Este documento presenta diferentes conceptos lógicos como silogismos, conexiones lógicas, proposiciones compuestas, expresiones lógicas, tautologías y contradicciones. Explica que una tautología es una expresión lógica que es verdadera para todas las asignaciones posibles, mientras que una contradicción es falsa para todas las asignaciones. También introduce la noción de equivalencia lógica y cómo se pueden utilizar las tautologías y equivalencias lógicas en el razonamiento deductivo.

1. Argumentos Lógicos
Silogismo disyuntivo
1. P o Q
2. No P
3. P
Silogismo hipotético
1. P => Q
2. Q=>R
3. P=>R
Modus ponens
1. Si P => Q
2. P
3. Q

2. Conexiones lógicas

3. Negación
Negación
P -P
V F
F V
Sea 𝑃 una proposición compuesta,
− 𝑃 es la proposición que es falsa si P
es verdadera, caso contrario si – 𝑃 es
verdadero, 𝑃 es falsa

4. Conjunción
Sean 𝑃 𝑦 𝑄 dos proposiciones .
Entonces 𝑃 ∧ 𝑄 es verdadera,
si tanto P como 𝑄 son
verdaderas
Conjunción
P Q 𝑃⋀𝑄
V V V
V F F
F V F
F F V

5. Disyunción
Sean 𝑃 𝑦 𝑄 dos proposiciones .
Entonces 𝑃 ∨ 𝑄 es Falso, si
tanto P como Q son falsos, Si ∨
𝑃 ó ∨ 𝑄 entonces 𝑃 ∨ 𝑄 es
verdadera.
Disyunción
P Q 𝑃 ∨ 𝑄
V V V
V F V
F V V
F F F

6. Condicional
Sean 𝑃 𝑦 𝑄 dos proposiciones .
Entonces 𝑃 → 𝑄 es Falso si 𝑃
es verdadero y 𝑄 es falso, y
𝑃 𝑦 𝑄 en otro caso.
Condicional
P Q 𝑃 → 𝑄
V V V
V F f
F V V
F F V

7. Bicondicional
Sean 𝑃 𝑦 𝑄 dos proposiciones .
Entonces 𝑃 ↔ 𝑄 es verdadera si y
solo si 𝑃 𝑦 𝑄 tienen los mismos
valores de verdad.
Bicondicional
P Q 𝑃 ↔ 𝑄
V V V
V F F
F V F
F F V

8. Proposiciones
compuestas

9. Expresiones lógicas
 Cualquier proposición debe expresarse de algún modo, bien sea
verbalmente, gráficamente o mediante una cadena de caracteres . Una
cadena de caracteres se le denomina expresión lógica.
1. Sea 𝑃 𝑦 𝑄 una expresión lógica y también lo es 𝑄 , siempre y cuando
𝑃 𝑦 𝑄 sean variables lógicas.
2. Las expresiones lógicas también pueden ser ambiguas.

10. Expresiones
lógicas.
 Definición 1. Todas las expresiones
que contienen identificadores que
representan expresiones se denominan
Esquemas.

11. Propiedades Definición 1
 Si 𝐸 es una expresión compuesta cualquiera, entonces los alcances
de la conexión principal en 𝐸 son subexpresiones. Por ejemplo, si E
es de la forma (𝐴 ∧ 𝐵) , entonces tanto 𝐴 como 𝐵 son
subexpresiones. Estas subexpresiones se denominarán
subexpresiones inmediatas de 𝐸. Además,𝐴 𝑦 𝐵 pueden ser a su
vez expresiones compuestas, en cuyo caso también tendrán
subexpresiones. Todas las subexpresiones de 𝐴 𝑦 𝐵 son también
subexpresiones de 𝐸. Todas estas expresiones son subexpresiones
de la proposición original. Generalmente, las subexpresiones de una
expresión 𝐸 se definen como sigue:

12. Propiedades Definición 1
 1. E es una subexpresión de 𝐸.
 2. Si E es de la forma (−𝐴), entonces 𝐴 es una subexpresión de 𝐸.
 3. Si es de la forma 𝐴 ∧ 𝐵 , 𝐴 ∨ 𝐵 , 𝐴 ⇒ 𝐵 𝑜(𝐴 ⇔ 𝐵), entonces 𝐴 𝑦 𝐵, son
ambas subexpresiones de 𝐸. Esta se denominan subexpresiones inmediatas.
 4. Si A es una subexpresión de 𝐸 y si 𝐶 es una subexpresión de A, entonces 𝐶 es
una subexpresión de 𝐸.
 5. Ninguna otra expresión es subexpresión de 𝐸.

