Contrasting views on mathematics learning: Dienes, Brousseau and Alson

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DIENES, BROUSSEAU Y ALSON: CONTRASTE DE TRES VISIONES
ACERCA DEL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
Walter Beyer
Universidad Nacional Abierta de Venezuela
Dienes, Brousseau y Alson conforman una trilogía de educadores matemáticos cu-
yos planteamientos teóricos poseen coincidencias y desencuentros. Dienes fue un im-
portante referente teórico para la educación matemática venezolana en los años 70,
mientras que Brousseau lo ha sido desde la década de los años 80. Por su parte, Alson
es un investigador venezolano que se doctoró bajo la dirección de Brousseau, pero con
una concepción propia, la cual ha aplicado en un buen número de experiencias de
aula y libros realizadas en nuestro país. En este artículo se estudian algunos aspec-
tos teóricos considerados por estos investigadores, remarcando algunos encuentros y
desencuentros entre los mismos. Se hará énfasis en lo referente al aprendizaje de las
matemáticas. En este sentido se enuncian algunos de los planteamientos de estos auto-
res para luego proceder a su contrastación. Como punto de apoyo se acudirá a ciertas
interpretaciones críticas formuladas por otros educadores y, asimismo, se toman en
cuenta otros aportes teóricos realizados por diversos estudiosos mediante los cuales se
profundiza el análisis.
Palabras clave: aprendizaje de las matemáticas, Teoría de Dienes, Teoría de Brous-
seau, Teoría de Alson.
Resumen
Revista Informe de Investigaciones Educativas, Vol. XXVII, Nº 2; año 2013. Págs. 25-57 ISSN: 1316–0648.
Depósito legal Pp. 198504DF11. Walter Beyer. ARTÍCULOS

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Abstract
Walter Beyer
Universidad Nacional Abiertaof Venezuela.
Dienes, Alson and Brousseau make a trilogy of mathematic educators whose theoreti-
cal approaches have coincidences and disagreements. Dienes was an important theo-
retical reference for Venezuelan mathematics education in the 70’s, while Brousseau
has been since the early 80’s. Meanwhile, Alson is a Venezuelan researcher who recei-
ved his Ph.D. under the direction of Brousseau, but with its own conception, which he
has been applied in a number of books and classroom experiences made in our coun-
try. In this paper we study some theoretical aspects considered by these researchers,
highlighting some coincidences and disagreements between them. Emphasis will be
placed in relation to the learning of mathematics. In this sense we state some of the
approaches of these authors and then proceed to its comparison. As a point of support
we attend certain critical interpretations made by other educators and, also take into
account other theoretical contributions made by various researchers through which
the analysis is deepened.
Keywords: Learning mathematics, Dienes’ theory, Brousseau’s theory, Alson’s
theory.
DIENES, BROSSEAU AND ALSON: THREE CONSTRASTING
VIEWS ABOUT MATHEMATICS LEARNING
Revista Informe de Investigaciones Educativas, Vol. XXVII, Nº 2; año 2013. Págs. 25-57. ISSN: 1316–0648.
Depósito legal Pp. 198504DF11. Walter Beyer. ARTÍCULOS

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Walter Beyer
INTRODUCCIÓN
The mediocre teacher tells.
The good teacher explains.
The superior teacher demonstrates.
The great teacher inspires.
William Arthur Ward
En el presente trabajo se realiza un intento
de comparación, en una primera aproxima-
ción, contrastando algunos planteamientos
formulados por tres didactas de la matemática:
Zoltan Dienes, Guy Brousseau y Pedro Alson,
estableciendo algunos aspectos convergen-
tes y otros divergentes expresados por estos
autores en lo que concierne a la enseñanza/
aprendizaje de la matemática.
Se comenzará por describir someramente
algunas ideas formuladas por Dienes, muy
particularmente las seis etapas del aprendi-
zaje que él plantea (Dienes, 1977), junto con
los diversos principios, que en su conjun-
to fundamentan su teoría del aprendizaje
matemático. Para ello se acudirá a la fuente
original de sus escritos, así como también se
recurrirá a algunas interpretaciones críticas
de sus ideas por parte de diversos educadores
matemáticos.
Figura 1. De izq. a der: Z. P. Dienes, G. Brousseau y P. Alson
Seguidamente, se estudiarán algunos de
los planteamientos de Brousseau, muy espe-
cialmente en lo que atañe a los fenómenos
didácticos asociados al contrato didáctico.
En particular será punto al que se prestará
una atención preferencial el referido al efecto
Dienes, el cual es considerado por Brousseau
como un caso de un efecto más general: el
efecto Jourdain.
Respecto de los planteamientos de Alson,
se tocarán fundamentalmente sus concep-
ciones sobre lo que él concibe como situa-
ciones didácticas; sus observaciones sobre
la ostensión, el uso que hace de la descrip-
ción y el enriquecimiento del cuadro gráfico,
constructo debido a Douady (1984, 1987 y
1995), mediante la incorporación de diversos
dispositivos a través de los cuales es posible
la manipulación de las curvas.
La idea, en fin, es contrastar ciertos as-
pectos de los planteamientos de Dienes y
Brousseau, para luego emplear algunos de
los elementos teóricos planteados por Al-
son y poder establecer algunos puntos de
encuentro así como los desencuentros entre
los planteamientos de estos tres autores.

Informe de Investigaciones Educativas. Vol. XXVII. año 2013
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Las tesis de Zoltan Dienes
El psicólogo Zoltán Pál Dienes (nacido
en Hungría en 1916) estudió en Inglaterra y
desarrolló allí buena parte de su vida acadé-
mica. Asimismo, Australia y Canadá contaron
con el trabajo creador de Dienes, quien actuó
como consultor en muchos otros países. Este
psicólogo creó una teoría específica del apren-
dizaje de las matemáticas, la cual recoge en su
libro de 1960 Building up mathematics, teoría
basada inicialmente en una concepción del
aprendizaje en tres etapas. Las tres etapas se
convirtieron posteriormente en seis. Dienes
presenta esta evolución de su pensamiento en
su obra, de 1973, The six stages in the process
of learning mathematics.
Es de destacar que las obras de Dienes antes
señaladas datan de la época en que estaba en
boga el movimiento de la Matemática moderna,
por lo cual los ejemplos que él proporciona
están marcadamente influidos por una visión
estructuralista de la matemática.
Como apoyo a sus concepciones sobre el
aprendizaje, Dienes creó una serie de mate-
riales concretos; entre los más conocidos se
hallan los Bloques Aritméticos Multibase, el
Material de Experiencia Algebraica y la Balanza
de Dienes, con los cuales se dedicó a mostrar
y experimentar sus puntos de vista.
Posteriormente Dienes orientó sus investi-
gaciones hacia lo que él denomina conocimiento
implícito y explícito.
De seguidas se pasa a explicar, de manera
sintética, las concepciones que Dienes maneja
acerca del aprendizaje de las matemáticas.
Dienes (1977) parte de dos interrogan-
tes fundamentales: ¿qué significa entender? y
¿qué significa aprender? Comienza haciendo
un deslinde de su concepción con respecto a
las posturas conductistas, en razón de lo cual
puntualiza que “la relación estímulo-respuesta
constituye un método que, en el plano tanto de
la comprensión como del aprendizaje ulterior,
representa una barrera en la mayoría de los
casos” (Dienes, 1977, p. 7). Una vez realizada
la anterior aclaratoria él se sitúa en un punto
de vista de acuerdo con el cual “sólo a partir
de un entorno [contexto] rico puede el niño
constituir sus conocimientos” (ibid), y esto lo
concibe por analogía con el aprendizaje de la
lengua materna.
Buena parte de su pensamiento pedagógico
en torno a la enseñanza/aprendizaje de la ma-
temática queda sintetizado en una entrevista
(Sriraman y Lesh, 2007). Allí señala Dienes:
La matemática se caracteriza por las es-
tructuras, no hay negación a este hecho y
en mi opinión es importante exponer a los
estudiantes a estas estructuras tan temprano
como sea posible. Esto no significa que no-
sotros le digamos directamente lo que estas
estructuras son sino usar juegos matemáticos
y otros materiales para ayudarles a descubrir
y a entender estas estructuras (p. 61).
Recalca además Dienes que en su “teoría
de las seis etapas del aprendizaje […] la etapa
de la formalización viene muy al final” (ibid).
Para Dienes son importantes los procesos
de abstracción, de generalización y de comu-
nicación. En torno al primero, el proceso de
abstracción, señala que se pueden distinguir
seis etapas.
A continuación se hará una síntesis apre-
tada de estas etapas.

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Walter Beyer
En la primera etapa, el entorno –que puede
identificarse con el contexto– juega un pa-
pel crucial. En su concepción el aprendizaje
es asociado con una cierta modificación del
comportamiento para adaptarse al entorno.
Según Dienes (1977) “la adaptación tiene
lugar en una fase que podemos llamar de libre
juego” (op. cit., p. 8). Este juego se desarrolla
al enfrentar al niño ante situaciones, por lo
cual “se hace necesario[...] inventar un entor-
no artificial” (op. cit., pp. 8-9). Él ejemplifi-
ca esto señalando que uno de estos entornos
artificiales es el generado por el universo de
los Bloques Lógicos, en los cuales “varían de
forma sistemática las siguientes variables: el
color, la forma, el grosor y el tamaño. Evi-
dentemente, no hay por qué limitarse a estas
cuatro variables” (op. cit., p. 9).
Es interesante notar aquí, como punto al
margen de la discusión que se viene planteando,
que varias de estas variables –color, forma,
tamaño– son consideradas por Bertin (1982)
a efectos de la construcción de gráficas planas.
Ello no es mera casualidad ya que existe en
esto un importante fundamento didáctico que
debe ser considerado para la estructuración
y diseño de situaciones de aprendizaje que
involucren gráficas.
Volviendo a Dienes, una característica
sine qua non de esta primera etapa es la libre
interacción del niño con el material.
La segunda etapa es para Dienes una en
la cual el juego ya no es libre. El niño percibe
restricciones y “se da cuenta de las regulari-
dades impuestas a cada situación. [... el niño
deberá] jugar contando con unas restricciones
que se le impondrán artificialmente” (Dienes,
1977, p. 9).
Interpretando el pensar de Dienes constru-
yamos un ejemplo para ilustrar el funciona-
miento de las dos primeras etapas. La situación
que se le propondría al niño consistiría en
una cuadrícula subdividida en nueve casillas
o escaques (el juego puede estar hecho sobre
papel o utilizarse algún material como plástico
o madera) a ser llenados con números. En la
primera etapa, siguiendo a Dienes, se dejaría
al párvulo llenar las casillas a su antojo con
números y efectuar con estos las operaciones
que a él se le ocurran. En la etapa subsiguiente
se le impondría de ciertas reglas de juego:
restricción sobre los números a ser usados,
restricción sobre las operaciones permitidas,
restricción sobre los resultados aceptables. Se
estaría en la onda de los cuadrados mágicos.
Nótese que no se centra la situación, como lo
hace Dienes muchas veces, en una que gire
necesariamente alrededor de una estructura
matemática3
, por cuanto Dienes enfatiza en
esto –como antes se señalara– porque en la
época de los trabajos suyos a los que aquí se
hace referencia esta era la tendencia dominante
en la enseñanza de la matemática: un fuerte
impacto del estructuralismo matemático.
En la segunda etapa es permisible (y se
diría que deseable), de acuerdo con la concep-
ción de Dienes (1977), que “los niños podrán,
además, inventar otras reglas, cambiar las da-
das y jugar al juego correspondiente” (p. 10).
Continuando con el ejemplo de los cuadrados
mágicos, se les podría haber impuesto a los
alumnos que la operación a ser considerada
3
No obstante, es de recalcar que tras los cuadrados mágicos se hallan varias estructuras algebraicas: la de
grupo y la de espacio vectorial.

