a

1. Prof. Jessica Mora B No.1
Matemática Undécimo año
TRIGONOMETRÍA
Ángulos en posición normal
o en posición estándar
Debe cumplirse que:
♦ Esté situado en el plano cartesiano
con su vértice en el origen.
♦ El lado inicial coincida con el lado
positivo del eje x.
♦ El lado final gire hasta alcanzar la
medida asignada al ángulo.
El plano cartesiano divide al plano en CUATRO CUADRANTES
Ángulos positivos y negativos
♦ Un ángulo trigonométrico es POSITIVO si se mide en sentido
contrario al de las manecillas del reloj.
♦ Un ángulo trigonométrico es NEGATIVO si se mide en el
mismo sentido de las manecillas del reloj.
Ángulos cuadrantales
♦ Un ángulo es cuadrantal cuando el lado final coincide con
alguno de los semiejes.
P
x
y
θ
θ
I CuadranteII Cuadrante
IV CuadranteIII Cuadrante
x
y
x
y
θ
x
y
x
y
180°
270°
90°
0°
360°
x
y
180°
270°
90°
0°
360°
x
y
180°
90°
0°
360° x
y
180°
90°
0°
360°
270° 270°

2. Prof. Jessica Mora B No.2
Matemática Undécimo año
Conversión de ángulos de grados a Radianes y viceversa
♦ El radián es una medida angular.
♦ Un ángulo tiene una medida de 1 radián si al colocar su vértice en
el centro de un círculo, la longitud del arco interceptado en la
circunferencia es igual al radio del círculo.
♦ Entonces para cambiar de Grados a radianes y viceversa se utiliza
la siguiente fórmula:
π
RadianesGrados
=
°180
Por ejemplo:
1. A cuánto equivale 72 ° en radianes.
π
Radianes
=
°
°
180
72
Radianesπ =
°
°
180
72
Radianesπ =
5
2
2. A cuánto equivale 3 π en grados.
π
πGrados 3
180
=
°
°= 180
3
π
π
Grados
°=540Grados
Práctica
1. Realice la conversión a Radianes de los siguientes ángulos
( a ) 45°
( b ) – 132°
( c ) 90°
( d ) 140°
(e) – 570°
( f ) 210°
( g ) – 20°
( h ) 311°
( i ) 360°
( j ) 740°
(k)– 2280°
( l ) 120°
( m ) – 5°
( n ) 8°
( ñ ) 190°
2. Realice la conversión a Grados de los siguientes ángulos
( a ) 5 π
( b ) –
4
π
( c )
5
8π
( d ) π
( e ) 7
( f ) 21
( g ) –
2
π
( h )
4
3π
(i )
3
17π
( j ) –
π5
( k )
3
5π
(l) –
6
7 π
(m)–11π
( n )
3
π
(ñ) –
2
9π
Ángulos coterminales
♦Los ángulos coterminales son aquellos ángulos que tienen los
mismos lados iniciales y terminales.
♦Los ángulos coterminales se pueden obtener SUMANDO al
ángulo dado 360°n veces o bien RESTANDO al ángulo dado 360°
n veces.
Por ejemplo:
a. Un ángulo coterminal a 52° podría ser 772° , pues se le
sumó al ángulo dado 360° dos veces, que equivale a decir que
dio dos vueltas más en contra de las manecillas del reloj.
α = 1 radián β = 2 radianes γ = 3 radianes

