En esta presentación aprenderás a estudiar la derivabilidad de una función definida a trozos.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: DERIVABILIDAD
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
- Estudiar la continuidad de una función definida a trozos.
- Estudiar la derivabilidad de una función definida a trozos.
- Calcular el valor de los parámetros para que la función sea continua y derivable.
- Calcular la recta tangente a la gráfica en un punto.

2. ENUNCIADO:
a) Calcula los valores de los parámetros 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ para que la siguiente función sea derivable.
𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 2𝑥 + 𝑎 𝑥 < 0
𝑥2
+ 𝑏𝑒 𝑥
+ 3 𝑥 ≥ 0
b) Para los valores de a y b encontrados en el apartado anterior, calcula la ecuación de la
recta tangente en x=0.
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3. a) Nos piden que hallemos a y b para que la función sea derivable. En primer lugar estudiaremos la continuidad, ya que si
una función no es continua no podrá ser derivable.
Recordemos que la función viene dada por:
𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 2𝑥 + 𝑎 𝑥 < 0
𝑥2
+ 𝑏𝑒 𝑥
+ 3 𝑥 ≥ 0
• Si x<0, 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 2𝑥 + 𝑎 es continua y derivable por ser polinómica.
• Si x>0, 𝑓 𝑥 = 𝑥2
+ 𝑏𝑒 𝑥
+ 3 es continua y derivable por ser polinómica.
Por tanto el único punto que queda por estudiar es el punto x=0. Estudiamos en primer lugar la continuidad en x=0.
En este caso f(x) será continua si cumple: 𝑓 0 = lim
𝑥→0
𝑓(𝑥).
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4. Como la función cambia de criterio cuando nos acercamos a 0, entonces tendremos que estudiar los límites laterales. Es
decir tenemos que estudiar:
 𝑓 0 = 02
+ 𝑏𝑒0
+ 3 = 𝑏 + 3
 lim
𝑥→0−
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→0
𝑥2
− 2𝑥 + 𝑎 = 𝑎
 lim
𝑥→0+
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→0
𝑥2
+ 𝑏𝑒 𝑥
+ 3 = 𝑏 + 3
Por lo tanto para que f(x) sea continua es necesario que los tres valores que hemos calculado anteriormente coincidan, es
decir, es necesario que:
𝑏 + 3 = 𝑎
Estudiamos a continuación la derivabilidad de la función f(x).
Como ocurría con la continuidad, el único punto donde falta por estudiar la derivabilidad es en x=0
Por tanto estudiamos la derivabilidad en x=0.
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5. Recordemos que una función es derivable en el punto x=0 si existe
lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 − 𝑓(0)
𝑥 − 0
Al igual que ocurría anteriormente, como la función cambia de criterio en x=0, estudiaremos los límites laterales.
 lim
𝑥→0−
𝑓 𝑥 −𝑓(0)
𝑥−0
= lim
𝑥→0
𝑥2−2𝑥+𝑎−(𝑎)
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑥2−2𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑥(𝑥−2)
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑥 − 2 = −2
 lim
𝑥→0+
𝑓 𝑥 −𝑓(0)
𝑥−0
= lim
𝑥→0
𝑥2+𝑏𝑒 𝑥+3−(𝑏+3)
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑥2+𝑏𝑥𝑒 𝑥+3−𝑏−3
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑥2+𝑏𝑒 𝑥−𝑏
𝑥
= lim
𝑥→0
2𝑥+𝑏𝑒 𝑥
1
= 𝑏
Por lo tanto para que f sea derivable en x=0, tiene que ocurrir que 𝑏 = −2
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0
0
𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡. 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐿´𝐻ô𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙

6. Por lo tanto llegamos a que para que f sea continua y derivable, se debe cumplir:
𝑏 + 3 = 𝑎
𝑏 = −2
De donde calculando los valores de a y b se tiene que: 𝑎 = 1 𝑏 = −2
b) Para los valores de a y b encontrados en el apartado anterior, calcula la ecuación de la recta tangente en x=0.
Si sustituimos en la función los valores que hemos obtenido se tendría que:
𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 2𝑥 + 1 𝑥 < 0
𝑥2 − 2𝑒 𝑥 + 3 𝑥 ≥ 0
Como f es derivable en todo su dominio, podemos hallar la recta tangente en x=0.
Derivamos en primer lugar la función.
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7. 𝑓´ 𝑥 =
2𝑥 − 2 𝑥 < 0
2𝑥 − 2𝑒 𝑥
𝑥 ≥ 0
La ecuación de la recta tangente en x=0 viene determinada por:
𝑦 − 𝑓 0 = 𝑓´(0)(𝑥 − 0)
Obsérvese que:
𝑓 0 = 1 𝑓´ 0 = − 2
Por lo tanto la ecuación de la recta tangente viene determinada por:
𝑦 − 1 = −2 𝑥 − 0
O equivalentemente:
𝑦 = −2𝑥 + 1
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