sismoresistencia

1. CAPITULO VI
Respuesta Sísmica de Sistemas Lineales
Introducción
Una de las más importantes aplicaciones de la teoría de dinámicas estructurales esta en
analizarlarespuestade estructurasa movimientos de suelo producidos por un terremoto. En
este capítulo estudiamos la respuesta de sistemas lineales a los movimientos sísmicos. Por
definición,lossistemaslinealessonsistemaselásticos,ydeberíamos referirnosaellostambién
como sistemas linealmente elásticos.
La primeraparte de este capítuloestáocupada de la respuestasísmica – deformación, fuerzas
internasde loselementos,fallas etc. – de estructuras simples como una función de tiempo, y
como estarespuestadepende de losparámetrosdel sistema. Luegointroducimos el concepto
de espectro de respuesta, el cual es central para la Ingeniería Sísmica, junto con los
procedimientospara determinar la respuesta final máxima de los sistemas directamente del
espectro de respuestas. Esto es seguido por el estudio de las características del espectro de
respuestas sísmicas, el cual direcciona al espectro de diseño para el diseño de nuevas
estructurasy laevaluaciónde seguridadde estructurasexistentes frente a futuros sismos. Las
i8mportantes distinciones entre espectro de diseño y respuesta están identificadas y el
capituloculminaconuna discusiónde dostiposde espectros de respuesta que no son usados
comúnmente.
6.1 Excitación Sísmica
Para propósitosde ingenieríalavariacióndel tiempode aceleracióndelsueloesel caminomás
útil para definir la agitación del suelo durante un terremoto. La aceleración del suelo Ug(t)
aparece enel ladoderecho de la ecuación diferencial dominando la respuesta de estructuras
ante excitación sísmica. Sin embargo para una aceleración del suelo dada el problema a ser
resuelto es definido completamente por un sistema con masa, rigidez y propiedades de
amortiguamiento.el instrumento básico para registrar tres componentes de movimiento del
suelodurante unterremotoesel acelerógrafode movimientosde magnitud, el cual no realiza
un registro continuamente sino que se activa en movimiento por las primeras ondas del
terremotoque se aproxima. Esto es debido a que incluso en zonas propensas a sismos, como
Japón y california puede en un momento que no haya movimientos fuertes de terreno en
meses, o incluso en años. En consecuencia, un registro continuo de cientos de tales
instrumentosseríaunejercicioderrochador. Después de activado (el acelerógrafo) el registro
continuapor algunosminutoso hasta que el movimiento del suelo caiga de nuevo dentro de
niveles imperceptibles. Claramente los instrumentos deben ser mantenidos y en servicio
regularmente paraque produzcanel registrocuandoocurrael sismo.El elementobásicode un
acelerógrafo es un elemento transductor, el cual, en su forma más simple, es un sistema de
amortiguamientode masa-resorte. Por lo tanto el elemento transductor se caracteriza por su
frecuencianatural Fny suradio de amortiguamientoviscoso xsi. típicamente Fn = 25 Hz y xsi =
60 % para los moderno acelerógrafos análogos; y Fn = 50 Hz y xsi = 70 % para los moderno
acelerógrafos digitales. Estos parámetros de transductor permiten al instrumento digital
registrarsinuna excesivadistorsión,funcionesde tiempo-aceleraciónconteniendofrecuencias

2. desde muy bajas hasta, digamos, 30 Hz; el instrumento análogo es preciso sobre un rango de
frecuenciaslimitado,digamos,hasta15 Hz. Desafortunadamente,instrumentos de registro de
movimientosde suelofuertesfueronescasospormuchosaños,e inclusohoyendianinguno o
muypocos registrospuedenserobtenidos de un terremoto desastroso en algunas partes del
mundo.Por ejemplo, ningun registro de movimientos de magnitud fueron obtenidos de dos
terremotos durante 1993 los cuales causaron enormes destrucciones. Killari, Maharashtra,
India, Septiembre 30, 1993; y Guam, un territorio norteamericano, 8 de Agosto de 1993.
Idealmente cuando ocurre un sismo fuerte sería deseable tener muchas estaciones con
instrumentos, para registrar los movimientos del suelo. Sin embargo, no saber cuando y
exactamente donde los terremotos ocurrirán y tener presupuestos limitados para la
instalaciónymantenimientode instrumentos, es solo ocasionalmente posibles obtener tales
registrosenlazona de más fuertesmovimientos.Muchos másregistroshansido obtenidos en
regiones donde movimientos de suelo moderados han ocurrido.
El primer acelerograma de movimiento fuerte fue registrado durante el terremoto de Long
Beach de 1933, y desde ese tiempo varios cientos de registros han sido obtenidos. Como
puede ser esperado, la mayoría de estos registros son de movimientos menores y solo una
pequeña fracción de ellos tiene de 20% g o más. La distribución geográfica de estos registros
de movimientode sueloesmuyirregular.Másde la mitadde ellossonde california,lamayoría
de loscualesson de tres terremotos; el terremoto de San Fernando del 9 de febrero de 1971,
el terremotode LomaPrietadel 17 de octubre de 1989 y el terremotode Northridge del 17 de
enero de 1994. Los valores máximos de aceleración registrados en muchas locaciones
diferentes durante el terremoto de Loma Prieta son mostrados en la figura subsiguiente.

3. Figura 6.1.1 Acelerógrafos de movimientos fuertes (a) SMA – 1, un instrumento de registro
análogo, con una frecuencia natural sin amortiguamiento de 25 Hz y amortiguamiento del
60% del crítico, (b) SSA-2, un instrumento de registro digital con una frecuencia natural sin
amortiguamiento de 50 Hz y un amortiguamiento de 70% del crítico (cortesía de Kinemetrics
INC.)
Estos valores de aceleración son mayores cerca del epicentro del terremoto y tienden a
decrecer con la distancia con respecto a la falla causando el terremoto. Sin embargo la
aceleraciónregistradaadistanciassimilarespuede variarsignificativamente,debidoa variados
factores, especialmente las condiciones de suelo locales.

4. Figura 6.1.2 Aceleracioneshorizontalesmáximosdelsuelo,registradasduranteel terremoto de
Loma Prieta de 1989.
La figura 6.1.3 muestra una colección representativa de registros de tiempo aceleración de
movimientos sísmicos de territorio en la región de movimientos fuertes.

5. Figura 6.1.3 Movimientos del suelo registrados durante varios terremotos. (Basados en parte
en Hudson, 1979)
Una componente horizontal es dadapara cada locación y terremoto. Todas han sido impresas
a las mismasescalasde aceleraciónytiempo.Laampliaymuy cierta variabilidad de amplitud,
duracióny aparienciageneral de losdiferentesregistrospuedeserclaramente notada. Uno de
estos registros es aumentado en la figura 6.1.4. Esta es la componente norte sur del
movimientode terrenoregistradaenunsitioenel centro,California, durante el terremoto de
Imperial Valley, California, ocurrido el 18 de mayo de 1940. A esta escala se convierte en
aparente que la aceleración del suelo varía con el tiempo en una manera muy irregular. Sin
importarcuán irregular,el movimientodel territoriose presumeserconocidoe independiente
de la respuesta estructural. Esto es equivalente a decir que el suelo de fundación es rígido,

