El documento resume un problema sobre el estudio de continuidad, derivabilidad y aplicación del Teorema de Rolle a una función definida a trozos. La función es continua pero no derivable en todo su dominio, por lo que no se cumplen las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo dado.
TIPOLOGÍA TEXTUAL- EXPOSICIÓN Y ARGUMENTACIÓN.pptx
FUNCIONES 02
1. ¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
- Estudiar la continuidad de una función definida a trozos.
- Estudiar la derivabilidad de una función definida a trozos.
- Estudiar si una función cumple las hipótesis del Teorema de Rolle.
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2. Enunciado:
Se considera la función:
𝑓 𝑥 =
𝑥 − 1 + cos(𝑥 − 1) 𝑥 ≤ 1
𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 1)
𝑥 − 1
𝑥 > 1
a) Estudia la continuidad de la función.
b) Estudia la derivabilidad de la función.
c) ¿Cumple la función f(x) en [0,2] las condiciones del Teorema de Rolle?
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3. a) Estudia la continuidad de la función.
𝑓 𝑥 =
𝑥 − 1 + cos(𝑥 − 1) 𝑥 ≤ 1
𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 1)
𝑥 − 1
𝑥 > 1
• Si 𝑥 < 1, 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 + cos 𝑥 − 1 , es continua por ser suma de una función polinómica y una trigonométrica.
• Si 𝑥 > 1, 𝑓 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛(𝑥−1)
𝑥−1
es continua por ser cociente de una función trigonométrica y un polinomio, y el denominador
no anularse en el intervalo.
Estudiamos la continuidad en 𝑥 = 1.
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4. • 𝑥 = 1
1. f 1 = 0 + cos0 = 1
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5. • 𝑥 = 1
1. f 1 = 0 + cos0 = 1
2. lim
x→1−
f x = lim
x→1
x − 1 + cos(x − 1) = 0 + cos0 = 1
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6. • 𝑥 = 1
1. f 1 = 0 + cos0 = 1
2. lim
x→1−
f x = lim
x→1
x − 1 + cos(x − 1) = 0 + cos0 = 1
3. lim
x→1+
f x = lim
x→1
sen(x−1)
x−1
=
0
0
(Indeterminación)
Este límite puede resolverse fácilmente utilizando infinitésimos. Si consideramos las funciones 𝑔 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 1), ℎ 𝑥 =
𝑥 − 1, éstas son derivables en un entorno de 𝑥 = 1, por lo que podemos aplicar la regla de L´Höpital.
lim
x→1
sen(x − 1)
x − 1
= lim
𝑥→1
cos(𝑥 − 1)
1
=
𝑐𝑜𝑠0
1
= 1
Por lo tanto tenemos que
lim
x→1+
𝑓 𝑥 = 1
La función es continua en 𝑥 = 1.
En consecuencia la función es continua en ℝ
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7. b) Estudia la derivabilidad de la función.
𝑓 𝑥 =
𝑥 − 1 + cos(𝑥 − 1) 𝑥 ≤ 1
𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 1)
𝑥 − 1
𝑥 > 1
• Si 𝑥 < 1, 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 + cos 𝑥 − 1 , es derivable por ser suma de una función polinómica y una trigonométrica.
• Si 𝑥 > 1, 𝑓 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛(𝑥−1)
𝑥−1
es derivable por ser cociente de una función trigonométrica y un polinomio, y el denominador
no anularse en el intervalo.
Estudiamos la derivabilidad en 𝑥 = 1.
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8. • x = 1
Tenemos que estudiar el límite
lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 − 𝑓(1)
𝑥 − 1
Por la derecha y por la izquierda.
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9. • x = 1
Tenemos que estudiar el límite
lim
𝑥→1
𝑓 𝑥 − 𝑓(1)
𝑥 − 1
Por la derecha y por la izquierda.
1. lim
x→1−
f x −f(1)
x−1
= lim
x→1
x−1 +cos x−1 −1
x−1
= lim
x→1
x−2+cos(x−1)
x−1
=
0
0
(Indeterminación.)
Si observamos las funciones que definen el numerador y el denominador son derivables en un entorno de 𝑥 = 1, por lo que
podemos aplicar la regla de L´Hôpital.
lim
x→1
x − 2 + cos(x − 1)
x − 1
= lim
x→1
1 − sen(x − 1)
1
=
1 − 0
1
= 1
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𝑓 1 = 1
10. 2. lim
x→1+
f x −f(1)
x−1
= lim
x→1
𝑠𝑒𝑛(𝑥−1)
𝑥−1
−1
x−1
= lim
x→1
sen x−1 −(x−1)
(𝑥−1)2 =
0
0
(Indeterminación.)
Si observamos las funciones que definen el numerador y el denominador son derivables en un entorno de 𝑥 = 1, por lo que
podemos aplicar la regla de L´Hôpital.
lim
x→1
sen x − 1 − (x − 1)
(𝑥 − 1)2 = lim
x→1
cos x − 1 − 1
2(x − 1)
=
0
0
(𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡. )
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𝑓 1 = 1
11. 2. lim
x→1+
f x −f(1)
x−1
= lim
x→1
𝑠𝑒𝑛(𝑥−1)
𝑥−1
−1
x−1
= lim
x→1
sen x−1 −(x−1)
(𝑥−1)2 =
0
0
(Indeterminación.)
Si observamos las funciones que definen el numerador y el denominador son derivables en un entorno de 𝑥 = 1, por lo que
podemos aplicar la regla de L´Hôpital.
lim
x→1
sen x − 1 − (x − 1)
(𝑥 − 1)2 = lim
x→1
cos x − 1 − 1
2(x − 1)
=
0
0
(𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡. )
Podemos aplicar la regla de L´Hôpital de nuevo y obtenemos:
lim
x→1
sen x − 1 − (x − 1)
(𝑥 − 1)2 = lim
x→1
cos x − 1 − 1
2(x − 1)
= lim
𝑥→1
−𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 1)
2
=
0
2
= 0
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𝑓 1 = 1
12. En consecuencia tenemos:
lim
𝑥→1−
𝑓 𝑥 = 1
lim
𝑥→1+
𝑓 𝑥 = 0
Por lo que concluimos que la función no es derivable en 𝑥 = 1.
Por lo tanto tenemos que la función es derivable en ℝ − {1}
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13. c) ¿Cumple la función f(x) en [0,2] las condiciones del Teorema de Rolle?
Recordemos que el Teorema de Rolle dice:
Sea 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ una función que cumple:
• Es continua en [a,b]
• Es derivable en (a,b)
• 𝑓 𝑎 = 𝑓(𝑏)
Entones existe 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 : 𝑓´ 𝑐 = 0
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14. c) ¿Cumple la función f(x) en [0,2] las condiciones del Teorema de Rolle?
Recordemos que el Teorema de Rolle dice:
Sea 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ una función que cumple:
• Es continua en [a,b]
• Es derivable en (a,b)
• 𝑓 𝑎 = 𝑓(𝑏)
Entones existe 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 : 𝑓´ 𝑐 = 0
Esta función no cumple el Teorema de Rolle ya que no es derivable en (0,2) al no ser derivable en 𝑥 = 1.
FIN
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