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- 2. Tema: Introducción a los números complejos ÁLGEBRA Docente: Sandro Atencio Semana 6
- 3. INTEGRAL SEMIANUAL ÁLGEBRA INTRODUCCIÓN Los números complejos forman parte importante de los modelos matemáticos con los cuales se analizan y resuelven algunos fenómenos como, vibraciones mecánicas, ondas sísmicas, los voltajes,corrientes alternas,etc. El conjunto de números complejos se da origen de la siguiente operación matemática −𝟏 = 𝒊 −𝟒 = 𝟒(−𝟏) = 𝟒 −𝟏 = 𝟐𝒊 −𝟏𝟔 = 𝟏𝟔(−𝟏) = 𝟏𝟔 −𝟏 = 𝟒𝒊
- 4. INTEGRAL SEMIANUAL ÁLGEBRA UNIDADIMAGINARIA Se denota como “𝑖” y se define como: 𝒊 = −𝟏 Donde: 𝒊𝟐 = −𝟏 Potencias enteras de 𝒊 Se definen: 𝑖1 = 𝑖 𝑖2 = −1 𝑖3 = 𝑖4 𝑖2 𝑖1 = −1 𝑖 = −𝑖 = 𝑖2 2 = −1 2 = 1 Donde: 𝒊𝟎 = 𝟏 𝒊𝟏 = 𝒊 En resumen 𝒊𝟐 = −𝟏 𝒊𝟏 = 𝒊 𝒊𝟑 = −𝒊 𝒊𝟒 = 𝟏 𝒊𝟔 = −𝟏 𝒊𝟓 = 𝒊 𝒊𝟕 = −𝒊 𝒊𝟖 = 𝟏 𝒊𝟏𝟎 = −𝟏 𝒊𝟗 = 𝒊 𝒊𝟏𝟏 = −𝒊 𝒊𝟏𝟐 = 𝟏 Propiedades Sean 𝑘,𝑛 ∈ ℤ, se cumple: ① Cualquierpotenciaenterade “𝒊” será: 𝒊 −𝟏 −𝒊 𝟏 ② 𝑖56 = 𝑖14.4 = 1 𝑖202136 = 𝑖2021𝟑𝟔 = 1 𝑖−44 = 1 Ejemplos 𝒊𝟒𝒌 = 𝟏 𝒊𝟒 = 𝟏 ° o = 𝑖4 ° = 𝑖4 ° ③ 𝑖25 = 𝑖24+1 = 𝑖 = 𝑖1 𝑖126 = −1 = 𝑖2 = 𝑖124+2 Ejemplos 𝑖347 = −𝑖 = 𝑖3 = 𝑖344+3 𝒊𝟒𝒌+𝒏 = 𝒊𝒏 ④ 𝒊𝒌 + 𝒊𝒌+𝟏 + 𝒊𝒌+𝟐 + 𝒊𝒌+𝟑 = 𝟎 Ejemplo 𝑖38 + 𝑖39 + 𝑖40 + 𝑖41 = 0 ⑤ 𝒊 + 𝒊𝟐 + 𝒊𝟑 + 𝒊𝟒 + ⋯ + 𝒊𝟒𝒌 = 𝟎 Ejemplo 𝑖 + 𝑖2 + 𝑖3 + 𝑖4 + ⋯ + 𝑖48 = 0
- 5. INTEGRAL SEMIANUAL ÁLGEBRA FORMABINÓMICA DE UN COMPLEJO Todo número complejo 𝑧 tiene la forma Donde 𝑎 ∶ Parte real de 𝑧 𝑏 ∶ Parte imaginaria de 𝑧 𝑖 = −1 𝑎; 𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑎 = 𝑹𝒆 𝒛 ) (𝑏 = 𝑰𝒎 𝒛 ) El conjunto de los números complejos, se denota por Ejemplos 𝒛 𝑹𝒆 𝒛 𝑰𝒎 𝒛 5 − 𝑖 3 + 7𝑖 3 7 