6. implicandoninguna interacción suelo-estructura. Si la estructura estuviera fundada en suelo
altamente flexible, el movimiento de la estructura y la fuerza resultante impuesta sobre el
suelo subyacente puede modificar el movimiento de la base. La aceleración del suelo es
definida por valores numéricos en instantes de tiempo discretos.
Figura 6.1.4 Componente Norte – Sur de aceleración horizontal del suelo registrada en la sub-
estación del Distrito de Irrigación de Imperial Valley,El Centro,California, durante el terremoto
de Imperial Valley del 18 de Mayo de 1940. La velocidad del suelo y el desplazamiento del
suelo fueron computadosmediantela integración de la aceleración del suelo. Esta aceleración
del suelo es usada extensivamente en este libro y , por brevedad, será llamada movimiento de
suelo de El Centro, aun cuando tres componentes de movimiento han sido registradas en el
mismo sitio durante varios terremotos después de 1940.
Estos instantes de tiempo deberían estar espaciados cercanamente, para describir de forma
precisa las altamente irregulares variaciones de aceleración con el tiempo. Típicamente, el
intervalo de tiempo es preferentemente entre 1% a 2% de un segundo, requiriendo 1500 a
3000 ordenadas para describir el movimiento del terreno de la figura 6.1.4.
La primera curva en la figura 6.1.4 muestra la variación con el tiempo de la aceleración del
territoriodurante el movimiento sísmicode El Centro. La aceleración máxima del terreno Ugo
es 0.319g. La segunda curva es la velocidad del suelo, obtenida integrando la función de
aceleración-tiempo.Lavelocidad máxima del suelo Ug0 es 13.04 pulg/seg. La integración de la
velocidad provee el desplazamiento del suelo presentado en la curva inferior. El
desplazamiento máximo del suelo Ug0 es 8.4 pulg. Es difícil determinar precisamente la
velocidad del suelo y el desplazamiento, porque los acelerógrafos análogos no registran la

7. parte inicial -hasta que el acelerógrafo es gatillado- de la función tiempo aceleración y por
tanto lalíneabase (aceleracióncero) esdesconocida.Losacelerógrafosdigitalessuperanestos
problemas proveyendo una memoria a corto plazo para que el inicio del movimiento del
terreno sea medido.
En existencia hay variadas versiones diferentes del movimiento de suelo de El Centro. Las
variaciones entre ellas aparecen de diferencias en (1) como el registro analogo original de
aceleración versus tiempo fue digitado en información numérica, y (2) el procedimiento
elegido para introducir la línea base faltante en el registro. La versión mostrada en la figura
6.1.4 es usada a lo largo de este texto y tabulada en el apéndice 6.
6.2 Ecuación del Movimiento
La ecuación1.7.4 dominael movimientode unsistemalineal (Fig 6.2.1) sujeto a la aceleración
del suelo Ug(t). Dividiendo esta ecuación por m resulta
U + 2EWnu + Wn2u = -Ug(t) (6.2.1)
Es claro que para un Ug(t) dado,la respuestade deformaciónU(t) del sistemadependesolode
la frecuencianatural Fnoel periodo natural Tn del sistemaysu radiode amortiguamiento,xsi;
escribiendo formalmente, U = U(fn, Tn, E). Sin embargo dos sistemas teniendo los mismos
valores de Tn e xsi tendrán la misma respuesta de deformación U(t) aun cuando un sistema
puede ser más masivo que otro o uno pudiera ser más rígido que otro.
Figura 6.2.1 Sistemas de un solo grado de libertad.
La aceleracióndel suelodurante terremotosvaríatanirregularmente (fig 6.1.4) que lasolución
analítica de la ecuación del movimiento debe ser descartada. Por lo tanto los métodos
numéricossonnecesariosparadeterminarlarespuestaestructural ycualquiera d los métodos
del capítulo5 puedenserutilizados.Losresultados de respuesta presentados en este capítulo
fueron obtenidos por resolución exacta de la ecuación de movimiento del movimiento del
suelo variando linealmente sobre cada paso de tiempo, dT = 0.02 seg (sección 5.2).
6.3 Cantidades de Respuesta
Del mayor interés en ingeniería estructural es la deformación del sistema o desplazamiento
U(t) de la masa en relación con el suelo en movimiento al cual las fuerzas internas están
linealmente relacionadas. Estos son los momentos flectores y cortes en las columnas y vigas
del marco de un pisofig6.2.1a o la fuerzade resorte enel sistema de la figura 6.2.1b. Conocer

