Revista sigma 23

EDITORIAL
Con un poco de retraso volvemos a salir con este nuevo número de nuestra revista. En el
tiempo transcurrido desde la salida del anterior número hemos completado un objetivo que
teníamos marcado desde hacía tiempo: la 1ª Olimpiada Matemática de Euskadi. Ha sido un
trabajo muy gratificante por la magnífica respuesta de los centros educativos participantes y,
esto es lo bonito, por el interés y dedicación de todos los chicos y chicas que han tomado
parte. Sobre sus contenidos y desarrollo Alberto Bagazgoitia ha preparado un amplio e intere-
sante artículo.
Felizmente en este número volvemos a recoger un artículo sobre la didáctica de la Matemática
en Enseñanza Infantil y Primaria. Por cierto, el título del artículo más que leerlo debemos can-
tarlo con música de jota. Como ya hemos señalado en anteriores ediciones, no nos resulta fácil
recibir colaboraciones referidas a trabajos hechos en estos niveles. Es un trabajo que tiene
especial interés pues nace desde el mismo aula, aportando ideas para la reflexión y la aplica-
ción práctica dentro del ella. Los artículos de Inés Sanz y Arantza Iztueta referidos, respectiva-
mente, a los libros de texto y al uso de los cuantificadores verbales en EI y en el inicio de la
EP, completan los trabajos referidos a estas etapas.
El artículo de Mikel Lezaun, que publicamos en este número, ha recibido el tercer premio de
divulgación en Matemática Aplicada de la revista Se
→
MA. Es un trabajo que se refiere a la apli-
cación de la Matemática a la predicción del tiempo, desde sus inicios hasta los modernos sis-
temas basados en el uso de los ordenadores. Este artículo es el motivo de nuestra portada.
Como siempre damos las gracias a todos y todas que han colaborado con sus trabajos a este
nuevo ejemplar, y seguimos abiertos a las colaboraciones que se nos hagan llegar, especial-
mente, aquellas que se refieran a experiencias en el aula.
EDITORIALA
Atzerapen txiki batez, gure aldizkariaren zenbaki berri batekin gatoz berriro. Aurreko zenba-
kia atera zenetik hona, aspaldidanik azpimarraturik genuen helburua bete dugu: I Euskadiko
Matematika-Olinpiada. Oso lan pozgarria izan da, parte hartu duten ikastetxeei esker eta,
hauxe da politena, bertan parte hartu duten neska-mutilei esker batez ere. Alberto Bagazgoitiak
artikulu luze bezain interesgarria prestatu digu han landu diren edukiei eta bertako garapenari
buruz.
Zorionez, zenbaki honetan Haur eta Lehen Hezkuntzako Matematikaren Didaktikari buruzko
artikulu bat bildu dugu berriro. Izan ere, artikuluaren izenburua irakurri bainoago kantatu
beharko genuke, jota moduan. Aurreko zenbakietan aipatu dugun bezala, ez zaigu erraza ger-
tatzen maila honetako artikuluak jasotzea. Interes berezia du, gainera, gelatik bertatik sortuta-
koa baita eta gogoetarako eta gela barneko aplikazio praktikorako ideiak ematen baititu. Ines
Sanzen eta Arantza Iztuetaren artikuluak ere aipatzekoak dira, bata testu-liburuei buruzkoa da
eta bestea bai HHn eta bai LHn aplikatzen diren hitz zenbatzaileei buruzkoa.
Zenbaki honetan ere Mikel Lezaunen artikulu bat argitaratu dugu. Se
→
MA aldizkariaren
Matematika Aplikatu arloko hirugarren zabalkunde-saria jaso du. Matematikaren aplikazioa
eguraldiaren aurreikuspenean du gaia, hastapenetatik gaur arte, ordenadoreen erabilerak sis-
tema guztiak baldintzatzen eta modernizatzen dituen arte alegia. Artikuluak, gainera, aitzakia
eman digu azalerako.
Beti bezala, eskerrak eman nahi dizkiegu zenbaki honetan parte hartu duten guztiei eta esan
behar dugu, berriro ere, kolaborazio zain geratzen garela; gelako esperientziei buruzkoak
badira, hainbat hobe.

INDICE
INFANTIL-PRIMARIA / HAUR ETA LEHEN HEZKUNTZA 7
LA JOTA DE LA MEDIDA: NO CREAS QUE LO LAMENTO, SI SUMAS,
MULTIPLICAS O MIDIENDO, MÁS QUISIERA QUE SUPIERAS P´A QUE UTILIZAS
LO QUE CUENTO, NI SUMO, NI CUENTO, NI RESTO
SI NO TENGO UN CONTEXTO
NI HANDIA, ZU TXIKIA, GU LUZEA, ZUEK MOTZAK,
DENOK GELAN ZEHATZAK
Manoli Alonso - Maribel Álvarez - Pili Intxauspe - Marivi Fernández - Pili Lassalle
Lourdes Muñoz - Begoña Olaskoaga - Imanol Rojo - Carmen Ruiz . . . . . . . . . . . . . . . 8
SECUNDARIA / BIGARREN HEZKUNTZA 45
1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI PARA ALUMNADO DE 2º DE ESO
Asesores de Matemáticas de los Berritzegunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
LA PIZARRA ELECTRÓNICA / ARBELA ELEKTRONIKOA 79
PROGRAMACIÓN LINEAL CON EXCEL: ESTABILIDAD DE LA SOLUCIÓN
Inmaculada Lekubarri y José Mª Eguzkitza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
BATXILERGOKO MATEMÁTIKA MAPLEREKIN
Fernando Garatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
ARTÍCULOS / ARTIKULOAK 109
LOS CUANTIFICADORES VERBALES AL COMIENZO
DE LA EDUCACIÓN PRIMARIA
HITZEZKO KUANTIFIKATZAILEAK LEHEN HEZIKETAREN HASIERAN
Arantza Iztueta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
¿EXISTE UN MÉTODO CIENTÍFICO?
Mª Elvira González Aguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
LA OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA PARA ALUMNADO
DE BACHILLERATO
Javier Duoandikoetxea, Jesús de la Cal y Francisco Luquín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
EXTREMOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE ENTERA
José Mª Eguzkitza Arrizabalaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
ZERGATIK ETA NOLA IKERTZEN DA MATEMATIKAN?
Yves Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
PREDICCIONES DEL TIEMPO Y MATEMÁTICAS
Mikel Lezaun Iturralde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
LAS ACTIVIDADES MATEMÁTICAS. TIPOS DE ACTIVIDADES PROPUESTAS
EN LIBROS ESCOLARES PARA GEOMETRÍA
Inés Sanz Lerma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
LIBROS / LIBURUAK 179
EL RETO DE HILBERT
Jeremy J. Gray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
AVENTURAS DE UN MATEMÁTICO. MEMORIAS DE STANISLAW M. ULAM
S. M. Ulam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
CÁLCULOS MATEMÁTICOS POR ORDENADOR CON MAPLE V.5
E. Roanes y E. Roanes Lozano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Infantil–Primaria/Hauretalehenhezkuntza

LA JOTA DE LA MEDIDA:
NO CREAS QUE LO LAMENTO,
SI SUMAS, MULTIPLICAS O MIDIENDO,
MÁS QUISIERA QUE SUPIERAS
P´A QUE UTILIZAS LO QUE CUENTO,
NI SUMO, NI CUENTO, NI RESTO
Manoli Alonso - Maribel Álvarez - Pili Intxauspe
Marivi Fernández - Pili Lassalle - Lourdes Muñoz
Begoña Olaskoaga - Imanol Rojo - Carmen Ruiz
INTRODUCCIÓN
Somos un grupo de profesoras y un profesor de educación infantil y primaria de distintos cen-
tros escolares. Durante varios cursos hemos tomado parte en la convocatoria que para los gru-
pos de trabajo realizaba el Gobierno Vasco. Como consecuencia de ello, hemos producido
algunos trabajos. Éstos nos han valido para reflexionar sobre la práctica docente y enrique-
cernos mutuamente como profesionales, contrastando nuestras ideas sobre los procesos de
enseñanza y aprendizaje, discutiéndolas y profundizando en sus bases teóricas.
Al reflexionar sobre la enseñanza de la matemá-
tica hemos constatado que hay aspectos que no
trabajamos lo suficiente y por ello decidimos,
durante este curso, trabajar sobre uno de ellos: la
medida. ¿Por qué nos preocupa la medida? En
parte porque nos sentimos bastante ignorantes en
este tema. En la escuela nos dijeron: "el metro es
una barra de platino-iridio que se encuentra en
París". Y a continuación trabajamos el paso de
unas unidades a otras (buscando trucos para acor-
darnos de si había que de poner o quitar ceros).
Había que dar la medida del campo de fútbol en
milímetros, el grosor de un folio en kilómetros;
por lo visto el objetivo de estos ejercicios era
repasar lo aprendido. Aparte de esto, poco más.
Nos gustaría que esto no les sucediera a nuestro
alumnado. Aprovechando las situaciones reales
SIGMA Nº 23 • zk. 23 SIGMA8
La Jota de la Medida, no creas que lo lamento ...
Manoli Alonso y otros
Por fin he encontrado el metro

Noviembre 2003 • 2003ko Azaroa 9
NI HANDIA
ZU TXIKIA
GU LUZEA
ZUEK MOTZAK
Manoli Alonso - Maribel Álvarez - Pili Intxauspe
Marivi Fernández - Pili Lassalle - Lourdes Muñoz
Begoña Olaskoaga - Imanol Rojo - Carmen Ruiz
SARRERA
Haur eta lehen hezkuntzako talde bat gara, eta partaideok ikastetxe ezberdinetan lan egiten
dugu. Urte batzuk pasa dira lan-talde bezala elkartzen hasi ginenetik. Eusko Jaurlaritzaren lan-
taldeentzako deialdian parte hartu izan dugu, eta, horren ondorioz, lan batzuk ekoiztu ditugu.
Lan horiek baliagarriak izan zaizkigu praktikari buruz hausnartzeko eta elkar aberasteko: gure
ikaskuntza-irakaskuntzari buruzko ideiak kontrastatuz, eztabaidatuz eta oinarri teorikoak bilatuz.
Matematikaren irakaskuntzaz hausnarketa egitean,
zenbait atal gutxiegi lantzen ditugula iruditu zit-
zaigun, eta, horrexegatik, ikasturte honetan horie-
tako bat jorratzea erabaki genuen: neurria.
Zergatik kezkatzen gaitu neurriak? Gure ezjakinta-
sunarengatik alderdi horretan. Eskolan esan zigu-
ten: "Metroa Parisen dagoen platino-iridiozko
barra bat da" eta horren ondoren lan handiena iza-
ten zen unitate batzuetatik besteetara pasatzea,
erabili behar zen trukua modu egokian erabiltzea.
Futbol zelaiaren neurria milimetrotan bilatu behar
izaten genuen, folio baten lodiera kilometrotan;
nonbait ariketa hauen helburua ikasitakoa birpa-
satzea izaten zen. Eta hortik aurrera ezer gutxi.
Gure ikasleei horrelakorik ez gertatzea nahiko
genuke. Gelan ematen diren neurtzeko egoera Azkenean aurkitu dut metroa
Ni handia, zu txikia, gu luzea, zuek motzak, denok gelan zehatzak

de medida que se dan en el aula y proponiendo otras actividades significativas creemos que
podrán llegar a medir con más precisión, rapidez y "seso" que nosotros.
Como profesores nuestra mayor preocupación suele ser cómo enseñar: qué actividades selec-
cionar y, especialmente, cómo llevarlas a cabo (cómo agrupar a los alumnos-as, qué materia-
les utilizar, el nivel de intervención del profesorado, cómo aprovechar las aportaciones de los
alumnos-as...), teniendo en cuenta los contenidos, objetivos y orientaciones del DCB. Si ana-
lizamos este documento veremos que la medida abarca todo un bloque: "La medida.
Información cuantitativa sobre los objetos y el tiempo". En su introducción expone que el prin-
cipal objetivo es realizar medidas en situaciones reales.
Es indudable que la medida tiene una gran presencia en nuestras vidas: organizar el tiempo,
hacer las compras, preparar la comida, comprar la bombilla que necesitamos, decorar la casa,
controlar nuestro peso, comprar unos pantalones o unos zapatos... Para realizar estas accio-
nes y muchas otras utilizamos la medida.
Por ello proponemos utilizar en la escuela las situaciones espontáneas del aula, en las que sea
pertinente medir, y, además, planificar otras para trabajar distintos aspectos de la medida.
Siempre dentro de un contexto que les dé sentido y funcionalidad: las edades de los niños-as
y sus familiares; su altura y su peso; las cantidades de azúcar, harina y leche que se necesitan
para hacer un bizcocho; los días que faltan para una celebración (contados en un calendario
de verdad que hay en el aula).
Hay que resaltar que la medida, al igual que toda la matemática en general, tiene estrecha
relación con otras áreas, en especial con el Conocimiento del medio. En los distintos bloques
de este área se hace mención directa a la medida. En el bloque de el Medio físico y la acción
humana (medir el tiempo atmosférico, maquetas, croquis...) y en el bloque de los Cambios his-
tóricos y la vida cotidiana (especialmente en las unidades de medida del tiempo), entre otros.
NOSOTRAS Y NOSOTROS Y LA MEDIDA
Algunos de los problemas que tenemos los adultos (ciertos adultos) con las medidas tal vez,
no los tendríamos, ¿o sí? de haber trabajado en la escuela de otra manera. Veamos esta serie
de preguntas:
• ¿Qué resulta más barato (más ecológico) bañarse o ducharse? ¿De qué depende?
- De las dimensiones de nuestra bañera. ¿Cuántos litros de agua caben en una bañera de
las grandes? Cuando hemos preguntado esto a algunos profesores, han dado respuestas
dentro de un intervalo de 100 a 2000 litros, está claro que no tenemos ni idea de las
dimensiones de una bañera y nos cuesta de calcularlas rápidamente cuando nos las
preguntan).
- De si únicamente se llena la bañera una vez o si se va vaciando y llenando según se
enfría el agua.
- De si después, para aclararte utilizas la ducha.
- Si te duchas, depende del caudal de agua que salga de la ducha y del tiempo que uti-
lices para ducharte.
• ¿Qué es mejor, que nos descuenten el 25% o la oferta de "Llévese tres y pague dos"?
• ¿Qué resulta más ventajoso, el precio más el IVA y después aplicar el descuento, o el pre-
cio con descuento y después agregar el IVA? (Algunos profesores empleamos demasiado
tiempo en pensar la respuesta).

errealak aprobetxatuz eta beste zenbait jarduera esanguratsuak garatuz, guk baino modu
zehatzago eta zentzudunagoan neurtuko dutelakoan gaude.
Irakasle izaki nola irakatsi izaten da gure kezka nagusia: zer jarduerak aukeratu, eta, bereziki,
nola burutu jarduera horiek (taldekatze mota, materiala, irakaslearen esku-hartze maila, ikas-
leen ekarpenak nola aprobetxatu...); OCDaren helburu eduki eta orientabideak kontuan har-
turik. OCDa aztertzen badugu ikusiko dugu neurriak multzo oso bat hartzen duela: "Neurketa.
Objektu eta denborari buruzko informazio kuantitatiboa". Horren sarreran aipatzen da neur-
keta egoera errealetan gauzatzea dela lehentasunezko helburua.
Garbi dugu neurriak gure bizitzan presentzia handia duela: denbora antolatu, erosketak egin,
janaria prestatu, behar dugun bonbila erosi, etxea dekoratu, norberaren pisua kontrolatu, gal-
tzak edo zapatak erosi... Ohiko ekintza hauek guztiak eta beste asko burutu ahal izateko neu-
rria erabiltzen dugu.
Horregatik proposatzen dugu eskolako egoera naturalak aprobetxatzea, gelan sortzen direnak,
beti ere neurtzea beharrezkoa denean; eta horiez gain, beste batzuk planifikatzea, neurketa-
ren alderdi ezberdinak lantzeko. Beti ere testuinguru batean, zentzua eta funtzionaltasuna
emango diena: haurren adinak eta senideenak; haurren altuera eta pisua; bizkotxo bat egiteko
behar den azukrea, irin eta esne kantitateak; ospakizun baterako falta diren egunak (gelan
dagoen benetako egutegian kontatuta).
Aipatu behar da neurriak, matematika osoak bezala, beste arloekin duen lotura garrantzitsua,
bereziki Inguruaren ezaguera arloarekin. Arlo horren multzo ezberdinetan aipamen zuzena
egiten zaio neurketari. Besteak beste, Ingurune fisiko eta giza ekintza multzoan (eguraldia
neurtzea, maketa, krokis e.a. egitea, mapak interpretatzea...), eta Aldaketa historikoak eta egu-
neroko bizitza multzoan (denbora neurri-unitateak bereziki).
HELDUOK ETA NEURRIAK
Helduok (batzuek) neurriekin ditugun arazo batzuk, agian eskolan beste modu batez landuz
gero (eta ikasiz gero) ez genituzke izango, ala bai?. Hona hemen galdera zerrenda bat:
• Zer da merkeago (ekologikoago) bainatzea ala dutxatzea? Zeren arabera da?
- Gure bainu ontziaren neurrien arabera. Zenbat litro sartzen dira "handiak" diren horie-
tan? Irakasleei galdetu diegunean 100 eta 2000 litro artean egon dira erantzunak. (Garbi
dago ez dugula bainu ontzi baten neurrien ideiarik, eta, aldez aurretik, ez badugu inoiz
horretan pentsatu, kalkulatzeko ahalmenik ez dugula.
- Bainu ontzia behin bakarrik betetzen bada, edo ura hozten den neurrian husten eta
betetzen bada.
- Ondoren, xaboia guztiz kentzeko dutxa erabiltzen bada.
- Dutxaren kasuan, dutxatik ateratzen den ur kantitatearen arabera; eta, dudarik gabe,
dutxapean pasatzen den denboraren arabera.
• Zein da hobea %25eko deskontua ala "Hiru eraman eta bi ordaindu" eskaintza?
• Zer da hobe salneurriari BEZa gehitu eta gero deskontua egitea, edo lehengo deskontua egin
eta gero BEZa gehitzea? (irakasle batzuek denbora gehiegi behar izaten dute erantzuteko)

• ¿Por qué no hay lavadoras que midan 1m x 1m x 1m?
• ¿Cuánto tiempo necesitaríamos para contar hasta un millón? (La respuesta rápida de algu-
nos es un millón de segundos).
• ¿Cómo se ahorra más papel al envolver cajas? ¿Haciendo que los bordes del papel sean
paralelos a las aristas de la caja, o con el papel inclinado? (Según Claudi Alsina en el mundo
occidental se envuelven de la primera manera, en cambio, en el mundo oriental de la
segunda, con lo que ahorran hasta un 10% de papel).
• ¿Qué resulta mejor para seis personas, una pizza grande de 40cm de diámetro o dos media-
nas de 30cm? Claramente suele salir más barata la grande, pero ¿cuánto comemos?
¿Compensa?
• Cuando pido media copa de cava (en copa cónica) ¿hasta dónde nos tienen que llenar la
copa?
• A la hora de comprar un piso ¿nos basta con una ojeada general para hacernos una idea de
las dimensiones del piso?
Queremos haceros una propuesta: haced un pequeño estudio entre vuestros alumnos y alum-
nas para saber qué piensan sobre algunos aspectos relacionados con la medida. Por ejemplo:
- La distancia de un sitio a otro: ¿Es la misma a la ida que a la vuelta?, ¿Es la misma si
vas en coche que andando? (Considerando que vayas por el mismo sitio).
- El peso: ¿Un kilo de paja pesa lo mismo que un kilo de hierro? Si pesamos una bola de
plastilina y luego hacemos un churro, y luego lo aplastamos, ¿habrá la misma cantidad
de plastilina? ¿Pesará lo mismo?
- Temperatura: ¿Un bloque de hielo grande y un cubito pequeño tienen la misma tem-
peratura?
- Edad: Si una persona nació en 1954 y otra en 1960, ¿quién es mayor?
En este artículo exponemos algunas situaciones y actividades que han realizado
nuestros alumnos y alumnas en torno a la medida; algunas se han dado a partir de
propuestas del profesor-a, y otras, en cambio, son situaciones espontáneas del aula.
Reseñamos el contexto en el que han tenido lugar y, también, algunas conclusiones.
ACTIVIDADES REALIZADAS EN NUESTRAS AULAS
FECHA DE NACIMIENTO (Educ. Infantil-5 años) (Registro)
Se quería trabajar la fecha de nacimiento. Para ello se planifica la siguiente actividad:
ACTIVIDAD
• Analizar las fechas de nacimiento. ¿Qué datos aparecen? ¿Qué significan?
• Comparar las fechas de nacimiento de todos los de clase: ¿Qué números son iguales? ¿Por qué?
• Ordenar las fechas de nacimiento: actividad oral.

• Zergatik ez dago 1m x 1m x 1m neurriko garbigailurik?
• Zenbat denbora beharko genuke milioi arte zenbatzeko? (batzuen berehalako erantzuna
milioi bat segundo izaten da).
• Kaxa bat paperez biltzeko, nola aurrezten dugu paper gehiago? Papera kaxaren ertzekiko
paralelo jarriz, ala kaxarekiko okertuta jarriz? (Claudi Alsinak esaten du mendebaldean lehe-
nengo moduan egiten dugula eta ekialdean, berriz, bigarren moduan; horregatik paperaren
%10a aurrezten dute).
• Sei pertsonentzat zer da hobe? 40cm-ko diametroa duen pizza handi bat, edo bi ertainak
(30 cm-koak)? Garbi dago handiena merkeago ateratzen dela, baina zenbat jaten dugu?
Merezi al du?
• Kopa erdia txanpaina eskatzen badugu (kono-formako kopa batean) noraino bete behar
digute kopa?
• Etxe bat erosi behar badugu, nahikoa dugu begirada bat botatzea etxe horren neurriak jakiteko?
Proposamen bat egin nahi dizuegu: ikerketa bat egitea haurrekin, neurriaren zenbait alderdiei
buruz zer pentsatzen duten jakiteko. Adibidez:
- Toki batetik besterako distantzia: joateko eta bueltatzeko distantzia berdina da?
Berdina da kotxez eta oinez? (beti ere, bide berdinetik bazatoz).
- Pisua: Lasto kilo batek eta burdin kilo batek berdin pisatzen dute? Plastilina bola bat
pisatu, ondoren txurro bat egin eta gero zapaldu. Plastilina kantitate bera izango dugu?
Pisu bera izango du?
- Tenperatura: Jela zati handi batek eta jela-koskor batek tenperatura berdina dute?
- Adina: Pertsona bat 1954an jaio bazen eta beste bat 1960an, zein da zaharragoa?
Artikulu honetan, neurriaz ikasteko ikasleek egin dituzten jardueretan gertatu diren
zenbait egoera azaltzen dugu; egoera batzuk irakasleak aurretik planifikatuak dira,
eta beste batzuk gelako dinamikan sortutakoak. Egoera horien testuingurua azaltzen
dugu, baita zenbait ondorio ere.
GURE GELETAN EGIN DITUGUN JARDUERAK
JAIOTZA DATA (HH 5 urte) (Erregistroa)
JARDUERA: Jaiotza datak aztertu. Zer datu azaltzen dira? Zer esan nahi dute?
Taldekide guztion jaiotza datak alderatu: errepikatzen diren zenbakiak, desberdinak direnak,
horren arrazoia...
Ondoren jaiotza datak ordenatu; ahoz.

SITUACIÓN
En la lista de clase aparecen los nombres y apellidos, las fechas de nacimiento, el número de
hermanos, los que hacen uso del comedor y autobús...
En la sesión anterior llevé fotocopias de la lista y cada uno buscó y marcó su fecha de naci-
miento con un rotulador fosforito.
Les pido que cada uno me dicte su fecha de nacimiento y yo escribo la lista en la pizarra.
Koldo: ¿Iguales!
Todos son del mismo año y se ha dado cuenta de ello.
Continúo escribiendo la lista y al final pongo mi fecha de nacimiento.
Koldo: La tuya es distinta.
Manex: Nuestros primeros son iguales.
Koldo: El de Lourdes no.
Maestra: ¿Por qué será?
Manex: Porque tú eres mayor y nosotros más pequeños.
Todos: Sí.
Koldo: (Señala 11 y 11 en la columna de los meses en dos fechas distintas.) Mira,
nacieron iguales.
Maestra: ¿De quién son esas fechas?
Alaitz: La mía.
Maestra: Y la otra es la mía. ¿Nacimos a la vez?
Koldo: No, pero en el mismo día.
Maestra: ¿Qué son los primeros números?
Manex: Los nuestros son iguales(1989). ¡Ya sé! ¿Porque nacimos en el mismo mes?
Maestra: ¿Qué es lo primero que escribimos al poner la fecha? (En euskera primero se
pone el año).
Irati: 1-9-9-5
Maestra: ¿Cuántas cifras tiene?
Irati: Cuatro.
Maestra: ¿Y cuántas tienen los números de esta columna? (Señalo la de los años.)
Nerea: Cuatro.
Maestra: ¿Qué es 1995?
Manex: El número del mes.
Nerea: Es que compramos un calendario nuevo.
Maestra: ¿Por qué?
Nerea: Porque se terminó.
Maestra: ¿Trajimos un calendario nuevo cuando terminó febrero?
Maider: Igual el calendario se termina cuando se termina ese número.
Maestra: Cuando se acabe este calendario ¿Qué número tendrá el siguiente?
Nerea: 1-9-9-6
Koldo: Cuando se acabe el calendario nuestro cumpleaños tendrá otro número.
Manex: El día que nacemos luego no se puede cambiar.
Maestra: ¿Por qué mi primer número es diferente?
Todos: Porque naciste antes.
Maestra: ¿Unos días o unos años antes?
Manex: Años.
Maestra: Entonces los primeros números, ¿qué son?

