Manual de ejercicios poligonos a12

LOS
POLIGONOS
PRÁCTICAS Y DEMOSTRACIONES
Este tópico sobre los polígonos, pretende poner en las manos de
los y las estudiantes un conjunto de ejercicios prácticos para
preparar el tema, sin embargo, se recomienda al estudiante que
los aspectos conceptuales sobre el mismo debe investigarse e
indagarse con el fin de repasar dichos conceptos que son claves
a la hora de emprender el estudio de este y cualquier otro tópico
matemático. Profesor: Jonathan Miguel Mendoza, Br.
AÑO 2015

1
Profesor: JONATHAN MIGUEL MENDOZA, BR.
LOS POLIGONOS
Polígonos
Si tenemos tres o más puntos en un plano, no todos colineales y unimos dichos puntos con
segmentos, limitamos un trozo de plano, llamado polígono.
Los polígonos se denotan por las letras de todos sus vértices y se clasifican según sus ángulos.
Hay dos tipos de clasificación general para los polígonos, los:
I.CONCAVOS: Si la prolongación de alguno de sus lados
interseca al polígono.
II. CONVEXOS: si la prolongación de uno de sus lados
cualquiera NO interseca al polígono.
Tipos de polígonos convexos
HEXÁGONOS
6 lados
6 ángulos
Polígonos
Etimológicamente significa:
POLI: muchos, GONOS: ángulos
TRIÁNGULOS
3 lados
3 ángulos
CUADRILÁTEROS
4 lados
4 ángulos
PENTÁGONOS
5 lados
5 ángulos
HEPTÁGONOS
7 lados 7
ángulos
NONÁGONOS
9 lados 9
ángulos
N – ÁGONOS
nlados n
ángulos

2
Circunferencias Inscritas Y Circunscritas
Circunferencias inscritas: es cuando una circunferencia es tangente a TODOS los lados de un
polígono, y además, se dice que el polígono está circunscrito en la circunferencia.
Circunferencias circunscritas: es cuando una circunferencia pasa por los vértices de un
polígono, entonces se dice que el polígono está inscrito en la circunferencia.
Polígono convexo regular
Es un polígono convexo EQUILÁTERO (todos los lados iguales) y EQUIÁNGULO (todos los
ángulos iguales). Los polígonos regulares más sencillos son los siguientes:
TRIÁNGULO CUADRADO PENTÁGONOHEXÁGONO
EQUILÁTERO REGULAR REGULAR
Circunferencia
inscrita
Circunferencia
inscrita
Circunferencia
inscrita
Circunferencia circunscrita
a un triángulo
Circunferencia circunscrita
a un Cuadrado Circunferencia circunscrita
a un hexágono regular

3
Elementos de un polígono regular
Lado: cada uno de los segmentos que lo limitan. Se
representa porL
Perímetro: suma de cada uno de los lados que conforman
el polígono (L+L +L+ ... +L); o bien se multiplica la medida
del lado por el número de lados que éste tenga ( n • L). Se
representa por P. Es decir, P = n • L
Semiperímetro: es la mitad del perímetro, es decir: S =
2
P
.
Centro: punto desde el cual distan los vértices del polígono.
Apotema: distancia del centro del polígono al punto medio de uno de sus
lados. Se utiliza la letra “ a ” para señalar la apotema. El segmento que
representa la apotema forma un ángulo de 90° con el lado del polígono.
Radio: distancia del centro del polígono a cada uno de los vértices. Se utiliza la letra ”r ” para
señalar el radio.
Ángulos en un polígono regular
Angulo central del polígono: formado por dos radios consecutivos y el centro del polígono
como vértice. Se formarán tantos ángulos centrales como lados tenga el polígono. La suma de
todos los ángulos centrales es un giro completo: 360 º.
Medida de un ángulo central =
n
º360
; n: número de lados del polígono.
L
L
r
a
a
r

4
Angulo exterior del polígono: todos los ángulo exteriores de un polígono regular son
congruentes. Todos los ángulos exteriores suman 360 º.
Medida de un ángulo exterior =
n
º360
; n : número de lados del polígono.
Angulo interno o interior del polígono: ángulo formado por dos lados consecutivos del
polígono.
Medida de un ángulo interno:
i=
n
n )(º 2180 
; n : número de lados del polígono
i: ángulo interno
Suma de los ángulos internos:
Si= )(º 2180 n ; n: número de lados del polígono.
Si: suma de los ángulos internos
Todos los elementos anteriores pueden verse en la siguiente representación:
: ángulointerno o interior
: ángulo exterior
: ángulo central














5
Número de diagonales desde un vértice: el número de diagonales desde un vértice
cualquiera de un polígono convexo, es igual al número de lados menos tres; es decir:
D v= )( 3n ; n: número de lados del polígono.
Por ejemplo, el número de diagonales desde un vértice de un hexágono:
Número total de Diagonales de un polígono: el número total de diagonales D, que pueden
trazarse desde todos los vértices, está dado por la fórmula:
D=
2
3)( nn
; n : número de lados del polígono.
Por ejemplo, el número total de diagonales de un hexágono:
Área de un polígono regular: se obtiene al multiplicar el semiperímetro por la longitud de la
apotema; es decir:
A = a
P

2
= as 

6
PRACTICA
I. COMPLETE LA SIGUIENTE TABLA
polígono
REGULAR
#LADOS m
CENTRAL
m
EXTERIOR
m
INTERIOR
Suma
interior
# D.
Vértice
# TOTAL
DIAGON.
TRIÁNGULO
EQUILÁTERO
Cuadrado
PENTÁGONO
HEXÁGONO
HEPTÁGONO
OCTÓGONO
NONÁGONO
DECÁGONO
11 – AGONO
12 – AGONO
13 – AGONO
14 – AGONO

