industria, el público y el gobierno, los análisis de costo y valor se supone que
han de ser más detallados y amplios (por ejemplo, la seguridad de los
trabajadores, los efectos ambientales, la protección, del consumidor) que lo
eran anteriormente. Sin tales análisis un proyecto entero puede fácilmente
convertirse en una carga en lugar de ser un beneficio.
El proceso para desarrollar un nuevo proyecto de inversión es el
siguiente: alguien tiene una buena idea, la desarrolla bien y obtiene buenos
resultados. Las ideas de proyectos pueden originarse en diversos niveles de
la organización. Como algunas ideas serían buenas en tanto que otras no, es
necesario establecer procedimientos para le selección de proyectos. Muchas
de las grandes compañías cuentan con una división especializada de análisis
de proyectos que en forma activa se dedica a buscar nuevas ideas,

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proyectos y actividades. Una vez identificadas las ideas de proyectos, por lo
general se clasifican como:
1. Proyectos de expansión y productos nuevos destinados a
incrementar las ventas y las ganancias:
a. Introducir productos nuevos: Los productos nuevos difieren de los
existentes en lo que respecta al uso, función o tamaño, y su propósito es
aumentar las ventas Ilegando a nuevos mercados o clientes, o
satisfaciendo requisitos de uso final que antes no se cubrían. La venta de
estos productos generalmente es adicional a las ventas existentes. Las
decisiones relacionadas con proyectos nuevos se basan en si los flujos de
entrada de efectivo esperados por la venta del producto nuevo tienen la
magnitud suficiente para justificar la inversión en equipo, capital circulante
y otros costos necesarios para elaborar e introducir el producto.
b. Proporcionar instalaciones para satisfacer oportunidades de ventas
actuales o previstas de productos existentes: El punto central en este
caso es si debe comprarse o construirse, una instalación nueva. Los flujos
de entrada de efectivo anticipados son los ingresos adicionales por los
bienes y servicios producidos en las nuevas instalaciones.
2. Proyectos de mejora de productos
Esta clase incluye gastos orientados a mejorar la posibilidad de venta
de productos existentes y proporcionar productos que reemplacen a los
existentes. El propósito de estos gastos es mantener o mejorar la posición
competitiva de los productos existentes. Los nuevos productos difieren de los
existentes únicamente en lo que se refiere a diseño, calidad, color o estilo, y
no se pretende con ellos alcanzar nuevos mercados o clientes ni satisfacer
requisitos de uso, final que no se hayan cumplido antes.

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3. Proyectos de mejora de costos
Esta clase incluye proyectos diseñados para:
a. Reducir los costos y gastos de las operaciones existentes, manteniendo
el volumen de producción anual existente.
b. Evitar aumento en costos previstos que incurrirían con el volumen
presente de producción anual.
c. Evitar futuros aumentos en costos que se incurrirían al aumentar el
volumen de producción anual.
4. Proyectos de reemplazo
Los proyectos de esta clase son los necesarios para reemplazar
activos existentes que ya son obsoletos o están desgastados; si no se
reemplazan, el resultado seria operaciones más lentas o la imposibilidad de
Ilevarlas a cabo.
En el caso de proyectos de reemplazo hay que justificar el reemplazo
en lugar de la reparación del equipo existente. Cualquier ingreso incremental
que genere un proyecto de reemplazo se considera como beneficio adicional
al evaluar el proyecto. Los flujos de entrada de efectivo que se esperan de un
proyecto de reemplazo son los ahorros en costo, obtenidos por una
reducción en los costos operativos, los ingresos por el aumento en el
volumen de producción gracias al nuevo equipo, o ambos.
5. Proyectos por necesidad
Algunas inversiones se Ilevan a cabo por necesidad, más que
basadas en un análisis de su rentabilidad. Estos proyectos por lo general

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producen beneficios intangibles, ya que sus ventajas económicas no son
fáciles de determinar o quizás sean inexistentes.
Como ejemplos típicos están las instalaciones de recreo de los
empleados, guarderías, equipo de control de contaminación e instalación de
dispositivos de seguridad. Los dos últimos ejemplos son proyectos en los
cuales hay que efectuar gastos de capital para cumplir con requisitos de
control ambiental seguridad u otros estatutos, tal vez con el fin de evitar
multas. Estas inversiones usan capital pero no ofrecen flujos contables de
entrada de efectivo.
Aplicaciones de la Ingeniería Económica
Algunas de las preguntas, que en general se hacen los Ingenieros
cuando ejercen su profesión, son:
¿Cuál de los diseños que concursan se debe seleccionar?, ¿Se debe
sustituir la máquina que se está usando?. Con capital disponible limitado,
¿qué parte de la Inversión se debe consolidar?. Por seguridad, ¿es preferible
seguir un programa conservador, o uno que contiene mayores riesgos pero
que pueden redituar mejores dividendos?
Entre varios proyectos de inversión del capital, que en esencia
producen utilidades equivalentes, pero que gastan recursos de manera
diferente, ¿cuál es preferible?
Los beneficios que se espera que produzcan los proyectos del servicio
público, ¿son lo bastante grandes como para que los costos sean
aceptables?, a continuación se muestran las más comunes aplicaciones de
acuerdo a su clasificación:

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Reemplazo de equipo
Moore Bussiness Forms Inc., es un productor mundial de formularios
empresariales y otros productos de papel. Actualmente, la compañía tiene
una planta en Albany, Georgia, donde el papel se corta al tamaño, se
imprime en una de 15 imprentas y después se pasa al departamento de
acabado. Como parte de este proceso, los libros de formularios se
encuadernan mediante engrapado y se les colocan cubiertas de papel
grueso. Esta operación se lleva a cabo con una de cuatro máquinas de
encuadernado Stanley-Bostitch.
De las cuatro máquinas de encuadernado que se emplean en la
actualidad, solo una se usa a diario. La compañía compró esta máquina de
encuadernado en 1971 y ha estado en servicio desde entonces. Su
rendimiento ha sido confiable al paso del tiempo, pero el año pasado la
gerencia observó un aumento considerable en su tiempo de inactividad.
Moore está considerando la posibilidad de comprar una nueva
máquina de encuadernado para reemplazar la de uso intensivo. Esta
máquina, cuyo precio es de 125,000 dólares y es fabricada por
Kidder/Shlumberger, no ofrecerá una tasa de producción mayor, pero si
generará una reducción notable en el tiempo de inactividad. El costo de
capacitación para la operación de la máquina es mínimo.
Reducción de costos
Una empresa que fabrica productos alimenticios empacados en
paquetería y a granel, está considerando la posibilidad de automatizar la
línea de empaque # 2, en la cual se reduciría al 70% la mano de obra en ésta
área, además se incrementaría la capacidad de producción de paquetería del
75 al 100%, el costo de inversión seria alrededor de los 180,000 dólares.

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Un laboratorio que efectúa análisis de calidad a la grasa comestible,
requiere la cantidad de 20,000 dólares para la compra de un equipo de
laboratorio, el cual mide la oxidación del producto, con esto se pretende
reducir los costos de análisis de laboratorio y el tiempo de liberación de
embarque del producto.
Desarrollo de nuevos productos
E.I. Dupont de Neumours, una de las principales plantas de productos
químicos ha establecido un negocio independiente, llamado Somos, a fin de
desarrollar y vender un sistema de generación rápida de prototipos. Esta
tecnología dirigida por computador permite a los ingenieros diseñar y crear
en unas cuantas horas prototipos de plástico de piezas complicadas.
El sistema de generación rápida de prototipos ha permitido que los
diseñadores construyan en tres semanas proyectos que antes requerían seis
meses o más. Las tareas que antes se Ilevaban varias semanas ahora
pueden efectuarse en uno o dos días. La generación rápida de prototipos
también permite ahorrar decenas de miles de dólares por pieza en costos de
modelado, en comparación con los métodos tradicionales.
Esta tecnología también puede significar para algunas empresas el
nacimiento de una auténtica manufactura "oportuna". Por ejemplo, un taller
de piezas de recambio para automóvil simplemente podría almacenar metal y
polvos plásticos junto con un acervo de programas de computación que le
permitirían crear en el instante cualquier pieza que necesite el cliente. Para
este negocio se requiere una inversión de 40 millones de dólares por parte
de Dupont y el sistema de prototipos se venderá por 385,000 dólares una vez
terminado.

20
Por Necesidad
Por ultimo, otra aplicación importante de la ingeniería económica es
cuando inevitablemente ocurren situaciones inesperadas o casuales en las
actividades productivas, es decir que por necesidad la aplicación de la
ingeniería económica se hace una alternativa importante la resolución de
situaciones presentes.
En tal sentido, citando un ejemplo, se requiere una inversión de
15,000 dólares para relocalizar un taller y una oficina, que se encuentran en
el interior de la fábrica de aceites, lo anterior es necesario por seguridad, ya
que se requiere retirar fuentes de ignición cercanas a la planta de hexano,
evitando de esta manera riesgos de explosión.
Situaciones que no puede analizar la Ingeniería Económica
Alguien podrá pensar, con justa razón, que si adquiere dólares y los
guarda bajo el colchón, con la esperanza de que suceda el rumor de una
devaluación de la moneda (llámese bolívares, pesos, yenes...) habrá
obtenido ganancias en forma inmediata a pesar de que su dinero permanece
inmóvil.
Lo anterior invalidaría la declaración de que el dinero sólo gana más
dinero si se usa. Sin entrar en detalles que no corresponden a este tema,
ésta es una situación especulativa y si la persona compró $ 1 000 dólares,
después de la evaluación tendrá los mismos $ 1 000 dólares, aunque en su
país, en forma momentánea, tenga más dinero y por tanto más poder
adquisitivo, situación que se compensa al poco tiempo.
Inversiones especulativas como la compra de dólares con la
esperanza de una devaluación al corto plazo, la adquisición de grandes
cosechas y su almacenamiento u ocultación, con la esperanza de que suba
su precio base o que su escasez ocasione un aumento de precio, no son

21
sujetas al análisis económico tradicional, pues en todas las inversiones
especulativas siempre hay la expectativa de que algo extraordinario suceda y
que esto sea lo que origine una ganancia adicional. Por lo tanto el análisis y
evaluación económica de inversiones especulativas queda fuera del alcance
de esta materia.
Metodología de análisis en la Ingeniería Económica
Prácticamente a diario se toman decisiones que afectan el futuro. Las
opciones que se tomen cambian la vida de las personas poco y algunas
veces considerablemente. Por ejemplo, la compra en efectivo de una nueva
camisa aumenta la selección de ropa del comprador cuando se viste cada
día y reduce la suma de dinero que lleva consigo en el momento. Por otra
parte, el comprar un nuevo automóvil y suponer que un préstamo para
automóvil nos da opciones nuevas de transporte, puede causar una
reducción significativa en el efectivo disponible a medida que se efectúan los
pagos mensuales.
En ambos casos, los factores económicos y no económicos, lo mismo
que los factores tangibles e intangibles son importantes en la decisión de
comprar la camisa o el automóvil.
Los individuos, los propietarios de pequeños negocios, los presidentes
de grandes corporaciones y los dirigentes de agencias gubernamentales se
enfrentan rutinariamente al desafío de tomar decisiones significativas al
seleccionar una alternativa sobre otra. Éstas son decisiones de cómo invertir
en la mejor forma los fondos, o el capital, de la compañía y sus propietarios.
El monto del capital siempre es limitado, de la misma manera que en
general es limitado el efectivo disponible de un individuo.
Estas decisiones de negocios cambiarán invariablemente el futuro,
con la esperanza de que sea para mejorar. Por lo normal, los factores
considerados pueden ser, una vez más, económicos y no económicos, lo

22
mismo que tangibles e intangibles. Sin embargo, cuando las corporaciones y
agencias públicas seleccionan una alternativa sobre otra, los aspectos
financieros, el retorno del capital invertido, las consideraciones sociales y los
marcos de tiempo con frecuencia adquieren mayor importancia que los
aspectos correspondientes a una selección individual.
Con estas técnicas, es posible desarrollar un enfoque racional y
significativo para evaluar los aspectos económicos de los diferentes métodos
(alternativas) empleados en el logro de un objetivo determinado. Las técnicas
funcionan igualmente bien para un individuo o para una corporación que se
enfrenta con una decisión de tipo económico.
Por lo general se emplean como sinónimos los términos ingeniería
económica, análisis de ingeniería económica, toma de decisiones
económicas, estudio de asignación de capital, análisis económico y términos
similares.
Para realizar un estudio de ingeniería económica se utiliza el Enfoque
de estudio de ingeniería económica o mitologías de análisis de Ingeniería
Económica.
A manera de ilustración, se presenta un enfoque de estudio de
ingeniería económica en la figura 1 para dos alternativas:
a. Alternativa 1: Instalación de maquinaria nueva y
b. Alternativa 2: Reparación de maquinaria existente.
Una vez se han identificado las alternativas y está disponible la
información relevante (es decir, las estimaciones), el flujo del análisis de
economía generalmente sigue los pasos:

23
Términos básicos en la equivalencia financiera
A continuación se explican los términos más importantes utilizados en
la jerga de La equivalencia financiera, los cuales han sido ordenados
lógicamente de acuerdo a la interrelación existente entre ellos.
Diagrama de Flujo de Efectivo
El concepto de flujo de caja o de efectivo, se refiere al análisis de las
entradas y salidas de dinero que se producen (en una empresa, en un
producto financiero, etc.), y tiene en cuenta el importe de esos movimientos,

24
1 2 3 n - 1
y también el momento en el que se producen. Estas van a ser las dos
variables principales que van a determinar si una inversión es interesante o
no.
Generalmente el diagrama de flujo de efectivo se representa
gráficamente por flechas hacia arriba que indican un ingreso y flechas hacia
abajo que indican un egreso. Estas flechas se dibujan en una recta horizontal
cuya longitud representa la escala total de tiempo del estudio que se esté
haciendo. Esta recta se divide en los periodos de interés del estudio, la
duración de estos periodos debe ser la misma que el periodo en el cual se
aplica la tasa de interés.
Entradas
Salidas
La Capitalización
Es el proceso de conversión de los intereses en capital. Es la
operación que consiste en sumar los intereses al capital, formando un nuevo
capital para el período siguiente. También se habla de capitalización de
pasivos, cuando los acreedores entran a formar parte de la empresa
pagando su capital con los pasivos a su favor.

25
El Periodo de capitalización
Es el intervalo de tiempo convenido para capitalizar los intereses, el
cual puede ser expresado en años, meses, quincenal, diarios, entre otros y
se calcula mediante la siguiente ecuación: p  m n
La Frecuencia de capitalización
En un sistema de capitalización, se define la frecuencia como el
número de veces que los intereses producidos se acumulan al capital para
producir nuevos intereses, durante un período de tiempo. Es decir, si
consideramos un período de tiempo anual (n = 12 meses), la frecuencia será
2 si los intereses se capitalizan semestralmente, 3 si se capitalizan
cuatrimestralmente, 4 si se capitalizan trimestralmente, 12 si se capitalizan
mensualmente. Generalizando la frecuencia de capitalización m, se dará
n
cuando los intereses se capitalicen
m
La Actualización
Procedimiento de cálculo que persigue obtener a la fecha actual la
equivalencia financiera en función de unas tasas de interés, descuento,
inflación, depreciación, etc., de un valor o una serie de valores con
vencimientos futuros. De la misma forma, recibe éste nombre el método por
medio del cual se puede transformar un valor futuro en su valor actual
equivalente. A la relación que existe entre el valor futuro y el presente se le
llama Tasa de actualización.

26
Equivalencias financieras
La matemáticas financieras, es la disciplina que estudia las
operaciones financieras ciertas desde el punto de vista de la capitalización
como del descuento. La estructura financiera de un país incide sobre el
crecimiento de su economía y la matemática financiera estudia los métodos
de cálculos de las operaciones que se realizan en el mercado financiero. .
Para García, D. (1993) afirma que,
La matemática financiera sirve de base a los métodos usados
para evaluar el rendimiento de inversiones, tales como la tasa
interna de retorno y el valor actual neto, de allí que se considera
como pilar fundamental de la administración financiera y de los
modelos utilizados en los análisis de decisiones económicas en
los proyectos de inversión. (p. 2)
Capital Financiero (Co)
Es el dinero que fluye entre las dos partes que intervienen en una
misma operación financiera. El capital presente esta representado por la
cantidad de dinero que circula entre éstas. También lo podríamos llamar,
aquella cantidad de dinero que una persona o entidad da en calidad de
préstamo o represa en un tiempo determinado. Lo llamaremos por las siglas
“Co” o “P”
La Tasa de Interés (i)
Es el interés que devenga cada unidad de capital financiero (cada
bolívar de capital) en una unidad de tiempo (años, meses, días, trimestre,
etc.). Es el tanto por ciento o precio del dinero que genera un capital operado
comercial o financieramente, en la unidad de tiempo convenida. Se
representa por la letra “i “.

27
El Tiempo (n)
Es el lapso comprendido entre la fecha en la cual el capital prestado
comienza a producir intereses y aquella en la que termina de producirlos. Es
el período o espacio de duración de una operación financiera y/o comercial,
la cual puede dura días, meses, o años. En los problemas de interés, los
meses se consideran de 30 días, a menos que se especifique lo contrario. El
tiempo se denota con la letra “n“.
El Interés Simple (Is)
Es la remuneración o ganancia que se percibe por el uso del capital
tomado en préstamo o represado en un tiempo determinado. Dicho de otra
forma es la remuneración del capital cuando la tasa de interés se aplica
únicamente sobre el capital prestado o ahorrado, sin tener en cuenta los
intereses ganados. El interés obtenido en una operación financiera,
representa el costo o ganancia producida por el dinero como resultado del
manejo financiero de operaciones o transacciones comerciales. Se
representa con la letra “Is”.
El Capital final o Monto Simple (Cn)
Es la suma del capital más los intereses percibidos. Es la cantidad
monetaria que se adiciona a los intereses devengados en una operación
financiera o comercial. Se representa por la letra “Cn“ o “F“.