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fuese la adición, que los números fuesen sólo
dígitos sin repetición y que la suma diese 15.
Los niños podrían realizar varios cambios:
cambiar la operación, permitir la repetición
de números, aceptar números de dos cifras,
variar el valor de la constante mágica e incluso
considerar cuadrados mágicos de un orden
superior a tres. Toda una riqueza escondida
en la simple propuesta inicial del juego. Lo
que interesa, según Dienes (op. cit.), es “el
manejo de las regularidades” y en cierta forma
se podría asociar esto con la concepción que
Steen tiene de la matemática como ciencia de
los patrones. El otro desideratum es que “los
juegos se desarrollarán mediante materiales
estructurados” (op. cit., p. 10).
Pasemos ahora a echar un vistazo a la
tercera etapa. Afirma el matemático que
“evidentemente, jugar a juegos estructura-
dos según las leyes matemáticas relativas a
una estructura matemática cualquiera, no es
aprender matemática” (Dienes, 1977, p. 10).
La pregunta que se formula llegado a este
punto es cómo abstraer las nociones y concep-
tos matemáticos a partir de las experiencias
realizadas en las etapas anteriores. A tal fin
se plantea el que los niños “jueguen a juegos
que posean la misma estructura, pero que
tienen una apariencia diferente para el niño”
(ibid.). Alrededor de este planteamiento se
ubica el importante concepto matemático de
isomorfismo, el cual es empleado aquí para la
planificación didáctica y el diseño de situa-
ciones de aprendizaje.
Si se sigue con la situación diseñada en
torno a los cuadrados mágicos es posible
encontrar otra situación que, no obstante
parecer disímil de ésta, es isomorfa a ella. Se
pueden conseguir juegos que cumplan con
esta condición, como es el caso de cierto juego
que puede ser construido mediante naipes.
De lo que se trata, según Dienes, es de que el
niño se apropie de la estructura común que
presentan los juegos y esto es lo que para él
representa una abstracción.
El medio para lograr construir los juegos
isomorfos está en la presencia de diversas va-
riables y que cada una de ellas pueda asumir
distintos valores.
La cuarta etapa se centra en el proceso de
representación. Plantea este investigador que
antes de tomar plenamente conciencia de una
abstracción, el niño necesita un proceso de
representación. [...] Una de estas represen-
taciones puede ser un conjunto de gráficos,
puede ser un sistema cartesiano, puede ser
un diagrama de Venn, o cualquier repre-
sentación visual o incluso auditiva (Dienes,
1977, p. 11).
Como se aprecia, se tiende a un proceso
de formalización creciente.
La siguiente etapa, la quinta, corresponde
a un nivel superior. “Tras la introducción de
una representación, o incluso de varias repre-
sentaciones de la misma estructura, resultará
posible examinar dicha representación. [...]
necesitamos una descripción de lo que hemos
representado” (ibid.). Agrega Dienes que “ne-
cesitamos, evidentemente, un lenguaje, [...]
esta quinta etapa debe venir acompañada de la
invención de un lenguaje y de la descripción
de la representación a partir de este lenguaje
inventado” (op. cit., p. 12). Se nota aquí cierta
similitud con lo que Brousseau denomina la
institucionalización.
Si se sigue en la línea del ejemplo de los
cuadrados mágicos, tal vez no haya solución
de continuidad entre las etapas cuatro y cin-
co: se podría replantear el problema inicial,

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Walter Beyer
representándolo (¿describiéndolo?) mediante
un sistema de ecuaciones.
En la etapa final, la sexta, Dienes (1977) se
propone “limitar la descripción a un dominio
finito, con un número finito de palabras. Ello
implica la necesidad de un método para llegar
a ciertos puntos de la descripción, dada una
primera parte que tomamos como punto de
partida” (p. 12). Se trata de la introducción aquí
de los mecanismos de validación matemática:
las pruebas; y sería de agregar la necesidad de
introducir además la argumentación.
Las etapas planteadas son en principio de
complejidad creciente.
Afirma Dienes (1971) que
(…) si los niños han de asimilar las relacio-
nes con rapidez y efectividad con respecto a
cualquier estructura matemática que quera-
mos enseñarles, debemos presentársela con
diversas materializaciones de esa estructura
en determinado universo del discurso, para
ayudarlos a encontrar la diferencia entre los
ejemplares y los no ejemplares. Esto im-
plica el uso de dos principios que pueden
formularse así:
a. el principio de materialización múltiple
b. el principio del contraste.
La presentación de muchas materializaciones
asegurará que eventualmente sólo se retenga la
estructura esencialmente matemática de todas
las situaciones materializadas, de modo que
ejemplares no encontrados previamente serán
a pesar de ello reconocidos como poseedores de
la citada estructura matemática. Los ejemplos de
contraste están para asegurar que las situaciones
que no poseen la estructura matemática serán
reconocidos como carentes de ella (p. 28).
Hay que recalcar aquí que Dienes enfatiza
mucho en la noción de estructura, lo cual
hace ver la concepción estructuralista de la
matemática que subyace a su planteamiento
didáctico. Por otra parte, al Principio de ma-
terialización múltiple él lo llamó Principio de
variabilidad perceptiva en su libro Building
up mathematics.
Veamos cómo son percibidos los plan-
teamientos de Dienes por otros educadores,
como es el caso de Nicole Picard.
Picard (1970), haciendo referencia a Die-
nes, indica que
Los principios del Método de Dienes se
fundamentan en los trabajos de Piaget y
en los de Bartlett, así como en sus propias
observaciones. Son los siguientes:
1º) principio de constructividad. La cons-
trucción precede al análisis y conduce hasta
él hacia los doce años;
2º) principio de variabilidad matemática.
Haciendo variar lo más ampliamente posible
a las variables, hacemos aparecer claramente
lo que es invariante durante la variación;
3º) principio de variabilidad en la percepción.
Para acordar la mayor extensión posible a
las diferencias individuales en la formación
de los conceptos y para llevar a los niños a
adquirir el sentido de la abstracción mate-
mática, la misma estructura será presentada
bajo la forma de equivalentes perpetuos lo
más variados posibles (p. 16).
Esta autora adopta los tres principios de
Dienes antes mencionados y, basándose en
Piaget, agrega un cuarto principio: el de la
utilización de las representaciones.

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Con respecto a las representaciones se
encuentra en Beyer (2006) una amplia dis-
cusión del tema y sobre éste se harán unos
comentarios más adelante.
Por su parte, afirma Picard (1970) que
“sin entrar en el detalle de su adquisición,
podemos decir que todas las representaciones
tienen en común el carácter de poder ser a la
vez traducidas por un dibujo y formalizadas”
(p. 18).
Dienes (1971) por su lado afirma que
(…) nos hemos referido al principio de va-
riación de todas las variables matemáticas
pertinentes como principio de variabilidad
matemática. Mediante la variación máxima
de las variables nos aseguramos que se ha
de ver lo que es esencialmente invariante
durante la variación (p. 29).
A lo cual agrega que
(…) aparte de la observación de los principios
de materialización múltiple, de contraste y
de variación matemática, hay muchos otros
pasos que se pueden tomar para convertir
al proceso del aprendizaje de las estructuras
matemáticas en más efectivo y más agradable
para los niños (ibid.).
Resnick y Ford (1990) aseveran que “Dienes
estudia el problema de diseñar una enseñan-
za significativa (una enseñanza que tenga en
cuenta tanto la estructura de las matemáticas
como las capacidades cognoscitivas del estu-
diante) desde su punto de vista de profesor
de matemáticas” (p. 143).
El enfoque de Dienes parte de varias pre-
misas fundamentales. “Cree que los niños son
constructivistas por naturaleza, más que ana-
líticos” (Resnick y Ford, 1990, p. 143). Como
consecuencia de esta creencia, él “propone que
se creen materiales de enseñanza que mate-
rialicen estas estructuras, y las acerquen al
campo de la experiencia concreta” (ibid.). En
este sentido Resnick y Ford (1990) comentan
que los materiales construidos por Dienes lo
son expresamente para fines didácticos, por
lo cual ellos están, por un lado, desprovistos
de elementos distractores y, por otro lado,
“dan forma a las estructuras matemáticas sin
estar ligados necesariamente a los sistemas de
notación simbólica” (p. 144).
Otra premisa de su enfoque queda patente
en la siguiente cita de Resnick y Ford (1990):
Según Dienes, el desarrollo de los conceptos
matemáticos se consigue mejor mediante una
serie de patrones cíclicos, cada uno de los
cuales supone una secuencia de actividades
de aprendizaje que van de lo concreto a lo
simbólico. El ciclo de aprendizaje es una
interacción planificada entre un segmento
de un cuerpo de conocimiento estructurado
y un estudiante activo, llevada a cabo con
la ayuda de unos materiales matemáticos
diseñados ad hoc (p. 148).
En la interpretación que hacen Resnick
y Ford (1990) de la teoría de Dienes, ellas
expresan que este
(…) pudo demostrar que se producía un
aprendizaje subsidiario de conceptos más
sencillos al aprender juegos complejos que
aplicaban los conceptos de grupo matemático
[...]. Los estudiantes que aprendían mejor
un juego matemáticamente más comple-
jo, aprendían una versión más sencilla del
mismo de forma más rápida que los que
aprendían primero el juego más sencillo;
[...] Dienes ha sugerido que algunos con-
ceptos matemáticos se deben presentar
con cierto grado de complejidad, en lu-
gar de presentarlos mediante la secuencia

