2. Cálculo en varias variables
Contenido del módulo
• Funciones de varias variables.
• Diferenciación.
• Regla de la cadena.
• Extremos.
• Integrales dobles y triples
• Aplicaciones 2
5. Funciones de dos variables
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Definición.- Sea D un conjunto de pares ordenados, (x, y) , de números reales tal
que D R2 . Una función real de dos variables reales es una regla que asigna a cada
par ordenado (x, y) en D un único número real, denotado por f(x, y) . El conjunto D
es llamado el dominio de la función y el conjunto de todos los valores de la función
es el rango de la función.
Cuando tenemos una función de dos variables se suele utilizar z para representar los valores de la función:
z = f (x, y) . La variable z es la variable dependiente y x y y son las variables independientes.
6. Funciones de dos variables
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Ejemplo. Sea 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦 + 4𝑥2 − 4
a) Calcular el dominio de f.
b) Represéntelo gráficamente.
c) Calcule f (2, 0), 𝑓(−
2
2
, 2) y f (1, -1)
15. Funciones de dos variables
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Ejemplo Encuentre el dominio de la siguientes funciones y represéntelas
gráficamente.
a) f (x, y) = ln(4 - 2y +x)
b) f(x,y) =
𝑥
𝑥+𝑦
24. Funciones de varias variables
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Definición (Función de varias variables) Sea D un subconjunto de
Rn . Si a cada (x1, . . . , xn) D le corresponde un único número
real
f (x1, . . . , xn)
se dice que f es una función de las variables x1, . . . , xn.
25. Funciones de varias variables
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Ejemplo Encuentre el dominio de la siguiente función y represéntela
gráficamente.
f (x, y, z) = ln(1 - x2 – y2 + z)
28. Diferenciación
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Derivadas parciales
Definición.- Sea f una función en las variables x y y. La derivada
parcial de f con respecto a x está definida por
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
= lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ, 𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦)
ℎ
siempre y cuando este límite exista.
La derivada parcial de f con respecto a y está definida por.
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
= lim
ℎ→0
𝑓 𝑥, 𝑦 + ℎ − 𝑓(𝑥, 𝑦)
ℎ
siempre y cuando este límite exista.
44. 44
Diferenciación
Si f es una función en las variables x y y entonces, en general, las derivadas
parciales son funciones también de x y y , y por tanto se puede calcular su
derivada tanto para x como para y. Estas derivadas se llaman segundas
derivadas parciales de f y son cuatro en total.
Derivadas de orden superior
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥2
=
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
𝜕2
𝑓
𝜕𝑦2
=
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
𝜕2
𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
53. 53
Regla de la cadena
Para derivar funciones compuestas de una sola variable podíamos usar la regla de la
cadena. Si y = f (x) y x a su vez es una función de t, entonces podíamos pensar a y como
función de t y para calcular su derivada lo podíamos hacer directamente por la regla
de la cadena:
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
Para una sola variable
54. 54
Regla de la cadena
Regla de la cadena (caso 1) Sea z = f (x, y) función con derivadas parciales continuas y
x= x(t) y y = y(t) funciones derivables. Entonces z = f (x(t), y(t)) es derivable en t y
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
∙
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
∙
𝑑𝑦
𝑑𝑡
Para una varias variables
55. 55
Regla de la cadena
Ejemplo. Sean z = y2 𝑥 + 1 donde x(t)= t3- t y y(t)= t2 -2t +4 . Encontrar
𝑑𝑧
𝑑𝑡
60. 60
Regla de la cadena
Regla de la cadena (caso 2) Sea z = f (x, y) función con derivadas parciales continuas en
sus variables y x= x(u,v) y y = y(u,v) funciones derivables. Entonces z = f (x(u, v), y(u,
v)) es derivable en u y v con
𝑑𝑧
𝑑𝑢
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
∙
𝜕𝑥
𝜕𝑢
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
∙
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝑑𝑧
𝑑𝑣
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
∙
𝜕𝑥
𝜕𝑣
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
∙
𝜕𝑦
𝜕𝑣
Para varias variables
61. 61
Regla de la cadena
Ejemplo. Sean z = ex-3y, donde x(u, v)=vu3 - v y y(u, v)= u – 4v .
Encontrar
𝜕𝑧
𝜕𝑢
𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑣