Raz. matematica

09 10
POLIGON
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2 DO Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2 DO Año Secundaria
I. DEFINICÓN DE POLIGONOS:
Es la porción del plano limitada por una línea
poligonal cerrada, las cual recibe el nombre
de “Contorno” del polígono.
α2
α1
α3
α4
α5
A
B1
B2
B
B3
B4
B5
C D
E
La longitud total del contorno de un polígono
recibe el nombre de “perímetro”.
II. ELEMENTOS DE UN POLIGONO:
Los elementos de un polígono son:
● LADOS: ( )etc,CD,BC,AB son
los segmentos que lo limitan.
● Vértice: (A, B ,C, etc) son la
intersecciones de dos lados consecutivos,
el número de lados es igual al número de
vértices.
● Ángulos interiores: (α1, α2, α3, etc) son
los ángulos formados por dos lados
consecutivos.
● Ángulos Exteriores: (β1, β2, β3, etc) son
los ángulos formados en un vértice por un
lado y prolongación de un lado
consecutivo. Los ángulos exteriores son
adyacentes a los interiores.
● Diagonales:
( )etc,BE,BD,AD,AC son
las líneas rectas que unen dos vértices no
consecutivos.
III. CLASIFICACIÓN DE LOS POLIGONOS:
Los polígonos s e clasifican según los
siguientes criterios.
A. Por la forma de su contorno:
Convexo: Son aquellos polígonos que en
los que cualquier recta secante determina
a lo más, dos puntos de corte. En un
polígono convexo, todos los ángulos
internos son convexos.
A
C
B
D
E
CONCAVO: Son aquellos polígonos en
los que una recta secante puede
determinar más de dos puntos de corte. En
un polígono cóncavo existe sal menos un
ángulo interior cóncavo.
A
B
F
D
C
E
EQUILATERO: Son aquellos polígonos
que tiene todos sus lados iguales.
EQUIANGULOS: Son aquellos polígonos
que tienen todos sus ángulos iguales.
REGULARES: Son aquellos polígonos que
tiene sus ángulos y sus lados iguales entre
sí. En consecuencia, los polígonos
regulares son a la vez: convexos,
equiláteros y equiángulos.
Todo polígono regular es inscriptible y
circunscriptible a una circunferencia.
IRREGULARES: Son aquellos polígonos
que tienen sus ángulos y lados desiguales.
B. Por el número de lados:
Triángulos : 3 lados
Cuadriláteros : 4 lados
Pentágonos : 5 lados
Hexágono : 6 lados
Heptágono : 7 lados
Octágono : 8 lados
Nonágono : 9 lados
Decágono : 10 lados
Endecagono : 11 lados
Dodecágono : 12 lados
Pentadecágono : 15 lados
Icoságono : 20 lados
III. PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS:
a)Propiedades generales de los
polígonos:
1. La suma “Sα” de los ángulos interiores
de un polígono (convexo y cóncavo)
de “n” lados, es igual a tantas veces
un ángulo llano como lados menos
dos tiene el polígono.
2. La suma “Sβ” de los ángulos
exteriores de un polígono (convexo o
cóncavo) de “n” lados, es igual a
360º.
3. El número de diagonales que pueden
trazarse desde un vértice de un
polígono es igual al número de lados
menos tres.
4. El número total de diagonales que
pueden trazarse en un polígono es:
b) Propiedades de los polígonos
regulares.
1. El valor de un ángulo interior “α” de
un polígono regular de “n” lados es:
2. El valor del ángulo exterior “β” de un
polígono regular de “n” lados es:
3. La suma de los ángulos centrales de
un polígono regular es igual a 360º.
4. El valor de un ángulo central de un
polígono regular es igual a:
PRACTICA DE CLASE
01.¿En qué polígono de diagonales es igual al
número de lados.?