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Walter Beyer
de pasos pequeños que se derivaría del
análisis de los componentes sencillos. La
lógica de este enfoque es que el marco del
trabajo matemático que subyace a ciertos
conceptos se debe comprender para que la
enseñanza tenga sentido y para facilitar el
aprendizaje de los componentes más sen-
cillos, ofreciendo una base que sirve para
organizarlos [negrillas añadidas] (p. 76).
Un aspecto importante en el planteamien-
to anterior es que rompe con la concepción
lineal de la enseñanza de la matemática que
por muchos años ha subsistido –y que aún
hoy en día subsiste en muchos docentes–, y
en su lugar plantea la posibilidad aplicable
en algunos casos de enseñar aspectos más
generales cuya comprensión es previa a la
enseñanza de aspectos de un orden particular.
Un ejemplo de ello, aunque tal vez esto no es
el espíritu del comentario de Resnick y Ford
sobre Dienes, se encuentra en la enseñanza
de la geometría, en la cual primero se ense-
ñan aspectos de geometría del espacio (los
cuales antes eran concebidos como de tipo
más general) para luego abordar los aspectos
concernientes a la geometría plana.
El texto enfatizado en la cita precedente
refleja a las claras la posición anticonductista
asumida por Dienes, la cual se había señalado
con anterioridad.
Siguiendo con la visión de Dienes a través
de Resnick y Ford se encuentra que
Dienes opina que para que los conceptos
matemáticos se puedan abstraer debidamente
de una serie de episodios de aprendizaje, los
conceptos se deben presentar en materiali-
zaciones múltiples, es decir, los niños deben
trabajar con materiales de tipos diferentes,
cada uno de los cuales materialice el concepto
en cuestión. [...] Según Dienes, las diversas
materializaciones deben diferenciarse entre
sí todo lo que sea posible (principio de la
variabilidad perceptual), de forma que los
niños sean capaces de «ver» la estructura
desde varias perspectivas diferentes, y de
construirse un rico almacén de imágenes
mentales que rodeen a cada concepto. [...] Las
materializaciones múltiples deben permitir
también la manipulación de toda la gama
de variables matemáticas que se asocian a
un concepto: es el principio de Dienes de
la variabilidad matemática. Se supone que
las variaciones matemáticas clarifican hasta
qué punto se puede generalizar un concepto
a otros contextos (Resnick y Ford, 1990,
p. 149).
Una acotación adicional es que “Dienes
cree que siempre que sea posible se deben
tratar los conceptos en sus manifestaciones
geométricas, físicas e incluso sociales, ade-
más de en sus manifestaciones aritméticas
y algebraicas [negrillas añadidas]” (Resnick
y Ford, 1990, p. 150).
Esta acotación de Resnick y Ford pone
a la teoría de Dienes en sintonía con la Teo-
ría de las Múltiples Inteligencias de Howard
Gardner. Es así como Oteiza y Miranda (2001)
afirman que
(…) la generalización, proceso básico en la mate-
mática, se fundamenta en la extracción común de
la multiplicidad. Los trabajos de Howard Gardner
muestran que, además, se posibilitan caminos
a quienes muchas veces han estado fuera de la
comprensión de las vías preferentes de entrega de
conocimiento: la forma eminentemente verbal-
formal de presentar la matemática (p. 210).
Como vía alterna se propone
(…) enseñar a manejar siempre múltiples
representaciones, y de naturalezas distintas
(motoras, cinestéticas, visuales, auditivas,

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verbales, simbólicas, etc.) y enseñar a co-
nectarlas entre sí (estrategia similar a la de
buscar ‘varios puntos de entrada’, que reco-
mienda el psicólogo de la educación Howard
Gardner) (Oteiza y Miranda, 2001, p. 209).
Hay quienes establecen también una aso-
ciación de la teoría de Dienes con la de Van
Hiele. Es el caso de Treffers (1987); aunque
esto no se tratará aquí, sí se hará referencia
a un comentario muy importante que sobre
Dienes hace Treffers, el cual viene justamente
a tono con el presente análisis. Señala Tre-
ffers que “la influencia de Dienes en ciertos
dominios es ciertamente nada despreciable,
sin embargo, él ha sido aparentemente in-
terpretado de una manera errónea [negrillas
añadidas]” (Treffers, 1987, p. 276). Pero Tre-
ffers también hace alusión a las críticas que,
desde la óptica del Interaccionismo Simbólico,
le formula Bauersfeld a Dienes; esto dentro
del marco de una crítica a las concepciones
estructuralistas, ya que Dienes, al ser un pro-
motor de las ideas de la Matemática moderna,
se encuentra lógicamente situado dentro de
estas concepciones.
La amplia referencia a la exposición que
de la teoría de Dienes hacen Resnick y Ford
se justifica por cuanto dichas autoras asumen
una posición amplia y no restringida (como a
nuestro juicio hace Brousseau) de sus plantea-
mientos, sirviendo en consecuencia de gran
apoyo a la línea de pensamiento que vertebra
el presente análisis. Así, la interpretación de la
teoría de Dienes formulada por estas autoras
está bastante cercana a la que tiene el autor.
En lo que sigue se presentarán algunos
ejemplos para tratar de clarificar aún más al-
gunos puntos de los planteamientos de Dienes.
A efectos de ilustración se toman en con-
sideración los problemas de tipo aditivo, los
cuales son ampliamente estudiados por Verg-
naud (1995). Bajo el título de problemas de
tipo aditivo este autor engloba aquellos cuya
solución sólo requiere de las operaciones de
adición y sustracción y clasifica a estos en
seis categorías:
1. Dos medidas se componen para dar lugar
a una medida;
2. una transformación opera sobre una
medida para dar lugar a una medida;
3. una relación une dos medidas;
4. dos transformaciones se componen para
dar lugar a una transformación;
5. una transformación opera sobre un estado
relativo (una relación) para dar lugar a
un estado relativo;
6. dos estados relativos (relaciones) se com-
ponen para dar lugar a un estado relativo.
Por ejemplo, corresponde a la primera
categoría el problema Pablo tiene 6 metras
de vidrio y 8 de acero, luego tiene en total 14
metras; mientras que el enunciado Pablo ganó
6 metras ayer y perdió hoy 9, cuyo resultado
es que en total perdió 3, corresponde a la
cuarta categoría.
Viendo esta propuesta al trasluz de la
teoría de Dienes, se podría asociar aquí la
noción de variabilidad matemática, la cual
está presente al considerar como elemento
variable precisamente las categorías seña-
ladas por Vergnaud.
Otra situación que vale la pena traer a
colación es la referida a la enseñanza de las
expresiones de la forma
a
b
.

35
Walter Beyer
Existen muchos estudiosalrespecto,pero
unosmuyinteresantessoneldeMancera(1992)
y el de Andonegui Zabala (2006). En lo que a
estetópicoserefieresepuedeseñalarqueestas
expresionespuedenserconsideradascomouna
relaciónparte-todo(fracciónpropiamentedicha),
como un cociente, como una razón, como un
operador, como una medida, como represen-
tacióndeun número racional.Tambiénentran
en acción aquí los principios de variabilidad.
Al respecto de este tema, y en virtud del
principio de variabilidad, Dienes (citado por
ClementeGarduño,AyalaGarcía,FavilaJardón
y López Estrad, 2001) dice que
Siqueremosmantenerlaenseñanzadelasfrac-
cionesdecimalesenlaintroduccióndelnúmero
decimal,paraqueseanbienentendidaspornues-
trosalumnosesnecesarioquetomenconciencia
de la existencia de otras fracciones, de las que
la decimal es un caso particular (Qué opinan
algunos investigadores educativos sobre las
fracciones, ¶2).
Otro ejemplo ilustrativo tiene que ver con
lasfunciones.EnBeyer(1996)sehacereferencia
a diversas maneras de conceptuar y de repre-
sentar este importante objeto matemático. La
aplicación del principio de variabilidad queda
expuesta con el uso de tablas de valores, dia-
gramas de Venn, gráficas, diagramas de flujo,
fórmulas, etc. como formas alternativas para
representar las funciones. Asimismo, se insis-
te en las traducciones de una a otra forma de
representación.
Todavíahademencionarseuntrabajomás
reciente de Dienes (2000), en el cual aplica su
Teoría de las seis etapas para la enseñanza de
los números enteros.
Expresa Dienes (1971), por una parte, que
“la presentación de muchas materializaciones
aseguraráqueeventualmentesóloseretengala
estructuraesencialmentematemáticadetodas
lassituacionesmaterializadas”(p.28);y,porotra
parte, que “mediante la variación máxima de
las variables nos aseguramos que se ha de ver
lo que es esencialmente invariante durante la
variación”(op.cit.,p.29).Estosplanteamientos
conducen directamente a discutir el problema
delaostensión,tópicoqueseráexaminadomás
adelante.
Para finalizar este apartado, se muestra un
modelo que plantea Lesh sobre las múltiples
Figura 2. Diversas formas de representación, según Lesh (Lesh y otros, 1987; Cramer y otros, 1997)
Simbolos
escritos
Simbolos
verbales
Gráficos
Manipulables
Situación de la
vida real

36
representacionesylasposibilidadesdetraducir
unas a otras.
Cramer, Behr, Post, y Lesh (1997) afir-
man que
(…) este modelo para enseñar y aprender re-
fleja la estructura teorética sugerida por Jean
Piaget, Jerome Bruner, y Zoltan Dienes. Richard
Lesh, un director del RNP4
, sugirió un modelo
instruccional el cual muestra claramente cómo
organizar la instrucción de manera que los niños
estén activamente envueltos en su aprendizaje.
[Considere la Figura 2]. Lesh sugiere que las
ideas matemáticas pueden ser representadas
en las cinco maneras mostradas allí. Los niños
aprenden por medio de las oportunidades de
exploración de ideas en estas diferentes maneras
y por medio de la realización de conexiones entre
las diferentes representaciones. Este modelo guió
el desarrollo del currículum RNP (I. Teacher’s
Guide, Theoretical Framework, ¶2).
La postura de Guy Brousseau
Señala Brousseau (1986) que
(…) por su ‘proceso psicodinámico’, Dienes
propone un proceso de aprendizaje funda-
do en el reconocimiento de las semejanzas
entre ‘juegos estructurados’ y después sobre
la esquematización y la formalización de
estas ‘generalizaciones’ dirigidas.
Se trata de hecho de una descripción y
de una sistematización de ciertas prácticas
de enseñanza ya en uso, como la repetición
de problemas o ejemplos semejantes para
inducir una respuesta tipo, acompañada de
una traducción en términos matemáticos:
los problemas semejantes se convierten en
‘ìsomorfos’ y una generalización en un ‘paso
al cociente’ (p. 19).
Para poder interpretar o darle sentido a las
anteriores afirmaciones de Brousseau hay que
realizar un breve tour por las concepciones
que se manejan dentro de la escuela didáctica
conocida como Didáctica fundamental, a la
cual se adscribe el pensamiento de Brousseau.
Para esta corriente de pensamiento el pro-
ceso de enseñanza/aprendizaje se desarrolla
dentro de un sistema, conocido como sistema
didáctico, en el cual juegan papel preponderante
algunos elementos: el docente, el alumno, el
saber y el medio (milieu); y cada uno de estos
elementos puede también ser concebido como
un sistema (subsistema del sistema didáctico),
sistemas que se dinamizan mediante el milieu.
La operatividad del sistema didáctico
se produce mediante diversos mecanismos,
procesos e interacciones. Así, por ejemplo, las
relaciones de los alumnos con el docente están
regidas por unas normas, que en el lenguaje de
Brousseau, se denominan el Contrato didác-
tico. Este contrato, en palabras de Brousseau
(citado por Charnay, 1994), es el
Conjunto de comportamientos (específicos)
del maestro que son esperados por el alumno,
y conjunto de comportamientos del alumno
que son esperados por el maestro, y que
regulan el funcionamiento de la clase y las
relaciones maestro-alumno-saber, definiendo
así los roles de cada uno y la repartición de
las tareas: ¿quién puede hacer qué?, ¿quién
debe hacer qué?, ¿cuáles son los fines y los
objetivos?... (p. 54).
4
RNP son las siglas de Rational Number Project.

