definición de conjuntos

1. República bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación
Universidad politécnica territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto Edo-Lara
Definición de conjuntos
Alumno: Cristian Palma
Deo2013
PNF Deporte

2. Definicion de Conjuntos
Un conjunto es la agrupación de diferentes elementos que comparten entre
sí características y propiedades semejantes. Estos elementos pueden ser
sujetos u objetos, tales como números, canciones, meses, personas, etc. Por
ejemplo: el conjunto de números primos o el conjunto de planetas del
sistema solar.
A su vez, un conjunto puede convertirse también en un elemento. Por
ejemplo: en el caso de un ramo de flores, en principio una flor sería el primer
elemento, pero al conjunto de flores se lo puede considerar luego como un
ramo de flores, convirtiéndose así, en un nuevo elemento.
Para graficar un conjunto se utilizan corchetes para delimitar los elementos
que lo conforman, que se separan entre sí mediante comas. Por ejemplo: Se
define a “S” como el conjunto de los días de la semana, por lo tanto, S=
[lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo].
Teoría de conjuntos
La teoría de conjuntos es la rama de la matemática que estudia a los
conjuntos. Fue introducida como disciplina por el matemático ruso Georg
Cantor, quien definió al conjunto como la colección de elementos finitos o
infinitos y lo utilizó para explicar las matemáticas.
Cantor estudió el conjunto de números racionales y naturales y fue
revolucionario su descubrimiento de los conjuntos de números infinitos, ya
que develó la existencia de infinitos de diferentes tamaños al asegurar que
siempre se puede encontrar un infinito mayor.
Los descubrimientos de Cantor no fueron bien recibidos en el ámbito
matemático de finales del siglo XIX. Sin embargo, hoy es considerado un
visionario en el estudio de lo que él denominó los transfinitos, estudio que
contribuyó al de los conjuntos abstractos e infinitos.
Tipos de conjuntos

3. A la hora de formar un conjunto, la manera y el porqué de la agrupación de
los elementos que lo conforman puede variar dando lugar a diferentes tipos
de conjuntos, que pueden ser:
 Conjuntos finitos. Sus elementos pueden contarse o enumerarse en su
totalidad. Por ejemplo: los meses del año, los días de la semana o los
continentes.
 Conjunto infinito. Sus elementos no se pueden contar o enumerar en su
totalidad, debido a que no tienen fin. Por ejemplo: los números.
 Conjunto unitario. Está compuesto por un único elemento. Por ejemplo:
La Luna es el único elemento en el conjunto “satélites naturales de la
Tierra”.
 Conjunto vacío. No presenta ni contiene elementos.
 Conjunto homogéneo. Sus elementos presentan una misma clase o
categoría.
 Conjunto heterogéneo. Sus elementos difieren en clase y categoría.
Respecto a la relación entre conjuntos, pueden ser:
 Conjuntos equivalentes. La cantidad de elementos entre dos o más
conjuntos es la misma.
 Conjuntos iguales. Dos o más conjuntos están compuestos por elementos
idénticos.
Operaciones de conjuntos
Operaciones con conjuntos.
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de
conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para
obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las
siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y
complemento.
‒ Unión o reunión de conjuntos.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro
conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin

4. que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los
conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A,
con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se
usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos
diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos, se sombrean los
conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la
operación de unión.
Ejemplo 1.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos
conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:
También se puede graficar del siguiente modo:
Ejemplo 2.
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos
conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría

5. lo siguiente:
Números Reales
Qué son los números reales
Cuando se definen los números reales se dice que son cualquier número que
se encuentre o corresponda con la recta real que incluye a los números
racionales y números irracionales, Por lo tanto, el dominio de los números
reales se encuentra entre menos infinito y más infinito.
Las principales características de los números reales son:
 Orden. Todos los números reales siguen un orden, por ejemplo 1, 2, 3, 4 …
 Integral. La integridad de los números reales marca que no hay espacios
vacíos, es decir, cada conjunto que dispone de un límite superior tiene un
límite más pequeño.
 Infinitos. Los números reales no tienen final, ni por el lado positivo ni por el
lado negativo. Por eso su dominio está entre menos infinito y más infinito.
 Decimal. Los números reales pueden ser expresados como una expansión
decimal infinita.
Clasificación de los números reales
La clasificación de los números reales incluye los siguientes números.
 Números naturales. Son los números iguales o mayores que uno no
decimales. El conjunto de los números naturales no tiene en cuenta el cero.

