Resumen del capitulo 2 del libro de calculo diferencial e integral de Granville

2. CAPITULO II
VARIABLES, FUNCIONES y
LIMITES
Variables y constantes. Una variable es una cantidad a la que se le
puede asignar, durante el curso de un proceso de análisis, un número
ilimitado de valores. Las variables se designan usualmente por las
últimas letras del alfabeto. Una cantidad que durante el curso de un
proceso tiene un valor fijo se llama constante.
Por ejemplo: en la ecuación de la recta
x y
-+-= 1
a b '
Variables
Constantes

4. Se dice que una variable a varía de una manera continua en un
intervalo [a, b] cuando x aumenta desde el valor a hasta el valor
b, de tal manera que toma todos los valores intermedios entre a
y b en el orden de sus magnitudes.
Por ejemplo:
o---------<g~--____ ~o______~g
o A P 8
Tomando el punto O como origen, marquemos sobre la recta los puntos
A y B correspondientes a los números el y b.

5. Cuando dos variables están relacionadas de tal manera que
el valor de la primera queda determinado si se da un valor
a la segunda entonces se dice que la primera es función de
la segunda .
Por ejemplo:
El peso que un hombre puede levantar depende
directamente, a igualdad de otras circunstancias, de su
fuerza. se puede considerar que la distancia, que un
muchacho puede recorrer depende del tiempo.

6. Variables independientes y dependientes
La primera variable, cuyo valor queda fijado cuando se asigna un
valor a la variable independiente, se llama la variable dependiente
o la funci6n.
La segunda variable, a la. cual se pueden asignar valores a
voluntad dentro de limites que dependen del problema particular,
se llama la variable independiente o el argumento.
Cuando se consideran dos variables ligadas entre sí queda en
nosotros elegir a una de ellas como variable independiente
Por ejemplo:

7. Notación de funciones
El símbolo f(x) se emplea para designar una función de x, y se
lee f de x . Con objeto de distinguir entre diferentes
funciones. Durante todo el curso de un proceso, un mismo
símbolo de funcionalidad indicará una misma ley de
dependencia entre una función y su variable. En los casos más
simples, esta ley expresa la ejecución de un conjunto de
operaciones analíticas con la variable, en un caso de esta clase
el mismo símbolo de función indicará la misma operación.
Por ejemplo:

8. El cociente de dos números a y b es un número x tal que a = bx,
con esta definición la división por cero queda excluida. En efecto,
si b = O, se ve que x no existe, a menos que a = O. Si a = O,
entonces x puede ser cualquier número.
Por ejemplo:
a O
O' O i
carecen de sentido por no ser posible la división por cero.
Debe tenerse cuidado de no dividir inadvertidamente por cero.
Dividiendo por a - /¡ , b= a + b.
El resultado absurdo proviene de haber dividido por a - b = O.

9. Gráfica de una función
Esta relación da un valor de y para cada valor de x, es decir,
define unívocamente a y para todos los valores de la variable
independiente. El lugar geométrico de (1) es una parábola, y se
llama la gráfica de la función X2. Si x varía continuamente
desde X = a hasta X = b, entonces Y variará continuamente
desde Y = a2 hasta Y = b2 , Y el punto P (x, y) se moverá
continuamente, a lo largo de la curva, desde el punto (a, a2 )
hasta (b, b2 ) . Además, a y b pueden admitir todos los valores.
Por ejemplo:

10. Se dice que la variable “v” tiende a la constante “l” como límite,
cuando los valores sucesivos de v son tales que el valor
numérico de la diferencia v - l puede llegar a ser, finalmente,
menor que cualquier número positivo predeterminado tan
pequeño como se quiera.
Se considera el área de un polígono regular inscrito con un
número “n” cualquiera de lados, después “n” crece
infinitamente. El área variable tiende así hacía un limite, y este
límite se define como área del círculo.

11. Se tiene una variable v y una función dada z de v, y se supone que
la variable v recibe valores tales que v -7 l. Tenemos que
examinar entonces los valores de la variable dependiente z e
investigar, particularmente, si z tiende también a un limite. Si
efectivamente existe una constante a tal que lím z = a, entonces
se expresa esta relación escribiendo:
Lím z=a,
V-71
y se leerá: "el límite de z. cuando v tiende a l, es a”.

12. Teoremas sobre límites
el límite de una suma algebraica, de un producto o de un
cociente es igual, respectivamente, a la suma algebraica, al
producto o al cociente de los límites respectivos, con tal de
que, en el último caso, el límite del divisor no sea cero.
Por ejemplo:

13. Se dice que una función f(x) es continua para x = a si el límite
de la función, cuando “x” tiende a “a”, es igual al valor de la
función para x = a, entonces f (x) es continua para x = a.
Se dice que la función es discontinua para x = a si no se
satisface esta condición.
Por ejemplo:

14. Si el valor numérico de una variable v llega a ser y
permanece mayor que cualquier número positivo asignado de
antemano, por grande que éste sea, decimos que v se vuelve
infinita. Si v toma solamente valores positivos, se hace
infinita positivamente; si solamente toma valores negativos,
se hace infinita negativamente.
Por ejemplo:

15. Una variable v que tiende a cero se llama un infinitésimo.
Simbólicamente se escribe:
lím v = O o v ---7 O ,
Y quiere decir que el valor numérico de v llega a ser, menor
que cualquier número positivo asignado de antemano, por
pequeño que sea. Si lím v = l, entonces lím (v - l) = O; es
decir, la diferencia entre una variable y su límite es un
infinitésimo.
Por ejemplo:

16. Teoremas relativos a infinitésimos y límites
Para ciertos límites la regla de L'Hôpital no es aconsejable, pues la cantidad de
veces en que ésta debe ser aplicada para llegar al resultado final se convierte en
excesiva. Como ejemplo, el alumno puede tratar de hallar por L'Hôpital el límite:
límite que efectivamente puede ser hallado -pero tras un largo trabajo- mediante
esta regla. Por el contrario, nuestro trabajo se simplifica notablemente si
sustituimos en el denominador "sen x" por -lo que se llama infinitésimo
equivalente-, "x". Entonces, el límite se reduce a: