INVESTIGACION DE OPERACIONES

1. TEORIA DE DECISIONES
INVESTIGACION DE
OPERACIONES II

2. INTRODUCCION
Análisis de decisiones: Es una herramienta cuyo
objetivo es ayudar en el estudio de la toma de
decisiones en escenarios bajo una gran incertidumbre.
Estudiaremos dos formas:
Estudiaremos dos formas:
•Toma de decisiones sin experimentación
•Toma de decisiones con experimentación

3. TOMA DE DECISIONES SIN
EXPERIMENTACIÓN
EXPERIMENTACIÓN

4. ESQUEMA
ALTERNATIVAS FACTIBLES
(Estrategias del tomador de decisiones. Selecciona sólo una)
VS
VS
ESTADO DE LA NATURALEZA
(Estrategias de la naturaleza. Sucesos inciertos, se conocen o se tiene
idea de sus probabilidades)

5. MARCO CONCEPTUAL
• El tomador de decisiones necesita elegir una de
las alternativas posibles.
• La naturaleza elegirá uno de los estados de la
naturaleza.
• Cada combinación de una acción y un estado
• Cada combinación de una acción y un estado
de la naturaleza da como resultado un pago,
que se da por medio de una tabla de pagos.
• La tabla de pagos se usa para encontrar una
acción óptima para el tomador de decisiones
según un criterio adecuado.

6. MODELO DE TABLA DE PAGOS PARA
EL ANÁLISIS DE DECISIONES
ESTADOS DE LA NATURALEZA
ALTERNATIVAS N1 N2 … Nn
A1 Q11 Q12 … Q1n
A1 Q11 Q12 … Q1n
A2 Q21 Q22 … Q2n
… … … …
Am Qm1 Qm2 … Qmn

7. NOTA:
El tomador de decisiones elige su estrategia para
promover su propio beneficio. Por el contrario la
naturaleza es un jugador pasivo que elige sus
estrategias de manera aleatoria.
El tomador de decisiones tiene información para tener
en cuenta sobre la posibilidad de los estados de la
naturaleza. Esta información se traduce en una
distribución de probabilidad. El estado de la naturaleza
es una variable aleatoria (distribución a priori).

8. MODELO DE TABLA DE PAGOS PARA EL
ANÁLISIS DE DECISIONES CON
PROBABILIDADES A PRIORI
ESTADOS DE LA NATURALEZA
ALTERNATIVAS N1 N2 … Nn
A1 Q11 Q12 … Q1n
A2 Q21 Q22 … Q2n
… … … …
Am Qm1 Qm2 … Qmn
PROB. A PRIORI P1 P2 … Pn
1
P
n
1
i
i =
∑
=

9. DOS CONCEPTOS IMPORTANTES
a priori:
Independiente de la experiencia, es decir, que
ésta supone pero no puede explicar, aunque sea
necesario a la posibilidad de la experiencia; a
priori no designa, pues, una anterioridad
psicológica, sino una anterioridad lógica o de
psicológica, sino una anterioridad lógica o de
validez.
En la filosofía escolástica, [razonamiento] que
desciende de la causa al efecto, o de la esencia
de una cosa a sus propiedades.

10. a posteriori
Que proviene o depende de la experiencia.
En la filosofía escolástica, [razonamiento]
En la filosofía escolástica, [razonamiento]
que asciende del efecto a la causa o de las
propiedades de una cosa a su esencia.

11. FORMULEMOS UN EJEMPLO
Ver “Introducción a la investigación de operaciones”, F.
Hellier, G. Lieberman, Ed. McGraw-Hill 2001.
Una persona tiene dos opciones o alternativas de
inversión. Una de las alternativas tiene una
inversión. Una de las alternativas tiene una
posibilidad entre cuatro de ser exitosa con un
ingreso esperado de 800.000 dólares y un costo
de 100.000 dólares. La otra alternativa producirá
un ingreso neto de 90.000 dólares.

12. TABLA DE PAGOS PARA EL ANALISIS DE
DECISION DEL EJEMPLO
ESTADOS DE LA
NATURALEZA
NATURALEZA
ALTERNATIVA
N1
(EXITO)
N2
(NO ÉXITO)
A 700 -100
B 90 90
Probabilidad a priori 0.25 0.75

13. CRITERIO DEL PAGO MÁXIMO
Para cada acción posible, encuentre el pago
mínimo sobre todos los estados de la
mínimo sobre todos los estados de la
naturaleza. Después encuentre el máximo de
estos pagos mínimos. Elija la acción cuyo
pago mínimo corresponde a este máximo.