S2RM34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S2RM34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
IV
BIMESTRE
)2n(180S −=α
º360S =β
d = n – 3
2
)3n(n
Dt
−
n
)2n(180 −
=α
n
º360
=β
°=θ 360S
n
360 °
=θ

09 10COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2 DO Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2 DO Año Secundaria
a) hexágono b) Pentágono c) octágono
d) cuadrilátero e) triangulo
02.¿Cuánto mide cada uno de los ángulos
interiores de un polígono regular de 18 lados?
a) 138° b) 160° c) 120
d) 118° e) 145°
03.¿Cuántos lados tiene aquel polígono convexo
en el cual, la suma de las medidas de los
ángulos interiores es 5 veces la suma de las
medidas de los s∠ , exteriores?
a) 10 b) 11 c) 12
d) 5 e) 6
04.La suma de las medidas de los ángulos
internos de cierto polígono regular excede a
la suma de los s∠ externos en 900°
¿Cuántos lados tiene el polígono?
a) 16 b) 18 c) 9
d) 12 e) 5
05.El número de diagonales de un polígono
regular, es igual a la suma del número de
ángulos centrales. Hallar el número de lados
de dicho polígono.
a) 5 b) 6 c) 9
d) 12 e) 15
06.En un polígono regular se cumple que la
suma de las medidas de un ángulo central, un
ángulo exterior y un ángulo interior es 210°.
Calcular el número total de diagonales..
a) 48 b) 50 c) 52
d) 54 e) 56
07.En un polígono regular la suma de las
medidas de sus ángulos internos más la suma
de las medidas de sus ángulos centrales es
1260°. Calcular el número de vértices.
a) 9 b) 12 c) 4
d) 5 e) 6
08.En un heptágono, tres de sus ángulos
interiores miden 120° cada uno- Calcular la
medida de los otros cuatro ángulos sabiendo
que son congruentes.
a) 130| b) 120° c) 115°
d) 135° e) 155°
09.Si la medida del ángulo central de un
polígono regular es numéricamente igual al
número de diagonales de un octágono.
Calcular la medida del ángulo interior del
polígono.
a) 120° b) 150° c) 60°
d) 160° e) 80°
10.¿Cuál es el polígono regular en el cual al
aumentar en 3 su número de lados, la medida
de su ángulo exterior disminuye en 27?
a) 6 b) 4c) 5
d) 6 e) 7
11.¿Cuál es el polígono convexo en el que al
duplicarse el número de lados la suma de los
ángulos internos se cuadruplica?
a) triángulo b) cuadrado
c) heptágono d) Hexágono
e) Eneágono
12.La diferencia de los ángulos interiores de los
polígonos regulares es 15°. Hallar en cuanto
difieren sus ángulos centrales.
a) 20° b) 50° c) 30°
d) 15° e) 60°
13.Calcular el número de lados de un polígono si
desde 3 vértices consecutivos se trazan 140
diagonales.
a) 25 lados b) 70 lados c) 50 lados
d) 55 lados e) 75 lados
14.La diferencia entre el número de lados de dos
polígonos regulares es 2; y los ángulos
centrales difieren en 15°. ¿Cuántos lados
tiene el polígono de mayor número de lados?
a) 6 b) 7b) 8
d) 9 e) 10
15.Se tiene 2 polígonos regulares en donde el
número de diagonales difieren en 4 y sus
ángulos exteriores están en la relación de 5 a
6. Hallar el número de lados del polígono
mayor.
a) 5 b) 6c) 7
d) 8 e) 11
EJECICIOS PROPUESTOS N° 01
01.El número de diagonales de un polígono
convexo es el doble que su número de lados.
Calcular la suma de sus ángulos internos.
a) 540° b) 720° c) 900°
d) 1080° e) 1360°
02.¿Cuántos lados tiene el polígono convexo en
el que si su número de lados aumenta en 8 su
número de diagonales aumenta en 52?
a) 45 b) 6c) 12
d) 14 e) 8
03.¿Cuántos lados tiene el polígono que tiene
119 diagonales?
a) 12 b) 15 c) 17
d) 18 e) 19
04.El número de lados de un polígono es igual a
la mitad del número de diagonales. ¿Cuál es
el número de lados?
a) 5 b) 6c) 7
d) 8 e) 9
05.¿En que polígono, el número de diagonales es
igual al número de lados?
a) Hexágono b) Pentágono
c) Octágono d) Cuadrilátero
e) N.a
06.¿Cuánto mide cada uno de los ángulos
interiores de un polígono de 18 lados?
a) 120° b) 160° c) 118°
d) 145° e) 138°
07.Los ángulos internos de un pentágono
convexo tiene por medidas números
consecutivos, expresados en grados
sexagesimales. Hallar la medida menor.
