El documento explica tres condiciones suficientes para la congruencia de triángulos: ángulo-lado-ángulo, lado-ángulo-lado y lado-lado-lado. También cubre conceptos como la bisectriz de un ángulo, la mediatriz de un segmento, y la base media de un triángulo. Resuelve varios problemas aplicando estas condiciones y conceptos.

2. 1.Concepto: dos triángulos son congruentes si sus lados respectivos y los ángulos
opuestos a dichos lados son congruentes.
B Q
R
C
A
P
Entonces podemos afirmar:
AB PQ m A m P
Por lo tanto:
AC PR m B m Q
 ABC  PQR
BC QR m C m R

3. 2.CONDICINES SUFICIENTES PARA LA LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.
CONDICIONES SUFICIENTES PARA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
CASO: ángulo – lado – ángulo ( A L A )
Son congruentes un lado y los ángulos adyacentes.
AC MN
m A m N
m C m M

4. CASO: lado – ángulo – lado ( L A L )
Si son congruentes dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
B T
A C S N
AB ST
AC SN
m A m S

5. CASO: lado – lado – lado ( L L L )
Si son congruentes los tres lados.

6. Problemas resueltos:
Estamos en caso LAL los triángulos
Son congruentes
1.Hallar el valor de “x”
entonces a ángulos iguales se oponen
Lados iguales.
X + 5 = 12
X=7
2.En la figura encuentra el valor de «a»
Desarrollo:

7. Desarrollo: 3.En la figura, halla «a + b»
Desarrollo:
Se observa que hay dos
ángulos congruentes y un
Lado común entre ellos.
Si observamos estamos en un caso, ALA. Los
triángulos son congruentes.
A ángulos iguales se oponen lados
iguales.
a = 12

8. Caso: ALA.
A ángulos congruente
lados iguales.
A+b
10 + 4 =14
4.En la figura AM = BC
Halla :  MBC

9. Desarrollo:
73° x
N
107°
107°
x
De la figura se observa que el triángulo ANM es congruente con el triángulo
BMC.
Caso: LAL
Resolviendo en el triángulo BMC se tiene:
X = 39°

10. 5.En la figura halla MB
m C 45
El triángulo ABC es isósceles.
Observando la figura ( ALA) :
Desarrollo:
 AMB CRB
45° MB = 8

12. Conocimiento previo: Q
DISTANCIA ENTRE DE UN PUNTO
( P ) A UNA RECTA . d
Es la longitud ( d) de la perpendicular
Trazada del punto ( P ) a la recta. L
A B
P
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
d La mediatriz es una recta ( L ) perpendicular
que pasa por el punto medio del segmento
( AB )
L
L
DISTANCIA DE UN PUNTO ( Q ) A UN
SEGMENTO ( AB)
Es la longitud ( d ) de la perpendicular
al segmento o a su prolongación. A B

13. APLICACIONES: 2.EN LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO.
1.EN LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Cualquier punto de la bisectriz equidista P
de los lados del ángulo
A
A B
P
B Cualquier punto de la mediatriz
Donde: equidista de los extremos del segmento.
AP = PB

14. 3.EN UN TRIÁNGULO ISÓSCELES
En todo triángulo isósceles la bisectriz del ángulo desigual es la altura, mediana y se
encuentra contenida en la mediatriz.
M

15. BASE MEDIA En un triángulo la base media genera
4 triángulos congruentes.
Es el segmento que une los puntos medios
de dos lados de un triángulo es paralelo y
mide la mitad de su longitud y se lo
denomina base media.
MN // AC
AC
MN
2

16. Ejemplos: Desarrollo:
1.En la figura ABCD es un cuadrado,
BH = 3m y DF = 5m .Halla HF
3
5
3 5
Los triángulos rectángulos tienen igual hipotenusa
y ángulos agudos iguales. ( ALA )
AH = 5 + 3 = 8 m

17. 2.En la figura halla «x» si HB = HC.
Por propiedad de la bisectriz de un
ángulo se tiene que:
X = 20°
3. En la figura L es mediatriz y AB = MC
Halla «x»
Desarrollo:

18. desarrollo
55°
55°
H M
Los triángulos AMH y MHC son
congruentes ( mediatriz de un
segmento)
el triángulo ABM es isósceles. C
A
X = 70°

19. 4.En un triángulo ABC se ubican P , Q y M
los puntos medios de AB , BC y AC.
Si PQ // AC Y m PMQ 70 Halla m PBQ
Desarrollo:
B
por propiedad de base media:
P
Q
X = 70°
70°
C
M
A