En la asignatura anterior se toco el tema de funciones y todo lo referente a su representación gráfica, en un resume, el comportamiento que tiene X,Y una vez encontrado en la Función de Y "f(x)". Limites hace referencia a todos los posible valores que se pueden hallar en X según su determinación en la gráfica. En el Siguiente Material Hablaremos de su definición, su calculo y algunos ejemplos para la resolución de problemas. Espero haber cumplido con las expectativas.

1. LIMITE DE UNA FUNCIÓN
David Marcano
C.I:17223745
Primer Semestre de Informática
Profesora: Ing. Ranielina Rondón

2. HAGAMOS U POCO DE HISTORIA

3. Los antiguos griegos
utilizaban procedimientos
basados en límites para
calcular áreas, como el
área del círculo.

4. En el año 1821 Louis Cauchy, en su
obra Cauchy da una nueva
definición del limite
John Wallis (1616-1703) es quien
formulo la primera definición de
limite en el siglo XVII.

5. PERO…!

6. Fue Treinta años mas
tarde el alemán Karl
Weierstrass realizaría le
definición formal del limite
utilizando el épsilon y
delta
Y El dijo que:

7. Definición formal de limite
“El límite de una función ,
cuando x tiende a c es L si y
sólo si para todo épsilon
existe un delta tal que para
todo número real x en el
dominio de la función si
cero es menor que el valor
absoluto de x-c y este es
menor al delta entonces el
valor absoluto de f(x)-L es
menor a épsilon.”

8. INVESTIGANDO MAS SOBRE LA DEFINICIÓN DE
LIMITES; SEGÚN LA PAGINA DEVITUTOR.COM
DICE QUE:

9. 𝐥𝐢𝐦
𝑿→𝒂
𝒇 𝒙 = 𝑳 ↔ ∀ ∈ > 𝟎 ∃ 𝜹 𝜺 >
𝟎
𝟎
𝒙 − 𝒙 𝟎 < 𝜹 → 𝒇 𝒙 − 𝑳 < 𝜺

10. NO ENTENDISTE VERDAD…!
(Al menos que sea Profesor o Profesora…)
Bueno, Dice así:

11. 𝐥𝐢𝐦
𝑿→𝒂
𝒇 𝒙 = 𝑳 ↔ ∀ ∈ > 𝟎 ∃ 𝜹 𝜺 >
𝟎
𝟎
𝒙 − 𝒙 𝟎 < 𝜹 → 𝒇 𝒙 − 𝑳 < 𝜺
Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L ,
cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que
cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal que, para todos
los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x − x0| < δ ,
se cumple que |f(x) − L| < ε.

12. EN RESUMEN
El límite de una
función es el valor al
cual se aproxima la
función cuando X
tiene un valor
determinado.
Los valores puedes venir hacia los laterales de X

13. ¿COMO CALCULAR EL LIMITE EN EL PUNTO?
Ej:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
(𝟑𝒙 − 𝟐) 𝟑 = (𝟑 ∗ 𝟎 − 𝟐) 𝟑= −𝟖
para calcular el límite se
sustituye en la función el valor al
que tienden las x.
PODEMOS DETERMINAR EL LIMITE DE LA FUNCION

14. ES FACIL,VERDAD…!
Aunque el Ejemplo anterior determina el valor de
Limite del Producto (-8)
Hay Funciones que indetermina el Limite de la
Función, Pero estos valores se pueden hallar.
Veremos Tres Ejemplos, ya que estos fueron
estipulado por la Ing. Ranielina Rondón para
evaluar esta presentación

15. EJEMPLO 1 : LIMITES INDETERMINADAS
𝟎
𝟎
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒙 𝟐−𝟏
𝒙−𝟏
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝟏 𝟐−𝟏
𝟏−𝟏
=
𝟎
𝟎
ES INDETERMINADO
PARA CALCULAR EL LIMITE DEBEMOS
FACTORIZAR LA ECUACION:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒙 𝟐−𝟏
𝒙−𝟏
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒙−𝟏 (𝒙+𝟏)
(𝒙−𝟏)
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒙 + 𝟏
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝟏 + 𝟏 = 2

16. EJEMPLO 2: LIMITE INDETERMINADA
∞
∞
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟐𝒙 𝟑 − 𝟓𝒙
𝟑𝒙 𝟑+𝒙 𝟐−𝟏
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟐∞ 𝟑 − 𝟓∞
𝟑∞ 𝟑+∞ 𝟐−𝟏
=
∞
∞
Para hallar el limite, tomaremos la mayor potencia del
numerador y denominado es 𝒙 𝟑
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟐𝒙 𝟑 − 𝟓𝒙
𝟑𝒙 𝟑+𝒙 𝟐−𝟏
=
𝟐𝒙 𝟑
𝒙 𝟑 −
𝟓𝒙
𝒙 𝟑
𝟑𝒙 𝟑
𝒙𝟑
+
𝒙 𝟐
𝒙𝟑
−
𝟏
𝒙 𝟑
=
𝟐−
𝟓
𝒙 𝟐
𝟑+𝒙−
𝟏
𝒙 𝟑
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟐−
𝟓
∞ 𝟐
𝟑+∞−
𝟏
∞ 𝟑
=
𝟐−𝟎
𝟑+𝟎−𝟎
=
𝟐
𝟑

17. EJEMPLO 3: INDETERMINADA ∞-∞
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒙 𝟐 + 𝟑 − 𝒙 = ∞ 𝟐 + 𝟑 − ∞ = ∞-∞
Calculando el Limite por el producto y el conjugado
de la ecuación
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒙 𝟐+𝟑−𝒙
𝟏
×
𝒙 𝟐+𝟑+𝒙
𝒙 𝟐+𝟑+𝒙
= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
( 𝒙 𝟐−𝟑) 𝟐−𝒙 𝟐
𝒙 𝟐+𝟑+𝒙
=
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝟑
𝒙 𝟐+𝟑+𝒙
𝟑
∞ 𝟐+𝟑+∞
=
𝟑
∞
= 0