7
15 – AGONO
20 – AGONO
25 – AGONO
30 – AGONO
100 – AGONO
II. PROBLEMAS
1. Dadas las sumas de los ángulos internos de distintos polígonos regulares, determine cuál es el
polígono al que corresponde dicha suma.
(a) 900 º (b) 1800 º (c) 180 º (d) 360 º (e) 720 º (f) 540 º (g) 6120°
2. Determine cuál es el:
(h) polígono en el que se puede trazar como máximo 5 diagonales desde un vértice.
(i) polígono en el que se puede trazar como máximo 27 diagonales desde un vértice.
(j) polígono en el que se puede trazar 14 diagonales en total.
(k) polígono en el que se puede trazar 152 diagonales en total.
3. Si el lado de un hexágono regular mide 10cm,
(l) Determine la medida de la apotema.
(m) Halle el perímetro y el área del hexágono.
4. Encuentre la medida de la apotema de un pentágono de 12dm de lado.
5. La apotema de un cuadrado circunscrito en una circunferencia es 12 cm,
(n) Halle el perímetro del cuadrado
(ñ) Halle la medida del radio de la circunferencia inscrita en el cuadrado.

8
(o) Calcule el área del cuadrado y el área del círculo y determine cuál es mayor y cuán mayor
es.
6. La apotema de un cuadrado mide 2dm, determine su área.
7. El radio de un triángulo equilátero mide 12cm,
(p) Determine la medida de su lado.
(q) Determine la medida de su apotema.
(r) Determine su área y perímetro.
8. Determine el área de un heptágono regular cuyo radio mide 5cm.
9. Calcular el área de un octógono cuyo lado mide 6dm y la apotema
mide 4dm.
10. Determine el área de un pentágono regular si lado mide 8cm y su radio mide 5 cm.
11. Determine la apotema de un hexágono regular si su área es igual a 372 cm 2.
12. En una circunferencia cuyo radio mide 4cm,
(s) ¿Cuál es la medida de un lado del triángulo equilátero inscrito en la circunferencia?
(t)¿Cuál es la medida de un lado del hexágono regular inscrito en la misma
circunferencia?
(u) ¿Cuál es la medida de un lado de un decágono regular inscrito en la misma
circunferencia?
(v) ¿Cuál es la medida de un lado de un 30 - ágono regular inscrito en la misma
Circunferencia?
(w) Calcule el área del:
FIGURA AREA
Círculo
Triángulo
Hexágono
Decágono
30-ágono
compare los resultados.
(x) Qué concluiría usted de acuerdo a los resultados obtenidos en el ejercicio (w)
r

9
13. Determine:
13.1 el perímetro y el área de un nonágono regular cuya apotema mide 8 cm.
13.2 el área de un hexágono regular cuya apotema mide 3 cm.
13.3 el área de un pentágono regular cuyo radio mide 5 cm.
13.4 la medida de un lado de un dodecágono regular cuyo radio mide 20 cm.
13.5 el número de lados de un polígono regular cuyos ángulos internos suman 1080°.
13.6 el nombre polígono regular desde el cual se puede trazar 35 diagonales en total.
13.7 el número de lados de un polígono regular desde el cual se pueden trazar 9 diagonales
desde un vértice.
13.8 la suma de los ángulos internos de un polígono regular de 50 lados.
13.9 la suma de los ángulos internos de un polígono regular sabiendo que su ángulo central
mide 24º.
13.10 el nombre del polígono regular sabiendo que su ángulo exterior mide18º
14. Dado el octógono regular de centro O, determine cuál es la medida de:
, , , , , , , 
DB
H F
C
G
A
E








O

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RESPONDE ESTAS CUESTIONES RESPUESTAS
¿Qué es una línea poligonal?
¿Cómo se llama la superficie contenida
por una línea poligonal cerrada?
¿Cuándo decimos que un polígono es
cóncavo?
Completa la siguiente tabla:
Nombre Descripción Dibujo
Clasificaciónsegúnlos
ángulos
Selecciona clasificación según los lados. Mueve los vértices del triángulo de la figura y observa
su nombre según la medida de sus ángulos. Completa la tabla:
Clasificaciónsegúnlos
lados
¿Cuál es el valor de la suma de los ángulos interiores de un triángulo? ............................

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Ha llegado el momento de comprobar todo lo que has aprendido. Realiza los siguientes
ejercicios sin el ordenador. Una vez que los tengas hechos el/la profesor/a te dirá si puedes
comprobarlos con el ordenador utilizando las escenas de Descartes con las que has trabajado.
EJERCICIOS
1. Indica si los siguientes polígonos son convexos o cóncavos:
2. Clasifica los siguientes triángulos según sus lados y según sus ángulos:
3. Completa la siguiente tabla indicando en las casillas en blanco SI o NO, según sea o
no posible que un triángulo pueda, a la vez, de los tipos que indica la fila y la columna:
Equilátero Isósceles Escaleno
Acutángulo
Rectángulo
Obtusángulo

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(a) El número de diagonales de un
polígono de 5 lados es:
b) El número de diagonales de un polígono de 8 lados
es:
c) Si en un polígono se pueden trazar 54 diagonales,
determine el número total de lados de este polígono.
d) Si de cada vértice de un polígono salen 10
diagonales. ¿Cuál es el número total de diagonales que
posee este polígono?
(a)¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono
de 32 lados?
(b) Si la suma de las medidas de los ángulos interiores
de un polígono es de 7.200o. ¿Cuántos lados tiene
este?

13
(c) ¿Cuánto mide el ángulo interior de un polígono
regular de 45 lados?
(d) Si un ángulo interior de un polígono regular mide
108o. ¿Cuántos lados tiene este polígono?
(a)¿Cuánto mide cada ángulo exterior de un polígono
(b) Si cada ángulo exterior de un polígono regular mide
30o. ¿Cuántos lados tiene este polígono?
1) Calcular la medida del lado y del apotema del hexágono regular inscrito en una circunferencia radio 12cm.