3. Prof. Jessica Mora B No.3
Matemática Undécimo año
Así 772° = 52° + 360° + 360°
o bien,
b. Un ángulo coterminal a 52° podría ser – 1028° , pues se le restó
al ángulo dado 360° tres veces, que equivale a decir que dio tres
vueltas más a favor de las manecillas del reloj.
Así – 1028° = 52° – 360° – 360° – 360°
PRÁCTICA
1. Indique a qué cuadrante pertenece cada uno de los siguientes
ángulos. Si es un ángulo cuadrantal indíquelo. (Sugerencia:
ubique el ángulo dibujándolo primero)
( a ) 270°
( e ) 16°
( i ) 900°
( m ) – 35°
( p ) 110°
( t ) – 4π
(x) –
4
9π
( b) 1° ( c ) 480° ( d ) – 150°
( f ) – 130° ( g ) –180° ( h ) – 25°
(j ) – 360° ( k ) 1840° ( l ) – 90°
( n ) – 271° ( ñ ) –240° ( o ) 720°
( q ) 180° ( r ) 215° ( s ) 721°
(u) –
5
3 π (v ) 15 ( w ) 10π
( y ) –
2
7π
( z )
6
7π
( aa )
3
π
( ab )
6π
2. Encuentre un ángulo coterminal positivo y uno negativo para
los ángulos del ejercicio anterior.
Signos de las Funciones trigonométricas
de cualquier ángulo
Recordemos que el plano cartesiano está compuesto por cuatro
cuadrantes
Práctica
1. ¿En que cuadrante termina el ángulo θ si:
a. sen θ y cos θ son ambos negativos?
b. sen θ y tan θ son ambos positivos?
c. sen θ es positivo y sec θ negativo?
d. sec θ y tan θ son ambos negativos?
2. ¿En que cuadrante puede terminar el ángulo θ si:
a. sen θ es positivo?
b. cos θ es negativo?
c. tan θ es negativo?
d. sec θ es positivo?
y
II
Cuadrante
x
I
Cuadrante
III
Cuadrante
IV
Cuadrante
Todas las funciones
son positivas
SEN y CSC
son positivas
TAN y COT
son positivas
COS y SEC
son positivas

4. Prof. Jessica Mora B No.4
Matemática Undécimo año
Angulo de referencia
Si θ es un ángulo en posición estándar y el lado final no se
encuentra sobre un semi–eje coordenado, entonces el ÁNGULO DE
REFERENCIA para θ es el ÁNGULO AGUDO α1 que forma el lado
final de θ en el eje x, positivo o negativo.
Si θ es agudo entonces θ = α 1 Si θ es obtuso
entonces α 1 = 180 ° − θ
Si θ está en el III Cuadrante Si θ está en el IV Cuadrante
entonces α 1 = θ − 180 ° entonces α1 = 360 ° − θ
Ej.
a. Determine el ángulo de referencia para
θ = 150° θ = 315° θ = − 240° θ = 225°
θ = 2800° θ = − 45° θ = 133° θ = 65°
θ = − 721° θ = 300° θ = −278° θ = 456°
θ = 3π θ = 7π θ =
3
5
π θ =
7
3
π
θ = −
4
6
π θ =
3
4
π θ =
5
2
π θ = −
3
π
b. Calcule:
Cos 150° Sen 315° Tan –240° Sec 225°
Cot 40° Cos 788° Sen − 45° Csc 98°
c. Determine el valor del ángulo de referencia (α 1) y el
valor del ángulo original (θ) en cada uno de los siguientes
casos.
Sen θ =
2
3
− Tan θ = 3−
Sec θ = –
2
2
Cos θ =
1
3
−
Csc θ = 2 Cot θ = 3−
y y
x
θ = α 1
x
α 1
θ
y
x
θ1
θ
y
x
θ1
θ