14. EXPLICACIÓN
Este criterio elige la acción que proporciona el
mejor pago para el peor estado de la naturaleza.
Proporciona la mejor garantía del pago que se
Proporciona la mejor garantía del pago que se
obtendrá.

15. Este razonamiento es válido cuando se está
compitiendo con un oponente racional.
compitiendo con un oponente racional.
Este criterio casi no se usa contra la naturaleza.

16. CRITERIO DE LA MÁXIMA
POSIBILIDAD
Identifique el estado más probable de la
naturaleza (aquel que tenga la probabilidad a
naturaleza (aquel que tenga la probabilidad a
priori más grande). Para este estado de la
naturaleza, encuentre la acción con máximo
pago.

17. En nuestro ejemplo, el estado N2 tiene la
mayor probabilidad a priori. En esta
columna, B es la alternativa de máximo
columna, B es la alternativa de máximo
pago.

18. EXPLICACIÓN
La acción elegida es la mejor para el estado
más importante de la naturaleza.
Desventaja: Ignora otra información. No
considera otro u otros estados de la
naturaleza distintos al más probable.

19. REGLA DE DECISIÓN DE BAYES
Usando las mejores estimaciones disponibles
de las probabilidades de los respectivos
estados de la naturaleza (en este caso las
probabilidades a priori), se calcula el valor
esperado del pago de cada acción posible. Se
elige la acción con máximo pago esperado.

20. Para nuestro ejemplo
E[pago (A)] = 0.25*700 + 0.75*(-100)
= 100
E[pago (B)] = 0.25*90 + 0.75*(90)
= 90
Como 100 > 90, la decisión es A.

21. RESUMEN DE LOS CALCULOS PARA EL
CRITERIO DE BAYES
ESTADOS DE LA NATURALEZA
ALTERNATIVAS N1 N2 ESPERANZA
A 700 -100 100 MAX
A 700 -100 100 MAX
B 90 90 90 MIN
PROB. A PRIORI 0,25 0,75

22. EXPLICACIÓN
La mayor ventaja de este criterio es que
incorpora toda la información disponible (pagos,
estimaciones de las probabilidades de los
estados de la naturaleza).
estados de la naturaleza).
La mayor crítica es que las probabilidades a
priori no dejan de ser subjetivas.

23. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
Nos centraremos en el análisis de sensibilidad
sobre las probabilidades a priori. Queremos
saber cómo cambia nuestra decisión al
cambiar las probabilidades a priori.
Supongamos que sabemos con buena
certeza que 0.15 < P(EXITO) < 0.35. Esto
implica que 0.65 < P(NO EXITO) < 0.85.
Comenzamos el A. de S. aplicando el criterio
de Bayes para los dos casos extremos.

24. A. de S. continuación
ESTADOS DE LA NATURALEZA
ALTERNATIVAS N1 N2 ESPERANZA
A 700 -100 20 MIN
A 700 -100 20 MIN
B 90 90 90 MAX
PROB. A PRIORI 0,15 0,85

25. A. de S. continuación
ESTADOS DE LA NATURALEZA
ALTERNATIVAS N1 N2 ESPERANZA
A 700 -100 180 MAX
A 700 -100 180 MAX
B 90 90 90 MIN
PROB. A PRIORI 0,35 0,65

26. Conclusión:
La decisión es muy sensible a la
probabilidad a priori de éxito.
probabilidad a priori de éxito.
Lo cual nos dice que “debemos de hacer
algo más” para tomar nuestra decisión.

27. CAMBIO DEL PAGO ESPERADO EN FUNCIÓN
DE LA PROBABILIDAD A PRIORI
Si p es la probabilidad a priori de éxito
entonces el pago esperado por la
alternativa A será:
alternativa A será:
E(A) = 700p – 100(1-p) = 800p - 100

28. GRÁFICA DEL CAMBIO DEL PAGO
ESPERADO
A
B
A
B
éxito

29. PUNTO DE CRUCE
E(A) = E(B)
800p – 100 = 90
p = 190/800 = 0.2375
p = 190/800 = 0.2375
Se debe tomar B si p < 0.2375
Se debe tomar A si p > 0.2375

30. GENERALIZACIONES
GENERALIZACIONES

31. MAS DE DOS ALTERNATIVAS
Si se tiene más de dos alternativas entonces
habrá más de dos rectas. Las partes
superiores (para cualquier valor de la
probabilidad a priori) seguirán indicando que
probabilidad a priori) seguirán indicando que
alternativa debe elegirse. Los puntos de corte
indica en donde la decisión cambia de una
alternativa a otra.

32. MAS DE DOS ESTADOS DE
NATURALEZA
Se centra el análisis de sensibilidad en dos
estados de la naturaleza. Esto significa
investigar que pasa cuando la probabilidad
a priori de un estado aumenta mientras la
a priori de un estado aumenta mientras la
del otro disminuye en la misma cantidad y
se mantienen fijas las probabilidades a priori
de los estados restantes. Este
procedimiento se repite para los pares de
estados que se deseen.

33. TOMA DE DECISIONES CON
EXPERIMENTACIÓN
EXPERIMENTACIÓN

34. TABLA DE PAGOS PARA EL ANALISIS DE
DECISION A UN PROBLEMA EN UN
INGENIO AZUCARERO
ESTADOS DE LA
NATURALEZA
NATURALEZA
ALTERNATIVA Petróleo Seco
Perforar 700 -100
Sembrar caña 90 90
Probabilidad a priori 0.25 0.75

35. INFORMACION COMPLEMENTARIA
PARA TOMAR UNA DECISIÓN
Una exploración sismológica obtiene
sondeos sísmicos que indican si la
estructura geológica es favorable o no a
estructura geológica es favorable o no a
la presencia de petróleo. Con esto
mejoramos la estimación de la
probabilidad de que haya petróleo.
Supongamos que el costo de este
estudio es de 30.000 dólares.

36. RESULTADOS DE LA EXPLORACIÓN
DOS RESULTADOS POSIBLES:
Es poco probable encontrar petróleo
SSD (Sondeo sísmico desfavorable)
SSD (Sondeo sísmico desfavorable)
Es bastante probable encontrar petróleo
SSF (Sondeo sísmico favorable)

37. Por experiencia (datos históricos) tenemos
las siguientes probabilidades condicionales:
P(SSD estado = petróleo) = 0.4
P(SSF estado = petróleo) = 1 - 0.4 = 0.6
P(SSF estado = petróleo) = 1 - 0.4 = 0.6
P(SSD estado = seco) = 0.8
P(SSF estado = seco) = 1 - 0.8 = 0.2

38. PROBABILIDADES A POSTERIORI
Quisiéramos saber más bien las siguientes
probabilidades, llamadas probabilidades a
posteriori (Seguramente son más útiles que
las anteriores)
P(estado = petróleo resultado = SSD)
P(estado = seco resultado = SSD)
P(estado = petróleo resultado = SSF)
P(estado = seco resultado = SSD)

39. EL TEOREMA DE BAYES NOS PERMITE
CALCULAR ESTAS PROBABILIDADES
Definición: Si A y B son eventos en un espacio de
probabilidad la probabilidad condicional de A dado B
denotada por P[AB] se define mediante la relación:
P[AB] = , con P[B] ≠ 0
P[B]
B]
P[A ∩
P[AB] = , con P[B] ≠ 0
Definición: Dos eventos A y B en un espacio de
probabilidad son independientes si la ocurrencia de
uno de ellos no influye en el valor de la probabilidad
del otro. Esto se expresa escribiendo:
P[AB] = P[A]
De lo anterior se deduce que P[A∩B] = P[A].P[B] si
A y B son independientes.
P[B]

40. CONTINUACIÓN. T. BAYES
Una fórmula que se deriva de la definición de
probabilidad condicional es la siguiente:
P[A∩B] = P[A]P[BA] = P[B]P[AB] y relaciona las
probabilidades condicionales en términos de las
probabilidades no condicionales P[A] y P[B].
Probabilidad total: Sea S un espacio muestral y B1,
B2, ...,Bn, eventos tales que definen una partición (*)
en S y A cualquier evento en Fs entonces:
P[A] = P[ABi ]P[Bi]
∑
=
n
i 1

41. CONTINUACIÓN. T. BAYES
Teorema de Bayes:
Sea S un espacio muestral y B1, B2, ...,Bn, eventos
tales que definen una partición en S y A cualquier
evento en Fs entonces se cumple la relación:
evento en Fs entonces se cumple la relación:
P[BkA] =
∑
=
n
1
i
i
i
k
k
]
]P[B
B
P[A
]
]P[B
B
P[A