EGOERA
Gelako zerrendan, izen-abizenak, jaiotza datak, senide kopurua, jangela eta autobusekoak
direnak azaltzen dira.
Aurreko saioan zerrenda fotokopiatua eraman nuen gelara eta haur bakoitzak bere jaiotza data
bilatu eta errotulagailu fosforitoz markatu zuen.
Bakoitzak bere jaiotza data niri diktatu dit eta nik arbelean idatzi ditut.
Koldo: Berdinak!
Denak urte berekoak dira eta horretaz ohartu da.
Zerrenda idazten jarraitu dut eta bukaeran nire jaiotza data idatzi dut.
Koldo: Zurea desberdina.
Manex: Gure lehenengoak berdinak dira.
Koldo: Lourdesena ez.
Irakaslea: Zergatik izango da?
Manex: Zu handiagoa zarelako eta gu txikiagoak.
Maider: Zu lehenago jaio zinelako.
Denak: Bai.
Koldo: (Hilabeteen zutabean 11 eta 11 erakusten du, bi data desberdinetan) Begira,
berdinak jaio ziren.
Irakaslea: Norenak dira data horiek?
Alaitze: Nerea.
Irakaslea: Eta bestea nirea da. Batera jaio al ginen?
Koldo: Ez, baino egun berdinean.
Irakaslea: Lehenengo zenbakiak zer dira?
Manex: Gureak berdinak dira (1989). Badakit! Hilabete berdinean jaio ginelako?
Irakaslea: Data enbat zifra ditu?
Irati: Lau.
Irakasleak: Eta zutabe honetakoak zenbat dituzte? (Urteen zutabea erakusten dut) 1995
zer da?
Manex: Hilabetearen zenbakia.
Nerea: Egutegi berria erosi genuen eta...
Irakaslea: Zergatik?
Nerea: Bukatu zelako.
Irakaslea: Otsaila bukatu zenean egutegi berria ekarri genuen?
Maider: Agian egutegia bukatzen da zenbaki hori bukatzen denean.
Irakaslea: Egutegi hau bukatzean ze zenbaki edukiko du hurrengoak?
Nerea: 1-9-9-6
Koldo: Egutegia bukatzean gure urtemugak beste zenbaki bat izango du.
Maider: Ez.
Manex: Gu jaiotzen garen egunean, gero ezin da aldatu.
Irakaslea: Zergatik da desberdina nire lehen zenbakia? (urtea).
Denak: Lehenago jaio zinelako.
Irakaslea: Egun batzuk edo urte batzuk lehenago?
Manex: Urteak.
Irakaslea: Orduan lehenengo zenbakiak zer dira?

Manex: ¡Son años!
Maestra: ¿Y los números que están después de la rayita?
Manex: Uno será el año, otro el día de nacimiento y el otro no sé.
Para que quede claro les digo lo que representa cada número.
COMENTARIO
- Intervenciones de la maestra: guiar la conversación, pedir razones, preguntar...
- En esta secuencia los niños enlazan el concepto de tiempo con los números: diferente edad
y diferente año de nacimiento, mayor edad y menor año de nacimiento...
- Comparan diferentes modos de medir el tiempo: día, mes, año.
LONGITUD (Educ. Infantil-5 años) (Registro)
Anteriormente habíamos trabajado la longitud y este día la maestra ha realizado estas dos
preguntas:
• ¿Cuánto medirá de largo nuestra clase?
• ¿Qué instrumento utilizaremos para medir?
Todos: ¡La medida!
Maestra: ¿Qué medida?
Todos: Grande, grande, que llegue hasta aquí.
Miren: Con un metro (cinta métrica).
Maestra: ¿Con algo más?
Todos: Con una regla grande.
Maestra: Y si no tuvierais ningún instrumento para medir, ¿cómo lo haríais utilizando
vuestro cuerpo?
Aitor: Con la mano.
Maestra: ¿Cómo?
Todos: Contando.
Uxue: Así, poniendo una mano detrás de la otra.
Miren: (Se tumba en el suelo) Si no, así, moviendo el cuerpo a lo largo.
Miren: Y si no así, poniendo un pie delante del otro.
Uxue: ¡¡No!!
Maestra: ¿No puedo cambiar la medida cada vez? A veces utilizando la mano abierta,
otras la mano cerrada...
Todos: ¡¡¡No!!!
María: La medida siempre tiene que ser la misma.
Miren se pone a medir la clase con sus pies y dice que mide 20 veces sus pies. La
maestra hace lo mismo con los suyos y les pregunta si medirá más o menos.
Todos: Menos. (Quieren decir que la maestra tendrá que utilizar menos veces su pie).
La maestra lo comprueba: 17 veces y un poco más. Sin embargo Miren necesita 20
veces sus pies.
Maestra: Pero, ¿es la misma distancia?
Todos: Sí.
Maestra: Si la distancia es la misma, ¿qué utilizaremos para que la medida sea la misma?

Manex: Urteak dira!
Irakaslea: Eta marratxoaren ondoan daudenak?
Manex: Bat izango da urtea, bestea jaiotze-eguna eta bestea ez dakit.
Bukatzeko datu bakoitza zer den esan diet.
KOMENTARIOAK
Jarduera honekin, haurrek denbora kontzeptu batzuk zenbakiekin uztartzea lortu nahi da.
Eskolan erabiltzen den testu batean, ikasleek zenbaki batzuen esanahia aztertzen dute. Materiala
mota hau erabiltzen dutenean, zenbakiak gizartean duten erabilpenaz ikasten dute haurrek.
Bitartean zenbait aurkikuntza egin dituzte: adin desberdinekoek jaiotza urte desberdina dute,
adin handiagoa duenak jaiotza urte txikiagoa...
Irakaslearen eskuhartzea:galderak egin, ikasleek hipotesiaren bat egin dezaten; datuak alde-
ratzen lagundu.
LUZERA (HH- 5 urte) (Erregistroa)
Aurreko saioetan luzeraren neurria landuta genuen, egun honetan andereñoak galdera hau
bota die:
Andereño: Zenbat neurtuko du luzeran gela honek? Zer erabili dezakegu neurtzeko.
Haurra: Neurria!
Andereñoa: Zer neurri?
Miren: Metro batekin.
Andereñoa: Zerbait gehiago?
María: Neurriak beti berdina izaro behar du.
Mirenek gela neurtzen du: 20 aldiz beroanka. Andereñoak galdetzen die ea bere han-
karekin zenbat aldiz neurtuko duen, gehiago edo gutxiago.
Haurra: Erregela handia.
Andereñoa: Gelan neurtzeko tresnarik ez balego, ¿zuen gorputzarekin nola neurtuko
zenukete?
Aitor: Eskuarekin.
Andereñoa: Nola?
Haurra: Zenbatzen.
Uxue: Honela (Hanka bat, bestearen jarraian jarrita).
Miren: Bestela honela (Etzanda lurrean).
Uxue: Ez!
Maria: Neurria beti berdina izan behar du.
Mirenek neurtzen du gela: 20 aldiz bere hanka. Andereñoak galdetzen die ea bere
hankarekin zenbat aldiz neurtuko duen, gehiago edo gutxiago.
Haurrak: Gutxiago (Andereñoren hankarekin neurtuta aldi gutxiagotan erabili behar dela).
Andereñoak konprobatu egiten du: 17 aldiz eta pixka bat. Mirenek berriz 20.
Andereñoa: Distantzia berdina da?
Haurrak: Bai.
Andereñoa: Distantzia berdina bada, zer erabiliko dugu neurria berdina izateko?

Miren: Los mismos zapatos, la misma medida o el metro.
COMENTARIO
Tienen interiorizado el concepto de longitud. Para medir, saben que tienen que tener una
medida referencial y que la unidad de medida tiene que ser la misma y a poder ser conven-
cional: m, Km,...
MIDIENDO EL AULA (Educ. Primaria-1º curso) (Registro)
En el aula están trabajando en grupos. En uno están dibujando; en otro están escribiendo en
parejas sentados ante el ordenador, otro está en la biblioteca del aula.
Los del último grupo están midiendo la clase. Cada uno tiene en la mano la cinta métrica que
ha traído de casa. En este momento están midiendo la anchura del aula. Jone ha puesto en el
suelo su cinta métrica de 2m de longitud, pero el aula es más ancha. Cuando me he acercado,
me ha dicho:
Jone: ...¡No llega!
Jone: ¡Mira! (Enseñando el espacio que queda más allá del final de la cinta métrica).
Maestra: ¿Qué podéis hacer?
Jone: ¡No se puede!
Maestra: ¿Y si lo intentáis entre todos?
Gorka coloca su metro a continuación del anterior.
Jone: Pero Lourdes, ¡mira! 2m y otra vez 1, 2, 3,...
Ximon: Cogeremos el de 3m. (Lo prueban, pero no llega). Necesitaremos el de Irina.
Jone: Necesitaremos un metro de 6, 7 ó 8 metros. Esto sí que es un problema matemático.
Gorka: ¿Qué podemos hacer?
Ximon: El mío es "súper" largo.
Maestra: Entonces, 2m hasta aquí y la otra cinta...
Jone: ¡Ah! 2 más 1.
COMENTARIO
El trabajo de este grupo era el de medir la anchura de la clase. Pensaban que lo único que
tenían que hacer era poner la cinta métrica en el suelo y mirar lo que marcaba.
No se les ha ocurrido poner los metros en el suelo uno a continuación de otro.
Lo que intenta la maestra con su intervención es lo siguiente: que pongan los metros conse-
cutivamente; aún así la anchura de la clase sigue siendo mayor.
El problema de los niños: La cinta métrica llega hasta 200 y al volverla a poner, o al añadir
otra comienza otra vez desde el 1. En este punto comienzan a hacer estimaciones:
"Necesitaremos el de Irina" "Necesitaremos un metro de 6, 7 ò 8 metros". Necesitan una cinta
métrica larga para poder ver la serie numérica completa. No se dan cuenta de que pueden
continuar contando desde 200 o hacer una suma. ("¡Mira! 2m y otra vez 1, 2, 3,...").
La maestra podría haberles dicho como lo tenían que hacer ya que hubieran terminado antes,
pero en nuestra opinión, cuando están intentando hacer algo, cuando buscan posibles solu-
ciones a un problema, están aprendiendo de verdad.

Miren: Zapata berdinak, neurri berdina edo metroa.
KOMENTARIOAK
Luzeraren kontzeptuaz jabetu dira. Neurtzeko, neurri erreferentziala izan daitezkeela argi dute.
Neurriaren unitate berdina izan behar dela oroitzen dira. Distantzia beti berdina da, horrez
gero neurtzeko neurriak berdina izan behar du eta ahal bada neurri konbentzionala: m, km.
GELA NEURTZEN (LH 1. maila) i(Erregistroa)
Ikasleak taldeka ari dira lanean. Talde bat marrazten ari da, beste talde batekoak binaka jarrita
ordenadorez idazten ari dira, beste talde bat liburutegian dago eta azken taldea gela neurtzen
ari da. Bakoitzak etxetik ekarritako zinta du eskuetan.
Une honetan gelaren zabalera neurtzen ari dira. Jonek bere 2metroko zinta lurrean jarrita
dauka baina gela askoz ere zabalagoa da. Ni inguratu naizenean honela esan dit:
Jone: ... Ez da iristen!
Jone: Begira! (zintatik areago dagoen espazioa erakusten dit)
Irakasle: Zer egin dezakezue?
Jone:...Ezin da!
Irakasle: Eta elkarrekin saiatzen bazarete?
Gorkak bere metroko zinta bestearen ondoren jarri du.
Jone: Baino Lourdes, begira! 2 metro eta gero berriro 1, 2, 3,,,
Ximon: 3 metrokoa hartuko dugu. (Probatu dute baina ez da iristen). Irinarena beharko
dugu.
Jone: 6, 7 edo 8 metrokoa beharko da. Hau da matematika problema bat!
Gorka: Zer egingo dugu?
Ximon: Nerea "super" luzea da.
Irakasle: Orduan 2 metro honeraino eta beste zintakoa...
Jone: Ah! Bi gehi bat!
Gero zinta gehiago jarri dituzte lurrean, eta batuketak eginez jakin dute gelaren zabalera 6,80
metrokoa dela.
KOMENTARIOA
Gelaren zabalera neurtzean, ikasleen ustetan zinta metrikoa lurrean jarri, eta neurria begiratu
besterik ez zuten egin behar.
Ez zitzaien bururatu zinta bat bestearen jarraian jartzea edo behin baina gehiagotan lurrean jartzea.
Irakaslearen eskuhartzeak eragin zuena, haurrak lurrean bi zinta metriko jarraian jartzea izan zen.
Haurrek eduki zuten problema : zinta 200era iritsi eta berriro 1etik hasten zela.
Ez ziren konturatzen 200dik zenbatzen jarraitu edo gehiketa egin zezaketela. ("Begira! Berriro
1,2, 3...).
Une horretan estimazioak egiten hasi ziren. "Irinarena beharko dugu", "6, 7 edo 8 metrokoa
beharko dugu".
Zinta metriko luzeago baten beharra zuten, zenbaki seriea jarrian ikusteko.

Trabajando en grupo se superan los problemas en colaboración con los demás, se aportan
ideas variadas.
INVENTANDO PROBLEMAS (Educ. Primaria-1º curso) (Situación)
Les pido que inventen y escriban un problema. Cada uno escribe el suyo.
En las siguientes sesiones cada alumno leerá su problema y lo analizaremos entre todos: si es
o no un problema de matemáticas, qué tipo de problema es, si es una situación posible, si los
datos son coherentes o suficientes, cómo resolverlo...
El contenido de los problemas que han inventado los alumnos ha sido variado; los dos que
siguen, tienen que ver con la medida del tiempo.
(De momento hemos analizado el de Klaus).
Problema de Klaus: "¿Cuántos días tiene el calendario? Tiene 30".
Klaus lee su problema; por la respuesta está claro que quería decir el mes.
Algunos dicen que el calendario no tiene 30 dias. Les pregunto qué es lo que tiene 30.
La mayoría dice que el mes.
Voy pasando las hojas del calendario y les pregunto a los alumnos cuántos días creen
ellos que tiene el calendario. Hacen estimaciones.
Después he resuelto el problema en la pizarra con la ayuda de los niños.
Problema de Irina: " Son las 16 y media, y la aguja grande se ha puesto a las 8. ¿Qué
hora es?"
COMENTARIO
En estos dos problemas los niños y las niñas muestran lo que saben. Los datos que dan no son
adecuados, pero ya saben algo acerca del tema.
Al analizar problemas inventados por los alumnos, partimos de sus conocimientos previos, y
así pueden adquirir mejor nuevos conocimientos.
Estas situaciones son apropiadas para hacer transformaciones al problema, y para inventar y
resolver problemas del mismo tipo.
"LO QUE PUEDE EL OJO ANTE LA EVIDENCIA" ¿Todos los quinces son iguales?
(Educ. Primaria-1ª curso) (Situación)
En el periódico aparece la siguiente noticia: "Se ha encontrado muerta una ballena de 15
metros en el puerto de Barcelona".
Queremos ver cuánto son 15 metros. Cogemos varias cintas métricas (cada una de un metro)
y empezamos a poner una detrás de otra dentro de la clase. Enseguida vemos que la clase se
nos queda pequeña y salimos al pasillo.
Comienzan otra vez a poner las cintas métricas en el suelo, una detrás de otra, mientras tanto
otros niños van contando cuántas cintas ponen. Cuando se les terminan todas las cintas van a
clase a coger más (tenemos unas 25). Ponen hasta 15 (ya saben que cada una mide un metro)
y vemos que 15 metros es casi, casi la longitud del pasillo. Ése es el tamaño de la ballena.
En el tercer trimestre del curso vamos al Acuarium de San Sebastián. En el vestíbulo vemos el
esqueleto de una ballena y la monitora nos dice que mide más o menos 15 metros.