14
2) Calcular el área de un hexágono regular, cuyo lado mide 6cm.
3) Calcular el área del hexágono regular circunscrito a la circunferencia de radio 12cm.
4) Si CDBDBC  = 8cm ; con
2
BC
AB  ; calcular el área del pentágono ABCDE.

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Ejercitación:
1) ¿Cuántas diagonales posee un polígono de 25 lados?
A) 240
B) 250
C) 275
D) 280
E) 300
2) ¿Cuántos lados tiene un polígono en el cuál se
pueden trazar 54 diagonales?
A) 12 lados
B) 16 lados
C) 18 lados
D) 20 lados
E) 24 lados
3) Cuánto suman los ángulos interiores de un
dodecágono?
A) 1.440º
B) 1.620º
C) 1.800º
D) 1.920º
E) 2.160º
4) ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un polígono
A) 144º
B) 156º
C) 168º
D) 165º
E) 172º
5) ¿Cuánto mide cada ángulo exterior de un polígono
A) 18º
B) 20º
C) 24º
D) 30º
E) 36º
6) ¿Cuál es el área de un cuadrado inscrito en una
circunferencia radio 6cm?
A) 36cm2
B) 48cm2
C) 60cm2
D) 72cm2
E) 84cm2
7) ¿Cuál es el área de un hexágono regular cuyo lado
mide 8cm?
A) 48 3 cm2
B) 60 3 cm2
C) 72 3 cm2
8) ¿Cuál es el área del hexágono regular de apotema 5
3 cm?
A) 120 3
B) 150 3
C) 180 3
8cm
6
O

5
O

16
D) 84 3 cm2
E) 96 3 cm2
D) 200 3
E) 240 3
9) Si ABC equilátero inscrito en la circunferencia
radio 12cm. Hallar su área.
Nota: El radio de la circunferencia circunscrita al
triángulo equilátero de lado “a” es r =
3
3a
.
10) Si ABC equilátero circunscrito en la
circunferencia radio 12cm. Hallar su área.
Nota: El radio de la circunferencia inscrita al triángulo
equilátero de lado “a” es r =
6
3a
.
Responde:
1) ¿Qué es un polígono?
________________________________________________________________________
2) ¿Qué características tiene un polígono cóncavo?
________________________________________________________________________
3) ¿Qué características tiene un polígono regular?
________________________________________________________________________
A B
C
O
12
A B
C
O

12

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4) La medida del ángulo exterior w del polígono:
5) La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de 12 lados.
_______
6) Determina la medida de un ángulo interior y un ángulo exterior de un polígono regular
de 16 lados.
_____________________________________________________________
7) Calcula el perímetro de un decágono regular si uno de sus lados mide 11,6 cm.
_________________________________________________________________
8) Calcula la medida del ángulo x en la siguiente figura: __________________________
9) ¿Es posible que exista un polígono cuya suma de los ángulos interiores sea 300°?
Justifica tu respuesta.
_____________________________________________________________________
10)En el dibujo, ABCDEF es un hexágono regular, determina la medida del  EKD.
6 cm

18
11) El polígono en que la suma de los ángulos interiores es 540° es un:
a) eneágono
b) hexágono
c) nonágono
d) pentágono
e) ninguna de las anteriores
12) ¿Cuántas diagonales tiene un decágono regular?
a) sinco
b) seis
c) ocho
d) diez
e) once
13) La figura es hexágono regular. El ángulo x mide:
a) 120º
b) 150º
c) 200º
d) 240º
e) 270º
14) La figura es un hexágono regular. "O" es el centro de la figura. El ángulo x mide:
a) 120°
b) 200°
c) 240°
d) 300°
e) 270°
15) La figura es un cuadrilátero cualquiera. La suma de los ángulos "x" e "y" vale:
a) 160°
b) 120º
c) 80º
d) 40º
e) 320º

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16) En el pentágono regular ABCDE se traza la diagonal EC. ¿Cuánto mide el ángulo
DEC?
a) 30°
b) 36°
c) 45°
d) 60°
e) 72°
16) El número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un hexágono es:
a) 4
b) 9
c) 6
d) 27
17) Un polígono regular cuyo ángulo exterior mide 40° tiene:
a) 12 lados
b) 9 lados
c) 7 lados
d) 6 lados
e) 4 lados
18) Al unir los puntos medios de los lados de un rombo resulta un:
a) rombo
b) rectángulo
c) cuadrado
d) romboide
e) trapecio
19) Dos polígonos regulares con igual número de lados, se puede afirmar que:
I. Tienen ángulos interiores respectivamente iguales.
II. Tienen áreas iguales.
III. Son congruentes.
a) Sólo I.
b) Sólo II.
c) Sólo III.
d) Sólo I y II.
e) Sólo II y III.

20
20) El número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un heptágono es:
a) 4
b) 6
c) 7
d) 9
21) ¿cuánto mide los ángulos exteriores de la figura?
a) 60°
b) 80°
c) 90°
d) 120°
e) 360°
22) ¿qué clasificación recibe la figura?
a) Cuadrilátero regular
b) Octógono regular
c) polígono regular
d) polígono convexo
e) polígono cóncavo
Apotema:
𝑎 𝑛 =
1
2
√4𝑅2 − 𝑙2 𝑛
Lado del polígono circunscrito en función del radio y del lado del polígono inscrito
𝐿 𝑛 =
2𝑅𝑙 𝑛
√4𝑅2−𝑙2 𝑛
Lado del polígono de doble número de lado en función del radio y del lado del polígono inscrito
𝑙2𝑛 = √2𝑅2 − 𝑅√4𝑅2 − 𝑙2 𝑛