a) 108° b) 105° c) 107°
d) 106° e) 109°
08.Hallar el número de diagonales de un
decágono.
a) 24 b) 32 c) 42
d) 36 e) 35
09.Hallar el número de diagonales de un
polígono convexo cuyo ángulo interiores
suman 900°
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
10.Hallar el número de lados de un polígono
sabiendo que la suma de sus ángulos internos
y externos es 3960°.
a) 21 b) 22 c) 23
d) 24 e) 25
11.Calcular la suma de ángulos internos de aquel
polígonos que tiene tantas diagonales como
números de lados.
a) 540° b) 480° c) 610°
d) 720° e) 700°
12.¿Cuál es el polígono convexo en que el
número de lados es igual a 1/3 del número de
diagonales?
a) 9 b) 8 c) 7
d) 12 e) N.a
13.¿Cuál es el polígono convexo sabiendo que su
número de diagonales es el triple del número
de lados?

09 10
EL TRIANGULO,
ELEMENTOS,
CLASIFICACIONES,
a) 12 b) 9 c) 85
d) 10 e) N.a
14.¿Cuál es el polígono convexo sabiendo que el
número de lados y el número de diagonales
están en la relación de 2 a 25?
a) Polig. 28 lados b) Icoságono
c) Polig. 28 lados d) Decágono
e) N.a
15.¿Cuál es el polígono convexo, sabiendo q
ue la suma del número de lados más el
número de diagonales es igual a 91?
a) Polígono de 14 lados
b) Polígono de 18 lados
c) Polígono de 16 lados
d) Polígono de 26 lados
e) N.a.
TAREA DOMICILIARIA
01.En un polígono rectangular, el doble del
número de diagonales es el quíntuplo del
número de lados. La medida de si ángulo
interno es:
a) 115° b) 120° c) 125°
d) 130° e) 135°
02.¿Cuántos lados tiene el polígono convexo en
que el número de diagonales es mayor en 133
al número de lados?
a) 19 b) 23 c) 16
d) 24 e) 5
03.La suma de los ángulos de cierto polígonos
regular excede a la suma de los ángulos
externos en 900° ¿Cuántos lados tiene le
polígono?
a) 16 b) 18 c) 9
d) 12 e) 5
04.¿En que polígonos se cumple que el número
de sus diagonales excede al número de sus
vértices en 7? (Dar el número de lados).
a) 7 b) 8 c) 9
d) 11 e) 13
05.Si el número de lados de un polígono regular
aumenta en 10, cada ángulo del nuevo
polígono es 3° mayor que cada ángulo del
original ¿Cuántos lados tiene el polígono
original?
a) 25 b) 27 c) 20
d) 16 e) 30
I. DEFINICIÓN:
Se denomina triángulo a una región del
campo plano limita por tres rectas que se
cortan dos a dos.
A
1
B
B 2
B
3B
Cα1 α3
α2
En general el triángulo se denota como:
∆ABC.
II. ELEMENTOS:
Los elementos de un triangulo son :
● Vértice: Son los extremos comunes A, B,
C de los segmentos rectilíneos que forman
el triangulo ABC.
● Lados: Son los segmentos
ACyBC,AB limitados por los
vértices A, B, C.
● Ángulos interiores: ( 321 ,, ααα )
son los ángulos formados por los lados y el
vértice común.
● Angulo Exteriores: Son los ángulos que
se forman mediante un lado, un vértice y la
prolongación del lado adyacente (
321 ,, βββ ).
Perímetro: Se denomina perímetro de un
triángulo a la suma de las longitudes de sus
tres lados. El perímetro se denota por el
símbolo “2p”. Asi:
III. CLASIFICACIÓN:
Los triángulos se clasifican atendiendo a sus
lados y a sus ángulos.
A. Según sus lados:
Equilátero: son los triángulos que tiene
sus tres lados congruentes.
Isósceles: Son los triángulos que tiene
dos lados congruentes. El lado desigual se
llama base.
Escaleno: Son los triángulos que tienen
sus tres lados desiguales.
equilátero isósceles escaleno
IV. COMPONENTES DE UN TRIANGULO:
Son los componentes fundamentales de un
triangulo son: sus tres lados y sus tres
ángulos. Además de estos componentes
fundamentales mencionaremos los siguientes:
ALTURAS: De un triangulo son los
segmentos de perpendicular trazos de cada
vértice a la recta que contiene el lado opuesto.