Irakasleak ikasleei esaten ba die nola neurtu behar den, lehenago bukatzen dute eginkizuna,
baina horrela ikasleek ez dute aukerarik edukiko problema ebazteko moduak bilatzen saiatzeko.
PROBLEMAK ASMATZEN (LH 1. maila) (Egoera)
Matematika problema bat asmatzea eta idaztea eskatu diet ikasleei. Bakoitzak berea paper
batean idatzi du.
Hurrengo saioetan bakoitzak bere problema irakurriko du, eta aldiro, denen artean aztertuko
dugu: ea matematika problema den, ea benetan egoera hori gerta daitekeen, ematen dituen
datuak koherenteak eta nahikoak diren, nola ebazten den...
Ikasleek asmatu dituzten problemen edukia ugaria izan da; ondorengo bi hauek denboraren
neurriaz dira.
(Oraingoz Klausena aztertu dugu).
Klausen problema: "Zenbat egun ditu egutegiak? 30 ditu."
Klausek bere problema irakurtzen du; erantzunarengatik garbi dago hilabetea esan
nahi zuela..
Batzuk konturatu dira egutegiak ez dituela 30 egun. Galdetu diet ea zer den 30
dituena. Hilabetea dela esan dute gehienek.
Egutegiko orriak pasatuz, haurrei galdetu diet ea haien ustetan zenbat egun edukiko
dituen egutegiak. Estimazioak egin dituzte.
Ondoren arbelean problema ebatzi dut ikasleen laguntzarekin.
Irinaren problema: "16 eta erdiak dira eta orratza handia 8retan jarri da. ¿Zer ordu da?"
KOMENTARIOA
Bi problema hauetan, haurrek dakitena azaltzen dute. Ematen dituzten datuak ez dira egokiak,
baina zerbait badakite.
Ikasleek asmatutako problemak aztertzean, haien ezagupenetatik abiatzen gara, eta horrela
hobeto ikasi dezakete.
Egoera hauek aproposak izan daitezke problemari aldaketak egiteko, antzeko beste problema
batzuk asmatu eta ebazteko...
BAIEZTATU ONDOREN, GURE BEGIRADAZ FIDATU? 15 guztiak berdinak al dira?
(LH 1. maila) (Egoera)
Egunkarian albiste hau agertzen da: "Bartzelonako portuan 15 metroko bale bat agertu da hilik".
Jakin nahi dugu zenbat den 15 metro. Zinta metriko batzuk hartzen ditugu eta hasten gara 15
metro hauek gelaren barruan neurtzen baina gela txikia gelditzen zaigula konturatzen gara
berehala eta zintak hartu eta korridorera ateratzen gara.
Zinta metrikoak bata bestearen atzean jartzen ditugu lurrean eta bitartean haur batzuk badoaz
kontatzen zenbat zinta jartzen ari garen. Bukatzen zaizkigunean guztiak gelara goaz gehiago
hartzera (25 inguru daukagu gelan). Jartzen ditugu 15 arte eta ikusten dugu 15 metro ia ia
beheko korridorearen luzera dela. Hori da balearen tamaina.
Hirugarren hiru hilabetean Donostiako Akuariumera joan ginen. Sarreran bale baten eskeletoa
dago eta hango monitoreak esan zigun gutxi gora behera 15 metro luzera zuela.

Todos dicen que no, que no es posible, que nuestra ballena medía 15 metros y era mucho
mayor que ésta. Yo me quedo callada pero pienso lo mismo: nuestros 15 metros y los del
Acuarium son diferentes.
COMENTARIO
Planificación:
El punto de partida es el interés suscitado por la lectura de la noticia. Hodei trajo esta noticia
porque estábamos trabajando el tema de los animales, concretamente su grupo se ocupaba de
los delfines.
• Uso de materiales reales (periódico). Facilita el conocimiento de la realidad y el inte-
rés por la misma.
• Relaciones que establecen los niños entre los distintos conocimientos: red concep-
tual cada vez más amplia. El profesor ayuda a relacionar estos conocimientos (glo-
balización, "pasa de un área a otra porque se necesitan ciertos contenidos"). Saben
que 15 m es más que la longitud de la clase (en otra ocasión se había medido para
hacernos una idea del tamaño del Gernika de Picasso) y por lo tanto inmediatamente
salen al pasillo.
Materiales:
• Periódico (material de uso habitual y disponible en clase), cintas métricas (muchas
porque se utilizan de verdad muy a menudo para medir en muy diversas situaciones).
Estrategias utilizadas:
• Los niños ponen a prueba sus estrategias. Buscan soluciones por sí mismos. Su pri-
mera aproximación a la medida es estimativa (saben que 15 m es más que la longi-
tud de la pared del aula).
• Manipulación para comprobar que sus estimaciones son correctas. Necesitaron
colocar todas las cintas una tras otra. ¿Necesitan "reconstruir" el objeto? ¿Pierden la
sensación de totalidad del objeto si no ven toda la longitud?
Estas estrategias no son “aprendidas”. El material puede haber marcado la estra-
tegia (si sólo hubiera un metro, hubieran hecho otro tipo de medición, hubieran
buscado otro camino).
"¿QUÉ PESA MÁS, UN KILO DE PAJA O...?" (Educ. Primaria: 1º curso) (Situación)
En el proyecto sobre las plantas estamos leyendo textos sobre diferentes árboles. Cada texto se
encuentra en euskara y en castellano.
Texto a partir del que surge la discusión: "La pala, larga o corta, "herramienta" típica de nues-
tros frontones, se fabrican con madera de haya exclusivamente debido a sus especiales carac-
terísticas de densidad y dureza".
Alba comenta que no entiende qué significa densidad.
Para intentar acercarme a este concepto les hago la siguiente pregunta: "¿Qué pesa más un kilo
de paja o un kilo de hierro?"

Denok esaten zuten ezetz, ez zela posible, gure baleak 15 metro luzera zuela eta hori baino
askoz handiagoa zela. Ni isilik geratu nintzen baina gauza bera pentsatu nuen: gure 15 metro
eta Akuariumenak desberdinak zirela.
KOMENTARIOA
Planifikazioa:
Abiapuntua, berriaren irakurketak sortutako interesa izan da. Hodeik ekarri zuen berria, gelan
animalien gaia lantzen ari ginelako, eta bere taldeari izurdeak zegozkion, hain zuzen.
• Erabilera sozialeko materialen erabilera (egunkaria). Errealitatearen ezagutza erraz-
ten du, baita horrekiko interesa ere.
• Haurrek eraikitzen dituzten ezagupenen arteko loturak: gero eta kontzeptu-sarea zaba-
lagoa. Irakasleak laguntzen du ezagupen horiek lotzen (globalizazioa, arlo batetik bes-
tera pasatzen da zenbait eduki beharrezkoak direlako). Badakite 15 metro, gelako luzera
baino gehiago direla (aurreko jarduera batean neurtu behar izan zuten Picassoren
Gernika koadroaren dimentsioak) eta horregatik pasilora irteten dira berehala.
Materialak:
• Egunkaria (ohiko materiala, eta gelan dagoena), neurketa-zintak (asko, egoera des-
berdinetan neurtzeko, askotan erabiltzen direlako).
Erabilitako estrategiak:
• Haurrek beren estrategiak probatzen dituzte. Erantzunak bilatzen dituzte beren alde-
tik. Neurriari beren lehenengo hurbilpena, estimazioa da (badakite 15 metro gelako
pareta baino gehiago dela).
• Manipulazioa, egindako estimazioak onak direla konprobatzeko. Zinta guztiak, bata
bestearen atzetik jarri behar izan zituzten. (Zergatik? Galtzen dute benetako neurria?
Ikusi behar dute luzera osoa zintarekin, objektua "berreraikitzeko?).
Ez zaie bururatzen neurtzea bakarrik zinta metriko bat erabiliz (Zergatik? Galtzen dute bene-
tako neurria? Ikusi behar dute luzera osoa zintarekin?...). Zinta bakar bat izatekotan erabilitako
estrategia zein izango zen?
Zein eragina duen espazioaren pertzepzio intuitiboak neurketaren estimazioan?
Estrategia hauek ez dire “ikasiak”. Materialak estrategia baldintzatu dezake
(neurtzeko zinta bakar bat egon izan balitz, beste bide bat bilatuko lukete).
"ZERK PISATZEN DU GEHIAGO, LASTO KILO BATEK EDO...?" (LH 1. maila) (Egoera)
Landareen proiektuan testu desberdinak irakurtzen ari gara zuhaitzei buruz. Testu bakoitza
euskaraz nahiz gazteleraz dago.
Eztabaida sortzen da zati honetatik: "Pala, nahiz luze nahiz motz, gure pilota-lekuetako tresna
jatorra, pago-zurez egin ohi da bakarrik, hauxe baita trinkotasun eta gogortasunez egokiena
horretarako"
Albak dentsitatea zer den ez dakiela esaten du.
Kontzeptura hurbiltzen saiatzeko, galdera hau egiten diet: "Zerk du pisu gehiago kilo bat lasto,
edo kilo bat burdin?"

Inmediatamente la mayoría responde que el hierro. Otros se quedan callados. Pero Richard
dice que a él le parece que pesan igual porque he dicho un kilo, aunque el hierro siempre
pesa más que la paja. Que un kilo siempre es un kilo, aunque el hierro pesa mucho.
Richard se encuentra muy cercano al concepto de "conservación de la medida" pero todavía
tiene sus dudas provocadas por la percepción intuitiva.
Vuelvo a preguntar: "¿Cuánto puede ocupar un kilo de hierro?"
Rápidamente responden que poco. Hodei dice que en las películas aparecen lingotes de oro
que pesa un kilo y es un rectángulo pequeño y el hierro sería parecido.
Me dirijo a Asier (porque vive en un caserío): "¿Has cogido alguna vez un fardo de paja?"
Me dice que él no pero su madre sí y que aunque son muy grandes no pesan demasiado.
Poco a poco llegamos a la conclusión de que un kilo de diferentes materiales siempre pesan
un kilo pero que su tamaño es el que es diferente.
Ahora me pregunta Lide: "Y el agua y el hielo ¿qué ocupa más un kilo de agua o un kilo de hielo?"
Deciden que tenemos que probar echando agua en una botella y poniendo una marca hasta
donde llega; después metemos al congelador y vemos lo que pasa.
Seguiremos en otra ocasión...
COMENTARIO
A los aspectos de análisis especificados en la anterior situación ("Lo que puede el ojo ante la
evidencia") añadimos:
Hipótesis de las niñas y los niños y de ciertos adultos:
Son parecidas, aunque los adultos tienen mayor conocimiento del mundo (y mayor
autocensura), por lo que tienen más recursos para llegar a conclusiones cercanas a lo
real, o para disfrazar mejor su ignorancia sobre el tema.
Intervenciones de la profesora:
• Deja abierta la situación para poder continuar en otra ocasión porque considera muy
importante el tema. Ningún tema se empieza y se termina en un momento concreto.
• Interviene para provocar debate y para hacer que participen niños que pueden apor-
tar una vivencia personal (Asier).
• Intenta llegar al conocimiento científico: "llegamos a la conclusión..."
AVENTURAS EN EL AULA (Educ. Infantil-3 años) (Registro)
5 niños y niñas estaban discutiendo sentados alrededor de una mesa. Tema: quién tiene el
lápiz más largo.
Adriana: (Se da cuenta de que Janire tiene el más grande) Pues mi abuela es más
grande que la tuya.
Janire: ¡No es más grande, es más gorda!
Adriana: Sí, pero también es más grande porque llega a la segunda balda.
Janire: Pues mi abuela tiene más años que tú.
Adriana: ¡Pero yo soy más alta que tú! ¡A que sí, Julen!
Este último no siguió la conversación pero le dijo que sí.

Gehiengo batek berehala erantzuten du burdinak gehiago pisatzen duela. Zenbait haur isilik
geratzen dira. Richardek esaten du bere ustez berdin pisatzen dutela, "kilo bat" esan dudalako,
nahiz eta burdinak gehiago pisatu beti. Baina kilo bat, beti kilo bat dela, nahiz eta burdinak
pisu handia izan.
Richard, "neurriaren kontserbazioa"-tik gertu dago, baina intuizio - pertzepzioak zalantzak
probokatzen dizkio.
Berriro galdetzen dut: "Zenbat okupatzen du burdin kilo batek?"
Oso azkar erantzuten dute "Gutxi". Hodeik adierazten du pelikuletan urrezko lingoteak agert-
zen direla eta errektangelu txiki bat direla, eta burdinazkoak antzekoak izango liratekeela.
Asier baserri batean bizi da, eta horregatik galdetzen diot: "Noizbait hartu al duzu lasto-fardo
bat?" Berak ezetz, baina bere amak baietz erantzuten du, eta nahiz eta handiak izan ez dutela
gehiegi pisatzen.
Poliki-poliki ondorio batera iristen gara: material ezberdinen kilo batek beti kilo bat pisatzen
du; baina tamaina desberdina izan daiteke.
Orain Lidek galdetzen du: "Ura eta jelaren kasuan, zerk okupatzen du gehiago, jela kilo batek
edo ur kilo batek?"
Probatzea erabakitzen dute; horretarako, botila batean ura sartuko dugu, ura iristen den altue-
ran marra bat eginez; gero izozgailuan sartu eta ikusiko dugu...
Hurrengo batean jarraituko dugu.
KOMENTARIOA
Haurren eta helduon hipotesiak:
Antzekoak izaten dira, baina helduok munduaren ezagutza handiagoa badugu (gure
buruarekiko zentsura handiagoa ere bai), horregatik ondorio errealagoetara iristeko
errekurtso gehiago ditugu, edo gaiari buruzko ezjakina ezkutatzeko.
Irakaslearen interbentzioak:
• Egoera irekita uzten du beste momentu batean jarraitzeko, gaia oso garrantzitsua
delako bere ustez. Gaiak ez dira momentu jakin batean hasten edo bukatzen.
• Eztabaida probokatzen du, eta bizipen bereziak dituzten haurren partaidetza bultza-
tzen du (Asier).
• Ezagutza "zientifikora" iristen saiatzen da: "Poliki-poliki ondorio batera iristen gara..."
GELAKO ABENTURAK: GERTAERAK, GERTAKIZUNAK... (HH-3 urte) (Erregistroa)
Mahai baten inguruan eserita bost haur eztabaidatzen ari ziren. Gaia: Nork dauka arkatzik
handiena.
Adriana (konturatzen da Janirek handiena duela): Ba nire amona zurea baino handia-
goa da.
Janire: ez da handiagoa, lodiagoa da!
Adrianak: Bai, baina bigarren apaleraino iristen delako ere da handiagoa.
Janire: Ba nire amonak zuk baino urte gehiago ditu.
Adriana: Baina ni, zu baino altuagoa naiz. Baietz, Julen!

Julen: Sí Janire. ¿No ves que Adriana tiene el pelo hacia arriba?
Janire: También es más alta que tú.
A Julen esto no le ha gustado nada y se pone de pie al lado de Adriana y eso que con
ésta es muy diplomático.
Julen: Mira, Janire, si le bajo el pelo yo soy mucho más grande (a decir verdad los tres
son más o menos igual de altos). La que de verdad es más pequeña es Mª Carmen, ¿a
qué sí Jonathan?
Jonathan: Claro que sí. Además Mª Carmen casi no come nada, sólo un poco de puré.
Lo dice su padre.
Adriana: (Un poco aburrida) Además la más grande es la maestra. ¡A que sí Manoli!
Luego se sube a una silla y dice:
Adriana: Si me pongo aquí yo soy la más alta.
Todos: ¡Y yo! ¡Y yo! (también subidos en una silla).
Adriana: (Un poco enfadada) Pero, ¿no os dais
cuenta de que así nos quedamos todos iguales?
Julen: ¡Pero más arriba!
Adriana: Sí, pero yo soy más alta que Janire.
COMENTARIO
Proporcionar espacio a este tipo de situaciones espon-
táneas, nos permite plantear también otras situaciones
significativas.
En este caso nos da la posibilidad de trabajar la altura,
el peso y la edad de manera convencional y al mismo
tiempo los alimentos, la familia y otros.
Sin embargo, hay que mencionar que esto exige determinado ambiente en el aula, es decir,
hay que dejarles hablar, oírles y cuidar nuestra participación.
MIDIENDO CULEBRAS DE PLASTILINA (Educ. Infantil-4 años) (Registro)
Una de las situaciones típicas que solemos desperdiciar son los momentos de la "plastilina",
esos momentos de relleno, sin contenido en general, vacíos... para pasar el tiempo.
Al final del curso, Cristian sentado al lado de Jonathan. Hacen "culebras de plasti" o gusanos,
generalmente algo con vida, es decir, aunque nosotros nos empeñemos en decirles que son
chorizos, ellos acabarán diciendo que son culebritas o gusanos.
Cristian: ¡Qué culebras más grandes haces, Jonathan!
Jonathan: Es que me ha enseñando mi padre, que las caza en el monte alguna vez,
pero sé hacerlas mayores, porque si juntamos la "plasti" salen mayores. ¿Le pedimos a
la andereño?
Cristian: Andereño, necesitamos más plastilina para hacer gusanos más grandes.
Les digo que cojan la que ellos crean conveniente. Vienen con dos bolas cada uno. El
resto de la clase observa con atención, pues generalmente todo lo que empiezan estos
dos tiene ciertas características socializantes innatas.

(Honek ez zuen jarraitu elkarrizketa, baina baietz esan zion).
Julen: Bai, Janire. Ez al duzu ikusten Adrianak gorago dituela ileak?
Janire: Julen, zu baino altuagoa ere bada.
(Juleni hau ez zitzaion gustatu eta zutik jarri zen Adrianaren ondoan eta honekiko oso
diplomatikoki jokatzen zuen).
Julene: Begira, Janire. Ilea jaisten badiot ni askoz handiagoa naiz (egia esan hirurak
dira altuera berekoak). Benetan txikia dena MªCarmen da, baina oso, oso. Baietz,
Jonathan.
Jonathan: Noski baietz, baina MªCarmenek ez du ezer jaten, bakarrik pure pixka bat.
Bere aitak esaten du.
Adriana (aspertu samar): Gainera andereñoa da handiena. Baietz, Manoli!
Adriana (aulki batera igo zen): Ni hemen jartzen
banaiz altuena naiz.
Besteak (hauek ere aulkira igota): Eta ni! Eta ni!
Adriana (haserre samar): Baina ez al duzue ikusten
horrela denok berdin gelditzen garela?
Julene: Baino gorago!
Adriana: Bai, baina ni Janire baino altuagoa naiz.
KOMENTARIOA
Horrelako egoerei tokia emateak egoera oso esangu-
ratsuak planteatzeko aukera ematen digu.
Honek altuera, pisua eta adina era konbentzionalez
lantzeko bidea ematen du , eta aldi berean elikagaiak,
familia eta beste gai batzuk.
Hala ere, esan behar da honek gelako giro bat eskatzen duela, hitz egiten utzi behar zaie, en-
tzun eta gure partehartzeak zaindu.
ZIZAREAK NEURTZEN (HH 4 urte) (Erregistroa)
Ikasturtearen bukaeran: Bi mutil elkarren ondoan eserita zeuden plastilinazko zizareak
egiten.
Kristian: Zein zizare handiak egiten dituzun, Jonathan!
Jonathan: Nire aitak erakutsi dit, berak batzuetan mendian harrapatzen ditu, baina
handiagoak egiten badakit. Plastilina gehiago elkartzen badugu handiagoak ateratzen
dira. Andereñoari eskatuko diogu?
Kristian: Andereño, plastilina gehiago behar dugu zizare erraldoiak egiteko!
Nik esan nien behar zutena hartzeko. Bakoitzak bi bola hartu zuen.
Gainontzeko haurrek arretaz begiratzen zieten, gehienetan bi mutil horiek hasten
zutena berezko ezaugarri sozializagarriak izaten zituztelako.

Jonathan: Mira, ¿ves? Si juntamos la tuya y la mía sale otra mayor que mide... ¡dos
culebras!
Iker: (Está al lado, observando): Pues si pongo la mía, ya tenemos tres culebras.
Pero casualmente llegan de un extremo a otro de la mesa.
Janire: ¡Pero si tenéis 1 mesa! (la medida del largo de la mesa).
Jonathan: (Le fastidia no haber sido el descubridor de semejante maravilla)¡Pues claro,
y ahora vamos a hacer entre todos (cuenta las orillas) 10 mesas!
Están ocupando 4 mesas cuadradas de 4x 4 cada una y todas juntas forman un rec-
tángulo de 4 por 1 metro.
Todo el grupo se anima y va sumando a la culebra de Jonathan todas las demás, hasta
que dan la vuelta a todas las mesas.
Jonathan: (Que compara y controla la situación dice) No tenemos 10 mesas (todo el
borde).
Cristian: No puede ser. ¿Cómo se cuenta esto? (a la maestra).
Maestra: Mañana traeré una cinta métrica.
Iker: Yo tengo muchas de "Pizza Sprint".
Maestra: Pues las traes para medir la plastilina.
Al día siguiente trajo seis; una la colocamos en el borde de la mesa de la maestra y con el
resto fuimos dando un mitin sobre la cinta métrica por otras aulas. Y cada maestra la colocó
dónde le pareció más adecuado: en la pizarra, en una de las mesas pequeñas, en la pared...
otras se dejaron para usar arbitrariamente en cualquier lugar y situación.
En nuestra clase se cogió el hábito de ir a medir el gusano a la mesa grande donde estaba la
cinta métrica. Hubo un momento en que se quedó pequeña o la culebra era demasiado
grande, tanto que sobrepasaba la medida convencional de 1 metro. En ese momento le piden
socorro a Cristian y este soluciona la situación como puede: al trozo que sobrepasa el metro
le va clavando la uña y calculando lo que supone que es 1 cm. Y cuenta: ciento uno (marca
con la uña una pequeña distancia) ciento dos, tres, cuatro... (deja de decir ciento...) y cuando
acaba dice: "y 45... tienes ciento cuarenta y cinco... ¡Qué pasada!"
COMENTARIO
En esta situación, que se produce de manera espontánea, podemos apreciar el valor de la inte-
racción, así como el valor que le otorga la maestra: les ofrece el tiempo que necesitan, observa
la situación, responde a sus preguntas, les proporciona el material necesario, al día siguiente
les ofrece la continuación...
Lo mismo se observa en las actitudes de los niños y niñas: Kristian valora el trabajo de
Jonathan y éste lo que él mismo sabe y al mismo tiempo le explica al compañero cómo lo ha
sabido. Continúan interactuando y se acercan más compañeras y compañeros que van reali-
zando sucesivas aportaciones.. Es la socialización natural del conocimiento.
Durante la segunda sesión piden la ayuda de Kristian, ya que saben muy bien lo que cada
compañero puede aportar y este conocimiento sí que es de verdad importante.
Expresan interés por la medida: "Es mayor..." " mide... culebras" "3 culebras" "una mesa".
Cuando lo que están haciendo les resulta interesante, no necesitan motivación externa.
Saben que es necesario disponer de una unidad (en este caso"culebra") y cuando es más largo
cambian la unidad ("una mesa").

Jonathan: Ikusten? Zurea eta nirea elkartzen baditugu handiago bat ateratzen zaigu eta
neurtzen du ... bi zizare.
Iker (ondoan begira zegoen): Ba, nirea jartzen badut hiru ditugu...
(Baina, kasualitatez, mahaiaren ertzera iritsi ziren).
Janire: Baina horrela mahai 1 daukazue! (mahaiaren luzeraren neurria).
Jonathan (ez zitzaion gustatu berari ez bururatzea hori): Jakina! eta orain denon artean
(eta kontatu zituen elkarturik zeuden mahaien ertzak) ... hamar mahai!
Lau mahai okupatzen ari ziren. Denak elkarturik lauki zuzen bat osatzen zuten. Talde
osoa animatu zen eta Jonathanen zizareari beraiek egindakoak lotu zizkioten. Mahai
guztiak ertzetik inguratu zituzten arte.
Adrian: Orain 4 mahaiak ditugu.
Jonathan (egoera kontrolatu zuen): Ez dugu 10 mahai (hau da, ertza osoa).
Kristian: Ezin du izan. Andereño, nola kontatzen da hau?
Andereñoa: Bihar zinta metrikoa ekarriko dut.
Iker: Nik Pizza Sprint-eko asko daukat etxean.
Andereñoa: Ba ekarri plastilina neurtzeko.
Hurrengo egunean 6 zinta metriko ekarri zuen eta bat andereñoaren mahaiaren ertzean jarri
genuen. Zizarea neurtzera joateko ohitura hartu zuten. Baina momentu batean txikia gelditu
zitzaien, edo zizarea handiegia, metro (neurri konbentzionala) bat baino gehiago neurtzen
zuelako. Orduan Kristiani eskatu zioten laguntza eta honek irtenbide bat bilatu zuen: metroa
gainditzen duen zatian azkazala sartzen dio, berak kalkulatzen duen zentimetro batera. Eta
zenbatzen du: ehun eta bat (marka bat egiten du), ehun eta bi, hiru, lau... (ehun esateari uzten
dio). Bukatzen duenean esaten du: eta berrogeita bost... ehun eta berrogeita bost daukazu...
Zer pasada!!
KOMENTARIOA
Kideen arteko elkareraginak ikasketan duen balioa somatu daiteke egoera honetan, eta baita ere,
irakasleak horri ematen dion garrantzia: haurrei behar izan duten denbora eskainiaz, egoera
behatuz haurren eskaerei erantzunez, behar den materiala ekarriaz, hurrengo egunean saio horri
jarraipena emanez...
Haurren jokaeran zera azaltzen da: Kristianek Jonathanen lana baloratzen du eta honek berak
dakiena eta nola jakin duen azaltzen dio. Elkarrekin jarraitzen dute eta besteak inguratzen
doaz eta bakoitzak bere ekarpena egiten du: ezagupenen sozializazio naturala.
Bigarren saioan Kristianen laguntza eskatzen dute, haurrek ongi baitakite kide bakoitzak zer
ekar dezaken eta ezagupen hori benetan interesgarria da.
Haurrek interesa azaltzen dute neurketan: Handiagoa da... neurtzen du 2 zizare, 3 zizare,
mahai bat... Egiten ari direna interesgarria denean ez dute kanpoko motibaziorik behar.
Badakite neurri unitate bat behar dela (Kasu honetan: zizarea) eta luzeagoa denean unitatea
aldatzen dute (3 zizare=mahai bat).