37
Walter Beyer
Para Brousseau (1986)
(…) lo importante son las rupturas del contrato
[…, ya que] su respeto escrupuloso condenará
la relación didáctica al fracaso […; y además,
señala que] el conocimiento será lo que resolverá
la crisis nacida de estas rupturas que no pueden
estar predefinidas (pp. 15-16).
En fin, las negociaciones y rupturas del
contrato dictarán la pauta de la dinámica del
proceso didáctico.
Para poder hacer funcionar al sistema
didáctico se plantea la necesidad de una
ingeniería (Ingeniería didáctica) que ha de
producir el diseño de diferentes situaciones.
Así, Godino (1991) al describir la teoría de
Brousseau señala que
(…) una «situación didáctica» es un conjunto
de relaciones explícita y/o implícitamente
establecidas entre un alumno o un grupo
de alumnos, algún entorno (incluyendo ins-
trumentos o materiales) y el profesor con
un fin de permitir a los alumnos aprender,
es decir reconstruir, algún conocimiento
(p. 133).
Por otra parte:
Las situaciones ‘a-didácticas’ son las situa-
ciones de aprendizaje en las que el maestro
ha logrado hacer desaparecer su voluntad,
sus intervenciones, en tanto información
determinante de lo que el alumno hará: son
las que funcionan sin la intervención del
maestro en el nivel de los conocimientos
[negrillas añadidas] (Brousseau, 1984, pp.
73-74).
De acuerdo con Chevallard, Bosch y Gascón
(2000), “el principio metodológico fundamen-
tal de la teoría de las situaciones didácticas
consiste en poner en correspondencia todo
saber determinado con una clase mínima de
situaciones que hacen aparecer este conoci-
miento como medio óptimo para solucionar
estas situaciones” (p. 342). Asociadas a estas
situaciones se encuentra un elemento impor-
tante mediante el cual se puede modificarlas
y construir nuevas situaciones: se trata de un
elemento variable.
Se llaman variables de una situación matemática
a aquellos elementos de la situación susceptibles
de tomar diferentes valores y que, al tomarlos,
producen cambios en la estrategia ganadora. Si
los valores de la variable pueden ser fijados por
el docente, se trata de una variable didáctica
(Chevallard, Bosch y Gascón, op. cit., p. 343).
El diseño de las situaciones didácticas des-
cansa, en consecuencia, sobre la posibilidad
de manipulación de estas variables, proceso
que debe ser sumamente cuidadoso si nos
atenemos a la advertencia de Brousseau (2000)
quien señala que “la equivalencia matemática
no tiene como consecuencia la equivalencia
cognitiva” (p. 9). Un ejemplo palpable de este
aserto se encuentra en la categorización de los
problemas de tipo aditivo que hace Vergnaud.
El proceso del diseño de las situaciones lo
fundamenta Brousseau (2000) en que
conjeturamos que el conjunto de situacio-
nes que caracterizan a una misma noción
está estructurado y puede ser engendrado
a partir de un pequeño número de situacio-
nes llamadas fundamentales, a través de un
juego de variantes, de variables y de cotas
sobre estas variables (p. 13).
Las consideraciones anteriores están muy
influidas por ciertos elementos de la teoría
piagetiana, como los procesos de asimilación/
acomodación. También se parte de la carac-
terización del alumno como un ente activo.

38
Estos elementos están en armonía con la con-
cepción de Dienes.
Para Brousseau (1986), “la enseñanza es
la devolución al alumno de una situación
a-didáctica correcta; el aprendizaje es una
adaptación a esta situación” (p. 15). En la
concepción de Brousseau “el maestro debe
por tanto efectuar no la comunicación de un
conocimiento, sino la devolución de un buen
problema” (op. cit., p. 15). Además, “si esta
devolución se lleva a cabo, el alumno entra
en el juego y si acaba por ganar, el apren-
dizaje se ha realizado” (ibid.). Él considera
estas situaciones como un juego formal, en
el sentido de Von Neumann y Morgenstern.
Aclara Brousseau que “el juego debe ser tal,
que el conocimiento aparezca en la forma
elegida, como la solución o como el modo
de establecer la estrategia óptima” (op. cit.,
p. 30). Señala que “en el ‘juego’ del alumno
con el medio, los conocimientos son la forma
de aprehender las reglas y las estrategias de
base, y luego los medios de elaborar estrategias
ganadoras y obtener el resultado buscado”
(op. cit., p. 24).
Según Chevallard, Bosch y Gascón (2000),
siguiendo las ideas de Brousseau:
Aprender un conocimiento matemático
significa adaptarse a una situación adi-
dáctica específica de dicho conocimiento,
lo que se manifiesta mediante un cambio
de estrategia del jugador (el alumno), que
le lleva a poner en práctica la estrategia
ganadora de manera estable en el tiempo
y estable respecto a los diferentes valores
de las variables de la situación adidáctica
[negrillas añadidas] (p. 344).
Puede interpretarse que el juego del profesor,
en lo que concierne al proceso de devolución
de situaciones al alumno, se fundamenta en
la manipulación de las variables didácticas, y
por ende no es otra cosa la que aquí subyace
sino un principio de variabilidad; además, la
nueva situación –construida de una anterior
por manipulación de las variables didácticas-
se asemeja hasta cierto punto a los juegos
isomorfos que propone Dienes.
Por otra parte, “en el juego del maestro
con el sistema alumno-medio, el contrato di-
dáctico es la forma de establecer las reglas y
estrategias de base para adaptarlas después a
los cambios del juego del alumno” (Brousseau,
1986, p. 24).
En principio se considera al juego sólo como
un modelo para la situación; pero, pareciera
irse más allá y establecerse prácticamente un
isomorfismo o identificación entre ambos:
Juego=Situación.
Este proceso de devolución, según Brous-
seau (1986), se da por etapas (esto lo ilustra
con un ejemplo):
• Primera etapa: acercamiento puramente
lúdico. En este punto, según esta teoría, los
alumnos no han comprendido aún que al-
gunos los resultados del juego son deseables
mientras que otros no lo son.
• Segunda etapa: devolución de una prefe-
rencia. Esta etapa se caracteriza por el hecho
de que los alumnos han comprendido bien
cuál es el efecto deseado, pero atribuyen los
resultados, buenos o malos, a una especie de
fatalidad o casualidad.
• Tercera etapa: devolución de una respon-
sabilidad y de una causalidad. En este estadio
el alumno debe tomar conciencia de que tiene
una responsabilidad en lo que acontece y debe
considerar lo que hace como una elección
entre diversas posibilidades (alternativas) y

39
Walter Beyer
poder establecer una relación de causalidad
entre las decisiones que toma y los resultados
que él obtiene.
• Cuarta etapa: devolución de la antici-
pación. En este nivel, el alumno debe poder
establecer las consecuencias de asumir una
alternativa antes de la decisión de tomarla
como una “jugada”.
• Quinta etapa: devolución de la situación
a-didáctica. En este punto, Brousseau señala
que no basta que el alumno gane, es decir, que
haya accedido a la estrategia óptima, sino que
“es necesario que sepa reproducirla a volun-
tad, en circunstancias variadas” (Brousseau,
1986, p. 17).
Aquí hay que detenerse un poco y tratar
de mirar algunos aspectos fundamentales
en el planteamiento de Brousseau. Hasta los
momentos el planteamiento se sustenta en
algunos elementos de la teoría de Piaget, al
considerar al alumno como un ente activo,
modelar (¿identificar?) la situación con un
juego y contemplar una serie de etapas. Por
lo menos, a primeras vistas, parecieran existir
bastantes semejanzas con el planteamiento de
Dienes. Más adelante, se mirarán con mayor
profundidad estas aparentes coincidencias y se
tratará de establecer si son sólo superficiales o
si existen elementos realmente identificables
en ambas posiciones.
¿Cómo se verían estas etapas en el juego
de los cuadrados mágicos?
Si se plantea este problema como el de
rellenar las nueve casillas con los números del
1 al 9 sin repetir ni omitir ninguno y además
con la condición de que la suma de todas las
líneas (filas, columnas y diagonales) produzca
15, puede acontecer que en una configuración
algunas líneas sumen 15, pero en otras de ellas
la suma no produzca ese resultado, como, por
ejemplo, en la configuración que se muestra
a continuación:
3 9 2
4 5 6
8 1 7
Se puede comprobar que las filas 1 y 3
no suman 15.
Aquí, interpretando la primera etapa de
Brousseau, y a semejanza de la de Dienes,
priva el libre juego, el ensayo y error, no hay
una metodología y/o estrategia bien definida
por parte de los alumnos.
En la siguiente etapa los alumnos ya estarían
conscientes del efecto deseado. En este caso
consistiría en buscar adicionarle una unidad
a la primera fila y disminuir en una unidad
la suma de la última fila. No obstante, ello
desajusta las líneas cuyas sumas eran correc-
tas y podría parecer que el procedimiento es
totalmente casual.
Si se aborda el siguiente estadio, aquí el
alumno debe hacerse responsable de lo que
acontece, tomar conciencia de que sus ac-
ciones son las que producen los resultados,
adecuados o no.
Avanzando a una etapa superior, el alumno
puede anticipar los resultados al considerar
un posible curso de acción; puede visualizar
las consecuencias de una toma de decisiones.
Por ejemplo, si sustituye el 2 de la esquina no-
reste por un 3 resuelve el problema de la suma
pero obtendría la repetición de un número,
lo cual puede ser anticipado previamente a
la ejecución de la acción.

40
Una vez que el alumno haya resuelto el
problema, es posible plantearle nuevas situa-
ciones mediante las cuales muestre que es
capaz de acceder a voluntad a la estrategia
óptima, que es capaz de reproducirla. En este
caso, la estrategia óptima consiste en un al-
goritmo mediante el cual se puede construir
el cuadrado mágico. Así, por ejemplo, podría
proporcionársele los nueve primeros núme-
ros impares y proponerle una tarea similar a
la anterior. A todas luces, esto pareciera no
ser otra cosa que el principio de variabilidad
matemática propuesto por Dienes.
Jugado pues nuestro juego –los cuadrados
mágicos–, tanto dentro de las reglas de Dienes
como dentro de las de Brousseau, pareciera
en la práctica que las diferencias no fuesen
agudas.
Si se construye una situación a-didáctica
que involucre cuadrados mágicos, pueden con-
siderarse como variables didácticas: el orden
del cuadrado, el tipo de números permitidos
(naturales, fracciones, etc.), la operación con
la cual se desea trabajar (adición o multipli-
cación), el valor de la constante mágica.
Puede considerarse otro ejemplo. Tómese
el problema clásico que consiste en plantear-
se cuál es el rectángulo que encierra el área
máxima dado su perímetro. Es una situación
interesante pues permite, por una parte, ex-
plorar para su solución diferentes técnicas
matemáticas (principio de variabilidad); por
otra parte, se podría considerar como variable
didáctica el número de lados de un polígono
y replantear la situación para un polígono de
n lados. Otra variable didáctica que se pue-
de manipular es la dimensión del espacio en
el cual se encuentra el objeto de estudio: de
estudiar la situación en el plano podría pa-
sarse al espacio y considerar de entre todos
los paralelepípedos rectos rectangulares con
un área dada cuál encierra el mayor volumen,
para pasar luego al estudio de los sólidos pla-
tónicos. Un planteamiento más detallado de
esto, aunque no desde el punto de vista de la
Teoría de las Situaciones Didácticas, se expone
en Beyer (2002a y 2002b).
Sigamos adelante con el planteamiento
de Brousseau. Uno de los pilares sobre los
que se sustenta el funcionamiento del sistema
didáctico lo constituye el constructo teórico
debido a Chevallard (2000) conocido como
transposición didáctica. Es el caso que el saber
a ser tratado en el aula no es el “saber sabio”, el
saber del científico. Este tiene que ser transfor-
mado en otro saber, un saber “enseñable” por
el docente y “susceptible de ser aprendido” por
el alumno. Esta transformación es lo que se
conoce como transposición didáctica. Luego,
la ingeniería didáctica para el diseño de las
situaciones ha de tomar en cuenta este aspecto
de transformación del “saber sabio”, el cual se
encuentra en el ámbito científico, a otro tipo
de conocimiento: en primer término el “saber
e enseñar”, para luego pasar en la siguiente
etapa y ser transformado por el profesor en el
“saber enseñado”; convirtiéndose por último en
el “saber del alumno”. Esta transformación no
es una mera simplificación del conocimiento
creado en el ámbito científico. El conocimien-
to erudito sufre una serie de transformacio-
nes tanto en su estructura, organización y
secuenciación como en su epistemología y
nivel de formalidad. Adicionalmente, surgen y
lo acompañan una serie de objetos calificados
por Chevallard (2000) como paramatemáti-
cos. Entre estos últimos pueden citarse los
productos notables, la tabla de variaciones de
una función y los diagramas de Venn, siendo,
por ejemplo, los dos primeros parte integrante
de los contenidos curriculares, mientras que

