En esta presentación de FdeT aprenderás a resolver un problema de probabilidad básica. Aprenderás a calcular probabilidades utilizando la fórmula de Laplace.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO DE PROBABILIDAD
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
- Calcular probabilidades utilizando la regla de Laplace.
- Calcular una probabilidad condicionada.
- Estudiar la independencia de dos sucesos.
- Calcular la probabilidad de la unión de dos sucesos.

2. ENUNCIADO:
Se elige un número, al azar, entre el siguiente conjunto:
{225, 201, 162, 210, 180, 172, 156, 193, 218, 167, 176, 222, 215, 120, 190, 171}.
a) Calcule la probabilidad de que el número elegido sea impar.
b) Si el número elegido es múltiplo de 5, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor que 200?
c) Determine si son independientes los sucesos S: “el número elegido es mayor que 200” y
T: “el número elegido es par”.
d) Halle la probabilidad del suceso T∪S
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3. a) Nos piden que hallemos la probabilidad de que el número elegido sea impar.
El experimento aleatorio consiste en escoger un número al azar de entre los números:
{225, 201, 162, 210, 180, 172, 156, 193, 218, 167, 176, 222, 215, 120, 190, 171}
Hay un total de 16 posibles números a extraer, de los cuales son impares 6 (225, 201,193, 167, 215, 171).
Por lo tanto si llamamos 𝐼 = "𝑆𝑎𝑙𝑖𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟“
Entonces utilizando la regla de Laplace, se tiene:
𝑝 𝐼 =
𝑛º 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝐼
𝑛º 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
=
6
16
=
3
8
b) Si el número elegido es múltiplo de 5, ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor que 200?
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4. Llamaremos
M= "Extraer un número múltiplo de 5"
𝑆 = "𝐸𝑥𝑡𝑟𝑎𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 200“
Se pide que calculemos:
𝑝 𝑆
𝑀 =
𝑝(𝑆 ∩ 𝑀)
𝑃(𝑀)
𝑆 ∩ 𝑀 = "Extraer un número múltiplo de 5 y mayor que 200“
De entre los 16 números a extraer hay sólo 3 (225, 210, 215) que son múltiplos de 5 y mayores que 200, por lo que:
𝑝 𝑆 ∩ 𝑀 =
3
16
Hay un total de 6 números múltiplos de 5 (225, 210, 180, 215, 120, 190), por lo tanto: 𝑝 𝑆 =
6
16
=
3
8
Por lo tanto:
𝑝 𝑆
𝑀 =
𝑝(𝑆 ∩ 𝑀)
𝑃(𝑀)
=
3
16
3
8
=
1
2
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5. c) Determine si son independientes los sucesos S: “el número elegido es mayor que 200” y T: “el número elegido es par”.
Para ver si son independientes es suficiente con comprobar:
𝑝 𝑆 ∩ 𝑇 = 𝑝 𝑆 𝑝(𝑇)
𝑆 ∩ 𝑇 = "𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑔𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑦 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 200“, en esta situación hay 3 números (210, 218, 222), por lo tanto
tenemos que: 𝑝 𝑆 ∩ 𝑇 =
3
16
Por otro lado
𝑝 𝑆 =
3
8
𝑝 𝑇 =
10
16
=
5
8
Por lo tanto 𝑝 𝑆 𝑝 𝑇 =
3
8
∙
5
8
=
15
64
Tenemos por lo tanto que: 𝑝 𝑆 ∩ 𝑇 ≠ 𝑝 𝑆 𝑝(𝑇)
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También podemos calcular 𝑝 𝑇 = 1 −
𝑝(𝐼), es decir, como 1 menos la
probabilidad de ser impar, ya que 𝑝(𝐼)
está calculada en el apartado a.

6. Por lo tanto S y T no son independientes. Son dependientes.
d) Halle la probabilidad del suceso T∪S
𝑝 𝑇 ∪ 𝑆 = 𝑝 𝑇 + 𝑝 𝑆 − 𝑝 𝑇 ∩ 𝑆 =
5
8
+
3
8
−
3
16
=
13
16
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