Si desde muy pequeños les permitimos utilizar instrumentos de medida, mientras los están uti-
lizando, están aprendiendo sobre la medida.
En este caso utilizan el metro y Kristian es capaz, poco más o menos, de hacer la estimación
de 1 cm.
TEMPERATURA (Educ. Infantil-5 años) (Registro)
Aprovechando que ha nevado, con el termómetro, hemos estado viendo cuantos grados hay
fuera y dentro de la clase.
Maestra: Dentro hace 12ºC y fuera 2ºC (lo escribe en la pizarra).
Zuriñe: ¿Y cuando pone 0 y una rayita debajo (º)?
Maestra: (Escribe en la pizarra 12º ) Así se escribe para saber en qué lugar está. 0ºC
miden los grados, si hace calor o frío y º quiere decir en qué lugar está situado.
Maestra: (Escribe en la pizarra) 12º, 12 cm, 12m, 12km. ¿Son la misma cosa? ¿Quieren
decir lo mismo?
Todos: ¡¡¡No!!! 12º es para medir el calor o el frío y 12 cm es para medir la largura.
Maestra: 12 cm y 12 m ¿es lo mismo?
Todos: ¡¡¡No!!!
Maestra: ¿Cuál es mayor?
Unai: 12 m.
Unai no sabe responder, los demás tampoco. La maestra coge la cinta métrica y les enseña
cuanto mide 1m y 12 cm. Luego con la cinta métrica en la mano explica que 12 m es mayor
que 12 cm, porque 12cm no llega a un metro y 12 m es 12 veces un metro.
COMENTARIO
Las niñas y los niños pequeños van aprendiendo de las situaciones cotidianas y sacan sus pro-
pias conclusiones:
• Hay diferentes magnitudes: Temperatura, longitud, peso, capacidad, tiempo,...
• Cuando medimos hay que utilizar los instrumentos que sirven para ello: cinta métrica,
termómetro,...
• La medida está unida a los números.
• Cada magnitud tiene sus propias características.
• La importancia de la unidad en cada magnitud.
TIEMPO (Educ. Infantil-5 años) (Registro)
Durante este año (2003), nuestro centro cumple 100 años. Por eso hemos estado viendo la
revista"OARSO", que se publica en nuestro pueblo todos los años. En ella aparecen muchos
acontecimientos de los ocurridos durante los últimos cien años, que es lo que queremos tra-
bajar. La maestra ha escrito en la pizarra:
Revista OARSO 1982
Revista OARSO 1984

Txikitatik ikasleen eskuetan neurtzeko tresnak jartzen baditugu, erabiltzen dituzten bitartean,
neurriaz ikasten dute.
Haur hauek metroa erabiltzen dute eta Kristian gai da, gutxi gora behera zentimetro baten esti-
mazioa egiteko.
TENPERATURA (HH- 5 urte) (Erregistroa)
Aprobetxatuz elurra egin duela, barruan zenbat gradu egiten duen eta kanpoan zenbat egingo
ote duen , termometroarekin ikusten aritu gara.
Andereñoa: Barruan 12º C eta kanpoan 2º C daude.
Zurine: Eta jartzen duenean 0 eta marra bat (º).
Andereñoa: 12º honela? (arbelena idazten du). Hori zenbatgarren lekuan dagoen jar-
tzeko da. ºC gradoak neurtzen dute (hotza edo beroa dagoen) eta º zenbatgarren
lekuen kokatua dagoen.
Andereñoa: 12º, 12 cm, 12m, 12 km gauza berdinak al dira?
Haurrak: Ez, 12º beroa edo hotza neurtzeko eta 12cm luzera neurtzeko da.
Andereñoa: 12cm eta 12m berdina da?
Haurra: Ez.
Andereñoa: Zein da handiena?
Unai: 12m.
Andereñoa: Zergatik?
Unaiek ez daki esaten, ezta besteek ere. Andereñoak metroa hartu eta erakutsi die metro batek
zenbat neurtzen duen eta 12 cm zenbat den.
Andereñoa: 12m handiagoa da 12 cm baino, 12 cm ez delako iristen metro batera
(neurria zinta metrika neurtuz) eta 12m, 12 bider metro bat da. (zinta metrikarekin 12
bider neurtuz jarraian).
KOMENTARIOA
Haur txikiak, eguneroko bizitzan ematen diren hainbat egoeretatik ikasten joaten dira eta bere
konklusioak ateratzen dituzte:
• Konturatzen dira magnitude desberdinak daudela: tenperatura, luzera, pisua, denbora,
kapazitatea,...
• Neurtzerakoan, zuzeneko instrumentuak erabili behar direla: termometroa, zinta
metrikoa,...
• Neurria zenbakiekin lotuta dagoela.
• Magnitude bakoitzak bere ezaugarriak dituela.
Neurriaren unitatearen garrantzia.
DENBORA (HH- 5 urte) (Erregistroa)
Aurten (2003) eskolak 100 urte betetzen ditu, hori dela eta OARSO aldizkaria ikusten aritu gara:
Andereñoak arbelean idatzi du:
OARSO aldizkaria 1982
OARSO aldizkaria 1984

Maestra: ¿Qué revista será más antigua, más vieja la de 1982 o la de 1984?
Varios niños: 1984.
Los mismos: Porque es mayor.
Maestra: Yo nací en el año 1957. La andereño Maribel en el año 1962. Vosotros en
1997. ¿Quién es la más vieja?
Niños: La andereño Pili.
Maestra: ¿Y quién es más vieja Pili que nació en 1957 o Maribel que nación en 1962?
Niños: Pili, porque tiene el 7.
Debatimos entre todos y al final la maestra les dice que la más vieja es la que tiene el número
más pequeño.
COMENTARIO
A los niños pequeños se les hace muy difícil interiorizar el concepto de tiempo. A la hora de
decir quién es más viejo, es decir quién tiene más años, se fijan en los números y dicen que
el que termina con la cifra más alta es el que más años tiene, porque piensan que la medida
está en el número.
Cuando la referencia personal es clara no tienen duda aunque las cifras coincidan, esto es lo
que ocurre con su año de nacimiento y el de su maestra (1957 y 1997).
Sin embargo y aunque sea costoso, van dándose cuenta de todas estas cosas por medio de
diferentes procesos y a través de muchas ocasiones para reflexionar.
PROPUESTAS DE TRABAJO
El Tamaño de los Zapatos
Con el cambio de estación a los niños y niñas de la clase les compran zapatos nuevos. Le ha
crecido el pie y cambia el tamaño del zapato. Hemos hablado de todo esto.
• Miramos el número de los zapatos de cada uno.
• Dos compañeros se encargan de recoger por escrito el número de los zapatos de todos.
• Los examinamos y decimos cuál es el más grande y cuál es el más pequeño.
Reflexionamos acerca de cuales serán los números de los zapatos de los padres y de
las madres y decidimos que para el día siguiente traerán los números de cada miem-
bro de la familia.
• Al día siguiente leemos todos los datos recogidos y (36-sesenta y seis; 42-veintidós) al
leerlos mal surge la discusión y hacemos algunas estimaciones.
• Ponemos en la pared los números de los zapatos. Previamente hemos decidido qué
intervalos utilizaremos. Los que tienen familiares más pequeños, dan valores más
pequeños. ¿Los números de los zapatos empiezan en 0?
• Cada uno escribirá en el mural su número.
• Ponemos sobre un papel el zapato de cada uno, lo dibujamos y lo recortamos.
• Comparamos y ordenamos las siluetas recortadas.

Andereñoak: Zein da zaharragoa 1982 edo 1984?
Haurrak: 1984, 4, 2 baino handiagoa delako.
Andereñoak: Ni 1957. urtean jaio nintzen. Andereño Maribel 1962. urtean. Zuek
1997. urtean. Zein da zaharragoa ni edo zuek?
Haurrak: Pili.
Andereñoak: Zein da zaharragoa, ni edo Maribel?
Haurrak: Pili. Zure urteak 7 bat dauka.
Denon artean eztabaidan egon gara eta andereñoak esan die zenbaki txikiagoa daukana zaha-
rragoa dela.
KOMENTARIOA
Haur txikiei denboraren kontzeptuez jabetzea zaila egiten zaie. Adibide hauetan ikusten den
moduan zenbakietan ohartzen dira, denboraren kontzeptua ez dute menperatzen: Zein da
zaharragoa 1984 edo 1982? Beraiek 1984 esaten dute neurria zenbakian dagoelako eta 4, 2
baino handia delako.
Aipatzen den beste adibidean (nor den zaharragoa Pili edo haurrak) aho batez erantzuten
dute, baina ez dute zenbakiak edo adina aztertzen, erreferentzia pertsonala dute: Pili zaha-
rragoa dela badakite.
Halere hainbat prozeduren bidez ohartzeko gai dira.
LAN PROPOSAMENAK
Zapaten Neurriak
Eguraldiaren aldaketarekin batera haurrei zapata berriak erosten dizkiete. Oina handitu zaie
eta oinetakoen neurria aldatzen da. Honetaz hitz egiten dugu.
• Bakoitzaren neurria begiratzen dugu.
• Bi haur arduratzen dira guztien neurriak jasotzeaz paper batean.
• Neurri handiena eta txikiena bilatzen ditugu. Gurasoen neurrietaz hausnartzen dugu.
Hurrengo egunerako etxekoen neurriak ekartzekotan gelditzen gara.
• Bakoitzak ekarritakoa irakurtzen du (36 - hirurogeita sei; 42- hogeita lau) eta oker esa-
terakoan diskusioa sortzen da, estimazioak egiten ditugu.
• Paretan neurriak jartzen ditugu, horretarako zein tartea erabiliko dugun erabakitzen
dugu. Senide txikiago dituztenek ematen dituzte balore txikienak. Oinetakoen neurriak
0an hasten dira?
• Bakoitzak dituen neurriak horma-irudian jarriko ditu.
• Paper gainean zapata jarrita eredu marraztu eta moztu.
• Egindako ereduak konparatu, ordenatu...

Recetas
• Buscar en una receta los números que aparecen y reflexionar sobre lo que expresan:
peso, tiempo, capacidad, cantidad...
• Comprobar si en otras recetas aparecen magnitudes similares.
• Clasificación de las medidas encontradas en las diferentes recetas.
• Reflexionar acerca de cuales son los utensilios a utilizar para medir las magnitudes
citadas.
• Comparar los pesos.
• Comparar las capacidades.
• Comparar los tiempos.
Elegir una receta para elaborarla en clase.
• Examinar las cantidades que aparecen en la lista de los ingredientes, analizando para
cuántos comensales son y calcular que cantidad necesitaremos para todos los del aula.
• Elegir los utensilios de cocina necesarios.
• Elegir los utensilios necesarios para medir las cantidades de alimentos.
• Elegir también los utensilios necesarios para medir el tiempo.
• Elaborar la receta.
• Repartir y comer.
Pavimentación
• Se pide a los niños y niñas que traigan dibujado el suelo de su cocina (se pide cola-
boración a las familias en la realización de este dibujo si los niños y niñas lo piden).
• Analizamos los dibujos que han traído y reflexionamos sobre puntos diferentes:
- Formas de las baldosas.
- Tamaños de las baldosas.
- Colores de las baldosas.
- Superficies cubiertas por sólo un tipo de baldosas.
- Superficies cubiertas por combinación de más de un tipo de baldosas.
- Combinación de formas, tamaños y colores.
• Observamos las baldosas de la clase y las contamos.
• Se les pide que cuenten las de la cocina de casa.
• ¿Sólo se cuentan las que se ven?
• ¿Debajo de los armarios, lavadora... hay baldosas? Si es así, ¿cómo se cuentan?
• Contamos otra vez las de clase calculando también las que están tapadas por armarios.
• Estrategias diferentes para contar: de una en una, por filas, el ancho por el largo.
• Analizamos las dimensiones de una de las baldosas. Calculamos su superficie.
• Analizar qué tipo de polígonos han aparecido, compararlos...
• Introducción a las unidades de superficie: centímetro y metro cuadrado.
En un segundo momento, se plantea hacer un trabajo más dirigido a la geometría:

Errezetak
• Errezeta batean zenbakiak bilatu eta aztertu zer adierazten duten: pisua, denbora, edu-
kiera, kantitatea...
• Begiratu beste errezetetan magnitude berdinak azaltzen diren.
• Errezetetan aurkitu ditugun neurriak sailkatu.
• Magnitude hauek neurtzeko tresnak bilatu.
• Pisuak konparatu.
• Edukierak konparatu.
• Denborak konparatu.
Errezeta bat aukeratu gelan egiteko:
• Aztertu osagaien zerrenda, zenbatentzako den, kalkulatu gelako guztientzat zein kan-
titateak beharko ditugun.
• Behar ditugun sukaldeko tresnak aukeratu.
• Osagaiak neurtzeko tresnak aukeratu eta prestatu.
• Denbora neurtzeko tresna ere aukeratu.
• Errezeta egin eta banatu jateko.
Zolaketa
• Haurrei eskatzen zaie beren etxeko sukaldeko zorua marraztuta ekartzeko (familiei
laguntza emateko esaten zaie, haurrek eskatuko balute).
• Ekarriko dituzten marrazkiak aztertuko ditugu, eta puntu desberdinei buruz hausnar-
tuko dugu:
- Baldosen formak.
- Baldosen tamaina.
- Baldosen koloreak.
- Baldosa mota bakar batez osaturiko zoruak.
- Baldosa mota bat baino gehiagoko nahasketak osaturiko zoruak.
- Forma, tamaina eta koloreen konbinazioa.
• Gelako baldosak- behatu eta kontatu.
• Sukaldeko baldosak kontatzeko eskatuko diegu.
• Ikusten direnak kontatzen dira bakarrik?
• Armairu, garbigailu...-aren behean, baldosak ba aldira? Horrela bada, nola kontatuko
ditugu?
• Berriro gelako baldosak kontatuko ditugu, armairuek estaliak ere bai.
• Kontatzeko estrategia desberdinak: banan banaka, lerroka, zabalera bider luzera...
• Baldosa baten dimentsioak aztertuko ditugu. Horren azalera kalkulatu.
• Azalerako unitateak sartu: zentimetro eta metro karratua.
Bigarren momentu batean, geometria lantzea proposatzen da:

• Hacer plantillas en cartulina con las formas básicas que han aparecido en las baldosas
y algunas otras figuras que no hayan aparecido (cuadrado, rectángulo, triángulos de
varios tipos, hexágonos, pentágonos... e ir viendo con cuáles puedo cubrir totalmente
el plano, o con la combinación de cuáles...
• Analizar mosaicos y ver cómo están construidos (la repetición de qué figura es la base
del mosaico).
• Construir mosaicos con las figuras básicas, o con la combinación de algunas.
Duración del día y de la noche
Dentro del tema del universo surge la influencia del movimiento de rotación en la duración
del día y de la noche.
Se propone a los alumnos la recogida de datos para confirmar o rechazar las hipótesis de los
alumnos.
• Buscar a diario determinados datos en el periódico: las horas de salida y puesta de sol.
• Apuntar esos datos en un cuadro de doble entrada. A la izquierda se ponen los días
del mes (1, 2, 3, 4...) y arriba la salida del sol, la puesta, la duración del día y de la
noche. Puede quedar algo así:
Día del mes
Hora de salida Hora de puesta Duración Duración
del sol del sol del día de la noche
1 07:28 20:59 13:31 10:29
2
• Los cálculos de dicho cuadro los realizarán los niños y niñas (duración del día y de la
noche), utilizando la estrategia que deseen.
• Después de recoger datos durante unos días, pueden empezar a realizar la gráfica. Es
decir, la recogida de datos y la realización de la gráfica pueden ir paralelos (o después
de recoger datos durante un largo periodo, por ejemplo, un mes, se puede hacer la grá-
fica de ese periodo).
• Diseño de la gráfica: decidir con los alumnos y alumnas en qué eje hay que colocar
los datos, qué datos sería necesario colocar, cómo representar el tiempo en el papel,
qué tipo de gráfica utilizar....
• Algunos problemas que pueden surgir: cómo dividir el papel para representar las horas
y los minutos (una opción puede ser tomar una distancia medida con regla como la
unidad, por ejemplo, 6 cm representan una hora); el concepto de día (por una parte,
día como contrapuesto a noche, y por otra día como unidad de tiempo); el día o la
noche (su representación en la gráfica) pueden quedar cortados según el punto de ini-
cio para contar (por ej: si deciden empezar a las 0:00 h. siempre quedará cortada la
noche)...
• Sería interesante que este trabajo coincidiera con un solsticio o un equinoccio, para
comprobar si los datos que figuran en los libros son o no fiables.
Nota importante: En este tipo de trabajo es especialmente importante dar a los niños opcio-
nes para tomar decisiones: para elegir el tipo de gráfica, para decidir los datos a incluir...

• Kartulinazko ereduak egin, baldosetan agertu diren oinarrizko formekin eta agertu ez
diren beste zenbait irudi: karratua, lauki zuzena, mota anitzeko hirukiak, pentagonoak,
hexagonoak... eta plano (folio) bat emanda, konprobatzen joango dira zer formekin
osatzen den planoa (edo zer irudi konbinatuz).
• Mosaikoak aztertu: ikusi nola eraiki dituzten (zer irudi errepikatzen den mosaikoa osa-
tzeko).
• Mosaikoak eraiki, irudi bat errepikatuz, edo bat baino gehiago konbinatuz.
Eguna eta Gauaren Iraupena (LH-2. maila)
Unibertso gaiaren barruan sortzen da errotazioa mugimenduaren eragina eguna eta gauaren
iraupenean.
Datuen bilketa proposatzen da haurrek dituzten hipotesiak baieztatzeko edo errefusatzeko.
• Egunkarian egunero zenbait datu bilatu: eguzkiaren irteera eta sarrera.
• Datu horiek apuntatzen doaz sarrera bikoitiko taula batean. Ezker aldean hilearen egu-
nak jartzen dira (1, 2, 3, 4...) eta goian eguzkiaren irteera, sarrera, egunaren iraupena
eta gauaren iraupena. Honela gera daiteke:
Hilabetearen Eguzkiaren Eguzkiaren Egunaren Gauaren
egunak irteeraren ordua sarreraren ordua iraupena iraupena
1 07:28 20:59 13:31 10:29
2
• Taula horren kalkuluak ikasleek egingo dituzte (eguna eta gauaren iraupena), nahi
duten estrategia erabiliz.
• Egun batzuen datuak jaso ondoren, has daiteke grafikoa egiten. Grafikoa egiteko
aukera bat baino gehiago dago: datuak taulan jaso ahala, grafikoa egiten hasi; edo
datuak denbora luzean jaso (adibez hilabete batean) eta gero grafikoak egin, edo...
• Grafikoaren diseinua haurrekin batera erabaki: zein ardatzetan jarri behar diren
datuak, zer datu mota eta nola adierazi denbora paperean, zer grafiko mota erabili...
• Sortu daitezkeen zenbait arazo: papera nola banatu, minutu eta orduak adierazteko
(aukera bat da erregela batekin, unitate bat hartu, adib. 6 cm ordu bat adierazteko);
egunaren kontzeptua (gaua ez dena, alde batetik, eta denbora neurtzeko unitatea
dena), gaua edo eguna moztuta gera daitezkeela abiapuntuaren arabera...
• Lan hau, solztizio edo ekinozioa ematen den garaian egitea interesgarria litzateke,
liburuetan agertzen diren datuak zehatzak diren edo ez konprobatzeko.
Ohar garrantzitsua: lan mota honetan ezinbestekoa da haurrek erabakiak hartzeko aukera iza-
tea: grafiko mota aukeratzeko, sartuko diren datuak erabakitzeko...

CONCLUSIONES
• ¿Con qué medir? Tenemos que analizar y utilizar los materiales e instrumentos de uso
social, tal y como son y manejar las medidas que aparecen (l, cl, Kg, g,...) utilizando
en cada momento el léxico adecuado. Algunos materiales: distintos modelos de calen-
dario, cintas métricas de varias medidas, diferentes pesos (balanza de cocina, de cuarto
de baño, de brazos...), así como periódicos, libros, propaganda...
• ¿Cómo medir? Debemos impulsar la manipulación de los instrumentos de medida.
• ¿Qué, cuándo y para qué medir? Tenemos que planificar situaciones naturales que
sean significativas, y, por ello precisamente motivadoras, que tengan relación con la
vida y que sirvan para resolver problemas auténticos.
• Estrategias personales de los niños-as: Teniendo en cuenta que hay más de una forma
de resolver los problemas, debemos respetar y estimular sus propias estrategias. Los
caminos que pueden descubrir los niños-as tienen mucho valor. "Durante mucho
tiempo, los educadores han tratado de transmitir conocimientos a los niños desde el
exterior. Lo que necesita la reforma es un punto de apoyo dentro del niño para aumen-
tar al máximo el proceso de construcción desde el interior" (Kamii, 1995, página 8).
• Interacción: Es preciso hablar entre todos-as de las diferentes modos que plantean los
alumnos-as. El intercambio de pareceres tiene gran importancia en la producción del
conocimiento. "Es posible estimular la construcción del pensamiento lógico-matemá-
tico mediante el intercambio de puntos de vista. La historia de la ciencia atestigua la
importancia del debate en el avance del conocimiento humano." (Kamii, 1994, página
99).
• Tipos de agrupamientos: Propondremos distintos agrupamientos; a menudo grupos
pequeños, sobre todo por parejas (para realizar un único trabajo interactuando entre
ellos, y potenciar la participación); otras veces en gran grupo (para poner en común las
aportaciones de los grupos y discutirlas, para conocer las ideas de los alumnos-as,
plantear nuevas tareas...); y, por supuesto, también trabajo individual.
• Estimación: Debemos estimular a los alumnos para que hagan estimaciones, ya que en
la vida real se utilizan tanto las medidas exactas como las estimadas (más o menos,
entre x e y, casi x...).
• La intervención del profesor-a: Los profesores debemos, con nuestras intervenciones
fomentar entre los alumnos y alumnas "la argumentación, el debate y la circulación de
informaciones" (C. Gallego, 2002) así como la producción del pensamiento científico.
No importa la edad de los alumnos y alumnas. Tengan 3, 13 o 33 años les pon-
dremos en situación de aprender los conocimientos tal como son y poniendo
en sus manos los materiales convencionales de uso social.
El aprendizaje puede facilitarse, pero no imponerse.
“metodología de la superficialidad”: No se puede esperar que los individuos
modifiquen en una o dos horas ideas que se han desarrollado a lo largo de su
existencia.

ONDORIOAK
• Zertaz neurtu? Inguruko materialak, gizartearen ohiko materialak eta tresnak, aztertu
eta erabili behar ditugu, diren bezala, eta agertzen diren unitateak maneiatuko ditugu
(l, cl, Kg, g, €...). Hau da, egoera bakoitzean behar den lexikoa erabiliko dugu.
Zenbait materiala: egutegi ezberdinak, neurri ezberdinetako zinta metrikoak, pisatzeko
tresna ezberdinak (sukaldeko balantza, bainu gelakoa, besoetakoa...), egunkariak, libu-
ruak, propaganda...
• Nola neurtu? Neurtzeko tresnen manipulazioa bultzatu behar dugu.
• Zer, noiz eta zertarako neurtu? Egoera naturaletan, esanguratsuak eta, horrexegatik,
motibagarriak direnak planifikatu behar ditugu, benetako bizitzarekin lotura dutenak
eta benetako problemak ebazteko balio dutenak.
• Haurren estrategia pertsonalak: Problemak ebazteko era bat baino gehiago dagoenez
haurren estrategia pertsonalak errespetatu eta bultzatu behar ditugu. Garrantzi handia
dute haurrek aurki ditzaketen bideek.
• "Aspaldidanik, luzaroan hezitzaileak saiatu dira haurrei ezagutzak kanpotik transmiti-
tzen. Erreformak behar duena da haurrarengan euskarri puntu bat sortu, bere baitatik
abiatuta, eraikitze-prozesua ahalik eta handiena izan dadin." (Kamii, 1995, 8. orr).
• Elkar eragina: Haurrek planteatzen dituzten forma ezberdinetaz hitz egin behar da
denen artean. Ikuspuntu desberdinen trukaketak garrantzi handia du ezagutzaren
ekoizpenean. "Ikuspuntuak elkartrukatuz estimulatu daiteke pentsaera logiko -mate-
matikoaren eraiketa. Zientziaren historiak adierazten du eztabaidaren garrantzia giza -
jakintzaren aurrerapenean" ( Kamii, 1994, 99. orr).
• Taldekatze motak: Taldekatze mota ezberdinak proposatuko ditugu; askotan talde txi-
kiak, bikoteka bereziki (lana jorratzeko, lan bakar bat bien artean burutzeko elkar era-
ginez, eta partaidetza bultzatzeko); besteetan, talde handia (taldeen ekarpenak ezagu-
tzeko eta eztabaidatzeko; haurren ideiak ezagutzeko; lan berriak planteatzeko; edo...);
eta, nola ez, bakarkako lana ere bai.
• Estimazioa: Estimazioa bultzatu behar dugu, bizitza arruntean neurri zehatzak, nahiz
neurri estimatuak, erabiltzen direlako (gutxi gora behera; x eta y-ren artean; ia x...).
• Irakaslearen esku-hartzea: Irakasleok gure interbentzioekin "argudiatze, eztabaida eta
informazioen zirkulazioa" (C. Gallego, 2002) bultzatu behar ditugu. Baita ezagupen
"zientifikoaren" ekoizpena ere.
Edozein adinean ezagupenak diren bezala ikasteko egoeretan jarriko ditugu
ikasleak. Horretarako gizartean era konbentzonalean erabiltzen diren materia-
laz hornituko diegu.
Aprendizaia erraztu daiteke, baina ezin da inposatu.
“Azalkeriaren metodologia”. Bizitzan zehar garatu diren ideiak nekez aldatuko
dira ordu betean.