8. el desplazamiento total Ut(T) de la masa sería útil en proveer separación suficiente entre
edificios adyacentes para prevenir la colisión entre uno y otro durante un terremoto. La
colisiónes la causa de daños en diversos edificios durante casi todos los terremotos (ver Fig.
6.3.1). Similarmente,laaceleracióntotal Ut(T) de la masa será necesitada si la estructura está
soportandoequiposensitivoyel movimiento impartido al equipo está para ser determinado.
Figura 6.3.1 Daño de colisión, Hotel de Carlo, ciudad de México, 1985 (Del Centro Nacional de
Datos Geofísicos, fotografía de C. Arnold)
La solución numérica de la ecuación 6.2.1 puede ser implementada para proveer resultados
para cantidades relativas U(t), U(t), y U(t) así como también cantidades totales U(t), U(t), y
U(t).
6.4 Historial de Respuesta
Para un movimiento de suelo dado Ug(T), la respuesta de deformación U(t) de un sistema
depende solodel periodonatural de vibracióndel sistemay su radio de amortiguamiemto . La
figura 6.4.1 muestra la respuesta de deformación de tres sistemas diferentes debido a la
aceleracióndel suelode El Centro. El radio de amortiguamiento, xsi=2%, es el mismo para los
tressistemas,paraque sololas diferenciasensusperiodosnaturalesseanresponsables de las
grandesdiferenciasenlasrespuestasde deformación.Esvistoque el tiemporequerido por un
sistema para completar un ciclo de vibración cuando está sujeto al movimiento de suelo de
este terremoto es muy cercano al periodo natural del sistema. (Este interesante resultado,
validopara un típico movimiento de territorio, conteniendo un amplio rango de frecuencias,
puede ser probado usando la teoría de vibraciones aleatorias, ni incluida en este libro. La
deformación máxima [Ec. (1.11.1)] es también notada en cada caso.

9. Figura 6.4.1 Respuestas de deformación de sistemas ante el movimiento sísmico de El Centro.
Observe que entre estostressistemas,mientras máslargoes el periodode vibración, mayores
la deformación máxima. Como se verá después, esta tendencia no es ni válida ni perfecta
durante todo el rango de periodos.
La figura 6.4.1b muestra la deformación de tres sistemas al mismo movimiento de suelo. El
periodo de vibración Tn es el mismo para los tres sistemas, para que las diferencias en sus
respuestas de deformación estén asociadas con sus amortiguamientos. Observamos la
respuestaesperadade que sistemasconmayoramortiguamientorespondanenmenormedida
que los sistemas ligeramente amortiguados. Debido a que el periodo natural de los tres
sistemas es el mismo, sus respuestas muestran una similitud en el tiempo requerido para
completar un ciclo de vibración y en los tiempos en que la máxima y la mínima ocurren.
Una vez que el historial de respuesta de deformación U(t) ha sido evaluado por análisis
dinámicode la estructura, las fuerzas internas pueden ser determinadas por análisis estático
de la estructura en cada instante de tiempo. Dos métodos para implementar tales análisis
fueron mencionados en el capítulo 1. Entre ellos, la aproximación preferida en Ingeniería
Sísmicaestá basadoenel concepto de Fuerza Estática Equivalente fs (Fig 6.4.2) Porque puede
serrelacionadoconfuerzassísmicasespecificadasennormasde edificación:fs fue definido en
la ecuación (1.8.1) la cual es repetida aquí por conveniencia:
Fs(t) = Ku(t) (6.4.1)

10. Donde K es la rigidez lateral del marco (Fig 6.2.1a). Expresando K en términos de masa m
resulta
Fs(t) = m wn
2
u(t) = m A(t) (6.4.2)
Donde
A(t) = wn
2
u(t) (6.4.3)
Observe que la fuerza estática equivalente es m veces A(t), y no m veces la aceleración total
Utot(t).
La respuesta de pseudo-aceleración A (t) del sistema puede ser directamente computada
desde la respuesta de deformación U (t). De los tres sistemas con Tn= 0.5, 1, y 2 seg, todos
teniendo ξ = 0.02, U (t) está disponible en la figura 6.4.1. Multiplicando cada u (t) por el
correspondiente Wn
2
= (2π/Tn)2
da las respuestas de pseudo-aceleración para estos sistemas;
Son presentadas en la figura 6.4.3, donde el valor máximo es anotado para cada sistema.
Figura 6.4.2 Fuerza estática equivalente.