6.  Números enteros. Son los números positivos y negativos no decimales,
incluyendo el cero. Es decir, los números naturales incluyendo los números
negativos y el cero.
 Números racionales. Los que se pueden representar como el cociente de
dos enteros con denominador diferente a cero. Son las fracciones que
pueden crearse utilizando números naturales y enteros.
 Números irracionales. Aquellos que no pueden ser expresados como una
fracción de números enteros con denominador distinto a cero. Se trata de
números decimales que no pueden expresarse ni de manera exacta, ni de
manera periódica, siendo el número pi un ejemplo de este tipo de números.
Operaciones de los números reales
Las distintas operaciones de los números reales cumplen con una serie de
propiedades:
Propiedad Interna
Cuando se suman dos números reales el resultado que se obtiene es otro
número real. Lo mismo ocurre con la multiplicación de números reales, que
también da como resultado otro número real.
Propiedad Asociativa
El modo en que se asocian o agrupan los sumandos no influye en el resultado
de una suma. En el caso de una multiplicación tampoco importa la asociación
pues el resultado será siempre el mismo
a + (b + c) = (a + b) + c
a x (b x c) = (a x b) x c
Propiedad Conmutativa
Tanto la suma como la multiplicación de números reales cumplen con la
propiedad conmutativa que indica que el orden no varía el resultado.
a + b = b + a
a x b = b x a

7. Elemento neutro y elemento opuesto
En la suma el cero se convierte en el elemento neutro pues cualquier número
que se sume con el 0 va a dar como resultado el mismo número.
a + 0 = a
Por su parte, si al sumar dos números reales se obtiene cero se dice que esos
números son opuestos (e - e = 0).
En cuanto a la multiplicación, el elemento neutro en los números reales es el
1, ya que cualquier número real que se multiplique por 1 da lugar al mismo
número.
a x 1 = a
0.453 x 1 = 0.453
En la multiplicación el inverso de un número es aquel que al multiplicarlo, da
como resultado la unidad:
a x 1/a = 1
3.4 x 1/3.4 = 1
Propiedad Distributiva
El producto de un número real por una suma de números reales es igual a la
suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.
a x (b + c) = a x b + a x c
Al proceso inverso de la propiedad distributiva se le conoce como sacar el
factor común.
a x b + a x c = a x (b + c)
La gran mayoría de las situaciones físicas que tienen lugar se modelan con
números reales por lo que son de suma importancia. El conjunto de los
números reales está formado por otros números como los naturales, enteros,
racionales e irracionales. Los números reales son infinitos y siguen un orden,
pudiendo ser decimales y negativos.

8. Es habitual que utilicemos los números naturales en el día a día y que
sepamos mucho más de ellos de lo que pensamos, porque forman parte
importante en nuestra sociedad para organizar, contar y realizar cálculos.
Desigualdades
La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos
expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una
proposición de relación entre dos elementos diferentes, ya sea por
desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien menor o igual. Cada una de
las distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada con diferente signo
(> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones matemáticas
diferente según su naturaleza.
Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este concepto con el
menor número de palabras posibles diremos que; el objetivo de la
desigualdad matemática es mostrar que dos sujetos matemáticos expresan
valores diferentes.
Signos de desigualdad matemática
Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las desigualdades
matemáticas posibles en los cinco siguientes:
 Desigual a: ≠
 Menor que: <
 Menor o igual que: ≤
 Mayor que: >
 Mayor o igual que: ≥
Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos. De modo que
implicaría que a es menor a b, mientras que “a>b” significa que a es mayor a
b. En el caso de “a≠b”, leeremos la expresión como a es desigual a b, “a≤b”; a
es menor o igual a b, y “a≥b” implica que a es mayor o igual a b.
Es también importante conocer que la expresión de desigualdad matemática
“a≠b” no es excluyente con las expresiones “a” y “a>b”, de modo que, por
ejemplo, “a≠b” y “a>b” pueden ser ciertas al mismo tiempo. Por otro lado,
tampoco son excluyentes entre sí las expresiones “a≥b” y “a>b” o “a≤b” y
“a”.
Ejemplos

9. Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de ocasiones,
por dos miembros o componentes. Un miembro se encontrará a la izquierda
del símbolo y el otro a la derecha.
Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro
veces nuestra incógnita menos dos es superior a nueve”. Siendo el elemento
4x-2 el elemento A y 9 el elemento B. La resolución nos mostraría que (en
números naturales) la desigualdad se cumple si x es igual o superior a 3 (x≥3).
Tipología de desigualdades
Existen dos tipos distintos de desigualdades dependiendo de su nivel de
aceptación. Ninguna de ellas no incluye la desigualdad general (≠). Son las
siguientes:
 Desigualdades estrictas: son aquellas que no aceptan la igualdad entre
elementos. De este modo, entenderemos como desigualdades de este tipo
el “mayor que” (>) o “menor que” (<).
 Desigualdades amplias o no estrictas: todas aquellas en las que no se
especifica si uno de los elementos es mayor/menor o igual. Por lo tanto,
estamos hablando de “menor o igual que” (≤), o bien “mayor o igual que”
(≥).
Propiedades
Para operar con desigualdades debemos conocer todas sus propiedades:
 Si los miembros de la expresión son multiplicados por el mismo valor, no
cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 3(4x-2) > 3·9
 Si los miembros de la expresión son divididos por el mismo valor, no cambia
el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = (4x-2)/3 > 9/3
 Si los miembros de la expresión son sumados o restados por el mismo
valor, no cambia el signo de la desigualdad: 4x – 2 > 9 = 4x-2 -3 > 9 - 3 / 4x –
2 > 9 = 4x-2 +3 > 9+3
Y también debes saber aquellas propiedades en las que la desigualdad sí que
cambia de sentido:
 Si los miembros de la expresión son multiplicados por un valor negativo, sí
cambia de sentido: 4x – 2 > 9 = -3(4x-2) < -3·9