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APLICACIONES A EJERCICIOS PROPUESTOS:
1.- En Una circunferencia de radio R, se inscribe un triángulo equilátero de lado 2 3 cm.
Calcule:
1.1.- El radio de la circunferencia.
1.2.- La apotema del triángulo inscrito en la circunferencia.
1.3.- La apotema del triángulo circunscrito.
1.4.- El perímetro del triángulo inscrito.
1.5.- El perímetro del triángulo circunscrito.
1.6.- El área del triángulo inscrito.
1.7.- El área del triángulo circunscrito.
(2 , 1 , 2 , 36 , 312 , 33 , 312 )
2.- El perímetro de un triángulo inscrito en una circunferencia es 30 cm. Calcule:
2.1.- El radio de la circunferencia
2.2.- El lado del triángulo inscrito
2.3.- La apotema del triángulo inscrito.
2.4.- La apotema del triángulo circunscrito.
2.5.- El perímetro del triángulo circunscrito
2.6.- El área del triángulo inscrito.
2.7.- El área del triángulo circunscrito.
( 3
3
10
, 10 , 3
3
5
, 3
3
10
, 60 , 325 , 3100 )
3.- Si el área de un triángulo circunscrito a una circunferencia es 108 3 cm. 2
.Calcule:
3.3-La apotema del triángulo inscrito
3.4.-La apotema del triángulo circunscrito.
3.5.-El perímetro del triángulo inscrito

22
3.6.-El perímetro del triángulo circunscrito.
3.7.-El área del triángulo inscrito.
(6 , 36 , 3 , 6 , 318 , 336 , 327 )
4.- Si el área de un cuadrado inscrito a una circunferencia es 32 cm 2
.Calcule:
4.2.- El lado del cuadrado inscrito
4.3.-La apotema del cuadrado inscrito
4.4.-El lado del cuadrado circunscrito.
4.5.-La apotema del cuadrado inscrito
4.6.-El perímetro del cuadrado circunscrito.
4.7.-El área del cuadrado inscrito.
(4 , 4 2 , 2 2 , 8 , 4 , 16 2 , 32 , 64 )
5.-Si el área de un triángulo inscrito a una circunferencia es 300 3 cm 2
.Calcule:
5.3.-La apotema del triángulo inscrito
5.4.-La apotema del triángulo circunscrito.
5.5.-El perímetro del triángulo inscrito
5.6.-El perímetro del triángulo circunscrito.
5.7.-El área del triángulo inscrito.
(20 , 20 3 , 10 , 20 , 120 3 , 60 3 , 1200 3 )
6.- Si el lado de un pentágono inscrito a una circunferencia es 4 5210  .Calcule:
6.2.-La apotema del pentágono inscrito
6.3-El lado del pentágono circunscrito
6.4.-El lado del pentágono circunscrito.

23
6.5.-El perímetro de pentágono inscrito
6.6.-El perímetro del pentágono circunscrito.
6.7.-El área del pentágono inscrito.
6.8.-El área del pentágono circunscrito.
(4( )15  , 6+2 5 , )55(28  , )55(220  , 521040  , )5225040  , )522160 
7.- Si el área de un pentágono inscrito en una circunferencia es
2
58405 cm .calcular.
7.2.-La apotema del pentágono inscrito
7.3-El lado del pentágono circunscrito
7.4.-El perímetro del pentágono inscrito.
7.5.-El perímetro de pentágono circunscrito
7.6.-El lado del pentágono inscrito.
7.7.-El área del pentágono inscrito.
(4 , )526 , )5258  , )521010  , )52540  , )52102  , )52580 
8.- Considere una circunferencia de 6cm de radio. Determine:
8.1.- El lado del hexágono inscrito.
8.2.- El lado del hexágono circunscrito
8.3.- La apotema del hexágono inscrito
8.4.- La apotema del hexágono circunscrito.
8.5.- El perímetro del hexágono inscrito.
8.6.- El perímetro del hexágono circunscrito.
8.7.- El área del hexágono inscrito.
8.8.- El área del hexágono circunscrito.-
(6 , 4 3 , 3 3 , 3 3 , 6 , 36 , 24 3 , 54 3 , 72 3 )

24
9.- Si la apotema de un hexágono inscrito en una circunferencia de radio R es 4 3 cm. Calcule.
9.2.- El lado del hexágono inscrito
9.3.- El lado del hexágono circunscrito
9.4.- La apotema del hexágono circunscrito
9.5.- El perímetro del hexágono inscrito.
9.6.- El perímetro del hexágono circunscrito
9.7.- El área del hexágono inscrito
9.8.- El área del hexágono circunscrito.
( 8 , 8 , 16/3 3 , 8 , 48 , 32 3 , 96 3 , 128 3 )
10.- Si el área de un hexágono circunscrito en una circunferencia de radio R es 50 3 cm 2
. Calcule:
10.2.- El lado del hexágono inscrito
10.3.- El lado del hexágono circunscrito.
10.4.- La apotema del hexágono circunscrito
10.5.- El perímetro del hexágono inscrito
10.6.- El perímetro del hexágono circunscrito.
10.7.- El área del hexágono inscrito.
11.- El perímetro de un octágono inscrito en una circunferencia de radio R es )12(22124  cm.
Calcular.
11.1.-El radio de la circunferencia.
11.2.-La apotema del octágono inscrito
11.3.- La apotema del octágono circunscrito
11.4.- El lado del octágono inscrito.
11.5.- El perímetro del octágono circunscrito.
11.6.- El área del octágono inscrito.

25
11.7.- El área del octágono circunscrito.
12.- La apotema de un octágono inscrito en una circunferencia de radio R es 2218  .Calcular:
12.2.-La apotema del octágono circunscrito
12.3.- El lado del octágono circunscrito
12.4.- El perímetro del octágono circunscrito.
12.5.- El área del octágono inscrito.
12.6.- El área del octágono circunscrito.
12.7.- El perímetro del octágono inscrito.
(36 , 36 , 72( 12  ) , 576( 12  ) , 2592 2 , 10368( 12  ) , 288 22  )
13.- Se inscribe un pentágono en una circunferencia de radio 521058  .Calcular:
13.1.- El lado del pentágono inscrito.
13.2.- El lado del pentágono circunscrito.
14.- El radio de un decágono inscrito en una circunferencia de radio R es )15(5  cm. Calcular:
14.1.- El área del decágono inscrito
14.2.- El perímetro del decágono circunscrito
14.3.-La apotema del decágono inscrito
15.- Se inscribe un dodecágono en una circunferencia de radio 2cm .Calcule.
15.1.- El lado del dodecágono inscrito.
15.2.- El área del dodecágono inscrito
15.3.- El perímetro del dodecágono circunscrito.
16.- Si el lado de un dodecágono inscrito en una circunferencia de radio R es 3212  cm. Calcule:
16.2.- La apotema del dodecágono inscrito
16.3.- El área del dodecágono inscrito.