28
El Sistema Financiero Simple
Es el conjunto de métodos que permiten analizar las operaciones
financieras a partir del supuesto siguiente: la variación que experimente un
capital en un período cualquiera, no produce variaciones en ningún
momento. Esto significa que la variación se acumula al capital solamente
cuando concluye el plazo de operación.
La importancia del sistema financiero simple consiste en que los
métodos de este sistema son utilizados para resolver algunas operaciones a
corto plazo.
Se llama interés al dinero que debe pagarse al final de períodos
determinados de tiempo, como compensación al dinero prestado, depositado
o invertido en una operación financiera.
Formulas de interés simple
Si el capital inicial es Co y la tasa de interés anual es i, el interés
correspondiente a un año es:
IT  Co  i
En la capitalización simple, donde los intereses no producen intereses,
estos son proporcionales al tiempo de duración de la operación. Por esta
razón en el plazo de n años el interés total es:
Is  Co  i  n (1)
Al final de la operación, el capital inicial se transforma en un capital
que contiene los intereses producidos en un tiempo determinado y a una tasa
determinada:

29
Cn  Co Is (2)
Luego si sustituimos en la formula (2) los términos por su valor:
Cn  Co  Co  n  i,
Se identifica los factores comunes y no comunes de la expresión, y
nos queda la ecuación de la forma siguiente:
Cn  Co1ni

(3)
La relación (3) expresa el Monto o valor final de un capital, a la
operación financiera de capitalización simple.
Calculo del tiempo de duración de una operación y cálculo de la tasa
de interés
Algunas veces la incógnita en una operación financiera no es el
capital, sino el tiempo de duración de una operación o la tasa de interés.
Podemos deducir da la formula (3) las correspondientes a estos elementos
de una operación financiera.
Para el cálculo del Tiempo de duración de una operación y cálculo de
la tasa de interés que se paga por la utilización de un capital, debemos partir
de la formula:
Is  Co  n  i (1), y por despeje se tiene que:
n 
Is
Coi ;

30
i 
Is
Con
Debemos recordar que la conversión de los intereses en el capital sólo
ocurre al final de la operación, puesto que los intereses no producen
intereses en ningún momento.
Esta es la razón por la cual el SISTEMA FINANCIERO SIMPLE es el
más sencillo de los dos sistemas de capitalización discontinua.
Cabe destacar, que cuando en una operación mercantil el tiempo
viene dado indirectamente como el número de días entre dos fechas, hay
que contar el número de días, excluyendo el primer día o el último. Y si
dividimos la cantidad de días entre 360 para expresar el tiempo en años, al
interés en la operación se le denomina interés simple ordinario. Si dividimos
los días entre 365, al interés se le denomina interés simple exacto.
Dividir el tiempo expresado en días entre 360 es usualmente el
procedimiento Bancario y comercial.
Un ejemplo ilustrativo
Un capital de Bs. 18.700,00 es colocado al 3% de interés anual.
Durante el primer año este capital ganará una cantidad equivalente al 3% de
18.700,00, esto es Bs. 561,00.
Este interés no se suma al capital, porque estamos en presencia de
una aplicación de INTERES SIMPLE. Durante el segundo año, el mismo
capital vuelve a ganar el mismo interés, es decir. 561,00. Y así
sucesivamente. De modo que al cabo de 5 años (pongamos por caso) el
interés devengado por el capital será en total de 561,00 x 5 = 2.805,00 Bs.
En la práctica se prefiere usar la fórmula del interés simple:

31
I = Co x n x i = 18.700,00 x 5 x .0.03 = 2.805,00
Sistema Financiero Compuesto
En el sistema financiero el dinero y el tiempo son dos factores que se
encuentran estrechamente ligados en los negocios. Cuando se generan
excedentes de efectivo, se ahorra durante un período determinado a fin de
ganar interés que aumente el capital original disponible; en otras ocasiones,
en cambio, se tiene necesidad de recursos financieros durante un tiempo y
se tiene que pagar un interés por su uso.
En períodos de corto plazo se utiliza generalmente, como ya se vio, el
interés simple. En períodos de largo plazo, sin embargo, se utilizará casi
exclusivamente el interés compuesto.
Cuando los intereses devengados quedan en poder del deudor
quedando convenido entre las partes que acuerdan el préstamo, que los
intereses que produce el capital después de cierto período se agrega a ese
capital y en el período siguiente esos intereses, van a producir nuevos
intereses, se dice que los intereses se capitalizan y que la operación
financiera es a interés compuesto.
En el interés simple el capital original sobre el cual se calculan los
intereses permanece sin variación alguna durante todo el tiempo que dure la
operación. En el interés compuesto, en cambio, los intereses que se van
generando se van incrementado al capital original en períodos establecidos
y, a su vez, van a generar un nuevo interés adicional para el siguiente lapso.
Podemos decir que el interés compuesto es el rendimiento producido
por un capital prestado al cual, al finalizar cada período de capitalización, se
le acumulan los intereses producidos para que, la suma del capital e
intereses, produzcan nuevos intereses durante el periodo siguiente,

32
produciéndose en igual forma hasta la fecha en la cual, el capital más los
intereses, terminen de producir intereses.
En la capitalización simple, los intereses varían en proporción al
tiempo de duración de la operación. En la capitalización compuesta –como
los intereses producen intereses -, el crecimiento del capital es más que
proporcional al crecimiento del tiempo de duración de la operación. Esto
implica que, dada una tasa de interés del mercado, efectiva o real anual, si
los períodos de conversión son menores que el año, no sería correcto
realizar los cálculos de las operaciones para estos períodos con la tasa de
interés proporcional porque no existiría homogeneidad con relación al tiempo
establecido.
La situación planteada obliga a introducir nuevos conceptos referidos
a la tasa de interés. Como es el caso de la tasa de interés efectiva, tasa de
interés equivalente y la tasa de interés nominal.
La importancia de este tema se debe a que en la mayor parte de las
operaciones crediticias de las instituciones financieras (banca hipotecaria,
sociedades financieras, entidades de ahorro y préstamo y, podemos añadir
las cajas de ahorro) los períodos de conversión son inferiores al año. Lo
mismo puede decirse de las compra-ventas a plazos: los pagos suelen
hacerse en períodos inferiores al año; y cada vez que el acreedor recibe la
cancelación de una cuota, ésta realiza la conversión de los intereses.
Si tenemos un capital inicial Co, colocado en una operación en una
operación de capitalización compuesta durante n años y a la tasa de interés i,
esta operación consiste en obtener un capital final Cn a partir del supuesto o
convenio de que se realiza la capitalización o conversión periódica de los
intereses, que es la característica fundamental del Sistema Financiero
Compuesto.
Por tanto, en este sistema, los intereses son calculados sobre el
capital acumulado, a continuación se desarrolla la demostración práctica de
la capitalización de los intereses en las operaciones financieras compuestas:

33
0
 
0
n

c
Tiempo Intereses Capital Acumulado
0
1
2
3
.
.
.
.
n
Co * i
C1 * i
C2 * i
.
.
.
.
.
Cn-1 * i
Co
C1 = Co + Co * i => C1 = Co (1+i)
C2= C1+ C1 * I => C2 = C1 (1+i)=> C2 = Co (1+i) (1+i)=> C2 = Co (1+i)2
C3= C2+ C2 * I => C3 = C2 (1+i)=> C3 = Co (1+i)2
(1+i)=> C3= Co (1+i)3
Cn= Co (1+i)n
Formulas de interés compuesto
C C(1i)n
C C(1i)n
(4)
(5)
0 n

log C

(6)
n  0 
log( 1  i)
i
 Cn
 Co

1 / n
 1


(7)
I  C 1 in
1(8)
C n

34
n (9)
m (10)
Tasa de interés efectiva
La tasa de interés efectiva (i) es el interés que devenga una unidad de
capital en una unidad de tiempo. Consideremos al año como una unidad de
tiempo para las tasas de interés efectivas. Así por ejemplo, cuando a un
capital se le abonan intereses a la tasa efectiva del 9% a cada unidad de
capital (cada bolívar) se convierte en Bs. 1,09 al cabo de un año.
Si consideramos a m como el número de períodos de capitalización o
de conversión en un año: m=12 para las conversiones mensuales; m= 4
cuando las conversiones son trimestrales; m=2 cuando son semestrales,
etcétera.
i  (1 i ) m
1
Tasa de interés equivalente
Se denomina tasa equivalente la que, correspondiendo a períodos de
capitalizaciones diferentes, producen intereses iguales capa capitales y
tiempos iguales. Pues bien, dos tasa son equivalentes cuando dadas las
características anteriores, al transformar una tasa que es anual a un período
de capitalización fraccionado en el tiempo producen intereses iguales. La
tasa equivalente se representa por im en donde se representa un número de
capitalización al reducir la tasa efectiva a valores menores.
i  (1 i)1/ m
1
Tasa de interés nominal o convertible
Se denomina tasa de interés nominal o convertible a la ofrecida en el
mercado financiero normalmente en un periodo anual pero con

35
m
capitalizaciones de diferentes períodos. Lasa nominal se representa por Jm,
en donde el subíndice m, representa la frecuencia de capitalización anual.
J m  im  m
(11) es decir,
J  [(1 i)1/ m
1]m
Sistema Financiero de Anualidades y Rentas Ordinarias
Existen operaciones financieras que requieren de pagos periódicos o
que generan ingresos periódicos en forma uniforme, según el punto de vista
que se analicen. Al conjunto de esos pagos o ingresos periódicos, realizados
en períodos diferentes y originados en una misma operación financiera se le
denomina renta. En la economía política clásica la renta era una de las tres
fuentes de ingresos que distinguía a las tres grandes clases de individuos
existentes en una sociedad: así como el capital invertido recibía beneficios y
los trabajadores salarios los propietarios de la tierra y de los bienes
inmuebles recibían rentas, que eran ingresos correspondientes a la
propiedad de los factores de producción.
En el sentido moderno renta designa los cobros de los individuos, de
las sociedades o del gobierno que derivan del trabajo de las personas o de la
propiedad de los factores de producción, ésta implica frecuentemente un
cobro monetario que representan la forma en que se liquida la renta,
intercambiándola por dinero, que es un titulo general de valor.
Podemos considerar además rentas: el conjunto de pagos mensuales
que se deben hacer por un préstamo o crédito hipotecario; el conjunto de los
pagos correspondientes a una operación de compra-venta a plazos; los
intereses que percibe el obligacionista por un bono; la corriente efectiva que
un proyecto genera hacia la empresa durante la vida del mismo; el conjunto
de los dividendos anuales correspondientes a cada acción común de una
sociedad anónima, etcétera.