BP
R
C
Q
A
O
Triàngulo
obtusoàngulo
A
R Q
B C
O
P
Triànguloacutàngulo
En la figura: las alturas son
CRyBQ,AP ;
a la altura AP se le llama altura donde A o
altura correspondientes a lado BC; en forma
2p = AB + BC + CA

similar se denominan a las alturas trazadas
desde los otros vértices. Las tres alturas de un
triángulo o sus prolongaciones se cortan en
un punto, llamado ortocentro.
MEDIDAS: De un triangulo son los
segmentos que tiene por extremos un vértice
y el punto medio del lado opuesto.
B
R
A
Q
C
O
P
Triángulo obtusángulo
P
C
Q
B
R
A
O
Triángulo acutángulo
En la figura: CRyBQ,AP son las
medianas del triángulo SBC ∴ R, P y Q
son los respectivos puntos medios de los
lados ACyBC,AB . Las tres
medianas de un ángulo se cortan en un punto
llamado baricentro.
BISECTRIZ: De un triángulo es la bisectriz de
cada uno de sus ángulos. Las tres bisectrices
de un triángulo se cortan en un llamado
Incentro.
Q S
P
β β
α
α
θ
θ
Punto I : Incentro
I
MEDIATRIZ: De un triángulo es la
perpendicular trazada en el punto medio de
cada lado. Las mediatrices de un triángulo se
cortan en un punto llamado. Circuncentro.
S
A C
B
Q
P
E
P
P
A S B
Q
CE
Punto E: Circuncentro
PRACTICA DE CLASE
01.De las siguientes afirmaciones, marca con
una “V” lo verdadero y con una “F” lo falso.
I) Triángulo escaleno: lados diferentes
longitudes.
II) Triángulo Isósceles: si sus tres lados son
de igual longitud.
III) Triángulo Equilátero: si tiene dos lados de
igual longitud.
a) VVV b) FVV c) FVF
d) VFF e) FFF
02.De las afirmaciones ¿Cuáles son verdaderas
y cuales falsas?
a) Triangulo acutángulo: si sus lados tres
ángulos interiores son agudos.
b) Triángulo obtusángulo: si tiene ángulo
obtuso.
c) Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo
recto.
a) VVV b) FVF c) VFV
d) FFV e) N.a
03.Señalar el lado mayor del triángulo PQR
mostrado.
P
Q
R
64º
68º
48º
a) PQ b) QR c) PR
d) F.D e) N.a
04.Hallar “θ“.
6
5
10º120º
θ
θ
a) 11º b) 16º c) 15º
d) 10º e) 9º
05.En la figura hallar
A
B
C3x
70º
40º+2x
a) 4 b) 5c) 6
d) 7 e) 8
06.En la figura que se muestra. Calcular “α“:
A
B
C
120ºα
70º
a) 20º b) 50º c) 30º
d) 60º e) 80º
07.1. Ángulos iguales a) isósceles
2. Ángulos diferentes b) equilátero
3. Dos Ángulos iguales c) escaleno
Marca la alternativa correcta:
a) 1b,2c,3a b) 1c,2b,3a c) 1b,2a,3a
d) 1a,2b,3c e) 1c,2a,3b
08.Las medidas de los ángulos internos de un
triángulo están en la porción de 4, 6 y 8.
Calcular el menor de los ángulos interno de
dicho triángulo.
a) 60º b) 40º c) 80º
d) 90º e) 50º
09.Un triángulo tiene por los lados 3 y 7 cm, si el
tercer lado del triángulo mide el triple de uno
de ellos, hallar el perímetro del triángulo.
a) 31cm b) 19cm c) 30 cm
d) 31 ó 19cm e) F.D
10.La suma y diferencia de dos ángulos de un
triángulo son 100º y 40º respectivamente.
Hallar el tercer ángulo de dicho triángulo.
a) 30º b) 90º c) 80º
d) 70º e) N.a
11.Hallar :yˆxˆ +
x
50º
65º
80º
60º
y
a) 115º b) 103º c) 105º
d) 145º e) 95º
12.Hallar :yˆxˆ +
y x
50º
a) 60º b) 40º c) 55º
d) 50º e) 30º
13.Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados
miden 5cm y 12cm. ¿Cuál es el perímetro del
triángulo?
