Dentro de estas funciones veremos la Catenaria

1. Las funciones Hiperbolicas:
Estas funciones son necesarias y no son del
todo nuevas.
Son simplemente combinaciones de
exponenciales de uso comun.
Tienen multiples aplicaciones como el
Gateway Arch de San Luis en Estados Unidos y
su utilidad en la resolucion de ecuaciones, en
particular ecuaciones diferenciales.
Por ejemplo la funcion seno hiperbolico se
define como senhx=
𝒆 𝒙−𝒆−𝒙
𝟐
, para todo x Є
(-∞,∞).

3. Por consiguiente la funcion coseno
hiperbolico tambien llamada “Catenaria” se
define como coshx=
𝒆 𝒙+𝒆−𝒙
𝟐
, tambien para todo x
Є (-∞,∞).
Es facil verificar la importante identidad
cos𝒉 𝟐
𝒖 − 𝒔𝒆𝒏𝒉 𝟐
𝒖 = 𝟏 para todo valor de u. A la
vista de esta identidad notese que si x=coshu e
y=senhu, entonces:
𝒙 𝟐
− 𝒚 𝟐
= cos 𝒉 𝟐
𝒖 − 𝒔𝒆𝒏𝒉 𝟐
𝒖 = 𝟏 que es la
ecuacion de una hiperbola.
De ahi la denominacion de “Hiperbolicas”.
Las otras funciones hiperbolicas que existen se
definen en terminos del seno y del coseno

4. hiperbolicos, igual que ocurre en las
trigonometricas.
La tangente hiperbolica tanhx, la cotangente
hiperbolica cothx, la secante hiperbolica sechx
y la cosecante hiperbolica cosehx se definen
asi: Tanh x =
𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒙
, coth x =
𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒙
𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒙
,
sech x =
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒙
, coseh x =
𝟏
𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒙
.
Estas funciones son de manejo sencillo y su
comportamiento facil de determinar por
cuanto ya sabemos de las exponenciales.

5. En primer lugar:
𝒅
𝒅𝒙
𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒙.
𝒅
𝒅𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒙.
𝒅
𝒅𝒙
𝒕𝒂𝒏𝒉 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝒉 𝟐
𝒙.
𝒅
𝒅𝒙
𝒄𝒐𝒕𝒉 𝒙 = −𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐 𝒙.
𝒅
𝒅𝒙
𝒔𝒆𝒄𝒉 𝒙 = −𝒔𝒆𝒄𝒉 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒉 𝒙.
𝒅
𝒅𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒉 𝒙 = −𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒉 𝒙 𝒄𝒐𝒕𝒉 𝒙.

6. Ejemplos:
 Hallar la derivada de f(x) = 𝒔𝒆𝒏𝒉 𝟐
𝟑𝒙
 Hallar 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒙 𝟐
𝒅𝒙 =
Si un cable flexible (un tendido electrico, por
ejemplo) cuelga entre dos postes o torres,
adopta la forma de una curva catenaria (del
latin catenarius = cadena). Esta curva,
frecuentemente en situaciones reales,
corresponde a la grafica de la funcion coseno
hiperbolico, f(x) = a cosh
𝒙
𝒂
− 𝐚

7. Ejemplo: para un cable que adopta la forma de
la catenaria f(x)=20 cosh
𝒙
𝟐𝟎
, con -20≤x≤20,
calcular la altura de pandeo y la longitud total
del cable.
Funciones Hiperbolicas Inversas:
Estas son:
y= 𝒔𝒆𝒏𝒉−𝟏
𝒙. Si y solo si senh y = x
y= 𝐜𝐨𝒔𝒉−𝟏
𝒙. Si y solo si cosh y = x e y≥0
y= 𝐭𝐚𝒏𝒉−𝟏
𝒙. Si y solo si tanh y = x
Derivadas de funciones Hiperbolicas Inversas
𝒅
𝒅𝒙
𝒔𝒆𝒏𝒉−𝟏
𝒙 =
𝟏(𝒄𝒐𝒆𝒇)
𝟏+𝒙 𝟐
𝒅
𝒅𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒉−𝟏
𝒙 =
𝟏
𝒙 𝟐+𝟏

8. 𝒅
𝒅𝒙
𝒕𝒂𝒏𝒉−𝟏
𝒙 =
𝟏
𝟏−𝒙 𝟐
𝒅
𝒅𝒙
𝒄𝒐𝒕𝒉−𝟏
𝒙 =
𝟏
𝟏−𝒙 𝟐
𝒅
𝒅𝒙
𝒔𝒆𝒄𝒉−𝟏
𝒙 =
−𝟏
𝒙 𝟏−𝒙 𝟐
𝒅
𝒅𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝒉−𝟏
𝒙 =
−𝟏
|𝒙| 𝟏+𝒙 𝟐