10.  Si los miembros de la expresión son divididos por un valor negativo, sí
cambia de sentido: 4x – 2 > 9 = (4x-2) / -3 < 9/-3
Notación encadenada
Conocemos por desigualdad de notación encadenada todas aquellas
expresiones de desigualdad en las que se relacionan más de dos elementos.
Sería este caso si, por ejemplo, relacionamos a, b y c de modo que cada uno
es menor al otro.
Pongamos como ejemplo: a < b < c indica que “a es menor que b” y, a su vez,
“b es menor que c”. De modo que podemos deducir que “a es menor que c”,
esta propiedad la conocemos por el nombre de propiedad transitiva.
Diferencia entre desigualdad e inecuación
Es importante conocer que existe un elemento matemático diferente a la
desigualdad matemática que es usualmente confundido con ella: las
inecuaciones.
Una inecuación se basa en una desigualdad, pero su resultado puede ser
incongruente o, simplemente, denotar que no existe solución posible al
enunciado. Por lo tanto, una inecuación puede ser una desigualdad, pero, por
otro lado, una desigualdad no tiene por qué ser una inecuación.
Por ejemplo, 3 < 5 es una desigualdad que se cumple, pero no será nunca una
inecuación porque no contiene ninguna incógnita.
Por lo tanto, una desigualdad es una proposición que relaciona dos
expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. No necesita contener
una incógnita y si es así puede ser, a la vez, una inecuación. Para operar con
ellas debes entender sus propiedades ante la suma, resta, multiplicación y
división de sus elementos.
Definición de Valor
El valor númerico de una expresión algebraica, para un determinado valor,
es el número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y
realizar las operaciones indicadas.
L(r) = 2 r
r = 5 cm. L(5)= 2 · · 5 = 10 cm

11. S(l) = l2
l = 5 cm A(5) = 52
= 25 cm2
V(a) = a3
a = 5 cm V(5) = 53
= 125 cm3
Valor numérico de un polinomio
El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir
la variable x por un número cualquiera.
P(x) = 2x3
+ 5x - 3 ; x = 1
P(1) = 2 · 13
+ 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4
Q(x) = x4
− 2x3
+ x2
+ x − 1 ; x = 1
Q(1) = 14
− 2 · 13
+ 1 2
+ 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0
R(x) = x10
− 1024 : x = −2
R(−2) = (−2)10
− 1024 = 1024 − 1024 = 0
Absoluto
Valor absoluto de un números entero
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta
al suprimir su signo.
El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.
|−5| = 5
|5| = 5
Valor absoluto de un número real
Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a
cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.
|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0
|x| = 2 x = −2 x = 2

12. |x|< 2 − 2< x < 2 x (−2, 2 )
|x|> 2 x< −2 ó x>2 (−∞ , −2) ∪ (2, +∞)
|x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < 5
− 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7
Propiedades del valor absoluto
1
Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
|a| = |−a|
|5| = |−5| = 5
2
El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores
absolutos de los factores.
|a · b| = |a| ·|b|
|5 · (−2)| = |5| · |(−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10
3
El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores
absolutos de los sumandos.
|a + b| ≤ |a| + |b|
|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| ≤ |5| + |2| 3 ≤ 7
Función valor absoluto
Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos,
siguiendo los siguientes pasos:
1.
Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.
2.

13. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.
3.
Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos
donde la x es negativa se cambia el signo de la función.
4
Representamos la función resultante.
D=

14. D=
Desigualdades con
Valor Absoluto
Desigualdades de valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de
valor absoluto con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.

15. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | < b ,
entonces a < b Y a > - b .
Ejemplo 1 :
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en
una desigualdad compuesta .
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:
Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.

16. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | > b ,
entonces a > b O a < - b .
Ejemplo 2 :
Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así:
Bibliografia
https://www.conoce3000.com/html/espaniol/Libros/Matematica01/Cap10-
03-OperacionesConjuntos.php
https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/algebra/valor-
numerico.html#:~:text=Qu%C3%A9%20significa%20valor%20num%C3%A9ric
o%20en%20Matem%C3%A1ticas&text=El%20valor%20n%C3%BAmerico%20
de%20una,y%20realizar%20las%20operaciones%20indicadas.

17. https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/aritmetica/valor-
absoluto.html
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/abso
lute-value-inequalities