5 −1 −4𝑖 0 −4 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 ℂ = 𝒂 + 𝒃𝒊 𝒙 ; 𝒚 ∈ ℝ 8 8 0 Tiposde númeroscomplejos El complejo 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 puede ser: 1) Complejoreal si: 𝒃 = 𝟎 2) Complejoimaginariopuro si: Ejemplos ⍟ 𝑧 = 3 + 0𝑖 = 3 ⍟ 𝑤 = −4 + 0𝑖 = −4 ⍟ 𝑧 = 0 + 0𝑖 = 0 (COMPLEJONULO) 𝒂 = 𝟎 Ejemplos ⍟ 𝑧 = 0 + 6𝑖 = 6𝑖 ⍟ 𝑤 = 0 − 2𝑖 = −2𝑖 ⍟ 𝑧 = 0 + 3 4 𝑖 = 3 4 𝑖 ∧ 𝒃 ≠ 𝟎
- 6. Definiciones Seael complejo 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊, se define • CONJUGADO de 𝑧 como • OPUESTO de 𝑧 como INTEGRAL SEMIANUAL ÁLGEBRA 𝒛 = 𝒂 − 𝒃𝒊 𝒛∗ = −𝒂 − 𝒃𝒊 = −𝒛 Ejemplos 𝒛 2 + 5𝑖 1 − 6𝑖 7𝑖 4 0 𝒛 𝒛∗ 2 − 5𝑖 −2 − 5𝑖 1 + 6𝑖 −1 + 6𝑖 −7𝑖 −7𝑖 4 −4 0 0 OPERACIONESEN ℂ 1. Igualdadde complejos Sean 𝑎, 𝑏, 𝑚, 𝑛 ∈ ℝ 𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝒎 + 𝒏𝒊 𝒃 = 𝒏 𝒂 = 𝒎 ∧ ↔ Ejemplos ⊛ 𝑎 + 5𝑖 = 4 + 𝑛𝑖 ↔ 𝑎 = 4 ∧ 5 = 𝑛 ⊛ 𝑥 − 3 + (𝑦 + 2)𝑖 = 1 + 5𝑖 ↔ 𝑥 − 3 = 1 ∧ 𝑦 + 2 = 5 Halleel menorvalorde 𝒙 + 𝒚 si 𝒙𝟐 + 𝟕𝒊 = 𝟗 + 𝒚 + 𝟓 𝒊 Ejercicio Resolución Como 𝑥2 + 7𝑖 = 9 + 𝑦 + 5 𝑖 𝑥2 = 9 ∧ 7 = 𝑦 + 5 𝑥 = 3 o − 3 ∧ 2 = 𝑦 El menor valor de 𝑥 + 𝑦 = −3 + 2 = −𝟏 𝑥 = 4 ∧ 𝑦 = 3
- 7. INTEGRAL SEMIANUAL ÁLGEBRA 2. Adicióny sustracción Ejemplos ⊛ 𝑧 = 9 + 7𝑖 y 𝑤 = 5 + 2𝑖 𝑧 + 𝑤 = (9 + 5) 𝑧 − 𝑤 = + 7 + 2 𝑖 (9 − 5) + 7 − 2 𝑖 = 14 + 9𝑖 = 4 + 5𝑖 ⊛ 𝑧 = −2 + 4𝑖 y 𝑤 = 3 + 8𝑖 𝑧 + 𝑤 = (−2 + 3) 𝑧 − 𝑤 = + 4 + 8 𝑖 (−2 − 3) + 4 − 8 𝑖 = 1 + 12𝑖 = −5 − 4𝑖 3. Multiplicación Ejemplos ⍟ 4 + 5𝑖 . 2 + 3𝑖 = = −7 8 + 12𝑖 + 10𝑖 + 15𝑖2 −1 + 22𝑖 ⍟ 3 + 2𝑖 . 5 − 7𝑖 = = 29 15 −21𝑖 + 10𝑖 − 14𝑖2 −1 −11𝑖 Observación 𝒂 + 𝒃𝒊 𝒂 − 𝒃𝒊 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 Ejemplos ⧆ 3 + 4𝑖 3 − 4𝑖 = 32 + 42 = 25 ⧆ 5 + 2𝑖 5 − 2𝑖 = 52 + 22 = 29 ⧆ 7 + 𝑖 7 − 𝑖 = 72 + 12 = 50
