En este tutorial conectaremos un depósito en centrifugación a otro que se encuentra en reposo. Conociendo los datos geométricos del paraboloide formado por el giro de líquido confinado sabremos cuánto más baja su nivel por efecto del trasvase de líquido que se produce entre ambos tanques gracias a un vaso comunicante entre los centros de sus bases.

1. ¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT

2. Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
Un recipiente cilíndrico vertical de 12 cm de radio está abierto y girando a velocidad angular constante en torno a un eje
vertical que pasa por su centro. La superficie libre del líquido que contiene el recipiente es un paraboloide de revolución
cuyo vértice se encuentra a 35 cm del fondo del recipiente.
Un segundo recipiente cilíndrico vertical de 9 cm de radio permanece inmóvil y vacío, también abierto a la atmósfera, con la
base a idéntica altura del anterior. El líquido se reparte entre ambos recipientes al comunicarlos por el centro de su base
por un tubo de sección despreciable.
a) Describir la superficie libre del líquido que permanece en el recipiente giratorio.
b) Hallar la cantidad de líquido que cambia de recipiente.

3. Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
Un recipiente cilíndrico vertical de 12 cm de radio está abierto y girando a velocidad angular constante en torno a un eje
vertical que pasa por su centro. La superficie libre del líquido que contiene el recipiente es un paraboloide de revolución
cuyo vértice se encuentra a 35 cm del fondo del recipiente.
Un segundo recipiente cilíndrico vertical de 9 cm de radio permanece inmóvil y vacío, también abierto a la atmósfera, con la
base a idéntica altura del anterior. El líquido se reparte entre ambos recipientes al comunicarlos por el centro de su base
por un tubo de sección despreciable.
a) Describir la superficie libre del líquido que permanece en el recipiente giratorio.
b) Hallar la cantidad de líquido que cambia de recipiente.
12 cm
35cm

4. Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
Un recipiente cilíndrico vertical de 12 cm de radio está abierto y girando a velocidad angular constante en torno a un eje
vertical que pasa por su centro. La superficie libre del líquido que contiene el recipiente es un paraboloide de revolución
cuyo vértice se encuentra a 35 cm del fondo del recipiente.
Un segundo recipiente cilíndrico vertical de 9 cm de radio permanece inmóvil y vacío, también abierto a la atmósfera, con la
base a idéntica altura del anterior. El líquido se reparte entre ambos recipientes al comunicarlos por el centro de su base
por un tubo de sección despreciable.
a) Describir la superficie libre del líquido que permanece en el recipiente giratorio.
b) Hallar la cantidad de líquido que cambia de recipiente.
12 cm
35cm
9 cm

5. Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
9 cm
a) Describir la superficie libre del líquido que permanece en el recipiente giratorio.
En el recipiente giratorio, el campo de presiones es el del líquido
en rotación uniforme alrededor del eje más la componente del
peso.
12 cm

6. Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
9 cm
a) Describir la superficie libre del líquido que permanece en el recipiente giratorio.
En el recipiente giratorio, el campo de presiones es el del líquido
en rotación uniforme alrededor del eje más la componente del
peso.

7. Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
a) Describir la superficie libre del líquido que permanece en el recipiente giratorio.
En el recipiente giratorio, el campo de presiones es el del líquido
en rotación uniforme alrededor del eje más la componente del
peso.
Para el recipiente estático el campo es el de un líquido en reposo
bajo la acción de un peso.
9 cm

8. Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
a) Describir la superficie libre del líquido que permanece en el recipiente giratorio.
En el recipiente giratorio, el campo de presiones es el del líquido
en rotación uniforme alrededor del eje más la componente del
peso.
Para el recipiente estático el campo es el de un líquido en reposo
bajo la acción de un peso.
9 cm

9. Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
a) Describir la superficie libre del líquido que permanece en el recipiente giratorio.
En el recipiente giratorio, el campo de presiones es el del líquido
en rotación uniforme alrededor del eje más la componente del
peso.
Para el recipiente estático el campo es el de un líquido en reposo
bajo la acción de un peso.
En la superficie de contacto de ambos líquidos la presión es única
y en el centro de la base del giratorio ha de tener igual valor para
ambos campos (vasos comunicantes)
9 cm

10. Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
a) Describir la superficie libre del líquido que permanece en el recipiente giratorio.
En el recipiente giratorio, el campo de presiones es el del líquido
en rotación uniforme alrededor del eje más la componente del
peso.
Para el recipiente estático el campo es el de un líquido en reposo
bajo la acción de un peso.
En la superficie de contacto de ambos líquidos la presión es única
y en el centro de la base del giratorio ha de tener igual valor para
ambos campos (vasos comunicantes)
Campo de presiones del líquido en rotación 𝑝 = −𝜌𝑔𝑧 +
𝜌 · 𝜔2
2
𝑟2
+ 𝑝0
Distancia al eje de rotación
Densidad del líquido Presión en el punto O (atmosférica a tanque abierto)
o
9 cm
O O

11. o
Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
a) Describir la superficie libre del líquido que permanece en el recipiente giratorio.
Campo de presiones del líquido en reposo
𝑝 = −𝜌𝑔𝑧 +
𝜌 · 𝜔2
2
𝑟2 + 𝑝0
𝜔 = 0 𝑝 = −𝜌𝑔𝑧 + 𝑝0
9 cm
O O

12. Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
a) Describir la superficie libre del líquido que permanece en el recipiente giratorio.
Campo de presiones del líquido en reposo
𝑝 = −𝜌𝑔𝑧 +
𝜌 · 𝜔2
2
𝑟2 + 𝑝0
𝜔 = 0 𝑝 = −𝜌𝑔𝑧 + 𝑝0
El paso de líquido de un recipiente a otro afecta, sólo, a la
constante 𝑝0, pues la densidad 𝜌 y la velocidad no varían.
o
9 cm
O O

13. Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
a) Describir la superficie libre del líquido que permanece en el recipiente giratorio.
Campo de presiones del líquido en reposo
𝑝 = −𝜌𝑔𝑧 +
𝜌 · 𝜔2
2
𝑟2 + 𝑝0
𝜔 = 0 𝑝 = −𝜌𝑔𝑧 + 𝑝0
El paso de líquido de un recipiente a otro afecta, sólo, a la
constante 𝑝0, pues la densidad 𝜌 y la velocidad no varían.
Ecuación de la superficie libre:
𝑝 𝑎 = −𝜌𝑔𝑧 +
𝜌 · 𝜔2
2
𝑟2 + 𝑝0
o
9 cm
O O
𝑝 𝑎
𝑝 𝑎

14. Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
a) Describir la superficie libre del líquido que permanece en el recipiente giratorio.
Campo de presiones del líquido en reposo
𝑝 = −𝜌𝑔𝑧 +
𝜌 · 𝜔2
2
𝑟2 + 𝑝0
𝜔 = 0 𝑝 = −𝜌𝑔𝑧 + 𝑝0
El paso de líquido de un recipiente a otro afecta, sólo, a la
constante 𝑝0, pues la densidad 𝜌 y la velocidad no varían.
Ecuación de la superficie libre:
𝑝 𝑎 = −𝜌𝑔𝑧 +
𝜌 · 𝜔2
2
𝑟2 + 𝑝0 → 𝑧 =
𝜔2
2𝑔
𝑟2 + 𝑐𝑡𝑒
o
9 cm
O O
𝑝 𝑎
𝑝 𝑎
Como sólo cambia el valor del sumando constante, la nueva curva será una traslación descendente vertical de la original.

15. Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
o
9 cm
O O
𝑝 𝑎
𝑝 𝑎
b) Hallar la cantidad de líquido que cambia de recipiente
𝑝𝑐 𝑝𝑐
𝑝𝑐, en el centro de ambas superficies, debe ser la misma.

16. Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
o
9 cm
O O
𝑝 𝑎 𝑝 𝑎
b) Hallar la cantidad de líquido que cambia de recipiente
𝑝𝑐 𝑝𝑐
𝑝𝑐, en el centro de ambas superficies, debe ser la misma.
Considerando el vértice del paraboloide como origen para el líquido en rotación y
un punto cualquiera de la otra superficie en reposo las constantes 𝑝0 tendrán por
valor la presión atmosférica (𝑝 𝑎) y las coordenadas de altura (z) de los centros de
las bases, tendrán profundidades respectivas ℎ1 y ℎ2
ℎ1 ℎ2
r

17. Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
o
9 cm
O O
𝑝 𝑎 𝑝 𝑎
b) Hallar la cantidad de líquido que cambia de recipiente
𝑝𝑐 𝑝𝑐
𝑝𝑐, en el centro de ambas superficies, debe ser la misma.
Considerando el vértice del paraboloide como origen para el líquido en rotación y
un punto cualquiera de la otra superficie en reposo las constantes 𝑝0 tendrán por
valor la presión atmosférica (𝑝 𝑎) y las coordenadas de altura (z) de los centros de
las bases, tendrán profundidades respectivas ℎ1 y ℎ2
ℎ1 ℎ2
r
Si 𝑟 = 0 → ℎ = −ℎ1 , 𝑝0 = 𝑝 𝑎 , 𝑝𝑐 = −𝜌𝑔 −ℎ1 + 𝑝 𝑎 = 𝜌𝑔ℎ1 + 𝑝 𝑎
Paraboloide

18. Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
o
9 cm
O O
𝑝 𝑎 𝑝 𝑎
b) Hallar la cantidad de líquido que cambia de recipiente
𝑝𝑐 𝑝𝑐
𝑝𝑐, en el centro de ambas superficies, debe ser la misma.
Considerando el vértice del paraboloide como origen para el líquido en rotación y
un punto cualquiera de la otra superficie en reposo las constantes 𝑝0 tendrán por
valor la presión atmosférica (𝑝 𝑎) y las coordenadas de altura (z) de los centros de
las bases, tendrán profundidades respectivas ℎ1 y ℎ2
ℎ1 ℎ2
r
Si 𝑟 = 0 → ℎ = −ℎ1 , 𝑝0 = 𝑝 𝑎 , 𝑝𝑐 = −𝜌𝑔 −ℎ1 + 𝑝 𝑎 = 𝜌𝑔ℎ1 + 𝑝 𝑎
Paraboloide
Cilindro
ℎ = −ℎ2 , 𝑝0 = 𝑝 𝑎 , 𝑝𝑐 = −𝜌𝑔 −ℎ2 + 𝑝 𝑎 = 𝜌𝑔ℎ2 + 𝑝 𝑎

19. Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
o
9 cm
O O
𝑝 𝑎 𝑝 𝑎
b) Hallar la cantidad de líquido que cambia de recipiente
𝑝𝑐 𝑝𝑐
𝑝𝑐, en el centro de ambas superficies, debe ser la misma.
Considerando el vértice del paraboloide como origen para el líquido en rotación y
un punto cualquiera de la otra superficie en reposo las constantes 𝑝0 tendrán por
valor la presión atmosférica (𝑝 𝑎) y las coordenadas de altura (z) de los centros de
las bases, tendrán profundidades respectivas ℎ1 y ℎ2
ℎ1 ℎ2
r
Si 𝑟 = 0 → ℎ = −ℎ1 , 𝑝0 = 𝑝 𝑎 , 𝑝𝑐 = −𝜌𝑔 −ℎ1 + 𝑝 𝑎 = 𝜌𝑔ℎ1 + 𝑝 𝑎
Paraboloide
Cilindro
ℎ = −ℎ2 , 𝑝0 = 𝑝 𝑎 , 𝑝𝑐 = −𝜌𝑔 −ℎ2 + 𝑝 𝑎 = 𝜌𝑔ℎ2 + 𝑝 𝑎
𝜌𝑔ℎ1 + 𝑝 𝑎 = 𝜌𝑔ℎ2 + 𝑝 𝑎

20. Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
o
9 cm
O O
𝑝 𝑎 𝑝 𝑎
b) Hallar la cantidad de líquido que cambia de recipiente
𝑝𝑐 𝑝𝑐
𝑝𝑐, en el centro de ambas superficies, debe ser la misma.
Considerando el vértice del paraboloide como origen para el líquido en rotación y
un punto cualquiera de la otra superficie en reposo las constantes 𝑝0 tendrán por
valor la presión atmosférica (𝑝 𝑎) y las coordenadas de altura (z) de los centros de
las bases, tendrán profundidades respectivas ℎ1 y ℎ2
ℎ1 ℎ2
r
Si 𝑟 = 0 → ℎ = −ℎ1 , 𝑝0 = 𝑝 𝑎 , 𝑝𝑐 = −𝜌𝑔 −ℎ1 + 𝑝 𝑎 = 𝜌𝑔ℎ1 + 𝑝 𝑎
Paraboloide
Cilindro
ℎ = −ℎ2 , 𝑝0 = 𝑝 𝑎 , 𝑝𝑐 = −𝜌𝑔 −ℎ2 + 𝑝 𝑎 = 𝜌𝑔ℎ2 + 𝑝 𝑎
𝜌𝑔ℎ1 + 𝑝 𝑎 = 𝜌𝑔ℎ2 + 𝑝 𝑎 → ℎ1 = ℎ2

21. Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
o
9 cm
O O
𝑝 𝑎 𝑝 𝑎
b) Hallar la cantidad de líquido que cambia de recipiente
𝑝𝑐 𝑝𝑐
ℎ1
ℎ2
r
ℎ1 = ℎ2
El volumen que cambia de recipiente, ocupa un cilindro de radio 9 cm y altura ℎ2
mientras que antes ocupaba un volumen correspondiente a un cilindro de radio 12 cm
y altura la diferencia ℎ0-ℎ1
ℎ0

22. Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
o
9 cm
O O
𝑝 𝑎 𝑝 𝑎
b) Hallar la cantidad de líquido que cambia de recipiente
𝑝𝑐 𝑝𝑐
ℎ1
ℎ2
r
ℎ1 = ℎ2
El volumen que cambia de recipiente, ocupa un cilindro de radio 9 cm y altura ℎ2
mientras que antes ocupaba un volumen correspondiente a un cilindro de radio 12 cm
y altura la diferencia ℎ0-ℎ1
ℎ0
𝜋𝑅1
2
(ℎ0-ℎ1) = ∆𝑉 = 𝜋𝑅2
2
ℎ2 = 𝜋𝑅2
2
ℎ1

23. Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
o
9 cm
O O
𝑝 𝑎 𝑝 𝑎
b) Hallar la cantidad de líquido que cambia de recipiente
𝑝𝑐 𝑝𝑐
ℎ1
ℎ2
r
ℎ1 = ℎ2
El volumen que cambia de recipiente, ocupa un cilindro de radio 9 cm y altura ℎ2
mientras que antes ocupaba un volumen correspondiente a un cilindro de radio 12 cm
y altura la diferencia ℎ0-ℎ1
ℎ0
𝜋𝑅1
2
(ℎ0-ℎ1) = ∆𝑉 = 𝜋𝑅2
2
ℎ2 = 𝜋𝑅2
2
ℎ1
ℎ2 = ℎ1 =
𝜋𝑅1
2
(ℎ0−ℎ1)
𝜋𝑅2
2 =
(ℎ0−ℎ1)
𝑅2
2
𝑅1
2

24. Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
o
9 cm
O O
𝑝 𝑎 𝑝 𝑎
b) Hallar la cantidad de líquido que cambia de recipiente
𝑝𝑐 𝑝𝑐
ℎ1
ℎ2
r
ℎ1 = ℎ2
El volumen que cambia de recipiente, ocupa un cilindro de radio 9 cm y altura ℎ2
mientras que antes ocupaba un volumen correspondiente a un cilindro de radio 12 cm
y altura la diferencia ℎ0-ℎ1
ℎ0
𝜋𝑅1
2
(ℎ0-ℎ1) = ∆𝑉 = 𝜋𝑅2
2
ℎ2 = 𝜋𝑅2
2
ℎ1
ℎ2 = ℎ1 =
𝜋𝑅1
2
(ℎ0−ℎ1)
𝜋𝑅2
2 =
(ℎ0−ℎ1)
𝑅2
2
𝑅1
2
→ ℎ1 =
ℎ0
1 +
𝑅2
𝑅1
2 =
35
1 +
12
9
2 = 12,6 𝑐𝑚

25. Vídeo tutorial Problema resuelto
HIDRÁULICA 06FdeT
o
9 cm
O O
𝑝 𝑎 𝑝 𝑎
b) Hallar la cantidad de líquido que cambia de recipiente
𝑝𝑐 𝑝𝑐
ℎ1
ℎ2
r
ℎ1 = ℎ2
El volumen que cambia de recipiente, ocupa un cilindro de radio 9 cm y altura ℎ2
mientras que antes ocupaba un volumen correspondiente a un cilindro de radio 12 cm
y altura la diferencia ℎ0-ℎ1
ℎ0
𝜋𝑅1
2
(ℎ0-ℎ1) = ∆𝑉 = 𝜋𝑅2
2
ℎ2 = 𝜋𝑅2
2
ℎ1
ℎ2 = ℎ1 =
𝜋𝑅1
2
(ℎ0−ℎ1)
𝜋𝑅2
2 =
(ℎ0−ℎ1)
𝑅2
2
𝑅1
2
→ ℎ1 =
ℎ0
1 +
𝑅2
𝑅1
2 =
35
1 +
12
9
2 = 12,6 𝑐𝑚
El volumen pedido será ∆𝑉 = 𝜋𝑅2
2
ℎ2 = 𝜋92
· 12,6 = 5700 𝑐𝑚3
FIN