42. TEOREMA DE BAYES COMO HERRAMIENTA
EN LA TOMA DE DECISIONES
= n
i)
P(estado
*
i)
estado
|
j
o
P(resultad
j)
resultado
|
i
P(estado
∑
=
= n
1
k
k)
P(estado
*
k)
estado
|
j
o
P(resultad
j)
resultado
|
i
P(estado

43. CÁLCULO DE LAS PROBABILIDADES
A POSTERIORI
A POSTERIORI

44. P(estado = petróleo


 resultado = SSD)
P(estado = seco


 resultado = SSD)
14
.
0
1429
.
0
7
1
75
.
0
*
8
.
0
25
.
0
*
4
.
0
25
.
0
*
4
.
0
≈
=
=
+
0.86
0.8571
7
6
7
1
1
también
o ≈
=
=
−
86
.
0
8571
.
0
7
6
75
.
0
*
8
.
0
25
.
0
*
4
.
0
75
.
0
*
8
.
0
≈
=
=
+

45. P(estado = petróleo


 resultado = SSF)
P(estado = seco


 resultado = SSF)
5
.
0
2
1
75
.
0
*
2
.
0
25
.
0
*
6
.
0
25
.
0
*
6
.
0
=
=
+
P(estado = seco


 resultado = SSF)
0.5
2
1
2
1
1
también
o =
=
−
5
.
0
2
1
75
.
0
*
2
.
0
25
.
0
*
6
.
0
75
.
0
*
2
.
0
=
=
+

46. DIAGRAMA DE ÁRBOL PARA EL CÁLCULO
DE LAS PROBABILIDADES A POSTERIORI

47. CÁLCULO DEL PAGO ESPERADO
TENIENDO EN CUENTA LAS
PROBABILIDADES A POSTERIORI
PROBABILIDADES A POSTERIORI

48. RESUMEN DE LOS CALCULOS PARA EL
CRITERIO DE BAYES (SSD)
ESTADOS DE LA NATURALEZA
ALTERNATIVAS PETRÓLEO SECO ESPERANZA
PERFORAR 700 -100 -15.7
PERFORAR 700 -100 -15.7
SEMBRAR C. 90 90 60
PROBABILIDAD A
POSTERIORI
(SSD) 1/7 6/7

49. Pago esperado si el resultado es un
sondeo desfavorable
E(pago[perforar|SSD])
7
.
15
30
)
100
(
*
7
6
700
*
7
1
−
=
−
−
+
E(pago[s. caña|SSD])
7
7
60
30
90
*
7
6
90
*
7
1
=
−
+

50. RESUMEN DE LOS CALCULOS PARA EL
CRITERIO DE BAYES (SSF)
ESTADOS DE LA NATURALEZA
ALTERNATIVAS PETRÓLEO SECO ESPERANZA
PERFORAR 700 -100 270
PERFORAR 700 -100 270
SEMBRAR C. 90 90 60
PROBABILIDAD A
POSTERIORI
(SSF) 1/2 1/2

51. Pago esperado si el resultado es un
sondeo favorable
E(pago[perforar|SSF])
270
30
)
100
(
*
2
1
700
*
2
1
=
−
−
+
E(pago[s. caña|SSF])
2
2
60
30
90
*
2
1
90
*
2
1
=
−
+

52. DECISIÓN, BAJO EXPERIMENTACIÓN,
CON LA REGLA DE BAYES
SONDEO
ALTERNATIVA
OPTIMA
PAGO SIN COSTO
EXPLOTACION
PAGO CON
COSTO
EXPLOTACION
SONDEO OPTIMA EXPLOTACION EXPLOTACION
DESFAVO-
RABLE
(SD)
SEMBRAR
CAÑA 90 60
FAVORABLE
(SF)
PERFORAR
POR
PETROLEO 300 270

53. VALOR DE LA EXPERIMENTACION
Antes de realizar cualquier experimento, debe
determinarse su valor potencial. Veremos dos
métodos para evaluar este potencial, a saber:
•Valor esperado de la información perfecta.
•Valor esperado de la experimentación.