Propiedad de la suma de los ángulos
internos de un triángulo: En todo
triángulo la suma de las medidas de sus
ángulos internos es igual a 180º.

a) 22cm b) 22 ó 29cm c) 29cm
d) F.D e) N.a
14.En la figura:
β+α= Hallar.QRPQ
Q
R
P
α
β
a) 120º b) 90º c) 30º
d) 60º e) 180º
15.En la figura, hallar
º120RQˆPelsi;PQˆH =
P
H
R
Q
40º
a) 40º b) 80º c) 70º
d) 60º e) 75º
PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 02
01.Calcular la medida del tercer ángulo de un
triángulo ABC, si las medidas de los otros
dos son:
A = 58°40’15”
B = 35°10’20”
a) 80°40’15” b) 86°10’15”
c) 84°20’15” d) 86°10’45”
e) N.a..
02.Si uno de los ángulos agudos de un triángulo
mide 47°38’. Calcule el otro ángulo.
a) 40°20’ b) 40°22’ c) 42°22’
d) 42°32’ e) N.a..
03.Si la medida de uno de los ángulos de un
triángulo rectángulo es 4/5 de la medida del
otro.¿Cuánto mide el ángulo menor?
a) 40° b) 30° c) 50°
d) 80° e) N.a..
04.En un triángulo ABC, el ángulo B es el doble
del ángulo A y el ángulo C es igual a la suma
de A+B. ¿Cuánto mide el ángulo menor?
a) 30° b) 40° c) 20°
d) 50 e) N.a..
05.En la figura cuanto mide el ángulo C,
sabiendo que el triángulo es isósceles.
B
A C
130°
a) 60° b) 20° c) 25°
d) 30° e) 48°
06.En un triángulo ABC, el ángulo A es la mitad
del ángulo B y el ángulo C es los 2/3 del
ángulo A. ¿Cuánto mide al ángulo C?
a) 40° b) 60° c) 50°
d) 30° e) 20°
07.La suma de las medidas de los ángulos B y C
de un triángulo ABC es 105°. Si la medida
del ángulo A excede a la del ángulo C en 40.
¿Cuál es la medida del ángulo B?
a) 40° b) 50° c) 60°
d) 70° e) N.a..
08.Hallar “x” en al siguiente figura:
B
A C
2x+10°
2x2x-10°
a) 10° b) 20° c) 30°
d) 40° e) 50°
09.En los siguientes grupos de medidas indicar
las que pertenecen a los lados de un triángulo
7 cm; 12 cm; 4 cm
En el triángulo ABC, dadas las medidas de
sus lados, señala sus ángulos mayor, medio y
menor
10. AB =10cm; BC =6cm; AC =8cm
11. AB =12cm; BC =6cm; AC
=10cm
12. AB =10cm; BC =8cm; AC =2cm
13.El perímetro de un triángulo es 96 cm, si un
lado mide 24 cm y lo otros están en la
relación de 3 es a 5. ¿Cuánto mide cada uno
de estos lados?
a) 3 y 5 b) 20 y 45 c) 27 y 45
d) 10 y 18 e) N.a..
14.la medida de dos ángulos internos son 38° y
63°. ¿Cuánto mide el tercer ángulo interno?
a) 69° b) 70° c) 79°
d) 81° e) 29°
15.Los ángulos internos de un triángulo son
proporcionales a 2, 4 y 6. ¿Cuáles con sus
medidas?
a) 30°, 60°, 90° b) 40°, 50°, 90°
c) 50°, 50°, 80° d) 20°, 40°, 60°
e) N.a.
TAREA DOMICILIARIA
01.Hallar BCABsi,xˆ =
A
B
C
xº
55º
a) 90º b) 60 c) 70º
d) 80º e) 75º
02.Hallar nˆmˆ +

09 10
PROPIEDADES
FUNDAMENTALES EN EL
TRIANGULO, ANGULO
50º
20º
120º
70º
m
n
a) 100º b) 101º c) 99º
d) 180º e) N.a
03.Hallar β:
60º
20º
2
7β
β
a) 16º b) 18º c) 14º
d) 26º e) 10º
04.La suma de dos ángulos de un triángulo ABC
es 140º y su diferencia es 20º. Hallar el menor
ángulo externo de dicho triángulo.
a) 100º b) 120º c) 140º
d) 130 e) 110º
05.Dado un triángulo isósceles cuyos lados
miden 8cm y 17cm. Hallar el semiperímetro
del triángulo.
a) 33cm b) 21cm c) 42cm
d) 43cm ó 42cm e) N.a
1. Suma de los Ángulos interiores:
A C
B
θº
αº φº
αº + φº = 180ºθº +
2. Medida de un ángulo exterior:
φºαº
zº
θº
A
xº
C
y°
xº = θº+ φº
y° = αº+ θº
zº = αº+ φº
COROLARIO: Propiedad del cuadrilátero
cóncavo.
xºα
θ
φº
º
º
3. Desigualdad de longitudes de sus lados.
A
B
C
c
b
a
b - a < a < b + c
a - c < b < a + c
b - a < c < b + a
4. Relación de lado – Angulo
A C
B
θº
αº φº
si: b > a > c
c
a
b
θº > αº >φº
5. “P” un punto interior cualquiera:
A C
B
c a
b
si: p < x + y + z <(2p)
donde (2p) : perímetro
p : semiperímetro
ANGULOS FORMADOS POR LINEAS
NOTABLES
1. Por dos bisectrices interiores.
xº
A
B
C
αº
xº = 90º + αº/2
2. Por bisectrices exteriores.
A
B E
C
xº
θº
xº = 90º - θº/2
3. Por bisectriz, y exterior
A
B
C
xº
θxº = /2
E

4. Por una altura y bisectriz
xº
αºº θº
A
B
DH
xº = αºº θº-
2
5. Por dos alturas
xº
A
B
C
xº =180º - φ º
θº
6. Por dos mediatrices
xº
A
B
C
xº =180º - θº
θº
7. Ang. Formado por una bisectriz y lado
opuesto.
A C
B
θºαº
αº - θº =
nº mº
D
mº - nº
8. Por una altura y mediana (Triángulo
rectángulo)
αºº θº
A
B
C
H
xº = αºº θº-
M
9. Por un bisectriz y mediana. (Triángulo
rectángulo)
xº
αºº θºA
B
MD
xº = º º)(α θ-
2
C
10.Propiedad de la mediatriz
xº
A
B
C
θº
xº =2 θº
11.Ang. Formado por 2 Bisectrices
A
B
C
D
E
x°
α° θ°
x° = ( + ) /2α° θ°
12.Ang. Formado por Bisectrices.
xº
A
B
Cθº
αº
xº = ( + )/2θºαº
PRACTICA DE CLASE
01.1. Angulo < 90º a. Recto
2. Angulo = 90º b. Acutángulo
3. Angulo > 90º c. Obtusángulo
Marca la alternativa correcta:
a) 1a,2b,3c b) 1b,3c,2a c) 1c,2a,3b
d) 1b,2a,3c e) N.a
02.En un triángulo se sabe que: Aˆ = 3x+20;
Bˆ = 2x; Cˆ = 4x – 20. Hallar xˆ .
a) 30º b) 18º c) 20º
d) 19º e) 28º
03. Calcular xˆ . Si PRPQ = .
xº
120º
P
Q
R
a) 40º b) 30º c) 35º
d) 45º e) N.a
04.En la figura que se muestra. Calcular
γ+θ+β .
A
B
C
β
θ
γ
a) 180° b) 120° c) 360°
d) 540° e) 720°
05.En la figura mostrada, calcular “x”:

40º
50º
x
a) 40° b) 45° c) 50°
d) 60° e) 70°
06.En la figura mostrada, calcular “α”:
50º 40º
60º
D
A
B
C
α
a) 5° b) 10° c) 20°
d) 30° e) 40°
07.En le grafico mostrado, calcular “α”:
80º α
a) 10° b) 20° c) 30°
d) 40° e) 50°
08.En la figura, calcular “δ + θ”
40º
30º
δ
70º
θ
a) 160° b) 180° c) 190°
d) 200° e) 150°
09.En la figura mostrada, Hallar “x”:
60º
xº
A C
B
a) 100° b) 110° c) 120°
d) 130° e) 140°
10.Hallar “x”:
50º
B
C
D
E
x
a) 50° b) 60° c) 70°
d) 80° e) 90°
11.en la figura que se muestra, Calcular “x”.
x 60º
30º
60º
a) 160° b) 180° c) 200°
d) 200° e) 210°
12.En la figura:
CDACAB;º36yˆ === ,
entonces “x” mide:
xº
yº
B C D
A
a) 108° b) 54° c) 72°
d) 90° e) N.a
13.En la figura BCAC = , Calcular “x.
A C
B
xº
a) 20° b) 18° c) 23°
d) 36° e) N.a
14.En la figura, hallar “x”.
xº
β
β
α
α
a) 100° b) 80° c) 90°
d) 95° e) 120°
15.En la figura, hallar yˆxˆ + .
α
α
α
β
β
β
69º
x
y
a) 249° b) 250° c) 251°
d) 252° e) N.a.
PROBLEMAS PROPUESTOS N° 03
01.La suma de los lados de un triángulo son:
a+b =29; b+c= 21 y a+c = 24. ¿Cuánto mide
el lado menor del triángulo?
a) 15 b) 16 c) 13
d) 8 e) N.a
02.En la figura, calcular el valor de “x” sabiendo
que BP es bisectriz del ángulo ABC y
∠APB - ∠BPC =18°.
Q
x
A P C
B
a) 5° b) 8° c) 9°
d) 4° e) N.a

03.Determinar el valor de “x” sabiendo que el 
MON es equilátero.
β
M
β
β
O
N
x
a) 75° b) 30° c) 50°
d) 40° e) N.a
04.El perímetro de un triángulo mide 90.
Calcular la medida de sus lados sabiendo que
son 3 números enteros consecutivos.
a) 25, 26 y 27 b) 28, 92 y 30
c) 30, 31 y 32 d) 29, 30 y 31
c) N.a
05.La suma de los lados de un triángulo son:
a+b =29; b+c= 21 y a+c = 24. ¿Cuánto mide
el lado menor del triángulo?
a) 15 b) 16 c) 13
d) 8 e) N.a
06.El perímetro de un triángulo mide 28.
Calcular la medida de sus lados sabiendo que
el lado mayor excede al intermedio en 3 y
éste excede al menor en 5.
a) 5,10 y 13 b) 8,12 y 8
c) 5,12 y 11 d) 4,10 y 14
c) N.a
07.Hallar entre qué valores está “x”:
5 6
x
a)5<x<6 b)25<x<36 c)1<x<11
d)0<x<10 e)N.a
08.Hallar “x” AB = BC
B
xA C
80
a)25° b)80° c)50°
d)40° e)N.a
09.Hallar “x”:
α
α
x
φ
φ
80°
a)20° b)18° c)15°
d)40° e)60°
10.Hallar “x”:
50°
x
a)25° b)80° c)50°
d)40° e)75°
15.En un triángulo ABC se toman sobre AB un
punto M, sobre AC, P y sobre BC, N tale que:
AM=MP y PN=NC. Sí ABC = 32. Hallar:
NPˆM
a) 32° b) 148° c) 16°
d) 74° e) N.a.
TAREA DOMICILIARIO
01.En la figura, hallar
CBˆAelsi,BAˆH = 140°
A
H C
30º
a) 70° b) 30° c) 80°
d) 60° e) 50
02.Si el triangulo ABC es equilátero. Hallar “x”.
xº
10º
A
B
C
a) 50° b) 60° c) 70°
d) 80° e) 90°
03.Hallar “x” en la figura, si BCAC = .
A
B
Cxº
D
E
a) 20° b) 18° c) 23°
d) 36° e) N.a
04. En la figura, calcular (x°+y°)
a) 100° b) 110° c) 120°
d) 130° e) N.a
05.Hallar “x” en la figura:
α x°
64°
3α 3 β
β
a) 93° b) 103 c) 64°
d) 37° e) N.a

SOLUCIONARIO
Nº
Ejercicios Propuestos
01 02 03
01. C B C
02. A C C
03. C A B
04. C A D
05. D C D
06. B B A
07. B D C
08. E C D
09. D D A
10. B C C
11. A D A
12. A B C
13. B E D
14. C B C
15. A B A
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
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