ejercicios termo

1. Termodinámica2
1. Ejercicio 1
Para un gas real a presiones moderadas, P(v −b) = Rθ, donde R y b son constantes, es una ecuación
de estado aproximada que tiene en cuenta el tamaño finito de las moléculas. Demostrar que:
(a) β =
1/θ
1 + bP/Rθ
(b) κ =
1/P
1 + bP/Rθ
Solución
Podemos despejar v de la ecuación dada, así:
v =
Rθ
P
+ b
Ahora, derivando dicha ecuación respecto a P y respecto a θ, tenemos que:
dv =
∂v
∂θ
dθ +
∂v
∂P
dP
dv =
R
P
dθ +
−Rθ
P2
dP
Sabemos que el coeficiente de dilatacion cúbico β y la compresibilidad isotérmica κ son respectiva-
mente:
β =
1
v
∂v
∂θ
=
1
v
R
P
κ = −
1
v
∂v
∂P
= −
1
v
−Rθ
P2
Reemplazando v en β y κ
β =
1
Rθ
P
+ b
R
P
=
R
Rθ + Pb
(1)
κ = −
1
Rθ
P
+ b
−Rθ
P2
=
Rθ
RθP + P2b
(2)
Dividiendo (1) entre Rθ, tenemos:
1

2. β =
1/θ
1 + Pb/Rθ
Dividiendo (2) entre RθP, tenemos:
κ =
1/P
1 + Pb/Rθ
2. Ejercicio 2
La ecuación de Brillouin
M = Ngµβ
(J +
1
2
) coth
(J +
1
2
)
gµβH
kθ
−
1
2
coth
1
2
gµβH
kθ
En la que N, g, µβ, J, k, son constantes atómicas, es la ecuación de estado para un material para-
magnético ideal, válida para todos los valores de la razón H/θ
a. Hallar cómo varía la cotangente hiperbólica de x cuando x tiende a 0
Solución
Redefiniendo coth(x)
coth(x) =
ex + e−x
ex − e−x
evaluando el límite por derecha y por izquierda,respectivamente se tiene:
lı́m
x→0+
coth(x) =
ex + e−x
ex − e−x
= ∞
lı́m
x→0−
coth(x) =
ex + e−x
ex − e−x
= −∞
Lo que conlleva a concluir que el límite no existe.
b. Demostrar que la ecuación de Brillouin se reduce a la de Curie cuando H/θ tiende a 0
Solución
implementamos unas sustituciones para simplificar:
t =
H
θ
, J0
= J +
1
2
, c =
gµβ
K
, N0
= Ngµβ.
dividiendo M en t:
M
t
= N0
J0 coth(J0ct)
t
−
coth(c
2t)
2t
expandiendo coth en sen y cos:
M
t
= N0
2J0 cosh(J0ct) sinh(c
2t) − cosh(c
2t) sinh(J0ct)
2t sinh(J0ct) sinh(c
2t)
2

3. Tomando el límite de t → 0, genera una indeterminación del tipo 0/0, por tanto es necesario aplicar
la regla de L’Hôpital, obteniendo:
= lı́m
t→0
N0
2J02c sinh(J0ct) sinh(c
2t) + cJ0 cosh(J0ct) cosh(c
2t) − c
2 sinh(c
2t) sinh(J0ct)
2 sinh(J0ct) sinh(c
2t) + 2tJ0c cosh(J0ct) sinh(c
2t)
...
...
−cJ0 cosh(c
2t) cosh(J0ct)
+ct sinh(J0ct) cosh(c
2t)
,
= N0
(2J02c − c
2) sinh(J0ct) sinh(c
2t)
2 sinh(J0ct) sinh(c
2t) + 2tJ0c cosh(J0ct) sinh(c
2t) + ct sinh(J0ct) cosh(c
2t)
aplicando L’Hôpital:
= lı́m
t→0
N0
(2J02c − c
2)[J0c cosh(J0ct) sinh(c
2t) + c
2 sinh(J0ct) cosh(c
2t)]
4J0c cosh(J0ct) sinh(c
2t) + 2c sinh(J0ct) cosh(c
2t) + 2J0c2t cosh(J0ct) cosh(c
2t)
...
...
(1)
+2J02c2t sinh(J0ct) sinh(c
2t) + c2
2 t sinh(J0ct) cosh(c
2t)
#
de nuevo aplicando L’Hôpital, y teniendo presente sólo los términos que no se anulan:
M
t
= lı́m
t→0
(2J02c − c
2)[J0c2 cosh(J0ct) cosh(c
2t)]
6J0c2 cosh(J0ct) cosh(c
2t)
Tomando el límite:
M
t
= N0
J02c
3
−
c
12
renombrando C0
c a lo de la derecha y sustituyendo t:
M =
HCc
θ
.
que resulta siendo la ecuación de la ley de Curie.
c. Demostrar que la constante de Curie viene dada por:
C0
C =
Ng2J(J + 1)µ2
βµ0
3k
Solución
Sabiendo que: M =
HC0
C
θ
, y teniendo que t =
H
θ
, J0 = J +
1
2
, c =
gµθ
k
, N0 = Ngµβ
M
t
= N0
J02
c
3
−
c
12
#
C0
C = N0
J02
c
3
−
c
12
#
C0
C = (Ngµβ)



(J +
1
2
)2(
gµθ
k
)
3
−
gµθ
k
12



De donde:
3

4. C0
C =
1
3
(Ngµβ)
gµβ
k
J +
1
2
2
−
1
4
#
C0
C =
Ng2µ2
β
3k
J2
+ J +
1
4
−
1
4
C0
C =
Ng2µ2
β
3k
J2
+ J
Con lo cual llegamos a:
C0
C =
Ng2µ2
βJ [J + 1]
3k
4