54. VALOR ESPERADO DE LA
INFORMACIÓN PERFECTA (VEIP)
Aquí se supone que la experimentación elimina
toda incertidumbre sobre cual es el estado
verdadero de la naturaleza y se hace un cálculo
sobre cual sería la mejora en el pago esperado.
Esta cantidad se llama valor esperado de la
Esta cantidad se llama valor esperado de la
información perfecta. (cota superior para el valor
del experimento)
Pago esperado con información perfecta =
0.25*700+0.75*90 = 242.5
VEIP = PECIP – pago esperado sin experim.
VEIP = 242.5 – 100 = 142.5

55. VEIP continuación
Si el VEIP fuera menor que 30 entonces no
se llevaría a cabo la experimentación.
En nuestro caso el VEIP > 30, lo cual indica
que puede valer la pena llevar a cabo la
que puede valer la pena llevar a cabo la
experimentación.
Entramos a confirmar esto estudiando un
segundo método: Valor Esperado de la
Experimentación = VEE

56. VALOR ESPERADO DE LA
EXPERIMENTACIÓN (VEE)
En este caso no se calcula una cota superior
para el incremento del pago esperado. Se
calcula de manera directa este incremento
esperado:
Pago esperado de la experimentación =
P(resultado j)*E(pago|resultado j), ∀ j
En esta expresión el cálculo de las
esperanzas debe hacerse con las
probabilidades a posteriori
∑
j

57. VEE continuación…
De los cálculos anteriores sabemos que los
valores de P(resultado j) son:
P(SSD) = 0.7 y P(SSF) = 0.3
Así mismo los valores de E(pago|resultado j),
Así mismo los valores de E(pago|resultado j),
que se calcularon teniendo en cuenta las
probabilidades a posteriori, son:
E(pago|resultado = SSD) = 90
E(pago|resultado = SSF) = 300

58. VEE continuación…
El pago esperado con experimentación =
0.7*90 + 0.3*300 = 153
El VEE será entonces:
VEE = El pago esperado con experimentación -
El pago esperado sin experimentación =
153 – 100 = 53 > 30
Como este valor excede a 30.000 entonces
debe llevarse a cabo el sondeo de sismología

59. ÁRBOLES DE DECISIÓN
ÁRBOLES DE DECISIÓN

60. ÁRBOL DE DECISIÓN
Es una manera de visualizar un problema
de decisión mediante un esquema de árbol
de decisión mediante un esquema de árbol
(red sin ciclos). Su objetivo es facilitar la
comprensión del problema y los cálculos.

61. CONSTRUCCIÓN DEL ÁRBOL DE DECISIÓN

62. ELEMENTOS DEL ÁRBOL
• Los arcos = Ramas
• Puntos de ramificación = Nodos
Nodo de decisión = Indica que debe tomarse
una decisión (cuadrado)
Nodo de probabilidad = Indica que ocurre un
evento aleatorio (círculo)

63. CÁLCULOS, PRIMERA ETAPA

64. LOS NÚMEROS EN EL ÁRBOL
Números debajo de ramas = Flujos de efectivo
Números arriba de las ramas = Probabilidad
Números arriba de las ramas = Probabilidad
(después de un nodo de probabilidad) (a priori o a posteriori)
Números en cada nodo = Pagos esperados
(Surgen del procedimiento de análisis)

65. CÁLCULOS, SEGUNDA ETAPA

66. ANÁLISIS
Una vez calculado el árbol se hace el siguiente
procedimiento de análisis
• 1. Iniciar en el lado derecho, moverse a la izquierda
una columna a la vez, realizar el paso 2 o el 3
según los nodos sean de probabilidad (NP) o de
decisión (ND).
• 2. Para cada NP calcular su pago esperado -PE-
Σ[(pago de c/rama) * (probabilidad de c/rama)]
• 3. Para cada ND, compare los PE de sus ramas y
seleccione la alternativa cuya rama tenga mayor
pago esperado.

67. BIBLIOGRAFÍA
Peña Daniel, “Fundamentos de Estadística”. Alianza Editorial, Madrid 2001
H. TAHA, “Investigación de Operaciones”, Ed. Alfaomega, México 1998.
F. HELLIER, G. LIEBERMAN, “Introducción a la investigación de
operaciones”, Ed. McGraw-Hill 2001.
KENNEDY y NEVILLE. (1982) "Estadística para Ciencias e Ingeniería".
KENNEDY y NEVILLE. (1982) "Estadística para Ciencias e Ingeniería".
México: Harla.
SCHEAFFER y MCCLAVE. (1993) "Probabilidad y Estadística para
Ingeniería". México: Grupo Editorial Iberoamérica.
BRETÉS A. P, LLABRÉS X. T., GRIMA PERE y POZUELA L. (2000)
“Métodos estadísticos. Control y mejora de la calidad” México: Alfaomega
Grupo Editor