11. Figura 6.4.3 Respuestas de pseudo aceleración de sistemas ante el movimiento sísmico de El
Centro.
Para el marco de unsolopisolasfuerzasinternas(Cortesymomentosenlas columnas y vigas,
o esfuerzos en cualquier locación) pueden ser determinadas en un instante seleccionado de
tiempoporanálisisestáticode laestructurasujetaa la fuerza estática lateral equivalente fs(t)
en el mismo instante de tiempo (Fig. 6.4.2). Sin embargo un análisis estático de la estructura
sería necesario para cada instante de tiempo en que las respuestas son deseadas. En
particular, el corte basal Vb(t) y el momento volcante de la base Mb(t) son:
Vb(t) = fs(t) Mb(t) = hfs(t) (6.4.4a)
Donde h es la altura de la masa sobre la base. Insertamos la ecuación (6.4.2) dentro de estas
ecuaciones para obtener
Vb(t) = mA(t) Mb(t) = hVb(t) (6.4.4b)

12. Si el sistemaesvistocomoun sistemade amortiguamientomasa-resorte (Fig6.2.1b),lanoción
de fuerza equivalente estática no es necesaria. Uno puede observar directamente que la
fuerza resorte es dada por la Ec (6.4.1).
6.5 Concepto de Espectro de Respuesta
G. W. Housner fue instrumental en la general aceptación del concepto de espectro de
respuesta sísmica –introducido por M. A. Biot en 1932– como un medio práctico para
caracterizar losmovimientosdel sueloysusefectosenestructuras.Ahoraun concepto central
en la Ingeniería Sísmica, el espectro de respuesta provee un medio conveniente para
condensar la respuesta máxima de todos los sistemas lineales posibles a un componente
particularde movimientode terreno. También provee una aproximación práctica para aplicar
el conocimiento de dinámicas estructurales para el diseño de estructuras y el desarrollo de
requerimientos de fuerza lateral en códigos de edificación.
Una impresión del valor máximo de cantidad de respuesta como una función del periodo de
vibración natural Tn del sistema, o parámetros relacionados como frecuencia circular Wn o
frecuenciacíclicafn,es llamadoel espectrode respuesta para esa cantidad. Cada una de estas
impresiones es para sistemas que tienen un radio de amortiguamiento fijo ξ, y muchas de
estas impresiones con distintos valores de ξ son incluidas para cubrir el rango de valores de
amortiguamiento encontrados en las estructuras actuales. Que la respuesta máxima sea
graficada con respecto a fn o Tn es una cuestión de preferencia personal. Hemos elegido la
última debido a que los ingenieros prefieren usar el periodo natural en vez de la frecuencia
natural porque el periodo de vibración es un concepto más familiar y uno que es
intuitivamente más atractivo.
Una variedad de espectros de respuesta puede ser definida dependiendo de la cantidad de
respuesta que es graficada. Considerando las siguientes respuestas máximas:
U0(Tn, ξ) = maxtot [u(t, Tn, ξ)]
U0(Tn, ξ) = maxtot [u(t, Tn, ξ)]
U0(Tn, ξ) = maxtot [u(t, Tn, ξ)]
El espectro de respuesta de deformación es un gráfico de U0 frente a Tn para un coeficiente ξ
fijo.Un gráficosimilarparaU0 es el espectrode respuestade velocidad relativa, y para U0
tot
es
el espectro de respuesta de aceleración.
6.6 Espectro de Respuesta de Deformación, Pseudo Velocidad y Pseudo Aceleración
En esta sección el espectro de respuesta de deformación y dos espectros relacionados, los
espectros de respuesta de pseudo velocidad y pseudo aceleración son discutidos. Como se
muestraen la sección6.4, solola deformaciónU(t) esnecesariapara estimar fuerzas internas.
Entonces,obviamente,el espectrode deformaciónprovee toda la información necesaria para

13. calcularlos valoresmáximosde deformaciónyfuerzasinternas.Sinembargo,los espectros de
respuesta de pseudo aceleración y pseudo velocidad son incluidos, porque son útiles para
estudiar las características del espectro de respuesta, construir espectros de diseño, y
relacionar resultados de dinámicas estructurales a normas de edificación.
6.6.1 Espectro de respuesta de deformación
La figura 6.6.1 muestra el procedimiento para determinar el espectro de respuesta de
deformación.El espectroesdesarrolladoparael movimiento de suelo de El Centro, mostrado
en la parte (a) de esta figura. La variación del tiempo de la deformación inducida por este
movimientode territorio en tres sistemas es presentado en la parte (b). Para cada sistema el
valormáximode deformación es determinado del historial de deformación. (Usualmente, la
máxima ocurre durante el movimiento sísmico; sin embargo, para sistemas ligeramente
amortiguadosconmuy largos periodos la respuesta máxima puede ocurrir durante la fase de
vibraciones libres después de que la agitación del suelo ha cesado.)
Figura 6.6.1 (a) Aceleración del suelo (b) Respuesta dedeformación de tres sistemas con ξ = 2%
y Tn= 0.5, 1 y 2 seg; (c) Espectro de respuesta de deformación para ξ = 2%.
Las deformacionesmáximassonU0 = 2.67 [pulg] parasistemasde periodonatural Tn = 1 seg y ξ
= 2%; y U0 = 7.47 [pulg] para un sistema con Tn = 2 seg y ξ = 2%. Por consiguiente, el valor U0
determinadoparacadasistemaprovee unpuntoenel espectrode deformación de respuesta.
Repitiendotalescálculospara un rango de valores de Tn y manteniendo ξ constante en un 2%
provee el espectro de respuesta de deformación mostrado en la figura 6.6.1c. Como

14. mostraremos después, el espectro de respuestas completo incluye aquellas curvas de
espectros para los distintos valores de amortiguamiento.
RESPUESTA AL MOVIMIENTO DEL SUELO
En esta sección determinamos la respuesta de un sistema a movimiento armónico del suelo
Ug(t) = Ug0senΩt (3.6.1)
Para estaexcitaciónlaecuacióngobernante eslaecuación(1.7.4),donde lafunciónde empuje
es Peff = -mUg(t) = -mUg0senwt, la misma que la ecuación (3.2.1) para una fuerza armónica
aplicada con P0 reemplazado por –mUg0. Haciendo esta sustitución en la ecuación (3.2.10)
resulta
U(t) =
−𝑚𝑈𝑔0
𝐾
( 𝑅𝑑)sen(Ω𝑡 − 𝜙) (3.6.2)
La aceleración de la masa es
U(t) = Ug(t) + U(t) (3.6.3)

15. La medición de la vibración es de gran interés para la ingeniería estructural. Por ejemplo la
mediciónde laagitacióndel suelo durante un sismo provee información base para Ingeniería
Sísmica, y registros de los movimientos resultantes de una estructura proveen información
sobre como las estructuras responden durante un sismo. Aun cuando los instrumentos de
mediciónsonaltamente desarrolladose intrincados,el elemento base de estos instrumentos
es alguna forma de transductor. En su forma más simple un transductor es un sistema
amortiguador-masa-resorte montado dentro de un marco rígido que esta adherido a la
superficie cuyo movimiento será medido. La figura 7.3. 1 muestra un dibujo esquemático de
este instrumento para registrar los movimientos horizontales de un punto de soporte; tres
transductoresporseparadosonnecesariosparamedirlas tres componentes del movimiento.
Cuandoestásujetoal movimientodel puntode soporte, la masa del transductor se mueve en