26
16.4.- El lado del dodecágono circunscrito
16.5.- El perímetro del dodecágono inscrito.
17.- El área de un decágono inscrito en una circunferencia de radio R es: )15(5210
2
5
 cm 2
.Calcule.
17.2.- El lado del dodecágono inscrito.
17.3.- El lado del dodecágono circunscrito.
17.4.- El área del dodecágono circunscrito.
17.5.- El perímetro del dodecágono inscrito.
Lee con atención el texto de la pantalla.
En la escena de la derecha, selecciona mediatriz. Mueve los vértices del triángulo y comprueba
que las tres mediatrices se cortan siempre en un punto. Define la mediatriz:
Mediatriz___________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado ____________________y es el
centro de la circunferencia_____________________.
Selecciona bisectrices y repite el ejercicio. Modifica los vértices del triángulo y comprueba que
siempre se cortan en un punto. Define:
Bisectriz_____________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado_____________________ y es el
centro de la circunferencia_____________________.
Ahora repite el ejercicio seleccionando medianas. Observa cómo se dibujan las medianas. Define:
Mediana_____________________________________________________________________
___________________________________________________________________________

27
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado_____________________.
Repite el ejercicio seleccionando alturas. Define la altura de un triángulo:
Altura_______________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado_____________________.
En el triángulo de la figura dibuja una mediatriz, una bisectriz, una mediana y una altura. (Dibuja
cada una de las rectas de un color distinto)
Lee con atención el texto de la pantalla.
RESPONDE ESTAS CUESTIONES RESPUESTAS
¿Cómo son los lados de un paralelogramo?
¿Cómo se llama el cuadrilátero cuyos lados no
son paralelos?
En la escena de la derecha:
Selecciona elementos. Pasa el ratón sobre los nombres de los elementos y observa la figura.
Explica cuál es la diferencia entre lado de un cuadrilátero y diagonal:
__________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
¿Cuántas diagonales tiene un cuadrilátero?________________________________

28
ejercicios sin el ordenador. Una vez que los tengas hechos el profesor o profesora te dirá si
puedes comprobarlos con el ordenador utilizando las escenas de Descartes con las que has
trabajado.
EJERCICIOS
4. Indica las rectas notables y el punto que aparecen representados en cada gráfico:
5. Indica las rectas notables y el punto que aparecen representados en cada gráfico:
6. Dibuja un triángulo cuyos lados midan 6, 7 y 8 centímetros. ¿Cómo es el triángulo
según sus lados y según sus ángulos? Traza todas las rectas y puntos notables.
¿Dónde están situados los puntos notables?
según sus lados y según sus ángulos? Traza todas las rectas y puntos notables. ¿Qué
ocurre con las rectas y los puntos notables?

29
Selecciona clases de cuadriláteros. Pasa el ratón sobre los nombres y observa las condiciones
de paralelismo. Completa la tabla siguiente:
Nombre Condición de paralelismo Dibujo
Lee con atención la definición de paralelogramo y su clasificación. En la escena de la derecha de
la pantalla, pasa el ratón sobre los nombres y observa el paralelogramo y las condiciones que
cumplen sus ángulos y sus lados.
Completa la tabla siguiente:
Ángulos: Iguales (90º)
Lados: Iguales
Ángulos: Iguales (90º)
Lados: Iguales dos a dos
Ángulos: Iguales dos a dos
Lados: Iguales
Ángulos: Iguales dos a dos
Lados: Iguales dos a dos

30
ejercicios sin el ordenador. Una vez que los tengas hechos el/la profesor/a te dirá si puedes
comprobarlos con el ordenador utilizando las escenas de Descartes con las que has trabajado.
EJERCICIOS
10. Clasifica los siguientes cuadriláteros:

31
PERIMETRO & AREA DE POLIGONOS
PERIMETRO Y ÁREAS
NOMBRE:_________________________________ FECHA:_____________
NO._______ CURSO:_______________ PROF. JONATHAN M. MENDOZA
Ejercicio nº 1.-Nombra estos polígonos atendiendo a sus características (lados, ángulos, diagonales, ejes de
simetría...):
Ejercicio nº 2.-Observa detenidamente este polígono, descríbelo en función de sus
características y propiedades (lados, ángulos, diagonales...) y nómbralo:
Ejercicio nº 3.-Realiza las siguientes operaciones:
a) 15 23'  35 12' 35 ''  6 15' 45'' b) 26 30' 15''  13 45' 17''
Ejercicio nº 4.-Los lados de un triángulo miden 16 cm, 11 cm y 8 cm. Comprueba si es un triángulo rectángulo.
Ejercicio nº 5.-Calcula el área y el perímetro de estas figuras:
Ejercicio nº 6.-Calcula la altura y el área de este triángulo equilátero:

32
Ejercicio nº 7.-
1, 2, 3, 4, 5 y 6 dividen a la circunferencia en seis partes iguales.
Ejercicio nº 8.-¿Dónde debe estar situado el centro de una circunferencia para que
sea tangente a estas dos semirrectas? Dibuja y justifica tu respuesta.
Ejercicio nº 9.-En la figura ves los ángulos formados por una secante que corta dos rectas paralelas. Justifica por qué
los ángulos 1 y 8 son suplementarios:
Ejercicio nº 10.-Dos de los ángulos de un triángulo miden 34

25' 12'' y 23

12' 30''. ¿Cuánto mide el tercero?
Ejercicio nº 11.-Se ha tendido un cable de 26 m de longitud uniendo los
extremos de dos torres metálicas cuyas alturas son 25 m y 35 m,
respectivamente. ¿Qué distancia separa los pies de ambas torres?
Ejercicio nº 12.-Calcular la superficie de la zona sombreada:
Ejercicio nº 13.-El lado de un triángulo equilátero mide 12 cm. ¿Cuál es su área?
.
ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , ,Calcula la medida de los ángulos y teniendo en cuenta que los puntosA B C D E

33
Ejercicio nº 14.-Nombra cada uno de estos polígonos atendiendo a sus características y propiedades (lados, ángulos,
diagonales..):
Ejercicio nº 15.-Describe este polígono atendiendo a sus características (lados, ángulos, diagonales..), clasifícalo y
nómbralo:
Ejercicio nº 16.-
Ejercicio nº 17.-La diagonal de un rectángulo mide 160 cm y la base 120 cm. ¿Cuánto mide la altura?
Ejercicio nº 18.-Calcula el perímetro y el área de estas figuras:
Ejercicio nº 19.- Observa la figura y calcula el área del cuadrado y del círculo:
Ejercicio nº 20.-¿Dónde está situado el centro de la circunferencia tangente a estas tres
rectas? Justifica tu respuesta.
   ˆ ˆ .Calcula la suma y la diferencia de los ángulos 37 55' y 44 45'A B

34
Ejercicio nº 21.-Razona por qué el triángulo OAB es equilátero.
Ejercicio nº 22.-
Ejercicio nº 23.-Calcula el perímetro y el área de esta figura:
Ejercicio nº 24.-Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular cuyo lado
mide 8 cm.
Ejercicio nº25.-Identifica cada uno de estos polígonos atendiendo a sus características (lados, ángulos, diagonales...):
Ejercicio nº 26.-¿Cuánto mide la cuarta parte de un ángulo recto? ¿Y la quinta parte de un ángulo llano?
Ejercicio nº 27.-Calcula el lado que falta en estos triángulos rectángulos:
ˆCalcula la medida del ángulo :B

35
Ejercicio nº 29.-Las dos diagonales de un rombo miden 24 cm y 26 cm. Calcula su perímetro y su área.
Ejercicio nº30.- :
Ejercicio nº 31.-¿Qué condiciones debe de cumplir un punto P para pertenecer a la
mediatriz del segmento AB?
Ejercicio nº 32.-Justifica que la suma de los ángulos de cualquier cuadrilátero es siempre 360.
Ejercicio nº 33.-Justifica la fórmula para el cálculo del área de un polígono regular
Ejercicio nº 34.-Calcula en grados, minutos y segundos la medida del ángulo central de un heptágono regular, triángulo equiláte
cuadrado, pentágono regular, hexágono regular.
Ejercicio nº 35.- Para enlosar una habitación rectangular de 9  6 metros se utilizan baldosas cuadradas de 30 cm de
lado. ¿Cuántas baldosas son necesarias para cubrir el suelo de la habitación?
Ejercicio nº 36.- Calcula la superficie de la zona sombreada:
DC,B,A ˆˆˆˆ yánguloslosdemedidalaescuálindicaefiguraslasObserva

36
Ejercicio nº 37.-Pon nombre a cada una de estas figuras atendiendo a sus características y propiedades:
Ejercicio nº 38.-La suma de dos ángulos iguales es de 24

15' 10''. ¿Cuánto mide cada uno de ellos?
Ejercicio nº 39.- Calcula la altura en los siguientes triángulos isósceles:
Ejercicio nº 41.-Calcula el área y el perímetro de este hexágono regular de 12cm de lado (aproxima el resultado a las
décimas):
Ejercicio nº 42.-Calcula la suma de los ángulos interiores de estos polígonos
Ejercicio nº 43.-¿Cómo comprobarías si el punto P es simétrico del punto P '? Razona tu respuesta.
 ˆCalcula los ángulos complementario y suplementario del ángulo 45 15' 16''.A

37
Ejercicio nº 44.-¿Qué ángulo ha de girar la veleta para señalar hacia el Oeste?
Ejercicio nº 45.-Un cucurucho tiene forma de cono. El radio de la base del cono mide 10 cm y la
altura 24 cm. ¿Cuál es la mínima distancia que ha de recorrer una hormiga para subir desde el
suelo hasta el pico del cucurucho?
Ejercicio nº 46.-Una fuente circular está rodeada de un zócalo de mármol. El diámetro de la fuente es de 10 metros y
el zócalo tiene un metro de ancho. ¿Cuál es la superficie recubierta por el mármol?
Ejercicio nº 47.- La diagonal de una piscina rectangular mide 25 m y el ancho es de 15 m. Calcula su perímetro y la
superficie que ocupa.
Ejercicio nº 48.-Calcula el perímetro y la superficie de esta figura:
Ejercicio nº 49.- Construye un triángulo de lados 10, 8 y 5 cm. y halla elpuntodecorte de
susmediatrices
Ejercicio nº 50.-Se ha atado una cabra, con una cuerda de 15 m de longitud, en una de las esquinas de un prado
rectangular de 20  30 m. Calcular la superficie del prado en el que puede pastar la cabra y la superficie del prado en
la que no puede pastar.
Ejercicio nº 51.-Se ha construido una pista de patinaje cuadrada sobre un terreno circular, como
indica la figura. El resto del terreno se ha sembrado de césped. Calcular: A)La superficie del
terreno. B) La superficie de la pista. C) La superficie que queda con césped.

38
EJERCICIOS
1) Halla el perímetro y el área de un cuadrado de 3 m de lado.
2) Halla el perímetro y el área de un cuadrado de 11,3 m de lado.
3) Averigua el área de un cuadrado cuyo perímetro mide 29,2 cm.
4) Halla el lado de un cuadrado cuya superficie mide 6,25 centímetros cuadrados.
5) Halla el perímetro de un cuadrado cuya superficie mide 10,24 centímetros
cuadrados.
6) Halla el lado de un cuadrado cuyo perímetro mide 34 m. 7) La diagonal de un
cuadrado mide 9 metros. Calcula su área.
EJERCICIOS
1) . Halla el perímetro y el área de un rectángulo cuyos lados miden 4,5 m y 7,9 m
respectivamente.
2) Halla el perímetro y el área de un rectángulo cuyos lados miden 6,3 dm y 48 cm
respectivamente.
3) El perímetro de un rectángulo es 20,4 dm. Si uno de sus lados mide 6,3 dm, halla
el área.
4) El área de un rectángulo es 6384 decímetros cuadrados. Si la base mide 93 cm,
¿cuánto mide la altura? y ¿cuál es su perímetro?.
5) El perímetro de un rectángulo es 825 cm. Si la base mide 125 cm, ¿cuánto mide la
altura?
6) La diagonal de un rectángulo mide 10 m y la base 8 m.
a. Calcula la altura del rectángulo.
b. Calcula su superficie, expresando el resultado en metros cuadrados y en
decímetros cuadrados.

39
Geometría Plana – Ficha 3 (Ejercicios Cuadrado y Rectángulo)
1) ¿Cuánto costará vallar una finca cuadrada de 14 metros de lado a razón de 1,5 euros el
metro lineal de alambrada?.
2) Pintar una pared de 8 m de larga y 75 dm de ancha ha costado 60 euros. ¿A qué precio
se habrá pagado el metro cuadrado de pintura?
3) Una finca rectangular que mide 1698 m de largo por 540 m de ancho se sembró de
trigo. Al realizar la cosecha cada Decámetro cuadrado de terreno ha producido 7890 kg de
trigo. ¿Cuántos kg se han cosechado?. Si el trigo se vende a 0,2 euros el kg, ¿Cuánto
dinero se obtendrá?.
4) Un terreno mide 1000 metros cuadrados de superficie. Si el terreno ha costado 15000
euros, ¿a qué precio se compró el metro cuadrado?.
5) ¿Cuánto costará un espejo rectangular de 1,36 m de altura y 0,97 m de anchura, si el
decímetro cuadrado vale 2,5 euros?.
6) ¿Cuánto cuesta un pequeño terreno cuadrado de 8 metros de lado a razón de 6000
euros la hectárea?.
7) ¿Cuál es la distancia máxima que se puede recorrer, en línea recta, dentro de un
campo rectangular de 80 m. de largo y 60 m. de ancho?
8) Se necesita cercar un huerto rectangular, de 180 m de longitud y 150 m de anchura,
con tela metálica. El metro lineal de valla cuesta 15 euros. Al mismo tiempo, es necesario
abonarlo con abono nitrogenado. El fabricante del abono recomienda 25 kg por hectárea.
a) Calcula la longitud de la tela metálica y el coste de la misma para cercar el huerto. b)
Calcula la cantidad de abono nitrogenado necesario para abonarlo.
9) Hay que embaldosar una habitación de 5 metros de largo y 3,36 m de ancho. ¿Cuántas
baldosas de 80 centímetros cuadrados de superficie se necesitan?.

40
EJERCICIOS
3.- Calcula: a) El área de un rectángulo cuya altura mide 2 cm y su base mide tres
veces su altura.
b) El área de un rectángulo de base 6 cm y altura 2/3 de la base.
c) El lado de un cuadrado de área 29´16 cm2
.
d) El área, en metros cuadrados, de un cuadrado que tiene 16 dm de
lado.
e) El área de un triángulo cuya base es de 10 cm y su altura es el doble
de la base.
f) El área de un triángulo cuya base es de 5 cm y su altura mide 4/5 de la
base.
g) El área, en cm2
, de un romboide de base 2 dm y altura 3 cm.
h) El área de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y la diagonal
menor es la mitad de la mayor.
i) El área de un triángulo isósceles, cuya base es de 14 cm y uno de sus
lados mide 20 cm.
4.- El producto de las diagonales de un rombo es 24 cm2
. Calcula su área.
5.- La suma de las bases de un trapecio es 10 cm y su altura es 2 cm. Calcula su área.
6.- Calcula el área de un trapecio cuya base mayor mide 15 cm, su base menor mide
2/3 de la mayor y su altura mide 4 cm.
7.- Calcula el área de un rombo que tiene de diagonal menor 6 cm, y cualquiera de
sus lados de 6 cm también.
8.- Halla el área de un hexágono regular de lado 10 cm.
9.- Tenemos un cuadrado de 6´4 dm de lado. Se desea saber cuánto medirá la suma
de sus dos diagonales, pero en mm.

41
10.- ¿Qué es un trapecio? ¿Cuándo un trapecio es rectángulo? Se sabe que en un
trapecio rectángulo, la base mayor mide 15 cm, la base menor 10 cm, y la altura 6
cm. ¿Cuánto medirá el perímetro y el área de este bonito trapecio?
11.- Si el área de un hexágono regular es aproximadamente 96 cm2
, ¿cuánto valdrá
el área de la parte rayada, si el hexágono está dividido en 6 triángulos iguales?
12.- El perímetro de un hexágono regular es de 72 cm. Calcula su área.
13.- Calcula el área de la parte rayada sabiendo que el área del hexágono regular es
más o menos 258 cm2
.
14.- Calcula el área de un hexágono regular donde la suma de dos de sus lados es
16´4 cm.
15.- Si el área de un hexágono regular es aproximadamente 64´5 cm2
y cualquiera de
sus apotemas vale 4´3 cm, ¿cuánto valdrá un lado de dicho hexágono?
16.- Si el radio de un círculo es 1 dm, calcula su área en metros cuadrados.
17.- Calcula el área del círculo sabiendo que su diámetro son 2 m.
18.- Sabiendo que el área de un círculo es 16 m2
, ¿cuánto medirá su radio?