36
Se puede definir como renta, el conjunto de pagos periódicos
realizados en períodos diferentes y originados de una misma operación
financiera. En el área financiera, denominamos renta a los pagos, constantes
o variables, realizados en lapsos equivalentes, para la formación o
amortización de capitales.
Una renta es una sucesión de capitales iguales o no periódicos, es
decir, a intervalos de tiempos iguales y que producen interés a una
determinada tasa por un período de tiempo determinado.
Elementos o términos de una Renta
a) Término de una Renta: Es cada uno de los pagos efectuados para
cancelar una deuda, donde además se denominan anualidades. Aunque
los pagos o cancelaciones pueden ser trimestrales, semestrales,
mensuales o en cualquier fracción del año en forma constante, también
pueden ser variables.
b) Período de la Renta: Es el lapso de tiempo comprendido entre el
comienzo de la operación y el momento en que se hace efectivo el último
elemento o capital de la renta consecutiva.
c) Plazo de la Renta: Es el lapso de tiempo comprendido desde el primer
período momento que se inicia la operación financiera, y el último en el
que finaliza la operación.
d) Frecuencia de la Renta: Es el número de veces que en un determinado
lapso de tiempo, normalmente un año, se efectúa cancelaciones o pagos
en una operación financiera determinada.
Clasificación de las Rentas Ordinarias
La clasificación de las rentas porque existen diferencias en cuanto a la
naturaleza de sus elementos, o en cuanto al carácter temporal o permanente

37
de una operación, o en cuanto al tiempo entre los vencimientos de dos (2)
elementos consecutivos, etcétera. Y cada una de estas diferencias requiere
de métodos específicos para calcular el valor actual y el valor final de las
rentas.
Una clasificación completa debe hacerse tomando en consideración
los diferentes factores que afectan los procedimientos de cálculo. De tal
manera que, ateniéndonos a estos factores, las rentas pueden clasificarse
así:
1. De acuerdo con la contingencia de su disponibilidad:
a) Rentas Ciertas: Son aquellas en las cuales los términos que la forman,
comienzan y terminan en fechas fijas, de tal manera que podemos
predeterminar en cada uno de los momentos de la operación.
b) Rentas Inciertas: Son aquellas rentas cuyo número de términos es
indeterminado, por depender de alguna condición o circunstancia
eventual en la operación financiera planteada.
2. De acuerdo al plazo de la Renta:
a) Rentas Temporales: Es aquella renta cuyo plazo está perfectamente
determinado y en consecuencia tiene un número de términos finitos.
Las rentas temporales como cuentan con un número finito de
elementos o capitales, cada uno se corresponde a operaciones con un
tiempo de duración determinado.
b) Rentas Perpetuas: Son aquellas rentas cuyo número de términos es
indeterminado o indefinido, es decir conocemos la época en la cual
comienza la renta, pero no la época en que finaliza. Corresponde a
aquellas operaciones en las que el tiempo de duración tiende a infinito,
al igual que el número de elementos de la renta. Un ejemplo de rentas
perpetuas son los ingresos que se obtienen de la explotación racional

38
de un bosque, el conjunto de dividendos anuales de las acciones
comunes, etcétera.
3. De acuerdo a la variabilidad de los términos:
a) Rentas de términos Constantes: Son aquellas cuyos términos son
siempre iguales, es decir permanecen invariable durante el plazo de la
renta.
b) Rentas de términos Variables: Son aquellas cuyos términos pueden
variar en forma creciente o decreciente durante el plazo de la renta. Se
puede decir que tienen al menos un elemento o capital distinto a los
demás. Entre las rentas variables, la Matemática Financiera se
concreta al estudio de dos: las rentas variables en progresión
aritméticas y las variables en progresión geométricas. Esta clase de
renta es de poca utilidad; aunque en la Ingeniería Económica se
utilizan las rentas variables en progresión geométrica en el análisis de
los gradientes uniformes (incrementos constantes de los ingresos o
costos de una alternativa de inversión).
4. De acuerdo a la época de cancelación de los términos:
a) Rentas Vencidas o Normales: Son aquellas en las cuales los
términos se cancelan al finalizar cada uno de sus períodos. En las
rentas vencidas cada elemento se hace efectivo al final del período
correspondiente. Puede hablarse tanto de rentas inmediatas vencidas
como de rentas diferidas vencidas.
b) Rentas Adelantadas o Anticipadas: Son aquellas en las cuales los
términos se cancelan al comenzar cada uno de sus períodos. Estas
son las rentas en las que los elementos se hacen efectivos al comienzo
del período correspondiente a cada uno de ellos.

39
5. De acuerdo al número de elementos que vencen en un año:
a) Rentas Anuales o Anualidades: Se denominan así a aquellas rentas
cuyos elementos o términos vencen, ose hacen efectivos,
consecutivamente, uno cada año.
b) Rentas Fraccionadas: Son aquellas en las cuales el lapso de tiempo
entre dos elementos consecutivos es menor que el año (semestre,
trimestre, mes, etcétera).
Ahora bien, estas clasificaciones son complementarias, en el sentido
de que la renta que se origine de cualquier operación financiera puede ser
ubicada en cada una de ellas. Así, por ejemplo, los intereses el obligacionista
percibe anualmente por un bono, constituyen una renta temporal, constante,
inmediata, vencida o anticipada y anual.
Actualización de Rentas Ordinarias Vencidas
Llamaremos rentas ordinarias aquellas que son temporales –
constantes – inmediatas - vencidas, cuyos elementos se hacen efectivos
sucesivamente, uno a cada período. Sabemos que el valor presente de una
renta vencida es la sumatoria de los valores presentes de los elementos
iguales que la conforman:
A
a a a a a
0 1 2 3 n - 1.............n

40
n
n
Factor de Actualización o de valor presente de series uniformes
1 1 in
a  i
i
(12)
Este factor de actualización de la serie también puede expresarse
como (P/A,i,n) de acuerdo al sistema de simbologías funcionales.
Factor de Recuperación de Capital de series uniformes
a
1
i 
i
11in
(13)(13)
Este factor de recuperación de capital también puede expresarse
como (A/P, i, n) de acuerdo al sistema de simbologías funcionales.
Valor presente de una Renta ordinaria de una serie de pagos vencidos
La formula para calcular el valor presente de una renta vencida la
podemos determinar, multiplicando el término de una renta ordinaria
equivalente a un valor presente por el factor de actualización o de valor
presente de series uniformes, resultando la siguiente:
A  a
11in
i
(14)(14)

41
n
Término de una Renta Ordinaria equivalente a un valor presente
La formula para calcular el término de una renta ordinaria equivalente
a un valor presente en una renta vencida la podemos determinar,
multiplicando el Valor presente de una Renta ordinaria de una serie de pagos
vencidos por el factor de recuperación de capital de una serie términos
uniformes equivalentes, resultando la siguiente:
a  A 
i
11in
(15)(15)
Capitalización de Rentas Ordinarias vencidas
Al igual que el valor presente, en una renta el valor final es la suma de
los valores finales de los capitales o elementos que la constituyen, de allí
que:
a a a a S
0 1 2 3 n - 1 ..............n
Factor de Capitalización o de valor futuro de series uniformes
s  i
1in
1
i
(16)(16)
Este factor de capitalización de la serie también puede expresarse
como (F/A,i,n) de acuerdo al sistema de simbologías funcionales.

42
n
Factor de Deposito de fondo de amortización de series uniformes
s
1
i 
i
1 in
(17)(17)
1
Este factor de de deposito de fondo de amortización de la serie,
también puede expresarse como (A/F,i,n) de acuerdo al sistema de
simbologías funcionales
Valor futuro de una Renta Ordinaria de una serie de pagos vencidos
La formula para calcular el valor futuro de una renta vencida la
podemos determinar, multiplicando el término de una renta ordinaria
equivalente a un valor futuro por el Factor de Capitalización o de valor futuro
de series uniformes, resultando la siguiente:
1 in
1
S  a 
i
(18)
Término de una Renta Ordinaria equivalente a un valor futuro
La formula para calcular el término de una renta ordinaria equivalente
a un valor futuro en una renta vencida la podemos determinar, multiplicando
el Valor futuro de una Renta ordinaria de una serie de pagos vencidos por el
Factor de Deposito de fondo de amortización de series uniformes, resultando
la siguiente:

43
a  S 
i
1in
1
(19)(19)
Por ultimo, para recordar como representar el valor presente o futuro
de una renta ordinaria, un factor, un periodo de tiempo cualquiera o la tasa
de internes de la operación, solo basta con preguntarse que tipo de
operación financiera se esta computando, teniendo en cuenta de que lado se
concrete la operación, ya sea por el lado de las instituciones financieras, o
por el lado de un inversionista.
Métodos para la evaluación financiera en las decisiones de alternativas
de inversión
Para evaluar y determinar una decisión en alternativas de inversión,
una empresa utiliza el valor presente o actual neto (VPN) de los ingresos
futuro proveniente de las diferentes alternativas de inversión, la tasa interna
de rendimiento o retorno del capital invertido (TIR), el costo anual uniforme
equivalente (CAUE), la relación beneficio costo (RBC) entre otros métodos.
Para calcularlos, la empresa maneja los valores del flujo de caja o
rendimientos netos (futuros ingresos y gastos de las alternativas) tomando en
cuenta una tasa de interés, y lo compara contra la inversión realizada del
proyecto objetivo.
El procedimiento técnico para determinar la valoración en cualquiera
de los métodos, se tiene que medir el valor actual de una empresa, dado que
es semejante al que se emplea para computar el valor actual de una
inversión en bonos u obligaciones.
Los factores que deben emplearse al utilizar cualquiera de los
métodos de una empresa son:
1. Cantidad monetaria de las actividades futuras.

