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1.Concepto: dos triángulos son congruentes si sus lados respectivos y los ángulos
    opuestos a dichos lados son congruentes.
                  B                             Q



                                                                                R




                                   C
A
                                                         P
Entonces podemos afirmar:

    AB    PQ              m A m P
                                                        Por lo tanto:
    AC     PR              m B      m Q
                                                        ABC  PQR
    BC     QR              m C         m R
2.CONDICINES SUFICIENTES PARA LA LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.
   CONDICIONES SUFICIENTES PARA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

CASO: ángulo – lado – ángulo ( A L A )

Son congruentes un lado y los ángulos adyacentes.




  AC       MN
 m A m N
 m C      m M
CASO: lado – ángulo – lado ( L A L )

Si son congruentes dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
                    B                                         T




   A                              C      S                          N


   AB       ST
  AC        SN
  m A m S
CASO: lado – lado – lado ( L L L )

Si son congruentes los tres lados.
Problemas resueltos:
                            Estamos en caso LAL los triángulos
                            Son congruentes
1.Hallar el valor de “x”
                           entonces a ángulos iguales se oponen
                           Lados iguales.
                           X + 5 = 12

                              X=7

                           2.En la figura encuentra el valor de «a»



 Desarrollo:
Desarrollo:                                 3.En la figura, halla «a + b»




                                             Desarrollo:

                                               Se observa que hay dos
                                                ángulos congruentes y un
                                               Lado común entre ellos.
Si observamos estamos en un caso, ALA. Los
triángulos son congruentes.

 A ángulos iguales se oponen lados
 iguales.

   a = 12
Caso: ALA.

A ángulos congruente
lados iguales.
A+b
10 + 4 =14


4.En la figura AM = BC
Halla :  MBC
Desarrollo:




                            73°       x
                 N

                     107°
                                             107°
                                  x

De la figura se observa que el triángulo ANM es congruente con el triángulo
BMC.
  Caso: LAL

 Resolviendo en el triángulo BMC se tiene:


       X = 39°
5.En la figura halla MB




                                m C           45
                                El triángulo ABC es isósceles.

                                Observando la figura ( ALA) :
 Desarrollo:
                                 AMB CRB
                          45°     MB = 8
Conocimiento previo:                                        Q

 DISTANCIA ENTRE DE UN PUNTO
 ( P ) A UNA RECTA .                                             d

Es la longitud ( d) de la perpendicular
Trazada del punto ( P ) a la recta.                                                    L
                                           A                B
            P
                                               MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
                d                              La mediatriz es una recta ( L ) perpendicular
                                                que pasa por el punto medio del segmento
                                                ( AB )
                                  L
                                                                     L
DISTANCIA DE UN PUNTO ( Q ) A UN
SEGMENTO ( AB)

Es la longitud ( d ) de la perpendicular
al segmento o a su prolongación.                 A                                 B
APLICACIONES:                              2.EN LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO.

1.EN LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Cualquier punto de la bisectriz equidista                       P
de los lados del ángulo

                         A



                                            A                                B
                               P


                     B                      Cualquier punto de la mediatriz
Donde:                                      equidista de los extremos del segmento.

AP = PB
3.EN UN TRIÁNGULO ISÓSCELES

En todo triángulo isósceles la bisectriz del ángulo desigual es la altura, mediana y se
encuentra contenida en la mediatriz.




                                                   M
BASE MEDIA                                   En un triángulo la base media genera
                                             4 triángulos congruentes.
Es el segmento que une los puntos medios
de dos lados de un triángulo es paralelo y
mide la mitad de su longitud y se lo
denomina base media.




   MN // AC
                                 AC
                       MN
                                  2
Ejemplos:                              Desarrollo:

1.En la figura ABCD es un cuadrado,
BH = 3m y DF = 5m .Halla HF
                                             3



                                            5


                                                       3               5

                                      Los triángulos rectángulos tienen igual hipotenusa
                                       y ángulos agudos iguales. ( ALA )


                                          AH = 5 + 3 = 8 m
2.En la figura halla «x» si HB = HC.
                                       Por propiedad de la bisectriz de un
                                       ángulo se tiene que:

                                       X = 20°


                                       3. En la figura L es mediatriz y AB = MC
                                       Halla «x»




Desarrollo:
desarrollo




                        55°
                  55°


                    H                M


Los triángulos AMH y MHC son
 congruentes ( mediatriz de un
segmento)

el triángulo ABM es isósceles.           C
                                 A
   X = 70°
4.En un triángulo ABC se ubican P , Q y M
los puntos medios de AB , BC y AC.
Si PQ // AC Y m PMQ 70 Halla m PBQ