41
Walter Beyer
en sí mismos no forman parte de los objetos
que estudia la matemática como disciplina.
Pero la búsqueda de la estrategia óptima
por parte del alumno no está exenta de proble-
mas. Por un lado se encuentran los llamados
obstáculos, los cuales pueden ser de diversos
tipos: epistemológicos (inherentes al saber, a la
disciplina misma), didácticos (inherentes a la
labor del docente) y ontogenéticos (atribuibles
al alumno). Como se observa, cada uno de
los tres grandes polos del sistema didáctico
(saber, docente y alumnos) puede ser gene-
rador de obstáculos.
Un obstáculo, de acuerdo con Godino
(1991),
es una concepción que ha sido en principio
eficiente para resolver algún tipo de pro-
blemas pero que falla cuando se aplica a
otro. Debido a su éxito previo se resiste a
ser modificado o ser rechazado: viene a ser
una barrera para un aprendizaje posterior. Se
revela por medio de los errores específicos
que son constantes y resistentes (p. 134).
Es conveniente señalar, como lo hace Go-
dino, que “un obstáculo es un conocimiento,
no una falta de conocimiento” (ibid). Esta
visión permite encarar los errores del alumno
de una manera totalmente distinta a la forma
de tratarlos ordinariamente. Los errores son
producto de los obstáculos y no una simple
falta de conocimientos. También hay que acotar
el hecho de que algunos de estos obstáculos
son casi inevitables, es muy común tropezar
con ellos y el docente debe estar preparado
para enfrentarlos.
Sin embargo, no es este el lugar para pro-
fundizar sobre este interesante tema, por lo
que se pasará a otro elemento, que vincula
expresamente a Brousseau y a Dienes. Se
trata de ciertos fenómenos de la didáctica,
cuya producción está ligada al control de la
transposición didáctica y que se manifiestan
mediante ciertos efectos, entre los que cabe
mencionar:
• El efecto Topaze, el cual se manifiesta
cuando “el profesor ha terminado por
tomar a su cargo lo esencial del trabajo
[y...] la respuesta que debe dar el alumno
está determinada de antemano, el maestro
elige las preguntas a las cuales puede darse
esta respuesta” (Brousseau, 1986, p. 9).
• El efecto Jourdain, el cual es considerado
como una forma del efecto anterior y
el cual se manifiesta cuando el profe-
sor, ante “una eventual constatación de
fracaso, reconoce indicios de un cierto
conocimiento en los comportamientos o
en las respuestas del alumno, a pesar de
que estén motivados por causas y signi-
ficaciones triviales” (op. cit., pp. 9-10).
• El efecto Dienes, punto que se tratará con
cierto detalle por ser del máximo interés
a los fines que aquí se han planteado.
Retomemos los señalamientos de Brousseau
(1986) a la teoría de Dienes con los cuales se
inició este apartado. En su interpretación señala
éste que el proceso de aprendizaje propuesto
por Dienes está
(…) fundado en el reconocimiento de las
semejanzas entre ‘juegos estructurados’ y
después sobre la esquematización y la forma-
lización de estas ‘generalizaciones’ dirigidas.
Se trata de hecho de una descripción y de
una sistematización de ciertas prácticas de
enseñanza ya en uso, como la repetición
de problemas o ejemplos semejantes para
inducir una respuesta tipo, acompañada de
una traducción en términos matemáticos:
los problemas semejantes se convierten en

42
‘ìsomorfos’ y una generalización en un ‘paso
al cociente’ (p. 19).
Agrega Brousseau que
(…) una tal didáctica es independiente de los
contenidos. Conduce incluso al profesor a acen-
tuar las variables no pertinentes de la situación
matemática (aquellas que no la modifican)
en detrimento de las condiciones específicas
(‘principio de variabilidad’). Y finalmente esto
no es más que un método de presentación de
los saberes que favorece su memorización (op.
cit., pp. 19-20).
No compartimos esta interpretación de
la propuesta de Dienes. Más aún, siguiendo
el esquema de Dienes se ha desarrollado un
ejemplo –el de los cuadrados mágicos– el
cual no se basa en la memorización y que
muestra a las claras la adquisición de cono-
cimiento. Además, es de hacer notar que no
creemos que sea una característica intrínseca
al planteamiento de Dienes el hecho de que
el mismo pueda conducir eventualmente a un
proceso de memorización. Otras propuestas
podrían ser susceptibles a este riesgo, incluso
la del mismo Brousseau es susceptible de co-
rrer esta suerte. De hecho, ello es palpable en
sus propias palabras cuando plantea que “yo
propondré extender el término de ‘procedi-
mientos algorítmicos’ [...] a todo lo que, en el
contrato didáctico, tiende a jugar el mismo
papel, comprendiendo incluso las heurísticas o
las ideas originales, cuando éstas se presentan
o utilizan como recetas” (Brousseau, 1986, p.
23). Esta aseveración de Brousseau a las claras
deja ver que no es el diseño de la situación el
que garantiza a priori que ella funcione ade-
cuadamente, sino su inserción e interacción
con los otros elementos del sistema didáctico
(alumnos y docentes), elementos estos últimos
relacionados a través del contrato didáctico.
Efectivamente, si esto fuese así (si el diseño de
la situación garantizara per se su efectividad
en el proceso enseñanza/aprendizaje), no se
producirían los diversos fenómenos didácticos
con sus efectos asociados. De hecho, un mal
manejo de las variables didácticas conduce,
casi indefectiblemente, a una trivialización
del conocimiento y a una algoritmización de
las situaciones, y en consecuencia a la pre-
sencia perjudicial de efectos como el Topaze
o el Jourdain.
Continuemos con las observaciones que
le formula Brousseau a la propuesta de Die-
nes. Entre las limitaciones señaladas está el
hecho de que “la estructura del juego y la
que ‘es’ el saber son idénticas” (Brousseau,
1986, p. 20), por lo cual se estaría dentro de
un círculo vicioso:
La comprensión de la regla, condición para
actuar, exige previamente, por parte del
alumno, el conocimiento que se pretende
enseñarle. Por tanto, si el maestro enseñara
primero la regla, el juego se transformaría en
un ejercicio. Para evitar esto, intenta hacer
adivinar la regla –actividad que no está teo-
rizada en el proceso psicodinámico– (ibid).
En otra parte, refiriéndose al contrato
didáctico, explica que “el profesor no puede
decir explícitamente de antemano lo que el
alumno tendrá que hacer frente a un pro-
blema, sin quitarle, al hacerlo, la posibilidad
de manifestar o de adquirir el conocimiento
correspondiente” (Brousseau, 2000p. 24).
Concordamos con Brousseau en este último
aspecto. Sin embargo, no es evidente para no-
sotros –como parece serlo para Brousseau–,
e incluso ponemos seriamente en duda que
esto sea lo que sucede con la propuesta de
Dienes. Es decir, la apreciación que hace
Brousseau de la propuesta de Dienes es que

43
Walter Beyer
esta conduce indefectiblemente a explicitarle
al alumno, y además de antemano, lo que debe
hacer frente a la situación. Esta explicitación
es la base de algunos efectos, como se seña-
lara con anterioridad, y como los fenómenos
ocasionan una pérdida del sentido y producen
una ficción de aprendizaje, toda teoría que los
produzca sería perniciosa para el aprendizaje
luego descartable. Entonces, si se aceptara las
hipótesis de Brousseau habría que desechar
la teoría de Dienes.
Todas estas largas explicaciones son en el
fondo la caracterización de lo que Brousseau
denomina el efecto Dienes.
Este último efecto, según Sierpinska
(2000), “tiene más que ver con el trabajo de
los investigadores y de los innovadores en
educación matemática que con las prácticas
de aula de los docentes, en comparación con
los dos fenómenos previos [se refiere a los
efectos Topaze y Jourdain]” (Week 4, p. 11).
Para Brousseau (1986):
Cuanto más seguro estuviera el profesor de su
éxito, gracias a resultados independientes de su
compromiso personal, ¡mayor sería su fracaso
...¡. Llamamos efecto Dienes a este fenómeno que
muestra la necesidad de integrar las relaciones
maestro-alumno en toda teoría didáctica (p. 21).
Esto es debido a que, de acuerdo con la
visión de Brousseau (1986), el proceso psi-
codinámico
(…) no deja explícitamente al maestro otro
papel que el de la elección de los materiales,
la presentación de las fichas, los estímulos
visuales... El método debe obrar en virtud
de un proceso interno del sujeto ineluctable
una vez que las condiciones de entrada han
sido satisfechas: presentación repetida de
juegos estructurados, petición de esquema-
tización..., etc. De esta forma este méto-
do libera al maestro de la responsabilidad
técnica de obtener él mismo el aprendizaje
esperado. Puede presentar sus ejercicios,
esperar,... proporcionar eventualmente las
respuestas acompañadas de una pequeña
explicación, enviar a la ficha siguiente, or-
ganizar el juego correspondiente... pero el
contrato de enseñanza no le liga más a la
evolución del comportamiento cognitivo
que se supone está a cargo del ‘juego’. Por
el contrario, debe dejar al alumno pensar
por sí mismo (p. 20).
Brousseau (1986) quiere contrastar estas
apreciaciones (o interpretaciones) acerca de
la Teoría del Aprendizaje de Dienes con su
propuesta, según la cual
(…) el maestro debe por tanto efectuar no
la comunicación de un conocimiento, sino
la devolución de un buen problema. Si esta
devolución se lleva a cabo, el alumno entra en
el juego y si acaba por ganar, el aprendizaje
se ha realizado (p. 15).
Vale la pena comentar aquí que Sierpinska
(2000), aun marcando las diferencias entre
los planteamientos de Dienes y la propues-
ta de Brousseau, establece como un punto
de encuentro entre ambos investigadores el
que “el concepto central tanto en la teoría de
Dienes como en la de Brousseau es ‘el juego’
[negrillas añadidas]” (Week 4, p. 12).
Brousseau (1986), contraponiendo su
visión del rol del docente con el modelo de
Dienes, señala que
(…) el trabajo del docente consiste, pues, en
proponer al alumno una situación de apren-
dizaje para que produzca sus conocimientos
como respuesta personal a una pregunta, y
los haga funcionar o los modifique como

44
respuestas a las exigencias del medio y no
a un deseo del maestro (Brousseau, 1994,
p. 66).
Dienes, como ya se mencionó con ante-
rioridad, perseguía un alumno activo, y esto
mismo puede entenderse que se busca con la
“devolución de la situación” en la teoría de
Brousseau, en la cual el alumno debe trabajar
de manera independiente. Así, como expresa
Godino (1991), “para que el alumno ‘cons-
truya’ el conocimiento, es necesario que se
interese personalmente por la resolución del
problema planteado en la situación didáctica”
(p. 133). Por otro lado, Brousseau le da gran
importancia dentro de su teoría al medio (mi-
lieu), componente este “que está formado por
el subsistema sobre el cual actúa el alumno
(materiales, juegos, situaciones didácticas,
etc.)” (Godino, 1991, p. 132).
De la última cita de Brousseau se desprende
que el alumno debe interactuar fuertemente
con el medio y ello no entra en conflicto con
la actividad propuesta por Dienes sobre un
juego (medio).
Si bien es cierto que al esbozar la teo-
ría de Dienes se había hecho mención a los
materiales estructurados que él elaboró en la
época del auge de la Matemática Moderna,
también es cierto que en las interpretacio-
nes no dogmáticas de esta propuesta, como
la puesta de manifiesto por Resnick y Ford,
aparecen diferentes artefactos como produc-
to de la noción de variabilidad. Se entiende
por artefactos, como lo hace Saxe (1991),
aquellos “productos históricos que pueden
ser conceptuales (por ejemplo, los conceptos
científicos), formas simbólicas (por ejemplo,
sistemas numéricos) o materiales (por ejemplo,
herramientas)” (p. 4). Así, bajo esta óptica y
tomando como punto de partida dicha de-
finición de artefacto, Santos y Matos (2000)
sostienen que
nos parece que no solamente las reglas, el compás,
las calculadoras, y así sucesivamente, pueden
ser pensados como artefactos sino también los
objetos matemáticos. En este sentido, conceptos
(e. g. teorema de Pitágoras, mediatriz), métodos
(e. g. dibujos a escala), recursos materiales (e.
g. reglas, compás) los cuales necesitan los estu-
diantes para aprender o para ser usados en las
clases de matemáticas son tomados por nosotros
como artefactos de las matemáticas escolares.
(pp. 109-110).
La noción de artefacto recién especificada
puede considerarse que está “cercana” a la
noción de dispositivo que aparece en la Di-
dáctica Fundamental. Para Chevallard, Bosch
y Gascón (2000), “en general, un dispositivo
escolar es todo ‘mecanismo’ dispuesto para
obtener determinados objetivos educativos” (p.
370). La ambigüedad y la amplitud envueltas
en la palabra “todo”, presente en su definición,
es la que nos permite jugar con el término
dispositivo y darle ese cariz de artefacto. Ellos
ilustran su idea tomando como ejemplos la
clase, el libro de texto, la biblioteca, los exáme-
nes, las preguntas formuladas por el docente.
A estos dispositivos los vinculan con la idea
de momento didáctico sobre la cual se harán
algunos comentarios.
Si se retoma la definición de situación a-
didáctica dada por Brousseau, y se la toma
strictu sensu, las situaciones de acción, formu-
lación y validación (correspondientes con los
juegos del alumno con el medio a-didáctico,
mientras que los dos tipos de juegos del maestro
son la devolución y la institucionalización)
podrían no estar muy distantes de las seis eta-
pas del aprendizaje propuestas por Dienes;
más todavía cuando el proceso que el mismo
Brousseau describe va por etapas: desde un

45
Walter Beyer
acercamiento lúdico hasta la de la devolución
de la situación a-didáctica.
La cercanía de estas ideas es mayor aún si
se toman en cuenta los momentos didácticos
propuestos por Chevallard, Bosch y Gascón
(1997) y Gascón (1994, 2001): momento del
primer encuentro, momento exploratorio,
momento del trabajo de la técnica, momen-
to tecnológico-teórico, momento de la insti-
tucionalización, momento de la evaluación.
Estos investigadores definen, a partir de estos
momentos, diferentes modelos didácticos de
acuerdo con la presencia y/o ausencia de cier-
tos momentos, pudiéndose en consecuencia
establecer algunas analogías entre esta con-
cepción y la propuesta de Dienes.
De hecho, Gascón (1994) propugna lo que
él llama el paradigma de los momentos didác-
ticos, el cual sería, según su punto de vista, el
ideal buscado, por cuanto en él se combinan
los diferentes momentos didácticos y dicho
modelo o paradigma se hallaría sustentado
en el concepto de campos de problemas, los
cuales son una familia de problemas agrupa-
dos en función de las técnicas matemáticas
que se pueden utilizar para estudiarlos. Este
paradigma se contrapone a la consideración
frecuente de problemas aislados. Nuevamente
subyace aquí un principio de variabilidad.
Así, por ejemplo, Gascón (1994) dice: “Para
resolver la ecuación x2
-6x=18 se puede uti-
lizar la técnica de completar cuadrados, una
técnica gráfica o la técnica que consiste en
aplicar una fórmula, entre otras” (p. 49). Y
esto –desde el análisis comparativo que aquí
se hace entre las diversas teorías– no es otra
cosa que la presencia del principio de varia-
bilidad matemática de Dienes.
El punto de vista de Pedro Alson
Se pasará ahora a los planteamientos for-
mulados por Alson (2000) en su tesis doctoral.
Alson (2000) emplea una noción de si-
tuación, pero en un sentido diferente al de
Brousseau. Él habla de situaciones de produc-
ción, las cuales se caracterizan por “producir
un objeto a partir de otro objeto utilizando
una acción hecha por él [el sujeto]” (p. 3); el
proceso de producción se realiza mediante
un procedimiento el cual es definido como
“una sucesión de operaciones que permiten a
partir de un objeto obtener otro” (op. cit., p.
2). A esto le agrega que “el procedimiento es a
su vez un objeto” (op. cit., p. 3). No obstante,
como punto de coincidencia con la teoría de
Brousseau se encuentra la importancia que se
le asigna a la acción del sujeto. Este es también
un punto convergente con el planteamiento
de Dienes.
Las situaciones de producción las cataloga
en cuatro rubros: algorítmicas, significantes, de
interpretación y de formalización. Aclara que
“la situación de producción es un concepto de
naturaleza diferente al de situación didáctica o
adidáctica, dado por Brousseau” (Alson, 2000,
p. 21). Sin embargo, se podría preguntar qué
tipo de relación es posible establecer entre
las situaciones de Brousseau y las de Alson.
Una base común se halla al aceptar ambos
autores, así como lo hace también Dienes,
elementos de la teoría de Piaget, especialmente
su visión del aprendizaje por asimilaciones y
acomodaciones.
Tras el planteamiento de este investigador
subyace el problema de la significación y el de
la adquisición del saber (conocimiento). Es
de hacer notar que Alson hace una distinción
entre saber y conocimiento.

46
Para el manejo de los objetos matemáticos,
Alson (2000) apela a la noción de descripción,
la cual él formaliza en su trabajo. Coincide
con otros autores en considerar la descripción
como una “definición deficiente”, la cual, sin
embargo, posee ventajas didácticas por cuan-
to permite tratar de identificar actividades
que podrían ser calificadas de descriptivas
y objetos catalogables como descripciones,
en el proceso de construcción y difusión de
saberes matemáticos, así como en el de su
aprendizaje y enseñanza. Agrega que
es más bien inspirarse en una función, ope-
ración u objeto del lenguaje natural, como
puede serlo la descripción, para iniciar una
elaboración en un lenguaje formal que en al-
gunos aspectos reproduzca, en dicho lenguaje,
alguna de las funciones que la descripción
hace en el lenguaje natural (op. cit., p. 25).
Es de destacar que muchos de los obje-
tos que entran en juego en el estudio de la
didáctica no son objetos propiamente ma-
temáticos. Por ejemplo, se refiere Alson a
la Tabla de Variaciones de una función, a la
cual cataloga como “un objeto extraño a la
matemática” (op. cit., p. 66), pero que “pen-
sado bajo esa perspectiva el Tableau juega
un papel análogo al de la descripción en el
sentido taxonómico de la época clásica” (ibid).
Sólo ciertas características resaltantes de la
función son tomadas en cuenta, reduciendo
su caracterización de los infinitos puntos del
dominio y del rango a un número finito de
estos. Estos objetos actúan como un disposi-
tivo (en la nomenclatura de Alson, 2000) o
artefacto si se asume la terminología de Saxe
(1991) y Santos y Matos (1998).
Alson (2000) muestra esto mediante el
proceso de construcción de la gráfica de una
función. En realidad el proceso se da en dos
etapas bien diferenciadas, cada una de ellas
modelable por una situación de producción.
Esto puede ser concebido como un proceso
de traducción de un tipo de representación
(analítica o algebraica) a otra (geométrica); sin
embargo, esta traducción no se hace en forma
directa ya que requiere de un paso intermedio:
la construcción del tableau.
La primera situación de producción con-
siste en partir de la fórmula que especifica a
la función y del conocimiento de una serie de
herramientas del cálculo diferencial y con ellas
el individuo en acción construye el tableau.
Este proceso es de tipo algorítmico.
La segunda situación consiste en pasar del
tableau a la representación gráfica. El tableau se
ha convertido en una descripción de la gráfica
de la función: existe un conjunto infinito de
curvas que satisfacen las especificaciones del
tableau y sólo una de ellas se corresponde con
la gráfica buscada. Aquí el alumno debe poder
determinar, conociendo el tableau y las reglas
que permitieron su construcción, la gráfica
de la función dada. Sin embargo, el tableau
–como ya se dijo– representa a una infinitud
de gráficas, y por otro lado el proceso no es
algorítmico. En el modelo de Alson (2000)
se corresponde con una situación de produc-
ción significante. Pero, además, el alumno no
muestra la infinitud de curvas posibles sino
un representante de éstas: es lo que se conoce
como ostensión.
Llegados a este punto cabe preguntarse
cuándo y bajo qué condiciones funciona la
ostensión.
Para poder aproximarse a una respuesta,
hay que adentrarse un poco en el estudio de
la ostensión. Sobre este particular se habían
realizado ya algunos comentarios con anterio-

47
Walter Beyer
ridad cuando se discutían los planteamientos
de Dienes.
Eco (citado por Alson, 2000) expresa que:
La ostensión tiene lugar cuando un obje-
to o acontecimiento dado, producto de la
naturaleza o de la acción humana (inten-
cionalmente o no intencionalmente), hecho
entre los hechos, es ‘seleccionado’ por un
individuo y designado para expresar la clase
de los objetos de los cuales él es miembro.
La ostensión representa el primer nivel de
la SIGNIFICACIÓN ACTIVA, y esto es
la primera convención empleada por dos
personas que no conocen la misma lengua
(pp. 73-74).
Diferentes autores concuerdan con Eco
(1988) en que
Entre emisor y destinatario ha de haber un
código común, es decir, una serie de reglas
que atribuyan un significado al signo. [...]
Un proceso de comunicación en el que no
exista código, y por consiguiente en el que
no exista significación, queda reducido a
un proceso de estímulo-respuesta (p. 22).
Esto retrotrae al problema de la signifi-
cación. Ostentar es, según el Diccionario La-
rousse, “evidenciar una cosa” y es sinónimo
de mostrar. Pareciera que la ostensión fuese
una herramienta para la construcción y/o
ampliación del código común, en este caso
dentro del sistema didáctico.
Alson (2000) reconoce que en el caso del
tableau “es un ejemplo donde la ostensión
funciona correctamente” (p. 75). Pero lamen-
tablemente no siempre es así. Hay casos en
los cuales el funcionamiento de la ostensión
no es el deseado. Alson (op. cit.) expresa que
(…) ‘bien utilizada’, la ostensión puede aho-
rrar tiempo, pero existe el riesgo de que los
alumnos con quienes el profesor utiliza la
ostensión no reconozcan la clase (conjunto
o finalmente el concepto) al cual el profesor
se refiere haciendo el acto de mostrar un
representante particular de la clase o del
concepto (p. 74).
Aquí se hace alusión a lo que Fregona (2005)
califica de la ilusión de la evidencia, la cual no
pareciera ser otra cosa que la manifestación
del efecto Jourdain o del efecto Topaze.
Indica Alson (2000) que “la ostensión
no cumple su cometido comunicacional si
el mostrar e, no hace pensar al que lo ve en
‘la’ clase de e” (p. 74); a lo cual agrega que
“el mostrar el objeto sólo hace referencia a
todos los posibles conjuntos del cual el objeto
mostrado es elemento” (ibid.). La realidad de
aula es que “en el caso de la ostensión habitual
se tiene que se toma un elemento de la clase
para designar ‘la’ clase a la cual pertenece el
elemento” (ibid.).
Veamos con un ejemplo el posible mal
funcionamiento de la ostensión.
El trabajo con los números irracionales en
el ámbito escolar se reduce prácticamente a
la manipulación de algunos de sus represen-
tantes más conspicuos: π, e y algunas raíces.
Esto lleva, como sería de esperar, a una pobre
comprensión por parte de los estudiantes de
este importante conjunto numérico. ¿Cómo
puede el alumno con la ostensión de tan po-
cos elementos convencerse de la infinitud de
tal conjunto? Más aún, ¿cómo entender que
hay más irracionales que racionales? ¿Cómo
entender que cada irracional tiene asociado un
punto sobre la recta aun cuando no siempre
es posible hacer esa construcción con regla y
compás? De hecho, una conducta manifies-

48
ta de los alumnos es incluso casi ni percibir
a estos entes como números. La pretendida
adquisición, por parte de los estudiantes, de
la propiedad de que estos números tienen un
desarrollo decimal no periódico es algo que
queda totalmente fuera del alcance de ellos
con el usual proceso de ostensión al cual se
les somete.
Para corroborar lo señalado en el párrafo
precedente puede agregarse los resultados de
una experiencia con docentes. En el marco de
un taller dictado en la ciudad de Maturín, en
el año 2012, en cuya temática estaba la discu-
sión de diversos aspectos sobre números reales
tomando como referencia varios textos del
mercado y el análisis de los errores presentes
en ellos, el autor (quien era el facilitador de
la actividad) procedió a aplicarle a los parti-
cipantes (varios de ellos profesores de edu-
cación media) un pequeño cuestionario en
el cual se les solicitaba escribir siete números
irracionales. El resultado muy desalentador
fue la manifiesta incapacidad de los presentes
de mostrar siete números irracionales. Si esto
ocurre con los docentes, ¿cuál sería el resultado
con sus alumnos?
Retomemos la visión de Eco (1988). Afir-
ma este que
(…) si para pedir un paquete de cigarri-
llos (o para contestar a una pregunta que
implique como respuesta /un paquete de
cigarrillos/) yo ostento un paquete de ciga-
rrillos, el objeto viene elegido convencio-
nalmente como significante de la clase de la
que el propio objeto es miembro. Salvo que
incluso en este caso el signo no es del todo
icónico, porque sucede a menudo que se
eligen solamente algunos aspectos de aquél
como representantes del significado al que
me refiero; como es el caso de que muestro
un paquete de cigarrillos Ducados, no para
significar «cigarrillos Ducados», sino ciga-
rrillos en general –excluyendo por tanto de
la pertinentización sígnica algunas de las
cualidades del objeto, que no corresponden
a propiedades clasificadas de su significado
(p. 60).
¿Cómo puede verse el comentario de Eco
dentro del mundo de la didáctica?
Se puede pensar en muchas situaciones
de aula en las cuales acontezca algo similar al
ejemplo de la caja de cigarrillos que propone
Eco. Así, por ejemplo, es posible considerar
muchos problemas de geometría en los cuales
se trabaja con triángulos. Las más de las veces
los triángulos mostrados en situación escolar
son (por lo menos visualmente) rectángu-
los, isósceles o equiláteros; además, alguna
de sus bases descansa paralela a la línea del
horizonte. Estas características adicionales,
las cuales no forman parte de la definición de
triángulo, quedan profundamente arraigadas
en el espíritu de la mayoría: el autor ha podido
constatarlo en reiteradas ocasiones dándole
como tarea a distintas personas en diversos
lugares y momentos la de dibujar un triángulo
y el resultado casi invariablemente era uno
de los antes señalados. Se puede interpretar
este tipo de resultados como un obstáculo
didáctico.
¿Qué hacer para lograr hacer funcionar
la ostensión lo más adecuadamente posible?
Pareciera que una alternativa viable se en-
cuentra en los planteamientos de Dienes: los
principios de variabilidad sugieren ser una
respuesta adecuada.
Alson (2000) plantea que
(…) es probable que después de un trabajo
con el alumno y ya él en conocimiento de
un cierto número de conjuntos (que son
inducidos por diferentes funciones Φ), el

49
Walter Beyer
acto de mostrar funciona con un universo
mucho más estructurado y las probabilidades
de éxito del acto de mostrar sean mayores
(p. 76).
Alson (2000) operacionaliza esta idea me-
diante una ingeniería didáctica del diseño de
situaciones de producción encadenadas. Así,
propone una primera situación de producción
(de tipo algorítmico) en la cual el alumno es
provisto de un objeto O y de ciertas técnicas
o procedimientos que le permiten asociarle
ciertos caracteres al objeto dado. La siguien-
te situación de producción está a cargo del
profesor, quien trata “de hacerles entender a
los alumnos el objeto que designamos por
→{Carácter}” (op. cit., p. 75). La tercera situa-
ción de producción en juego le corresponde al
alumno y es una de tipo significante: a partir
del objeto →{Carácter} el alumno debe poder
identificar el conjunto de objetos que me-
diante la función Φ muestren el carácter en
cuestión. Sin embargo, este último conjunto
posiblemente (o seguramente) es infinito y
el alumno hará uso de la ostensión. Creemos
que la variabilidad matemática que muestre
el alumno es la que nos permitirá inferir que
el alumno “conoce” el conjunto deseado. De
hecho, el considerar diversas funciones Φ es,
a nuestro juicio, poner en escena un principio
de variabilidad.
Por otro lado, Alson enriquece el traba-
jo con los objetos gráficos creando diversos
dispositivos que permiten “jugar” con ellos.
Uno de estos artefactos son los caminos. La
aplicación extensa de este artefacto se encuen-
tra en Alson (1996). Alson (2000), apoyán-
dose en la noción de cuadro de Douady, se
aboca a la potenciación del cuadro gráfico
presentado otros artefactos con los cuales es
posible transformar una curva en otra curva.
Bajo esta concepción el procesamiento de las
gráficas no requiere del conocimiento previo
del aparato analítico (límites, derivadas, etc.)
que tradicionalmente le es enseñado al alumno
como herramienta para que él pueda construir
gráficas. Asimismo, establece vías de ida y
vuelta entre el cuadro algebraico y el gráfico
con la intención de lograr un equilibrio en
el trabajo en ambos cuadros.
Por otra parte, Alson (2000) sustituye la
“metáfora” del juego de Brosseau por otra
metáfora: la de una red de circulación.
La idea central de esta metáfora radica
en asimilar las acciones del individuo (ex-
puesto ante una situación de producción) a
un recorrido sobre una red. El proceso del
aprendizaje es visto en la metáfora como la
anexión de nuevas “flechas del saber”. Alson
(2000) expresa que la realización de una ac-
ción, la construcción o la producción de un
resultado pueden verse como el efecto de un
movimiento sobre la red. Así, el equivalente
a una estrategia en la metáfora del juego de
Brousseau es aquí una trayectoria sobre la red.
Para Alson (2000) el ‘estado del conoci-
miento’ de una persona puede identificarse
con un subconjunto de las posibles trayectorias
dentro de la red. Es decir, es una subred.
En cierta forma, se podría identificar una
subred con un micromundo, como denominan
los interaccionistas simbólicos a ciertas estructu-
ras cognitivas, y pensar que los micromundos
que posee un individuo “pueden inicialmente
estar claramente separados unos de otros”
(Treffers, 1987, p. 283). Indica Treffers (op.
cit.) que, sin embargo, progresivamente se
desarrolla entre las conexiones hechas entre
los micromundos una especie de jerarquía:
los micromundos se constituyen, se conectan
y se integran, convirtiéndose en nuevos mi-

50
cromundos o, como señala Klep (1992): “los
micromundos pueden ser asociados” (p. 200);
Y esto mismo es lo que iría aconteciendo con
las subredes de Alson: se crearían nuevos arcos
que enlazarían subredes antes disconexas.
Aunque se ha hecho una analogía entre
los micromundos del interaccionismo y las
subredes de Alson (2000), entre ambos ob-
jetos también podrían establecerse notorias
diferencias, por cuanto los primeros no parten
de una teoría representacionista, mientras que
las segundas de alguna manera parecieran
inspiradas en los planteamientos de Duval
y, en virtud de que estos últimos pueden ser
insertados en una tal teoría, ello conduciría
a ubicar a las subredes dentro de un esquema
de tipo representacionista.
Para sustentar la anterior afirmación es
necesario hacer aquí algunas aclaratorias acerca
de las concepciones representacionistas y las
no representacionistas.
Es interesante subrayar que la discusión
en torno a la aceptación o no de la teoría
representacionista está íntimamente ligada al
problema de la adquisición del significado. Las
discusiones sobre estos aspectos se enmarcan
en aspectos de índole psicológica acerca de
la cognición, aspectos de tipo epistemológi-
co asociados con la ontología de los objetos
matemáticos y aspectos relacionados con la
semiótica y las teorías de la comunicación.
Font (2001) analiza con cierto detalle varias
de las posturas que diversos autores manejan
ante este asunto.
Siguiendo a Font (2001), se tiene que el
representacionismo parte de varios supuestos:
la existencia de un mundo externo al sujeto
(realismo); la aprehensión de manera parcial
por parte del sujeto de ese mundo externo; y la
representación de ese mundo en la mente del
sujeto y la posibilidad de que el sujeto realice
acciones sobre dichas representaciones. Esta
posición se encuentra asociada a la metáfo-
ra del espejo. Mientras que las posiciones no
representacionistas están conformadas por
un amplio abanico que va desde la negación
de un mundo externo hasta la posibilidad de
aceptar la existencia de este mundo externo,
pero a la vez tomando una postura agnóstica
acerca de “que los contenidos inmanentes de
la conciencia sean homeomórficos a objetos
trascendentes, sin poner en duda la existencia
del mundo trascendente” (op. cit., p. 2). Por
su parte, la postura no representacionista está
asociada metafóricamente con la “construcción”.
Asimismo, señala Font (op. cit.):
Los puntos de vista filosóficos que tienen
como trasfondo el concepto de intersubjeti-
vidad [lo cual es el caso del Interaccionismo
Simbólico] entienden las matemáticas como
una producción realizada socialmente y no
necesitan postular ningún mundo trascen-
dente para explicar la existencia de objetos
matemáticos, ya que puede explicar la cons-
trucción de los objetos matemáticos a partir
de la vida y a partir de la intersubjetividad
(pp. 4-5).
Así que “la ‘intersubjetividad’ es el trasfondo
filosófico que permite defender posiciones
no representacionalistas en relación con los
objetos matemáticos” (Font, 2001, p. 5).
La diferencia de posiciones queda aún
más clara si seguimos el análisis que sobre el
Interaccionismo Simbólico hacen Godino y
Llinares (2000).
La perspectiva interaccionista postula el
carácter discursivo del conocimiento. En

51
Walter Beyer
particular, las matemáticas son vistas como
un tipo particular de discurso. ‘El discur-
so’, sin embargo, no es sólo ‘lenguaje’; es
lenguaje-en-acción, o lenguaje como medio
para lograr fines cognitivos, sociales u otros
(Godino y Llinares, 2000, p. 73).
Agregan que
(…) el lenguaje es visto como un ‘moldea-
dor activo de la experiencia’, no como ‘un
espejo pasivo de la realidad’. La orientación
interaccionista hacia el lenguaje se distin-
gue tanto del constructivismo como de la
perspectiva Vygotskiana, aunque comparte
con ellos el rechazo a una visión represen-
tacionista del lenguaje (‘el lenguaje como
una representación del mundo’) (Godino
y Llinares, p. 74).
Acotan además que los interaccionistas
(…) elaboran un constructo teórico que de-
nominan ‘dominio de experiencia subjetiva’
(DES), para adaptar al campo de estudio del
aprendizaje matemático las nociones psico-
lógicas de “scipt” (esquema, guión), “frame”
(marco), “expert system” (sistema experto
y “microworld” (micromundo) (Godino y
Llinares, 2000, p. 78).
La discusión acerca del representacionismo
es de primera importancia a los efectos de
considerar el acto de ostensión y poder dis-
cernir sobre diversos aspectos del significado.
Para la psicología cognitiva las representa-
ciones mentales son el eje de las operaciones
de la mente y algunas de ellas son representa-
ciones homeomórficas de objetos del mundo
externo. Siguiendo las ideas de Font (2001),
estas representaciones pueden ser clasificadas
en tres grandes categorías:
1) Las que la persona considera externas (las
representaciones internas que son el resultado
de la codificación de estímulos externos).
Los estímulos externos producen las repre-
sentaciones ostensivas.
2) Las propiamente internas.
3) Las representaciones internas que sirven
para realizar representaciones consideradas
externas (representaciones internas que se
pueden descodificar produciendo respuestas
en el medio exterior) (p. 6).
Afirma Font (2001) que
(…) si consideramos la clasificación anterior
en un contexto social, tenemos que el primer
tipo de representación y el tercer tipo son
socialmente compartibles. Por ejemplo, un
profesor siguiendo una representación del
tercer tipo, dibuja en la pizarra una tabla de
una función y el alumno genera una repre-
sentación del primer tipo. Cuando decimos
que estas representaciones mentales son
socialmente compartibles, queremos decir
que el profesorado y el alumnado dialogan
sobre ellas como si fuesen exteriores. Muchos
autores hacen referencia a las representa-
ciones del tipo 1 y 3 como ‘significante’, y
al conjunto de conexiones que el alumno
puede establecer con otras representaciones
del tipo 2 como ‘significado’ (p. 7).
Agrega más adelante Font (op. cit.) que:
Muchas investigaciones han tenido (y tienen)
por objetivo estas representaciones internas
[símbolos mentales y no-ostensivos perso-
nales] porque consideran que la compren-
sión de los alumnos está relacionada con
el incremento en el número de conexiones
entre diferentes tipos de representaciones
internas, lo cual se puede conseguir esta-
bleciendo conexiones y traducciones entre
diferentes tipos de representaciones externas

52
[objetos reales, experiencias materiales de
las personas (ostensivos)] (p. 11).
Es decir, se emplean los principios de
variabilidad.
Volviendo a las diferentes situaciones de
producción que plantea Alson, se podría pen-
sar en el tópico Teorema de Pitágoras, que es
planteado en la gran mayoría de los textos de
manera muy pobre, lo cual se puede concluir
del trabajo de Beyer (2002c).
Si se analizan las actividades planteadas en
los textos mediante las situaciones de produc-
ción definidas por Alson (2000), se encuentra
que en su gran mayoría se corresponden con
situaciones de corte algorítmico, con un pre-
dominio de formulaciones en las cuales se da
cierta información (preferentemente dos lados)
para obtener el(los) lado(s) desconocido(s) del
triángulo. El saber del alumno se circunscribe
a conocer la fórmula pitagórica y a la noción
de despejar. Sin embargo, se elude el plantear
situaciones significantes como encontrar ternas
de números que satisfagan la relación Pita-
górica o, en otros términos, el trabajo con el
recíproco del teorema de Pitágoras, así como
diversas interpretaciones geométricas más allá
de sólo construir cuadrados sobre los lados
del triángulo. Así, por ejemplo, el trabajo con
las ternas es una situación que obliga no sólo
a un estudio más profundo del teorema en
sí, sino también al estudio de las relaciones
numéricas en general que se verifican en un
triángulo, como es el caso de la desigualdad
triangular.
Si se considera el tema anterior desde la
óptica de Brousseau, es posible tomar como
variable didáctica las figuras a ser dibujadas
sobre los lados del triángulo rectángulo, para
llegar a establecer una interpretación mucho
más general que la usual, la que se restringe
sólo a la construcción de cuadrados. En gene-
ral, las figuras pueden ser bastante arbitrarias:
la única exigencia es que las tres figuras sean
semejantes.
Es posible también ubicarse en la posición
de Dienes (de hecho la variación de las figuras
puede interpretarse como uno de sus princi-
pios de variabilidad) y diseñar juegos, bien
sea con materiales concretos o con paquetes
de geometría dinámica, y seguir las etapas de
su modelo. Esto proporcionaría una fuerza
enorme al acto didáctico.
Las actividades que pueden ser diseñadas
son sumamente variadas, deben englobar de-
mostraciones posibles del teorema e incluso
generalizaciones del mismo, y tratar de vincu-
larlo con otros resultados matemáticos; todo
ello contribuiría a un enorme enriquecimiento
de la red, al establecer muchas conexiones entre
posibles subredes que maneje el estudiante.
Algunas conclusiones
En primer término, cabe señalar que en
teorías aparentemente distantes, como la de
Dienes y la de Brousseau, pueden encontrar-
se puntos de verdadero encuentro más allá
de lo que podría esperarse a primera vista.
Lo mismo ocurre cuando se consideran los
planteamientos de Alson en referencia a los
autores antes mencionados.
Los tres autores considerados coinciden
en diversos puntos, algunos de los cuales son
bastante evidentes a primera vista: el aceptar
los principios del aprendizaje piagetianos, el
asumir al alumno como un elemento activo,
así como también concuerdan en considerar
que la enseñanza de las matemáticas debe ser

53
Walter Beyer
significativa a los fines de que se produzca un
verdadero aprendizaje.
Otros puntos de contacto giran en torno a
la planificación didáctica, en la cual aparecen
diversos artefactos o dispositivos como elemen-
tos mediadores del aprendizaje. Así, la idea de
dispositivo de la Didáctica Fundamental guarda
estrecha relación con elementos análogos de
la propuesta de Alson. Asimismo, algunas de
las situaciones definidas por Brousseau tienen
gran semejanza con las etapas del aprendizaje
postuladas por Dienes.
Un aspecto de confluencia es que las tres
teorías estudiadas tienen un anclaje en teorías
psicológicas, pero ello no es óbice para que
le den un papel de primerísima importancia
al conocimiento sustantivo: el conocimiento
matemático.
Un punto importante que podría conectar
las tres visiones es el de presentar principios
de variabilidad: aunque ello no es explícito en
todas, sí lo es en el planteamiento de Dienes
y en la concepción de Brousseau pueden ser
percibidos al considerar los diversos “juegos”
que juega el docente, quien puede manipular
tanto el tipo de situaciones como las variables
didácticas asociadas. En el caso de la concep-
ción de Alson, el principio podría observar-
se en la consideración de diversos tipos de
situaciones de producción, así como en la
riqueza que introduce en el “cuadro gráfico”
mediante diversos artefactos didácticos y en la
consideración de distintos mecanismos para
la descripción de objetos matemáticos. Esta
idea de variabilidad es un aspecto crucial para
el aprendizaje matemático.
Otro punto de contacto es la idea de juego,
aunque con distintas connotaciones, la cual
subyace a los planteamientos tanto de Dienes
como de Brousseau. Alson, por su parte, sus-
tituye la “metáfora” del juego de Brousseau
por la de red de circulación.
Subyace a las tres teorías el problema de
la significación y el tratar de crear mecanis-
mos que “garanticen” el éxito del proceso de
ostensión. En particular, tanto para Dienes
como para Alson adquieren notoria relevancia
los aspectos representacionales de los objetos
matemáticos.
Más allá de la contrastación entre las con-
cepciones de Dienes, Brousseau y Alson, se han
podido establecer nexos de algunos aspectos
de las teorías expuestas con las de otros estu-
diosos como Van Hiele, Vergnaud, Godino,
Gascón, los interaccionistas simbólicos, etc.
Cada uno de los autores estudiados a su
vez proporciona elementos teóricos propios
a su respectiva teoría, como es el caso de los
tipos de efectos estudiados por Brousseau;
o toma aspectos de otros autores y los rein-
terpreta dentro de su marco teórico la idea,
como la idea de ostención de Eco considerada
por Alson dentro del campo de la Didáctica
de la Matemática.
A pesar de que Alson se doctoró bajo la
dirección de Brousseau se notan aspectos di-
vergentes entre las concepciones de ambos
investigadores, como es el caso de la utilización
de la idea de situación y los tipos de estas. Así,
aunque ambos aluden a dicho constructo (el
de situación), cada quien establece su propia
tipología.
Un elemento distintivo entre la teoría de
Dienes y la de Brousseau es la concepción
que cada uno tiene del juego: para el primero
es un artefacto, mientras que para el segun-
do es un modelo de una situación didáctica,

54
aunque para ambos –de alguna manera– el
alumno juega.
Elementos diferenciadores entre la con-
cepción de Alson y la de Brousseau es el uso
que cada uno hace de la noción de situación.
Alson además sustituye la metáfora del juego
de Brousseau, la cual considera limitada, por la
metáfora de una red de circulación mediante
la cual modela las situaciones de producción y
el enriquecimiento del saber del individuo, en
la medida en que éste logre establecer nuevas
conexiones entre sus esquemas cognitivos.
Alson, a diferencia de los otros dos autores,
establece una distinción entre saber y conocer
basándose en una discusión de corte filosófico.
El estudio comparativo aquí realizado
no agota el tema y es deseable contrastar
más profundamente los planteamientos de
los tres autores estudiados con los de otros
estudiosos, por ejemplo, comparar las etapas
del aprendizaje propuestas por Dienes con los
momentos de Gascón.
Finalmente, vale la pena hacer tres aco-
taciones adicionales. En primer término, a
pesar de que buena parte del trabajo de Die-
nes se encuentra asociado a una concepción
estructuralista de la matemática, es posible
sustraerse de esta y en gran medida su teoría
es compatible con una didáctica de las mate-
máticas basada en otras concepciones de las
ciencias exactas. En segundo lugar, propuestas
como las de las seis etapas del aprendizaje de
Dienes, a pesar del tiempo transcurrido desde
su proposición, siguen teniendo un buen grado
de vigencia y además proporcionan una ver-
sátil y apropiada metodología para el diseño
de situaciones didácticas, cubriendo aspectos
esenciales del aprendizaje matemático. Por
último, es de mencionar que las tres teorías
aquí consideradas proporcionan guías que
ayudan al proceso de transposición didáctica.
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