44
2. Tiempo o fecha de las actividades futuras.
3. Cantidad monetaria de los desembolsos futuros.
4. Tiempo o fecha de los desembolsos futuros.
5. Tasa de descuento (interés efectivo).
Los departamentos en empresas de Producción para evaluar y tomar
una decisión, tiene que tomar en cuenta el valor actual descontado para
evaluar los proyectos de operaciones dentro de la empresa y las posibles
compras de otras empresas. En ciertos casos, el calculo puede servir para
valorar equipos en obsolescencia, por reemplazo o en casos especiales en
instalación de plantas, aunque se puede utilizar los modelos solamente
cuando la ganancia prevista provenga del proyecto y pueda determinarse y
medirse en dinero.
La evaluación de proyectos por medio de métodos Matemáticos
Financieros es una herramienta de gran utilidad para la toma de decisiones
por parte de los administradores financieros, ya que un análisis que se
anticipe al futuro puede evitar posibles desviaciones y problemas en el largo
plazo.
Las técnicas de evaluación económica son herramientas de uso
general. Lo mismo puede aplicarse a inversiones industriales, de hotelería,
de servicios, que a inversiones en informática.
El valor presente neto (VPN) y la tasa interna de rendimiento o de
retorno del capital (TIR), se mencionan juntas porque en realidad es el mismo
método, sólo que sus resultados se expresan de manera distinta.
Recuérdese que la tasa interna de rendimiento (TIR) es el valor porcentual o
tasa de interés que hace el valor presente neto (VPN) igual a
cero, lo cual confirma la idea anterior.
Estas técnicas de uso muy extendido en la valoración de alternativas
de inversión, se utilizan cuando la inversión produce ingresos por sí misma,
es decir, sería el caso de la tan mencionada situación de una empresa que
vendiera por ejemplo servicios de informática o cualquier otro servicio y que

45
tenga como proyecto la renovación, sustitución o instalación de nuevas
maquinas o equipos como también la aperturas de nuevas empresas.
A continuación se desarrolla, además de los métodos del valor
presente neto (VPN) y de la tasa de retorno (TIR), se estudiaran otros
indicadores económicos-financieros que resultan de gran ayuda para la
valoración de alternativas de inversión, como son el costo anual uniforme
equivalente (CAUE),
Tasa mínima aceptable de rendimiento (TMAR)
Se define como la menor cantidad de dinero que se espera obtener
como rendimiento de un capital puesto a trabajar de manera de poder cubrir
los compromisos de costos de capital.
La tasa mínima aceptable de rendimiento (T.M.A.R.) también suele
expresarse en forma porcentual anual. Este porcentaje expresa el excedente
mínimo de los ingresos sobre los costos de cada año en relación con la
inversión, necesario para cubrir los compromisos derivados del uso de
capital.
Usualmente, dentro de la tasa mínima de rendimiento se incluye,
además del costo capital, el efecto de otros elementos, tales como: el riesgo
de las inversiones, la disponibilidad de capital de inversión, etc., que hacen
que su valor sea mayor que el costo de capital.
Determinación de la TMAR
Este punto es tal vez, el principal a determinar en el análisis
económico. La TMAR o tasa mínima aceptable de rendimiento, también
llamada TIMA, tasa de interés mínima aceptable o TREMA, tasa de
rendimiento mínimo aceptable, se forma de dos componentes que son:

46
TMAR = inflación + premio al riesgo (1 + f) (1 + i) - 1 = i + f + if
Donde:
f = inflación
La inflación se puede eliminar de la evaluación económica si se dan
resultados numéricos similares, por tanto, lo que realmente importa es la
determinación del premio (o prima) de riesgo.
Cuando la inversión se efectúa en una empresa privada, la
determinación se simplifica, pues la TMAR para evaluar cualquier tipo de
inversión dentro de la empresa, será la misma y además ya debe estar dada
por la dirección general o por los propietarios de la empresa. Su valor
siempre estará basado en el riesgo que corra la empresa en forma cotidiana
en sus actividades productivas y mercantiles. No hay que olvidar que la prima
de riesgo es el valor en que el inversionista desea que crezca su inversión
por encima de la inflación, es decir, la prima de riesgo indica el crecimiento
real del patrimonio de la empresa.
Sin embargo, el verdadero problema empieza cuando se analiza una
inversión gubernamental, donde se supone que el gobierno no invierte para
hacer crecer el valor de sus inversiones. Sería erróneo pensar que porque es
el gobierno quien invierte no importa realizar una evaluación económica, por
lo que se pueden tomar así decisiones equivocadas, lo cual, evidentemente
es un error.
Por tanto, al determinar la TMAR para inversiones gubernamentales, si
bien es cierto que no se debe considerar que siempre habrá pérdidas,
tampoco se debe considerar que las inversiones que haga el Estado deberán
tener grandes ganancias.
Algunos investigadores de Estados Unidos han concluido que la tasa
de rendimiento que debe considerarse en inversiones del gobierno es la tasa
de rendimiento de los bonos del tesoro de Estados Unidos. En México, su

47
equivalente sería la tasa que pagan los CETES (certificados de la tesorería).
Sin embargo, si se recuerda que la TMAR está formada por la tasa de
inflación más la prima de riesgo, entonces en México la TMAR
gubernamental sería la tasa de los CETES menos la inflación vigente en ese
momento, lo que da por resultado la prima de riesgo para inversiones del
gobierno. Si se realiza este cálculo durante el periodo histórico en que han
existido los CETES, se llegará a la conclusión de que la prima de riesgo para
inversiones públicas es de cero en promedio.
Este resultado es lógico en cierta medida por dos razones: la primera
indica que el gobierno no ha lucrado ni desea lucrar con sus inversiones; la
segunda razón, tal vez más lógica, es que el riesgo es de cero en todas las
inversiones que hace el gobierno.
Como existen dos formas de realizar una evaluación económica que
son al considerar la inflación y sin considerar la inflación, se puede concluir,
luego de este breve análisis, que si se realiza una evaluación económica de
una inversión gubernamental considerándose la inflación, la TMAR es
simplemente la tasa que otorgan los CETES en ese momento; si el análisis
se realiza sin considerar la inflación, la TMAR debe tener un valor entre cero
y 3% como máximo, valor que se obtiene al restar a la tasa de los CETES el
valor de la inflación.
En caso de una inversión privada, la prima de riesgo puede variar
desde un 5% para negocios de muy bajo riesgo, hasta un valor de 50 o 60%
anual, o aún más, según sea el riesgo calculado en la inversión y operación
de la empresa.
Flujo Neto Efectivo
Es la diferencia entre los ingresos netos y los desembolsos netos,
descontados a la fecha de aprobación de un proyecto de inversión con la

48
técnica de "valor presente", esto significa tomar en cuenta el valor del dinero
en función del tiempo.
Es importante tener en cuenta la diferencia existente entre el las
utilidades contables y el flujo neto de efectivo. Las primeras es el resultado
neto de una empresa tal y como se reporta en el estado de resultados; en
otras palabras es la utilidad sobre un capital invertido. El flujo neto de
efectivo es la sumatoria entre las utilidades contables con la depreciación y la
amortización de activos nominales, partidas que no generan movimiento
alguno de efectivo y, que por lo tanto, significa un ahorro por la vía fiscal
debido a que son deducibles para propósitos tributarios. Cuanto mayor sea
la depreciación y mayor sea la amortización de activos nominales menor será
la utilidad antes de impuestos y por consiguiente menor los impuestos a
pagar.
Los flujos netos de efectivo son aquellos flujos de efectivo que el
proyecto debe generar después de poner en marcha el proyecto, de ahí la
importancia en realizar un pronóstico muy acertado con el fin de evitar
errores en la toma de decisiones.
Ahorro / Impuesto Inversionista
Utilidad neta 500.000 500.000
Depreciación activos fijos 150.000 150.000
Amortización Nominales 50.000 50.000
Intereses
Amortización deuda
50.000
(230.000)
FLUJO NETO DE EFECTIVO 750.000 470.000
Los flujos netos de efectivo pueden presentarse de diferente forma:
FNE Con ahorro de impuestos, FNE para el inversionista y FNE puro. La
diferencia entre el FNE con ahorro de impuestos y el FNE para el
inversionista radica en que el primero incluye el ahorro tributario de los
gastos financieros (intereses). Así mismo este FNE se hace para proyectos
que requieren financiación y su evaluación se hará sobre la inversión total.

49
El FNE para el inversionista se utiliza cuando se desea evaluar un
proyecto nuevo con deuda inicial que tienda a amortizarse en el tiempo
después de pagado el crédito a su propia tasa de descuento.
Método del Valor Presente Neto (VPN)
Valor actual neto procede de la expresión inglesa Net present value.
El acrónimo es NPV en inglés y VPN en español. Es un procedimiento que
permite calcular el valor presente de un determinado número de flujos de
caja futuros, originados por una inversión.
La metodología consiste en descontar al momento actual (es decir,
actualizar mediante una tasa) todos los flujos de caja futuros del proyecto. A
este valor se le resta la inversión inicial, de tal modo que el valor obtenido es
el valor actual neto del proyecto.
El método del Valor Presente Neto es muy utilizado por dos razones,
la primera porque es de muy fácil aplicación y la segunda porque todos los
ingresos y egresos futuros se transforman a Bolívares de hoy y así puede
verse, fácilmente, si los ingresos son mayores que los egresos.
Cuando el VPN es menor que cero implica que hay una pérdida a una
cierta tasa de interés o por el contrario si el VPN es mayor que cero se
presenta una ganancia. Cuando el VPN es igual a cero se dice que el
proyecto es indiferente.
La condición indispensable para comparar alternativas es que siempre
se tome en la comparación igual número de años, pero si el tiempo de cada
uno es diferente, se debe tomar como base el mínimo común múltiplo de los
años de cada alternativa.
En la aceptación o rechazo de un proyecto depende directamente de
la tasa de interés que se utilice. Por lo general el VPN disminuye a medida
que aumenta la tasa de interés, de acuerdo con la siguiente gráfica:

50
En consecuencia para el mismo proyecto puede presentarse que a
una cierta tasa de interés, el VPN puede variar significativamente, hasta el
punto de llegar a rechazarlo o aceptarlo según sea el caso.
Al evaluar proyectos con la metodología del VPN se recomienda que
se calcule con una tasa de interés superior a la Tasa de Interés de
Oportunidad (TIO) del mercado, con el fin de tener un margen de seguridad
para cubrir ciertos riesgos, tales como liquidez, efectos inflacionarios o
desviaciones que no se tengan previstas.
El valor Presente Neto (VPN) es el valor monetario en Bolívares de
hoy que resulta de una inversión actual y sus flujos netos a futuro, tomando
en cuenta la tasa de interés pasiva del mercado como un costo de
oportunidad del capital a invertir. El criterio de evaluación de una inversión
con este indicador se considera aceptable si el VPN es mayor o igual a cero,
es decir, que la inversión rinde un beneficio superior al considerado como
mínimo atractivo.
Si el valor presente neto es positivo, el valor financiero del activo del
inversionista podrá aumentar, es decir, que la inversión es financieramente
atractiva, y se acepta.
Si el valor presente neto es cero, el valor financiero del activo del
inversionista podrá permanecer inalterado, es decir, que la inversión es
indiferente delante de la inversión.

51
VPN   P  

n FNE


VS
1 1 TMAR n
1 TMARn
Si el valor presente neto es negativo, el valor financiero del activo del
inversionista podrá disminuir, es decir, la inversión no es financieramente
atractiva, por tanto no se acepta.
La comparación entre el VPN y las posibilidades de inversión indica
cual de ellas es la más deseable, es decir, mientras mayor sea el VPN mayor
será el aumento del valor financiero del activo del inversionista.
Las fórmulas que nos permite calcular el Valor Actual Neto son:
 Vt = FNE = representa los flujos Netos de Efectivo en cada periodo t = n, o
beneficio neto después de impuesto más depreciación.
 I0 = P = valor del desembolso inicial de la inversión.
 n = t = número de períodos considerado.
 VS = Valor de salvamento al final de periodo n.
 k = TMAR = Tasa mínima aceptable de rendimiento o tasa de descuento
que se aplica para llevar a valor presente. los FNE y el VS.
Si el proyecto no tiene riesgo, se tomará como referencia el tipo de la
renta fija, de tal manera que con el VAN se estimará si la inversión es
mejor que invertir en algo seguro, sin riesgo especifico. En otros casos, se

52
utilizará el coste de oportunidad. Si su valor es mayor a cero, el proyecto
es rentable, considerándose el valor mínimo de rendimiento para la
inversión.
Cuando se calcula la TIR, el VPN se hace cero y se desconoce la tasa
de descuento que es el parámetro que se debe calcular. Por eso la TMAR
ya no se utiliza en el cálculo de la TIR.
Cuando el VPN toma un valor igual a 0, k = TMAR pasa a llamarse
TIR (tasa interna de retorno). La TIR es la rentabilidad que nos está
proporcionando el proyecto.
El valor presente o actual neto es muy importante para la valoración
de inversiones en activos fijos, a pesar de sus limitaciones en considerar
circunstancias imprevistas o excepcionales de mercado.
Una empresa suele comparar diferentes alternativas para comprobar
si un proyecto le conviene o no. Normalmente la alternativa con el VPN más
alto suele ser la mejor para la entidad; pero no siempre tiene que ser así. Hay
ocasiones en las que una empresa elige un proyecto con un VPN más bajo
debido a diversas razones como podrían ser la imagen que le aportará a la
empresa, por motivos estratégicos u otros motivos que en ese momento
interesen a dicha entidad.
Operaciones con Rentas fijas
Cuando los flujos de caja son de un monto fijo (rentas fijas), por
ejemplo los bonos, obligaciones crediticias, depreciación en activos,
rendimiento uniforme de producción, etc, se puede utilizar la siguiente
fórmula:

53
Donde:
 R representa el flujo de caja constante.
 i representa el coste de oportunidad o la tasa de rentabilidad mínima
atractiva de rendimiento que se está exigiendo al proyecto.
 n es el número de periodos.
 I es la Inversión inicial necesaria para llevar a cabo el proyecto.
Operaciones con Rentas crecientes
En algunos casos, en lugar de ser fijas, las rentas pueden
incrementarse con una tasa de crecimiento "g", siendo siempre g < i. La
fórmula utilizada entonces para hallar el VPN es la siguiente:
Donde:
 R representa el flujo de caja del primer período.
 i representa el coste de oportunidad o la tasa de rentabilidad mínima que
se está exigiendo al proyecto.
 g representa el índice de incremento (gradiente) en el valor de la renta
cada período.
 n es el número de periodos.
 I es la Inversión inicial necesaria para llevar a cabo el proyecto.
Si no se conociera el número de periodos a proyectarse (a
perpetuidad), la fórmula variaría de esta manera:

54
Método de la Tasa Interna de Retorno (TIR)
Bierman y Smidt (2004) señalan que la TIR “representa la tasa de
interés más alta que un inversionista podría pagar sin perder dinero”. (p. 120)
Este método consiste en encontrar una tasa de interés en la cual se cumplen
las condiciones buscadas en el momento de iniciar o aceptar un proyecto de
inversión. Tiene como ventaja frente a otras metodologías como la del Valor
Presente Neto (VPN) o el Valor Presente Neto Incremental (VPNI) por que
en este se elimina el cálculo de la Tasa de Interés de Oportunidad (TIO) del
mercado financiero, esto le da una característica
favorable en su utilización por parte de los administradores financieros.
Es la tasa de retorno del capital que se obtiene sobre la inversión no
recuperada, o bien la tasa de descuento que iguala los beneficios a los
costos en términos de valor presente. El criterio de decisión con este
indicador es que será aceptable el proyecto cuyo TIR sea mayor o igual a la
Tasa de Rentabilidad Mínima Atractiva (TREMA), lo cual significaría un
rendimiento por lo menos igual o superior al esperado como el mínimo
aceptable por el inversionista de acuerdo con el costo de oportunidad de su
capital.
La Tasa Interna de Retorno (TIR) es aquélla tasa que está ganando un
interés sobre el saldo no recuperado de la inversión en cualquier momento
de la duración del proyecto, por tal razón, se deben evaluar las diferentes
tasa de interés del mercado, tanto la tasa de interés va como la tasa de
interés pasiva. En la medida de las condiciones y alcance del proyecto de
inversiones, estos deben evaluarse de acuerdo a sus características
particulares. La tasa interna de retorno (TIR) es una herramienta de gran
utilidad para la toma de decisiones financieras dentro de las organizaciones
de producción y servicios.

55
Donde:
 P = inversión inicial.
TIR  

1
FNEn
1 in

VS
1 in
 FNE = Flujo neto de efectivo del periodo n, o beneficio neto después
de impuesto más depreciación.
 VS = Valor de salvamento al final de periodo n.
 TMAR = Tasa mínima aceptable de rendimiento o tasa de descuento
que se aplica para llevar a valor presente. los FNE y el VS.
 i = Cuando se calcula la TIR, el VPN se hace cero y se desconoce la
tasa de descuento que es el parámetro que se debe calcular. Por tal
razón, la TMAR ya no se utiliza en el cálculo de la TIR.
 TDI = Tasa de interés inferior
 TDS =Tasa de interés superior
 VANTI = Valor actual neto con TDI
 VANTS = Valor actual neto con TDS
Con la Tasa Interna de Retorno (TIR) se mide el valor promedio de la
inversión en términos porcentuales para los años de vida útil estimada del
proyecto. Los criterios de decisión de las alternativas de inversión son los
siguientes:
 Si la TIR es mayor que la tasa de rentabilidad mínima atractiva
(TMAR), la inversión es financieramente aceptable.
n
(T.D.S. - T.D.I.) x V.P.N.T.I
T.I.R. = T.D. I. +
V.P.N.T.I. + | V.P.N.T.S. |

56
 Si la TIR es igual que la tasa de rentabilidad mínima atractiva
(TMAR), el inversionista es indiferente delante de la inversión.
 Si la TIR es menor que la tasa de rentabilidad mínima atractiva
(TMAR), la inversión no es aceptable financieramente.
Calculo Electrónico de la Tasa Interna de Retorno
Para él calculo electrónico de la tasa interna de retorno (TIR) a través
de una hoja de cálculo Excel, se utiliza el total del plan de inversión y los
flujos netos de efectivo:
Se coloca la inversión negativa -78.400.000
Flujo Neto de Efectivo 1er año 73.613.600
Flujo Neto de Efectivo 2do año 95.261.600
1. El cursor se ubica debajo de los valores
2. Luego en la barra de Herramientas seleccionamos el
botón de función
3. Aparece un recuadro donde se selecciona Categoría de la
función: Financieras
4. Nombre de la Función: TIR y clic en aceptar

57
5. Aparece el siguiente recuadro:
6. Haga clic en el siguiente botón (correspondiente a la
casilla Valores)
7. Se seleccionan las celdas que tienen los valores y
presionamos la tecla enter

58
8. Luego al tomar dichos valores clic aceptar y se obtiene la
TIR
9. El resultado de la tasa interna de retorno sería: 66,76%
Costo Anual Uniforme Equivalente
Costo anual uniforme equivalente (CAUE) o valor presente de los
costos (VPC). Existen múltiples situaciones, tanto en empresas privadas
como en el sector público donde para tomar una decisión económica, los
únicos datos disponibles son sólo costos.
El criterio que deberá de calcularse primeramente será el costo anual
uniforme equivalente (CAUE) para varios años de operación, desde el año
uno hasta que el equipo pueda seguir en operación adecuada para los

59
servicios que presta. A partir de estos cálculos se obtiene la vida útil
económica del equipo, tal como se muestra en la figura 1.
Figura 1. Costos para determinar el momento óptimo del reemplazo de
equipos
La curva de costo total es la suma para cada uno de los años de los
costos asociados a la inversión del equipo y del costo de operación que éste
genera. El punto de la curva de costo total donde alcanza su valor más bajo
se denomina “costo anual equivalente mínimo” y éste define la vida útil
económica del equipo, ya que es el periodo de uso del activo, en el que
operarlo cuesta la menor cantidad posible de recursos año con año.
Una vez obtenida la alternativa de menor costo anual equivalente, se
pueden plantear los flujos de costos y beneficios derivados de las situaciones
sin y con proyecto.
Como se mencionó anteriormente, la mayor parte de los beneficios se
obtienen de los diferenciales de costos entre estas dos situaciones, ya que lo
que se pretende es reemplazarlos por equipos con características similares,
es por esta razón que los beneficios entre ambas por lo general serán muy
similares y por lo tanto en el análisis incremental, prácticamente no existirían
deferencias en beneficios entre una situación y otra.
Costo Anual
Equivalente
Costo Total
CAE
Mínimo
Costo de operación
Costo de Inversión
Años
Vida Útil
Económica

60
-1
C.A.U.E. = V.P.N x a n i
En otras palabras, lo que se está obteniendo como flujos, serán los
diferenciales entre los beneficios netos de cada una de las situaciones bajo
análisis, en cada uno de los periodos, tal y como a continuación se expresa:
BNi = (Bic/p - Cic/p) - (Bis/p - Cis/p)
Donde:
BNi = beneficio neto en el periodo i
Bic/p= beneficio en la situación con proyecto en el periodo i
Bis/p = beneficio en la situación sin proyecto en el periodo i
Cic/p = costo en la situación con proyecto en el periodo i
Cis/p = costo en la situación sin proyecto en el periodo i
Posteriormente, con cada uno de los flujos analizados para el periodo
de evaluación considerado se obtiene el valor actual neto (VPN),
actualizando cada uno de los flujos con la tasa de descuento pertinente, de
acuerdo a la siguiente fórmula:
VPN  BN 
BN1


0
(1 i )
BNn
(1 i )n
Donde:
VpN = valor actual neto
BNi = beneficio neto en el periodo
i = tasa de descuento

61
(13)
Los criterios de aceptación al usar estas técnicas son:
Técnica Aceptación Rechazo
VPN > = 0 < 0
TIR > = TMAR < TMAR
CAUE > = 0 < 0
Periodo de recuperación de la inversión (PRI)
Se define como el período que tarda en recuperarse la inversión
inicial, a través de los flujos de caja generados por el proyecto. La inversión
se recupera en el año, donde los flujos de caja acumulados superen a la
inversión inicial.
No se considera un método adecuado si se toma como criterio único,
pero, de la misma forma que el método anterior, puede ser utilizado
complementariamente con el VPN. Los proyectos que ofrezcan un período de
recuperación de la inversión (PRI) inferior a cierto número de años (n)
determinado por la empresa, se aceptarán, en caso contrario, se rechazarán.
Este método también presenta varios inconvenientes, ya que ignora
por completo muchos componentes de la entrada de efectivo (las entradas
que exceden al PRI se pasan por alto), por otro lado no toma en cuenta el
valor del dinero en el tiempo, ignora también el valor de desecho y la
duración del proyecto. Sin embargo, el método puede ser aplicable cuando
una empresa atraviesa por una crisis de liquidez, cuando la empresa insiste
en preferir la utilidad a corto plazo y no los procedimientos confiables de la
planeación a largo plazo, entre otras.
a n i 
11in
1 i

62
IO
PRI.=
BN
Si los flujos netos de efectivo fuesen idénticos y constantes en cada
periodo, el cálculo se simplifica a la siguiente expresión:
Donde PRI (periodo de recuperación de la Inversión), expresa el
número de periodos necesarios para recuperar la inversión inicial Io cuando
los beneficios netos generados por el proyecto en cada periodo son BN.
Si el flujo neto difiere entre cada periodo, el cálculo se realiza
determinando por suma acumulada el número de periodos que se requieren
para recuperar la inversión.
Rendimiento sobre ventas (calculado por año)
Indica el margen de beneficio que se obtiene por la producción y
comercialización del producto que se pretende fabricar. Este indicador señala
el porcentaje de las ventas anuales que se transforman en utilidad neta para
el mismo periodo; es decir, cuantos bolívares se obtienen de ganancia por
cada cien bolívares invertidos en ventas.
Rendimiento sobre inversión (calculado por año)
Sirve como indicador para conocer la tendencia de recuperación de la
inversión, así como también la optimización que presenta el capital invertido.

63
Con este índice se observa el porcentaje de utilidad neta que se obtiene a
partir de la inversión para cada uno de los años proyectados.
Por ejemplo, si con una inversión de Bs. 20.000.000 logramos los flujos
anuales que se muestran a continuación, cuando el monto que se encuentra
en la columna Flujo acumulado sea igual o superior a la inversión más los
intereses, se logra cuando la inversión tiene un rendimiento como el que se
puede apreciar que la inversión se recupera al término del cuarto año.
Año Flujo anual
Flujo
acumulado
Rendimiento
sobre inversión
1 5.000.000 5.000.000 25%
2 7.000.000 12.000.000 35%
3 8.000.000 20.000.000 40%
4 10.000.000 30.000.000 50%
5 12.000.000 42.000.000 60%
6 16.000.000 58.000.000 80%
En este método se asumen que no se hacen pagos anuales
amortizando el capital. En caso de que existan estos pagos deberán
descontarse anualmente hasta pagar completamente la inversión.

64
Interpretación de los indicadores de evaluación económica financiera
INDICADORES CRITERIOS DE EVALUACIÓN
TASA INTERNA DE
RETORNO (TIR)
Se define como el tipo de interés que aplicado mediante
la formula de descuento sobre los beneficios y costos
durante el período de vida útil previsto para el proyecto,
hace que los beneficios sean iguales a los costos, es
decir la relación beneficio/costo igual a la unidad. (BID.
Proyectos de Desarrollo Industrial Vol. 2, Edi, Limusa,
México, 1979).
TIR > TMAR, se acepta.
TIR < TMAR, se rechaza.
TIR = TMAR, es indiferente si se acepta o se rechaza.
VALOR ACTUAL NETO
(VAN)
Representa la diferencia entre la sumatoria de los
beneficios actualizados y la sumatoria de los costos
actualizados.
En el VAN se puede presentar las siguientes situaciones:
VAN > 0, el proyecto es financieramente aceptable.
VAN < 0, el proyecto es financieramente se rechaza.
VAN = 0, es indiferente si se acepta o no el proyecto.
Selección de la Tasa de Actualización:
1. Mercado Financiero
2. Costo de Oportunidad de Dinero
3. Interés del Préstamo
4. Tasa de Inflación Acumulada
RELACIÓN
BENEFICIO/COSTO
(B/C)
Consiste en la comparación que se hace entre los
beneficios que se obtienen en el proyecto, y su vida útil
(Vida Técnica) versus los costos de inversión y
operación que pueda tener el proyecto para su
ejecución.
En la R B/c se puede presentar las siguientes
situaciones:
R B/c < 1, el proyecto no es viable.
R B/c = 1, es indiferente.
R B/c > 1, el proyecto es viable. Se recupera la
inversión, paga los costos operacionales y deja
beneficio.
Es un indicador relativo, señala que por cada unidad
invertida en costos, se tendrá una fracción en beneficios,
es decir, en utilidad.
RENTABILIDAD DE LA
INVERSIÓN (RI)
Se refiere a la rentabilidad media anual esperada sobre

65
la base de los beneficios y la inversión realizada.
En la R B/c se puede presentar las siguientes
situaciones:
RI < 1, el proyecto no es viable.
RI = 1, es indiferente.
RI > 1, el proyecto es viable.
Es un indicador relativo, señala que por cada unidad
monetaria (Bs.) Invertida, se tendrá una fracción en
rentabilidad, es decir, en utilidad.
PERÍODO DE
RECUPERACIÓN DE
LA INVERSIÓN (PRI)
Este indicador es perfectamente compatible con el
calculo del VAN o la TIR y puede servir como auxiliar de
éstos, de manera que los complemente en la decisión
final. Consiste en definir el momento en que la suma de
los beneficios netos equivale a la suma de las
inversiones, dependiendo del origen que tenga cada
capital.
EJERCICIOS PROPUESTOS

66
PROBLEMARIO DEL SISTEMA FINANCIERO SIMPLE
1. Determine el monto y el interés simple de:
a) Bs. 120.000 durante 6 meses y 15 días al 12 ¾ % anual
b) Bs. 150.000 durante 3,5 meses a la tasa del 18,5% anual
c) Bs. 250.000 durante 3 trimestres al 13% anual
2. ¿Cuánto tiempo tardará un capital de Bs. 3.000.000,oo que fue invertido
en un certificado de ahorro para que produzca intereses iguales a las ¾
partes de sí mismo a una tasa del 9 ½ % anual?
3. Tres capitales fueron colocados al 8%, 12% y al 18% anual durante 10
meses, 1,5 trimestres y 120 días respectivamente, habiendo producido
un total de Bs. 920.700,00 - Se desea saber cuáles fueron dichos
capitales, si todos eran iguales?
4. Invertimos Bs. 600.000 al 12% anual. A los 6 meses la tasa de interés
baja en 3% anual por lo cual se decide retirar Bs. 200.000 del capital.
Determinar el monto que retiraremos 14 meses después de haberse
efectuado la inversión.
5. Se han invertido 2 capitales iguales, el primero al 9% anual durante 6
meses y el segundo al 10% anual, durante 4 meses. Si el monto recibido
es de Bs. 650.000. Determinar a cuanto asciende cada capital invertido.
6. Una empresa del ramo texilero solicita un préstamo de Bs. 10.000.000,oo
ante una Institución Financiera, por un plazo de 12 meses y ha una tasa
de interés de 36% anual. Se pide realizar las siguientes operaciones
financieras:

67
a) Determinar los intereses que tendrá que pagar la Empresa en tiempo
previsto para la cancelación del préstamo.
b) Si los pagos se tienen que hacer trimestralmente, y la Institución
financiera cobra los intereses por adelantados para el primer pago.
Cuanto recibirá la Empresa en el momento de la aprobación del crédito.
c) Cuanto recibe la Institución financiera al final del plazo por el préstamo.
7. Determinar cuál es la tasa de interés anual, que por un capital de Bs.
25.000.000,oo el cual fue invertido en tres operaciones conjuntas de la
siguiente manera:
a) Un 40% del capital para un plazo de 90 días
b) Un 35% para un plazo de 120 días y resto por un plazo de 270 días.
Si al hacer un corte en la operación financiera se ha recibió Bs.26.100.000,
00 en un plazo de 340 días.
8. Una empresa de inversión ha realizado tres inversiones iguales. La
primera por 2 trimestres a una tasa de 12 ½ % anual, la segunda durante
dos bimestres a una tasa de 18% anual y la tercera durante ¾ de año a
una tasa de 19% anual. Si el capital invertido se transformo en Bs.
3.950.000,00 –se pide: Determine a cuánto asciende el capital invertido
en cada operación.
9. Se han invertido dos capitales, el primer capital es menor en Bs.
900.000,00 al segundo. El primero fue colocado al 9% anual a 60 días y el
segundo al 12% anual a 120 días. El monto obtenido en la operación fue
de Bs. 4.500.000,00.- Se pide determinar el valor de los capitales
invertidos.
10.La suma de dos inversiones realizadas A y B es de Bs. 1.500.000,oo. La
inversión A fue realizada al 18% anual por un plazo de 6 meses y la B al

68
12 ½ % anual por tres trimestres. Los capitales invertidos produjeron
intereses por Bs. 350.000,oo.- Se pide determinar los capitales invertidos
en la operación.
11.Cuanto tiempo tardara un capital de Bs. 5.000.000,oo el cual fue colocado
a interés simple en dos operaciones iguales: al 8% y 9% respectivamente,
si en la primera se coloca ¾ partes del capital y en la segunda el resto,
teniendo en cuenta que se transformo en Bs. 5.600.000,oo en ese tiempo.
12. A que tasa de interés anual un capita produce 1/5 parte de si misma en
una operación de capitalización simple y en un plazo de 270 días.
PROBLEMARIO DE SISTEMA FINANCIERO COMPUESTO CON Y SIN
PERIODOS DE CONVERSION FRACCIONADOS
1. Hallar el monto acumulado de:
a) Bs.1.200.000,00 a la tasa de interés del 15% anual durante 4 años.
b) Bs.1.350.000,00 en 3 1/2 años al 13 1/2% anual.
c) Bs.500.950,00 a la tasa de interés del 25 3/4% anual durante 4,75 años.
2. En los casos siguientes: ¿Cuál es el valor actual correspondiente a cada
capital?
a) Bs.800.000,00 con vencimiento dentro de 5 años al 10% de interés anual
compuesto.
b) Bs.1.100.000,00 con vencimiento dentro de 6 años al 12,5% de interés
anual compuesto.
3. Hallar el valor final o monto compuesto de:
a) Bs. 670.000, al 12% nominal con capitalización mensual durante 5 años.

69
b) Bs. 400.000, al 11% anual con capitalización semestral durante 3 años y
6 meses.
c) Bs. 280.000, al 9% nominal con capitalización trimestral en 4 años y 8
meses.
4. Encuentre el tiempo en años que se requiere para que:
a) Bs. 950.000, sea 1.118.880,49 al 15% convertible mensualmente.
b) Bs. 800.000, sea 1.500.838,89 al 16 ½ % convertible semestralmente.
c) Bs. 132.000, sea 732.000 al 12% convertible cuatrimestralmente.
5. Encuentre el valor presente de:
a) Capital final Bs. 850.000, a una tasa del 16% anual con capitalización
mensual en 2 años y 6 meses.
b) Capital final Bs. 100.000, a una tasa del 15% nominal con capitalización
bimestral en 1 año y 20 días.
6. Determinar el capital que ha sido invertido en la forma siguiente: 4/6 al 9%
anual con capitalización anual y el resto al 8% anual, si al final del tercer
año su monto ascendió a Bs. 100.000.
7. Se han invertido Bs. 500.000, durante 10 años a una tasa del 8% anual
convertible semestralmente durante los dos primeros años, 9% anual
convertible mensualmente durante los dos años siguientes y 13% anual
convertible cuatrimestralmente durante el resto del periodo. Calcule el
valor final al año 10.
8. ¿A que tasa de interés son equivalentes Bs.3.500,00 dentro de 3 años
Bs.2.500,00 dentro de 5 años?

70
9. Hallar el año en el cual el interés devengado por un capital en ese año es
igual al capital inicial. Tasa de interés del 15% anual.
10.¿En que tiempo se incrementa un capital en un 50% a la tasa de interés
del 15% anual?
11.Un capital Co se convierte en Bs.400.000,00 en 20 años a la tasa de
interés i; y a la misma tasa, en 10 años se convierte en Bs.215.892,50.
Hallar Co e i.
12.Determinar la tasa a la cual será necesario invertir un capital para que,
en 3 años, con capitalización anual, produzca el mismo interés que en 39
meses a interés simple.
13.¿Qué deposito debe hacerse hoy en una entidad bancaria con el objeto
de retirar Bs.30.000,00 dentro de dos (2) años y Bs.50.000,00 dentro de
tres (3) años, siendo la tasa de interés del 11% anual?
14.Una persona deposita Bs.80.000,00 en una institución financiera con el
objeto de tener Bs.120.000,00 dentro cuatro (4) años. Pero a los dos (2)
años de iniciada la operación se percata que ha estado recibiendo
0,6682% menor de interés que la tasa requerida para lograr su objetivo.
Diga, ¿Cuánto debe depositar en ese momento para obtener la cantidad
previamente establecida y en el mismo tiempo?
15.Determinar la tasa a la cual será necesario invertir un capital para que, en
dos (2) años, con capitalización anual, produzca el mismo interés que en
27 meses a interés simple.

71
16.Una empresa ha invertido un capital de Bs.1.000.000,00 a una tasa del
16% anual, durante 10 años. Al final del sexto año, se aumenta la tasa de
interés al 18% anual. Se pide: determinar el monto acumulado.
17.Una persona obtiene un préstamo de Bs.1.500.000,00 para cancelarlo
con sus intereses dentro de cuatro (4) años. La tasa de interés es del 9%
anual. Dos (2) años después de haber obtenido el préstamo, decide
cancelar la mitad de la deuda en ese momento. El acreedor acepto la
cancelación siempre y cuando pague Bs.1.088.020,00 al final de la
operación. ¿Qué tasa de interés se le quiere cobrar en los dos (2) últimos
años?
18.Determinar el capital que ha sido invertido en la forma siguiente: 4/6 al
9% anual, y el resto al 8% anual, si al final del tercer año su monto
ascendió a Bs.1.000.000,00.
19. A afirma que él obtiene una tasa de beneficio sobre el dinero que invierte
superior en 1,5% anual a la tasa que obtiene B. Por su parte, B afirma
que hace duplicar su capital en seis (6) años. ¿En qué tiempo, entonces,
lo duplica A?
20. T y B se asocian para obtener un titulo-valor de Bs.500.000,00 que otorga
el 16% de interés anual acumulado. Ese titulo-valor tiene una duración de
tres (3) años, Al final, los compradores recibirán tanto el valor del titulo
como los intereses acumulados. T aporta Bs.200.000,00 y B aporta
Bs.300.000,00. B desea tomar de los intereses una cantidad tal que
signifiquen un 18% anual acumulado sobre su aportación. Si T aceptara
esto, ¿Qué tasa estaría percibiendo por su dinero?

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