ANEXO I
La siguiente conversación puede ser un ejemplo de las dudas que se nos plantean a los adul-
tos (a la mayoría):
Un grupo de maestros y maestras está conversando sobre algunos sucesos de clase:
- ¿Sabéis qué me han preguntado los niños de mi clase? A ver si sabéis contestar.
- ¿Qué pregunta difícil te han hecho esta vez?
- Esos niños no hacen nunca preguntas fáciles, suelen tener siempre la cabeza en ebu-
llición. Estamos haciendo algunos trabajos sobre el agua. Uno de ellos es congelar
agua, y ver si el agua, cuando se hiela, ocupa más, menos o igual que antes. Han pro-
bado en casa, con vasos de plástico, y la mayoría ha comprobado que el vaso ha esta-
llado; o que el hielo ha superado la marca que habían hecho antes de congelar.
- ¿Y todos han hecho la comprobación?
- Sí, tienen una gran curiosidad y las familias, en la mayoría de los casos, ayudan mucho.
- Pero ¿cuál es la pregunta?
- Pues que dónde será más baja la temperatura, en el interior de un cubito de hielo o en
el interior de un iceberg. Yo, la verdad, no lo sé. Vosotros, ¿qué creéis?... (todos queda-
mos pensativos.
- Pues yo creo que son iguales una temperatura y otra. Cuando el agua se hiela, es igual
que el trozo sea grande o pequeño.
- No estoy de acuerdo. ¿No ves que donde hay icebergs la temperatura ambiente es muy
baja?
- Pero estamos hablando de la temperatura del interior. La de fuera ya sabemos que es
diferente, ¿pero la del interior?
- A mí me parece que la temperatura exterior tiene influencia en la del interior. Al fin y
al cabo no se descongela en el mismo tiempo la comida que ha estado en un congela-
dor de cuatro estrellas y la que ha estado en un congelador normal.
- El hielo puede estar a temperaturas diferentes.
- Puede que sea así. Pero yo no estoy muy convencida.
- ¿Y cómo podemos saberlo?
- ...
- La verdad es que mis hipótesis sobre ciertos aspectos de la ciencia son las de un niño
de Infantil.
- Sí; yo sé muy poco, la verdad.
- En un cursillo de Educación Infantil les plantearon cómo harían para hacer flotar un
trozo de plastilina.
- Pues yo tendría que hacer pruebas. No creo que lo consiguiera a la primera.
- A mí me han contado que en Marte hay un volcán de 24.000 metros de altura, y se me
hace muy difícil imaginarlo...
- Deberíamos organizar algo para aprender nosotros-as.
- Sí, estaría bien.

I. ERANSKINA
Helduok (gehienok) ditugun zalantzen adibide izan daiteke ondorengo elkarrizketa:
Maisu-maistra talde bat ari da gelen gertakariei buruz hitz egiten:
- Badakizue zer galdera egin didaten gelako haurrek? Ea zuek dakizuen erantzuna.
- Zer galdera zaila egin dizute, ba?
- Haur horiek ez dute galdera errazik egiten, burua beti pil-pilean izaten dute.Urarekin
ari gara jarduera ezberdinak egiten. Horietako bat ura izoztu: ura jela bihurtzen
denean, ea berdin okupatzen duen, edo gehiago, edo gutxiago. Etxean egin dute proba
plastikozko edalontziekin, eta gehienek ikusi dute edalontzia lehertu egin zaiela; edo
aldez aurretik egindako marka gainditu duela jelak.
- Eta denek egin dute saiakera?
- Bai, kuriositate handia dute, eta familiek, kasu gehienetan, asko laguntzen dute.
- Baina, galdera zein zen?
- Ba, ea non dagoen tenperaturarik baxuena, jela-koskor baten barruan, edo izeberg
baten erdian. Nik, egia esan, ez dakit. Zuek, zer uste duzue?... (denak, pentsakor).
- Ba nik uste dut berdinak direla bata eta bestea. Ura jelatzen denean, berdin da zati txi-
kia edo handia izatea.
- Ni ez nago ados. Ez al duzu ikusten izeberg dauden tokietan oso tenperatura baxua
dagoela?
- Baina izeberg erdiko tenperaturaz ari gara. Kanpokoa badakigu ezberdina izango dela,
baina erdikoa?
- Nire ustez, kanpoko tenperaturak eragina du barrukoan. Azken finean ez da denbora
berean desizozten lau izarretako izozgailu batean egondako janaria eta izozgailu nor-
mal batean egondakoa.
- Izotza egon daiteke tenperatura ezberdinetan.
- Baliteke horrela izatea. Baina ni ez nago oso konbentzituta.
- Eta nola jakin dezakegu?
- ...
- Egia esan, nire hipotesiak, zientziaren zenbait alderdietan, Haur Hezkuntzako haur
batenak bezalakoak dira.
- Bai, nik, egia esan, ezer gutxi dakit.
- Haur Hezkuntzarako ikastaro batean planteatu zieten nola egingo luketen plastilina zati
bat flotatu ahal izateko.
- Ba nik probak egin beharko nituzke. Ez dut uste lehenengo saiakeran lortuko nuenik.
- Niri kontatu didate Martitzen 24.000 metroko altuera duen sumendi bat dagoela eta
oso zaila egiten zait imajinatzea...
- Zerbait antolatu beharko genuke guk ikasteko.
- Bai, ondo legoke.

ANEXO II
Este ha sido el título de nuestro articulo, pero se nos ocurrían algunos otros:
Y otros más:
LA JOTA DE LA MEDIDA:
NO CREAS QUE LO LAMENTO,
SI SUMAS, MULTIPLICAS O MIDIENDO,
MÁS QUISIERA QUE SUPIERAS
P´A QUE UTILIZAS LO QUE CUENTO,
NI SUMO, NI CUENTO, NI RESTO
LA MEDIDA:
Una extensión infinita
Una visión sin límites
LA MEDIDA:
Una estimación limitada
La estimación definida
Los límites de la estimación
TODO EN SU JUSTA MEDIDA: Aproximaciones desde el aula
Medid y se os dará... una barra de platino y un peso y un altímetro y un reloj y...
¿CÓMO SE MIDE LA MASA? ¿CÓMO MIDE LA N.A.S.A.?
Y MUCHAS PREGUNTAS MÁS
¿QUÉ PASA CON EL PESO?
Mi mamá me mide, yo mido a mi mamá

II. ERANSKINA
Hau da gure artikuluari jarri diogun izenburua, baina beste batzuk ere bururatu zaizkigu:
Eta beste hauek ere:
NI HANDIA
ZU TXIKIA
GU LUZEA
ZUEK MOTZAK
NEURRIA:
Una extensión infinita
Una visión sin límites
NEURRIA:
Una estimación limitada
La estimación definida
Los límites de la estimación
TODO EN SU JUSTA MEDIDA: Aproximaciones desde el aula
Medid y se os dará... una barra de platino y un peso y un altímetro y un reloj y...
¿CÓMO SE MIDE LA MASA? ¿CÓMO MIDE LA N.A.S.A.?
Y MUCHAS PREGUNTAS MÁS
¿QUÉ PASA CON EL PESO?
Mi mamá me mide, yo mido a mi mamá

BIBLIOGRAFÍA
ALSINA, C. y otros (1996). Enseñar matemáticas. Graó. Barcelona.
CANALS, M. A. (2001). Vivir las matemáticas. Octaedro-Rosa Sensat. Barcelona.
CHAMORRO, C.; BELMONTE, J. M. (1988). El problema de la medida. Didáctica de las
magnitudes lineales. Síntesis. Madrid.
EUSKO JAURLARITZA (1992). Oinarrizko Curriculun Diseinua. Lehen Hezkuntza II.
Gasteiz. Eusko Jaurlaritzaren argitalpen zerbitzu nagusia.
GALLEGO, C. “El aula como comunidad matemática de aprendizaje”. Apuntes tomados
en las XVIII Jornadas Pedagógicas del Bidasoa.
KAMII, C. (1994). Reinventando la aritmética II. Visor. Madrid.
KAMII, C. (1995). Reinventando la aritmética III. Implicaciones de la teoría de Piaget.
Visor. Madrid.
ROWAN, T .E.; BOURNE, B. (1999). Pensando como matemáticos. Manantial SRL.
Buenos Aires.

1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI para alumnado de 2º de E.S.O:
1ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI
para alumnado de 2º de E.S.O:
Asesores de Matemáticas de los Berritzegunes (*)
UN POCO DE HISTORIA
Las Olimpiadas Matemáticas no son una actividad nueva. Ya a comienzos del siglo XX se cele-
braban competiciones sobre problemas matemáticos y en el año 1959 nacen unas Olimpiadas
Matemáticas para alumnos de Enseñanza Secundaria en diversos países del Este de Europa.
Desde 1.964, y bajo el patrocinio de la Real Sociedad Matemática Española, se celebra en
España la Olimpiada Matemática Nacional dirigida al alumnado del actual 2º curso de
Bachillerato. En la Enseñanza Obligatoria, si bien se celebraban algunos concursos de proble-
mas, no es hasta el curso 1984/85 en el que la Sociedad Andaluza de Educación Matemática
“Thales” pone en marcha la 1ª Olimpiada para alumnos de 8º de E.G.B.
Posteriormente, comienzan a surgir en diversas Comunidades Autónomas las Sociedades de
profesores de Matemáticas y con ellas las convocatorias de Olimpiadas a nivel provincial o
autonómico. La constitución de la Federación de Sociedades (FESPM) posibilita la organiza-
ción de las Olimpiadas Matemáticas Nacionales para el actual alumnado de 2º de E.S.O., de
las que este curso 2002-03 se ha celebrado ya la decimocuarta edición.
En Euskadi, al no contar con Sociedad de Profesores, los asesores de Matemáticas de los
Berritzegunes, tras unos contactos con la Federación y con los responsables de la organiza-
ción de la Olimpiada Española, decidimos impulsar la organización y celebración de la 1ª
Olimpiada Matemática de Euskadi para alumnado de 2º de E.S.O.
Planteada la iniciativa al Departamento de Educación del Gobierno Vasco, en concreto a la
Dirección de Innovación Educativa, obtenemos no sólo la aprobación sino el apoyo y colabo-
ración, tanto en aspectos organizativos como económicos. A partir de aquí, los tres Asesores
de Matemáticas constituimos la Comisión Organizadora de la 1ª Olimpiada Matemática de
Euskadi (OME).
La OME pretende, entre otras cosas, popularizar las matemáticas, sacándolas del ámbito pura-
mente escolar en el que habitualmente están recluidas y poniendo de manifiesto que las mate-
máticas subyacen en muy diversas actividades de la vida, no sólo en las ciencias y tecnología,
sino que abarcan todas las actividades humanas, incluidas las lúdicas. Estos son los
OBJETIVOS
Que podríamos agrupar en tres grandes bloques:
• Fomentar entre los estudiantes el gusto por las matemáticas, planteando actividades abiertas
que les ofrezcan la posibilidad de poner en juego su creatividad, de usar estrategias genera-
les de resolución de problemas y disfrutar afrontando retos intelectuales.
(*) Este artículo ha sido elaborado por Alberto Bagazgoitia.

Una de las mayores potencialidades de las matemáticas radica en la gran cantidad de aplica-
ciones, contextos y situaciones diferentes en las que pueden aparecer o en las que sus méto-
dos y procedimientos pueden ser útiles: ciencia, arte, economía, juegos.
• Facilitar la relación entre centros, profesores y alumnos, favoreciendo el conocimiento
mutuo y el intercambio de experiencias.
En torno a las actividades de la Olimpiada, por parte del profesorado, se pueden poner en
común modos, formas de hacer y experiencias positivas y en lo que se refiere a los alumnos,
las actividades más abiertas favorecen el trabajo en equipo.
• Contribuir a la mejora del proceso de Enseñanza-Aprendizaje de las matemáticas, y a la for-
mación permanente del profesorado apoyando la innovación e impulsando el trabajo en
Resolución de Problemas.
La Resolución de Problemas ha de ser un trabajo cotidiano en nuestras aulas y la Olimpiada
puede ser un elemento dinamizador en la renovación didáctica del profesorado. Y no sólo
para los alumnos más brillantes o motivados en matemáticas sino que todos los alumnos
obtendrán beneficios de este enfoque que favorece el desarrollo de capacidades de alto nivel.
ESTRUCTURA Y DESARROLLO
En enero se envió la convocatoria de esta 1ª Olimpiada Matemática a todos los Centros de la
Comunidad, públicos y privados, contando para este proceso con la colaboración de los
Berritzegunes, en concreto con la de los asesores del área científico-tecnológica. Por otra
parte, las bases y toda la información sobre la Olimpiada se colgó en la red, en la dirección
www.berrikuntza.net/mateolimpiada y las inscripciones de los centros participantes también
se recogieron a través de esta página web. Debemos agradecer aquí el trabajo de Lukas
Rodríguez, asesor de TIC del Berritzegune de Abando, sin el que no se hubiera podido llevar
a cabo este planteamiento.
La Olimpiada se estructuró en dos fases:
La primera, se realizó en cada uno de los centros participantes el día 28 de marzo. La prueba
correspondiente a esta fase fue enviada por la Comisión Organizadora y consistió en cinco
problemas (se sugería que de esos 5 problemas se seleccionasen 4 para presentar a los alum-
nos). Cada centro debía elegir dos alumnos que serían los que pasarían a la segunda fase.
Previamente a esto, se habían hecho llegar al profesorado modelos de problemas de tipo y
nivel similares a los que se pondrían en las pruebas.
Para esta primera fase se inscribieron 100 centros de la Comunidad. Por diversos motivos el
número total de centros que inscribieron a sus alumnos para la 2ª Fase fue de 92, repartidos
de la siguiente forma:
Asesores de Matemáticas de los Berritzegunes
CENTROS PÚBL. PRIV. TOTAL
ALAVA 6 7 13
GUIPÚZCOA 11 14 25
VIZCAYA 24 30 54
TOTAL 41 51 92

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