- 8. INTEGRAL SEMIANUAL ÁLGEBRA 4. División Ejemplos ⧠ 3 + 5𝑖 2 + 7𝑖 = 3 + 5𝑖 2 + 7𝑖 = 41 − 11𝑖 22 + 72 = 41 53 − 11 53 𝑖 ∙ 2 − 7𝑖 2 − 7𝑖 𝟓𝟑 ⧠ 5 + 6𝑖 3 − 4𝑖 = 5 + 6𝑖 3 − 4𝑖 ∙ 3 + 4𝑖 3 + 4𝑖 = −9 + 38𝑖 32 + 42 = − 9 25 + 38 25 𝑖 𝟐𝟓 Observación 𝐒𝐞𝐚 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 𝒎 + 𝒏𝒊 𝒛 es un complejoreal si: 𝒂 𝒎 = 𝒃 𝒏 𝒛 es un complejoimaginariopurosi: 𝒂𝒎 + 𝒃𝒏 = 𝟎 Ejercicio 𝐒𝐢 𝒛 = 𝟓 + 𝟑𝒊 𝒎 + (𝒎 − 𝟔)𝒊 𝐞𝐬 𝐮𝐧 𝐜𝐨𝐦𝐩𝐥𝐞𝐣𝐨 𝐫𝐞𝐚𝐥.𝐂𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐞 𝒎 Resolución Como 𝑧 es un complejo real se cumple: 5 𝑚 = 3 𝑚 − 6 5 𝑚 − 6 = 3𝑚 5𝑚 − 30 = 3𝑚 2𝑚 = 30 𝒎 = 𝟏𝟓 Resultados notables 𝟏 − 𝒊 𝟒 = 𝟏 + 𝒊 𝟐 = 𝟏 − 𝒊 𝟐 = 𝟏 − 𝒊 𝟏 + 𝒊 = 𝟏 + 𝒊 𝟏 − 𝒊 = 𝟏 + 𝒊 𝟒 = 𝟐𝒊 −𝟐𝒊 −𝟒 −𝟒 𝒊 −𝒊
- 9. INTEGRAL SEMIANUAL ÁLGEBRA MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO Sea el complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, su módulo se define como: 𝒛 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 Ejemplos ⊛ 𝑧 = 4 + 3𝑖 𝑧 = 42 + 32 = 25 = 5 ⊛ 𝑤 = 2 − 7𝑖 𝑤 = 22 + −7 2 = 53 ⊛ 𝑧 = −1 + 6𝑖 𝑧 = (−1)2+62 = 37 Propiedades del módulo 𝟏) 𝒛 ≥ 𝟎 ∀𝒛 ∈ ℂ 𝟐) 𝒛 = 𝒛 = 𝒛∗ 𝟑) 𝒛. 𝒛 = 𝒛 𝟐 𝟒) 𝒛. 𝒘 = 𝒛 𝒘 𝟓) 𝒛 𝒘 = 𝒛 𝒘 𝟔) 𝒛𝒏 = 𝒛 𝒏 𝟕) 𝒏 𝒛 = 𝒏 𝒛 Ejercicio 𝐒𝐞𝐚 𝒛 = 𝟑 + 𝟒𝒊 (𝟕 + 𝒊) (𝟕 − 𝒊)(𝟓 + 𝟏𝟐𝒊) ∙ 𝐂𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐞 𝒛 Resolución Le aplicamos módulo a 𝑧 𝑧 = 3 + 4𝑖 (7 + 𝑖) (7 − 𝑖)(5 + 12𝑖) 𝑧 = 3 + 4𝑖 (7 + 𝑖) (7 − 𝑖)(5 + 12𝑖) 𝑧 = 3 + 4𝑖 7 + 𝑖 7 − 𝑖 5 + 12𝑖 𝑧 = 32 + 42 52 + 122 𝑧 = 25 169 = 𝟓 𝟏𝟑
- 10. w w w. adu n i . e du . pe