5. Prof. Jessica Mora B No.5
Matemática Undécimo año
Csc θ =
3
32
− Tan θ = 1 Cos θ =
2
3
−
Ecuaciones trigonométricas
Resuelva las siguientes ecuaciones en el intervalo [ 0, 2π [
(1) 1cos2 =x (10) 0βcosβsen2βsen =−
(2) 01sen2 =−θ (11) xsenxtanxsen =
(3) 01sen2 2
=−β (12) 0tanαtanαα4sen2
=−
(4) xx 22
tan4sec3 = (13) AA cos1sen2 2
−=
(5) xx 2
cos2sen3 = (14) 01sen5cos2 2
=+α−α
(6) 0sen3cos2 2
=α+α (15) xx 2
cos21sen =−
(7)
4
7
cossen2 2
=+ xx (16) 2xsecxtan2 22
=+
(8) 1sencos2
−=− δδ (17) 2 cos 2
α + 3 cos α = 0
(9) –2 cos 2
x – 3 sen x = 0 (18) 4 cos 3
α – cos α = 0
Circunferencia Trigonométrica
♦ Es una circunferencia con centro en el origen y con
radio igual a una unidad (1).
♦ La circunferencia trigonométrica corta a los ejes
coordenados en determinados puntos:
♦ El punto P ubicado en la figura, tiene dos
coordenadas “x” y “y”, o sea P(x, y).
1
P
x
y
(1,0)
P
x
y
(0,–1)
(0,1)
(–1,0)
1
y
x
y
β
x
P( x , y ) = P (cos β, sen β)

6. Prof. Jessica Mora B No.6
Matemática Undécimo año
PRÁCTICA
Marque con una “x ” la opción correcta en cada uno de los casos que
a continuación se le presentan
 De acuerdo con los datos de la figura, se cumple con certeza que
( ) cos α = b
( ) csc α =
a
b
−
( ) cot α =
b
a−
( ) sen α = – a
 De acuerdo con los datos de la figura, el valor de cos α es
( ) 2−
( )
2
1−
( )
2
1
( ) 2
 Si tan β es negativo, entonces el ángulo β podría encontrarse
en los cuadrantes
( ) III y I
( ) II y IV
( ) II y I
( ) III y IV
 De acuerdo con los datos de la figura, la función cot α
corresponde a
( )
u
v
−
( )
v
u
−
( )
u
1
−
( )
v
1
−
 En la figura, β es la medida de un ángulo en posición normal,
el cual determina un ángulo de referencia de
3
π
, entonces el
valor de tan β corresponde a
( ) – 3
( ) –
3
1
( )
3
1
( ) 3
 De acuerdo con los datos de la figura, el valor de α es
( )
6
π
( )
6
7 π
( )
6
8 π
( )
6
5 π
Relaciones pitagóricas en la Circunferencia
Trigonométrica
x
α
1
2
1
1
y
-1
-1
y
x
α
1
1-1
-1





−−
2
1
,
2
3
α
x
y
1
1
-1
-1
(-u,v)
x
y
1
1
-1
-1
β
α
x
y
1
1
-1
-1
(-a,b)

7. Prof. Jessica Mora B No.7
Matemática Undécimo año
♦ Relación pitagórica principal
Sen 2
β + Cos 2
β = 1
♦ De la relación principal obtenemos las siguientes relaciones
pitagóricas.
• Tan 2
β + 1 = Sec 2
β • 1 + Cot 2
β = Csc 2
β
Simplificación de Expresiones Trigonométricas
Ejercicios
Simplifique al máximo las siguientes expresiones trigonométricas
(1) cos β • csc β = (2) csc x • tan x =
(3) sen 2
α + cos 2
α + tan 2
α = (4) =
1-θ2sec
θ2sec
(5) =
x2cot
cscxxcos
(6) sec 2
δ + csc 2
δ =
(7) sec θ + sec θ sen 2
θ = (8) sen 2
α ( )α2cot1 + =
(9) sen β • sec β • cot β = (10) (sec x + tan x) (1 – sen x) =
(11) ( ) =+ 2xcosxsen (12) =
+
x2csc
x2tan1
(13) tan x + =
+ xsen1
xcos
(14) =
x2tan
x2sen-x2tan
(15) cos 2
θ sec 2
δ – 1= (16) sec 2
α • cot 2
α =
(17)( ) ( ) =−++ 2xcosxsen2xcosxsen
(18) (1 – cos x) (1 + cos x) = (19) sec x • cot x =
(20)
βsec
βcos
βcsc
βsen
+ = (21)
βsen
βsecβcos 2
=
(22)
βtan
βsec
= (23)
( )( ) =ββ+β cotsec1cos-1
1
y
x
y
β
x