Este documento introduce las ecuaciones diferenciales y su utilidad para modelar sistemas en diversas áreas como la mecánica, biología y economía. Explica que el primer paso para resolver problemas es la modelación matemática y ofrece como ejemplo el modelado de crecimiento de poblaciones animales en un ecosistema. Finalmente, presenta el modelo depredador-presa de Lotka-Volterra y algunas de sus aplicaciones en agricultura y economía.

1. Docente: ANGEL CALZADILLA PELLOL

2. Las ecuaciones diferenciales establecen un instrumento poderoso
y versátil para resolver problemas derivados de los más diversos
horizontes:
INTRODUCCIÓN
Mecánica Biología Electricidad Economia

3. Para resolver este tipo de problemas el primer paso es la modelación,
es decir la “traducción” en relaciones matemáticas de los aspectos
exclusivos más relevantes de la situación planteada.
Con reiteración se desea representar el comportamiento de cierto
sistema o fenómeno de la vida real en terminología
matemática. La representación matemática de un sistema
o fenómeno se llama modelo matemático y se forma con
ciertos objetivos en mente; por ejemplo, podríamos tratar de
comprender los mecanismos de cierto ecosistema estudiando
el crecimiento de las poblaciones de animales

4. Alfred James Lotka
Ecuaciones De Primer
Orden No Lineales
Relación Existente
En Los Ecosistemas
CONSUMIDORES
PRIMARIOS
CONSUMIDORES
SECUNDARIOS
Biología Matemática

5. Los modelos depredador-presa han sido y son objeto de estudio en la
teoría sobre la dinámica de poblaciones. Donde adoptando el
principio de acción de masas proponen lo siguiente.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
Universidad Politécnica Salesiana
Y
II I
III IV
n x y
0 1,5 1
1 1,44 1,22
2 1,26 1,41
3 1,04 1,5
4 0,85 1,46
5 0,72 1,34
6 0,65 1,17
7 0,63 1,01
8 0,64 0,87
9 0,69 0,76
10 0,78 0,68
11 0,9 0,64
12 1,05 0,63
13 1,21 0,66
14 1,37 0,75
15 1,48 0,89
Figura 1. Órbita del sistema de Lotka-Volterra en el plano de fases punto de equilibrio. En el
cuadrante I, las presas x(t) y y(t) aumentan. En el cuadrante II, las presas comienzan a disminuir,
pero los predadores siguen en aumento. En III, tanto presas como predadores disminuyen. En el
cuadrante IV, las presas comienzan de nuevo a aumentar, mientras los predadores siguen
disminuyendo. Esta dinámica poblacional se repite cada ciclo pasando nuevamente por I, II, III y
IV y así sucesivamente. en torno al predadores

6. Aplicaciones
• En la agricultura: por ejemplo un cultivo de
pimientos, cuyo depredador es la mosca blanca
• En control de especies dentro de los ecosistemas:
por ejemplo para explicar el volumen de pesa, de
acuerdo a los depredadores (tiburones)
• En la economía: el crecimiento salarial “depreda”
los beneficios y por tanto, “depreda” la tasa de
empleo.

7. Baeza A. (1978), Ampliación de matemáticas 1 parte, PORTAENCASA, España, pp 58
Derrick, W, (1984) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones, Fondo Educativo Interamericano, México, p.p.
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Escobar J., (2010) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones en maple, Ed. Universidad de Antioquia,
Antioquia, Colombia, p.p 323,325-329
Gutiérrez L,( 1998) Matemáticas para las ciencias naturales, Sociedad Matemática Mexicana ,México, p.p. 529-
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Treyer.P,(1993) Modelling with Ordinary Differential Equations, CRC Press.
Yazlle J, (1999), Ecuaciones Diferenciales y Sistemas Dinámicos, UNCOMA, Departamento de
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Bibliografía Virtual
Richartf, T. (28 de Octubre de 2005). Magl. Obtenido de Campus Usal:
http://campus.usal.es/~mpg/Personales/PersonalMAGL/Docencia/TeoriaTema3MM.pdf
Bibliografía