16. relaciónal marco, y este desplazamientorelativo es registrado después de una magnificación
adecuada.El objetivode estabreve presentacióndiscutirel principio subyacente en el diseño
de instrumentosde mediciónde vibraciones,paraque losdesplazamientos relativos medidos
provean el movimiento de soporte deseado –aceleración o desplazamiento.
Figura 3.7.1 Dibujo esquemático de un instrumento de medición de vibraciones y gráfica de
movimiento registrado.
Medición de desplazamiento
Es deseado diseñar los transductores para que el desplazamiento relativo U(t) mida el
desplazamientosoporteUg(t).Estoeslogradohaciendoel resorte del transductor tan flexible,
o la masa del transductortangrande,o ambas, para que lamasa se mantengaquieta mientras
el soporte bajoellase mueve. Uninstrumentocomotal es grávido(pesado) debidoalapesada
masa y el resorte suave,yporque debe ajustarse al anticipadodesplazamiento del soporte, el
cual puede ser tan grande como 12 hasta 36 pulg. Durante sismos.
Para examinarel conceptobase más a fondo,considere el desplazamientoarmónicodel suelo:
Ug(t) = Ug0senΩt (3.7.2)
Con la función de empuje Peff = -mUg(t) = mΩ2
Ug0senΩt, la ecuación (1.7.4) domina el
desplazamiento relativo de la masa; esta ecuación dominante es la misma que la ecuación
(3.2.1) para fuerza armónica aplicada con P0 reemplazado por mΩ2
Ug0. Haciendo esta
sustitución en la ecuación (3.2.10) y usando la ecuación (3.2.20) resulta
U(t) = RaUg0sen(Ωt-𝜙) (3.7.3)
Para frecuenciasde excitaciónΩ mucho más altas que la frecuencia natural fn, Ra es cercano a
la unidad (Fig 3.2.7c) y 𝜙 es cercano a 180⁰, y la ecuación (3.7.3) se convierte en
U(t) = -Ug0senΩt
El desplazamientoregistradoesel mismoque el desplazamiento soporte excepto por el signo
negativo, el cual es usualmente irrelevante. El amortiguamiento del sistema no es un
parámetro crítico porque tiene poco efecto en el movimiento registrado si Ω/ωn es muy
grande.
Medición de Aceleración

17. El movimiento a ser medido en general varía arbitrariamente con el tiempo y puede incluir
muchoscomponentesarmónicos cubriendo un amplio rango de frecuencias. Sin embargo, es
fundamental considerarprimerolamediciónde losmovimientos armónicos simples descritos
por la ecuación(3.6.1).El desplazamientode lamasadel instrumentoenrelacióncon el marco
en movimiento es dado por la ecuación (3.6.2), la cual puede ser reescrita como
U(t) =
1
ωn2
( 𝑅𝑑)Ug ( 𝑡 − 𝜙/Ω) (3.7.1)
El U(t) registrado es la aceleración base modificada por un factor de aceleración –Rd/Wn
2
y
registrada con un retardo de tiempo 𝜙/ω. Como se muestra en la figura 3.2.6 Rd varía con la
frecuencia de empuje ω, pero ωn
2
es una constante instrumental independiente del
movimiento soporte.
El objetivodel diseñodelinstrumentoeshacerRd y 𝜙/ω tan independiente de lafrecuenciade
excitación como sea posible porque así cada componente armónico de aceleración será
registrado con el mismo factor de proporcionalidad y el mismo retraso de tiempo. De esta
manera,inclusosi el movimientoaserregistradoconsiste de muchascomponentesarmónicas,
el U(t) registradotendrálamismaformaque el movimientosoporte con un cambio de tiempo
constante. Esta constante de cambio de tiempo simplemente mueve la escala de tiempo un
poco, lo cual usualmente no es importante. De acuerdo con la figura 3.7.2 (que es un gráfico
magnificadode lafigura3.2.6, con valoresadicionalesde amortiguamiento),si ξ = 0,7 entonces
sobre el rango de frecuencias 0 ≤ ω/ωn ≤ 0.50, Rd es cercano a 1 (menos de 2.5% de error) y la
variaciónde 𝜙 con ωes cercana a ser linear,implicandoque 𝜙/ωesesencialmente constante.

18. Figura 3.7.2 Variación de Rd y 𝜙 con radio de frecuencia ω/ωn para ξ = 0.6, 0.65, 0.7, y 0.75
Sin embargo un instrumento con una frecuencia natural de 50 Hz y un radio de
amortiguamiento de 0.7 tiene un rango de frecuencia útil desde 0 a 25 Hz con error
irrelevante. Estas son las propiedades de instrumentos modernos, comercialmente
disponibles, diseñados para medir aceleraciones del suelo inducidas por sismo.