 Desarrollo:
                     B




                                                por propiedad de base media:
         P
                               Q

                                                  X = 70°

                    70°


                                            C
                    M
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Congruencia de triángulos

  • 1.
  • 2. 1.Concepto: dos triángulos son congruentes si sus lados respectivos y los ángulos opuestos a dichos lados son congruentes. B Q R C A P Entonces podemos afirmar: AB PQ m A m P Por lo tanto: AC PR m B m Q  ABC  PQR BC QR m C m R
  • 3. 2.CONDICINES SUFICIENTES PARA LA LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. CONDICIONES SUFICIENTES PARA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS CASO: ángulo – lado – ángulo ( A L A ) Son congruentes un lado y los ángulos adyacentes. AC MN m A m N m C m M
  • 4. CASO: lado – ángulo – lado ( L A L ) Si son congruentes dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. B T A C S N AB ST AC SN m A m S
  • 5. CASO: lado – lado – lado ( L L L ) Si son congruentes los tres lados.
  • 6. Problemas resueltos: Estamos en caso LAL los triángulos Son congruentes 1.Hallar el valor de “x” entonces a ángulos iguales se oponen Lados iguales. X + 5 = 12 X=7 2.En la figura encuentra el valor de «a» Desarrollo:
  • 7. Desarrollo: 3.En la figura, halla «a + b» Desarrollo: Se observa que hay dos ángulos congruentes y un Lado común entre ellos. Si observamos estamos en un caso, ALA. Los triángulos son congruentes. A ángulos iguales se oponen lados iguales. a = 12
  • 8. Caso: ALA. A ángulos congruente lados iguales. A+b 10 + 4 =14 4.En la figura AM = BC Halla :  MBC
  • 9. Desarrollo: 73° x N 107° 107° x De la figura se observa que el triángulo ANM es congruente con el triángulo BMC. Caso: LAL Resolviendo en el triángulo BMC se tiene: X = 39°
  • 10. 5.En la figura halla MB m C 45 El triángulo ABC es isósceles. Observando la figura ( ALA) : Desarrollo:  AMB CRB 45° MB = 8
  • 11.
  • 12. Conocimiento previo: Q DISTANCIA ENTRE DE UN PUNTO ( P ) A UNA RECTA . d Es la longitud ( d) de la perpendicular Trazada del punto ( P ) a la recta. L A B P MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO d La mediatriz es una recta ( L ) perpendicular que pasa por el punto medio del segmento ( AB ) L L DISTANCIA DE UN PUNTO ( Q ) A UN SEGMENTO ( AB) Es la longitud ( d ) de la perpendicular al segmento o a su prolongación. A B
  • 13. APLICACIONES: 2.EN LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO. 1.EN LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO Cualquier punto de la bisectriz equidista P de los lados del ángulo A A B P B Cualquier punto de la mediatriz Donde: equidista de los extremos del segmento. AP = PB
  • 14. 3.EN UN TRIÁNGULO ISÓSCELES En todo triángulo isósceles la bisectriz del ángulo desigual es la altura, mediana y se encuentra contenida en la mediatriz. M
  • 15. BASE MEDIA En un triángulo la base media genera 4 triángulos congruentes. Es el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo y mide la mitad de su longitud y se lo denomina base media. MN // AC AC MN 2
  • 16. Ejemplos: Desarrollo: 1.En la figura ABCD es un cuadrado, BH = 3m y DF = 5m .Halla HF 3 5 3 5 Los triángulos rectángulos tienen igual hipotenusa y ángulos agudos iguales. ( ALA ) AH = 5 + 3 = 8 m
  • 17. 2.En la figura halla «x» si HB = HC. Por propiedad de la bisectriz de un ángulo se tiene que: X = 20° 3. En la figura L es mediatriz y AB = MC Halla «x» Desarrollo:
  • 18. desarrollo 55° 55° H M Los triángulos AMH y MHC son congruentes ( mediatriz de un segmento) el triángulo ABM es isósceles. C A X = 70°
  • 19. 4.En un triángulo ABC se ubican P , Q y M los puntos medios de AB , BC y AC. Si PQ // AC Y m PMQ 70 Halla m PBQ Desarrollo: B por propiedad de base media: P Q X = 70° 70° C M A