13. Expresiones
lógicas.
 Definición 2: Una proposición se
denomina literal si es de la forma 𝑄 𝑜 −
𝑄 , donde 𝑄 es una variable
proposicional. Las dos expresiones
𝑄 𝑦 − 𝑄 se denominan literales.

14. Reglas de prioridad.
• La conexión − tiene siempre la prioridad mas alta.
−𝑃 ∨ 𝑄 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑠𝑒𝑟 −𝑃 ∨ 𝑄, 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 − (𝑃 ∨ 𝑄)
• En el caso que la conexión sea binaria, la prioridad mas alta sería :
• ∧
• ∨
• ⇒
• ⟺

15. Ejemplos Reglas de prioridad
1. En la expresión 𝑃 ∧ 𝑄 ∨ 𝑅, ∧ tiene prioridad sobre ∨, por tanto resulta
𝑃 ∧ 𝑄 ∨ 𝑅.
2. En la expresión 𝑃 ⇒ 𝑄 ∨ 𝑅, ∨ 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 ⇒, por tanto
resulta 𝑃 ⇒ (𝑄 ∨ 𝑅)
3. En la expresión 𝑃 ⇒ 𝑄 ⇔ 𝑅, ⇔ al tener la prioridad mas baja resulta
(𝑃 ⇒ 𝑄) ⇔ 𝑅

16. Expresiones
lógicas.
 Definición 3. Un operador binario se
denomina asociativo por la izquierda,
si el operador por la izquierda tiene
prioridad sobre el operador de la
derecha, Un operador binario
asociativo por la derecha, si el
operador por la derecha tiene
prioridad sobre el operador de la
izquierda.

17. Evaluación de expresiones y tablas de
verdad
 Ejemplo: si usted tiene un examen de programación, y no entiende el
código, usted no aprobará.
 Para determinar cuando es verdadera esta afirmación y cuando es falsa,
para hacerlo, definimos:
 𝑃: Usted tiene un examen de programación.
 𝑄: 𝑈𝑠𝑡𝑒𝑑 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝑐ó𝑑𝑖𝑔𝑜.
 𝑅: 𝑈𝑠𝑡𝑒𝑑 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑟á
 El resultado de esta afirmación resulta en:
 𝑃 ∧ −𝑄 ⇒ −𝑅

18. Identificación de expresiones
 Identificación de una expresión mediante un indicador. Sea el
indicador 𝐴; esto es, donde quiera que aparezca 𝐴 nos referimos a :
𝑃 ∧ −𝑄 ⇒ −𝑅, 𝐴 es de la forma 𝐵 ⇒ 𝐶,𝐵 = (𝑃 ∧ −𝑄) y 𝐶 = −𝑅 y 𝐷 =
− 𝑄 una variable preposicional .

19. P Q R
D C B A
−𝑄 𝑃 ∧ −𝑄 −𝑅 𝑃 ∧ −𝑄 ⇒ −𝑅
V V V F F F V
V V F F F V V
V F V V V F F
V F F V V V V
F V V F F F V
F V F F F V V
F F V V F F V
F F F V F V V
Puesto que A contiene
tres variables P, Q, y R,
se utilizará
2𝑛 asignaciones
23 = 8 𝑎𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
Para fomar valores F y
V,

20. Tautologías y
contradicciones

21. Tautología
 Definición 4. Una expresión lógica es
una tautología si es verdadera para
todas las asignaciones posibles.

22. Contradicción
 Definición 5. Una expresión lógica es
una contradicción si es falsa para todas
las asignaciones posibles.

23. Contingencia
 Definición 6. Una expresión lógica que no
sea una tautología ni una contradicción se
denomina contingencia
(casualidad/eventualidad).

24. Tautología
 Sea − 𝑃 ∧ 𝑄 ∨ 𝑄, una proposición verdadera. Demostrar que es una tautología.

𝑃 𝑄 𝑃 ∧ 𝑄 −(𝑃 ∧ 𝑄) −(𝑃 ∧ 𝑄) ∨ 𝑄
V V V F V
V F F V V
F V F V V
F F F V V
Debido a que las tautologías son tan
importantes, se ha creado una
simbología para denotar que una
expresión es una tautología
⊨ − 𝑷 ∧ 𝑸 ∨ 𝑸

25. Tautología.
 Ley del medio excluido.
 𝑃 ∨ −𝑃, es una tautología. En otras palabras
𝑃 es verdadera o falsa, y todo lo demás se
excluye.
𝑃 −𝑃 𝑃 ∨ −𝑃
V F V
F V V

26. Tautología.
 Teorema 1.1. Sea 𝐴 una
expresión tautológica, sean
𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛 las variables
proposicionales de 𝐴 . Suponga
que 𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑛, son expresiones
lógicas arbitrarias. En este caso, la
expresión obtenida al reemplazar
𝑃1𝑝𝑜𝑟𝐵1, 𝑃2 𝑝𝑜𝑟𝐵2, … , 𝑃𝑛𝑝𝑜𝑟𝐵𝑛 es
un esquema y toda
particularización de este esquema
es una tautología.

27. Tautología y razonamiento lógico
 A partir del silogismo disyuntivo que indica que 𝑃 ∧ 𝑄 𝑦 − 𝑃 sean ambas verdaderas
entonces Q es verdadera. Si tenemos ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ −𝑃) ⇒ 𝑄, entonces también es una
tautología.
P Q (𝑃 ∨ 𝑄) -P (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ −𝑃 ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ −𝑃) ⇒ 𝑄
V V V F F V
V F V F F V
F V V V V V
F F F V F V

28. Contradicción
 Ley del medio excluido.
 Una expresión es una contradicción si esta
produce F para todas las asignaciones.
Considerando la expresión 𝑃 ∧ −𝑃 , es una
contradicción. Como se demuestra en la tabla
de verdad:
𝑃 −𝑃 𝑃 ∧ −𝑃
V F F
F V F

29. Tautología y razonamiento lógico
 A partir del silogismo disyuntivo que indica que 𝑃 ∧ 𝑄 𝑦 − 𝑃 sean ambas verdaderas
entonces Q es verdadera. Si tenemos 𝑃 ∨ 𝑄 ∧ −𝑃 ∧ −𝑄, una contradicción, se dice que
todas las asignaciones deben ser falsas.
P Q (𝑃 ∨ 𝑄) -P (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ −𝑃 −𝑄 𝑃 ∨ 𝑄 ∧ −𝑃 ∧ −𝑄
V V V F F F F
V F V F F V F
F V V V V F F
F F F V F V F

30. Tipos
importantes de
tautologías
 Definición 7. Si 𝐴 𝑦 𝐵 son dos expresiones
lógicas y si 𝐴 ⇒ 𝐵 es una tautología,
decimos que 𝐴 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝐵, y
escribimos 𝐴 ⇛ 𝐵.
Definición 8. Si 𝐴 𝑦 𝐵 son dos expresiones
lógicas y si 𝐴 𝑦 𝐵 siempre tienen el mismo
valor de verdad, entonces se dice que
𝐴 𝑦 𝐵 𝑠𝑜𝑛 𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 , y
escribimos 𝐴 ≡ 𝐵, si y solo si 𝐴 ⇔ 𝐵 es una
tautología .

31. Consideraciones especiales
 Para distinguir entre 𝐴 ≡ 𝐵 y 𝐴 ⇔ 𝐵, se utiliza
frecuentemente el término equivalencia material para
la equivalencia 𝐴 ⇔ 𝐵 , como opuesto a la
𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎, denotada por ≡. De la misma
manera, se dice que 𝐴 implica materialmente a 𝐵
para 𝐴 ⇒ 𝐵 y que 𝐴 implica lógicamente a 𝐵 para
𝐴 ⇛ 𝐵.

32. Consideraciones especiales
 𝐴 es una tautología si 𝐴 ≡ 𝑉, y es una contradicción si 𝐴 ≡
𝐹. Se puede también mostrar con claridad que si 𝐴 es una
tautología entonces 𝑉 ⇛ 𝐴, y si 𝐴 es una contradicción, 𝐴 ⇛
𝐹. Finalmente, a partir de 𝐴 ≡ 𝐵 se puede concluir 𝐴 ⇛
𝐵𝑦 𝐵 ⇛ 𝐴. Por lo tanto, toda equivalencia lógica puede
utilizarse para derivar dos implicaciones lógicas. En el caso
inverso, sí 𝐴 ⇛ 𝐵𝑦 𝐵 ⇛ 𝐴, siempre se puede concluir 𝐴 ≡
𝐵.

33. Equivalencias lógicas y su utilización.
 𝐸𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡á 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑦 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑐𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜.
 𝐸𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡á 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑐𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑦 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜.
 Si 𝑃 ="el programa está bien escrito" y 𝑄 ="el programa está bien
documentado", entonces la primera de las dos afirmaciones se traduce en
𝑃 ∧ 𝑄, mientras que la segunda se traduce en 𝑄 ∧ 𝑃. Al verificar la tabla
de verdad para la conjunción, resulta que: (𝑄 ∧ 𝑃) ⇔ ( 𝑃 ∧ 𝑄) es una
tautología.

34. DEMOSTRACIÓN DE
EQUIVALENCIAS LÓGICAS,
MEDIANTE TABLAS DE VERDAD

35. Considere las dos afirmaciones
siguientes.
 É𝑙 𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑖𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑜 é𝑙 𝑛𝑜 𝑒𝑠 ℎ𝑜𝑛𝑒𝑠𝑡𝑜.
 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜 𝑞𝑢𝑒 é𝑙 𝑒𝑠𝑡é 𝑖𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑦 𝑠𝑒𝑎 ℎ𝑜𝑛𝑒𝑠𝑡𝑜.
 Sean 𝑃 𝑦 𝑄 las afirmaciones de que él es honesto y de que él está bien
informado, respectivamente. La primera afirmación representa −𝑃 ∨ −𝑄,
mientras que la segunda se traduce como −(𝑃 ∧ 𝑄). Nuestra afirmación es
que las dos expresiones son lógicamente equivalentes; esto es,
 −( 𝑃 ∧ 𝑄) ⇔ (−𝑃 ∨ −𝑄) es una tautología.

36. Tautología y razonamiento lógico
 La última columna muestra que la expresión en cuestión es una tautología, lo
que significa que las dos afirmaciones en cuestión son lógicamente
equivalentes. La equivalencia lógica demostrada en la Tabla de verdad es
importante y se denomina Ley de De Morgan
𝑃 𝑄 −𝑃 −𝑄 (𝑃 ∧ 𝑄) −(𝑃 ∧ 𝑄) −𝑃 ∨ −𝑄 −(𝑃 ∧ 𝑄) ⇔ (−𝑃 ∨ −𝑄)
V V F F V F F V
V F F V F V V V
F V V F F V V V
F F V V F V V V

37. Considere las dos afirmaciones
siguientes.
 Si las mercancías no fueron entregadas, el cliente no puede haber
pagado.
 Si el cliente ha pagado, las mercancías deben de haber sido entregadas.
Si 𝑄 𝑦 𝑃 representan "las mercancías fueron entregadas" y "el cliente
pagó", respectivamente, entonces estas dos afirmaciones se
traducen en:
−𝑄 ⇒ − 𝑃 𝑦 𝑃 ⇒ 𝑄. 𝑃 ⇒ 𝑄 𝑦 − 𝑄 ⇒ − 𝑃 ,son contrarrecíproco
cada uno del otro.

38. Tautología y razonamiento lógico
 La Tabla de verdad muestra que los contrarrecíprocos son lógicamente
equivalentes; esto es, −𝑄 ⇒ −𝑃 ≡ 𝑃 ⇒ 𝑄 La equivalencia lógica es
establecida mediante las dos últimas columnas de la tabla, las cuales
son idénticas.
𝑃 𝑄 −𝑃 −𝑄 −𝑄 ⇒ −𝑃 𝑃 ⇒ 𝑄
V V F F V V
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V V

39. Considere las dos afirmaciones
siguientes.
 𝑃 𝑦 𝑄 tienen el mismo valor de verdad.
 Si 𝑃, entonces 𝑄, y si 𝑄, entonces 𝑃.
 La segunda afirmación se puede reformular como "𝑃 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑄". La
conversión de las dos afirmaciones a la lógica es directa. La primera
afirmación se convierte en 𝑃 ⇔ 𝑄 y la segunda ( 𝑃 ⇒ 𝑄) ∧ ( 𝑄 ⇒ 𝑃).

40. Tautología y razonamiento lógico
 La Tabla de verdad muestra que estas dos expresiones son lógicamente
equivalentes.
𝑃 𝑄 𝑃 ⇔ 𝑄 𝑃 ⇒ 𝑄 𝑄 ⇒ 𝑃 (𝑃 ⇒ 𝑄) ∧ (𝑄 ⇒ 𝑃)
V V V V V V
V F F F V F
F V F V F F
F F V V V V
Sean las expresiones (𝑃 ⇔ 𝑄 = y ( 𝑃 ⇒ 𝑄) ∧ ( 𝑄 ⇒ 𝑃).

41. Algebra
Declarativa
En el álgebra declarativa se manipulan
expresiones lógicas, esto es,
expresiones donde las variables y las
constantes representan valores de
verdad.
Analizar la expresión
𝑎 + 𝑏 − 𝑏, 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑎

42. Ejemplo métodos abreviados para
manipular expresiones.
 ((𝑃1∧ 𝑃2) ∧ 𝑃1) ∧ (𝑉 ∧ 𝑃1)
 ((𝑃1∧ 𝑃
2) ∧ 𝑃
1) ∧ (𝑃
1)
 (𝑃1∧ 𝑃2)