42
19.- Calcula el área de la parte rayada sabiendo que el lado del cuadrado mide 6 cm
(la relación existente entre el lado del cuadrado y el radio del círculo inscrito en él es:
el radio es la mitad del lado).
20.- Si la longitud de una circunferencia es 12 cm, ¿cuál será el área del círculo
correspondiente? (recuerda que la longitud de la circunferencia es 2 ·  · r).
21.- Calcula el área de la parte rayada sabiendo el radio del círculo mayor (6 cm) y el
radio de los círculos pequeños (2 cm).
22.- Averigua el área de una corona circular cuyos radio son R = 5 dm y r = 3 dm.
¿Cuál sería su área en m2
?
5-T12
23.- Halla el área de una corona circular cuyo radio mayor es cuatro veces el menor,
sabiendo que el menor mide 2 cm.
24.- Calcula el área de una corona circular sabiendo que el radio mayor es R = 6 cm y
el radio menor es 2/3 del mayor.
25.- Construye una corona circular cuyo radio mayor sea R = 3 cm y cuyo radio
menor sea r = 2 cm. Luego, calcula su área.

43
26.- En una corona circular, el área del círculo mayor es 25 m2
, y el área del círculo
menor es 1/5 del área del mayor. Calcula el área de la corona circular en decímetros
cuadrados.
27.- Calcula el área de la parte rayada sabiendo que el lado del cuadrado es 8 cm y el
radio del círculo mide 2 cm.
28.- En una corona circular el radio del círculo mayor es 12 cm, y el radio del círculo
menor es 6 cm. Comprueba la relación que hay entre el área de la corona circular y
el área del círculo menor. (Pista: si una persona A tiene 40 años y otra persona B
tiene 20 años, eso quiere decir que la persona A tiene el doble de edad que la
persona B, o bien, que la persona B tiene la mitad de edad que la persona A).
29.- Halla el lado de un triángulo equilátero que tiene 27´6 m2
de área, y de altura
6´9 m.
30.- Halla el área de una cuadrado cuyo perímetro vale 40 dm.
31.- Halla la diagonal mayor de un rombo cuya área vale 14 km2
y la diagonal menor
4 km.
32.- Halla el área de esta figura.

44
33.- En un trapecio isósceles se sabe que la base mayor mide 18 cm, la base menor
10 cm y los lados iguales 7 cm. Averigua el área de dicho trapecio. (Nota: se
recomienda un dibujo que os aclare el tema).
34.- Averigua el área de la parte oscura de esta figura tomando las medidas que
creas necesario:
Evaluación Teórica
1) ______________________ es la reunión de tres o más segmentos coplanarios
cada uno de los cuales tiene por intersección con otros dos, los puntos extremos.
2) ______________________ es la reunión de un polígono cualquiera con su
interior.
3) ______________________ es aquel polígono donde todos sus ángulos interiores
son convexos.
4) ______________________ es todo polígono en el cual al menos uno de sus
ángulos internos es cóncavo (no convexo).
5) ______________________ es el polígono que no conserva la propiedad de tener
sus lados y sus ángulos congruentes.
6) ______________________ es todo polígono que tiene todos sus lados
congruentes, es decir, que todos sus lados tienen la misma longitud.

45
7) ______________________ es todo polígono que tiene todos sus ángulos
congruentes (ángulos todos de igual medidas).
8) ______________________ es aquel polígono convexo que es a la vez equilátero y
equiángulo.
9) ______________________ regulares se nombran anteponiendo un prefijo (raíz)
________________________ (tri, tetra (cua), penta, hexa, repta, octa, ene, deca,
etc) seguido del sufijo griego gono que significa ¨ángulo¨.
10) _____________________ es todo segmento que une dos vértices no
consecutivos de un polígono.
11) La fórmula __________________ nos da el número de triángulos que se
determinan al trazar todas las diagonales desde un vértice de un polígono.
12) Mediante la fórmula 𝒅 = 𝒏 – 𝟑 determinamos el número de diagonales
_____________________________________________________
13) Mediante la fórmula
𝒏( 𝒏−𝟑)
𝟐
, se determina el número total de
________________________________________________________________
14) _______________________es la región interior de un polígono determinada por
dos lados consecutivos de un polígono.
15) _______________________ es la región exterior de un polígono determinada
por la prolongación de dos lados consecutivos de un polígono.
16) La medida de un ángulo exterior de un polígono regular esta dada por la fórmula
__________________________________________________________________
17) La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono regular es
___________________________________________________________________
18) La medida de un ángulo interior de un polígono regular es
___________________________________________________________________
19) La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono regular esta
dada por la fórmula _____________________________________

46
20) ________________________es todo polígono que posee tres lados y tres
ángulos, es decir, la unión de tres puntos no colineales mediante tres segmentos.
21) ________________________ es cada uno de los segmentos que forman un
triángulo.
22) ________________________ es cada uno de los puntos donde se unen dos lados
consecutivos de un triángulo.
23) _________________________ la región interna de un triángulo determinada por
dos lados consecutivos de un triángulo.
24) En el siguiente triángulo nombre:
Los tres lados: ________, _________, _________
Los tres vértices: _______, ________, ________
Los tres ángulos: _______, ________, _______
24) En el triángulo anterior ∆ABC, diga lo siguiente:
El lado AB es opuesto al ____________________________________________
El ángulo A (<A) es opuesto al ________________________________________
El lado AC es opuesto al ____________________________________________
25) Diga los pares de ángulos consecutivos_________________, _______________,
____________________.
26) Diga los pares de ángulos consecutivos __________________, _______________
____________________.
25) Los triángulos se clasifican de acuerdo a sus _______________________ y a sus
________________________________.
26) De acuerdo a sus lados se clasifican en _____________________________,
____________________________ y __________________________________.
27) De acuerdo a sus ángulos se clasifican en ___________________________,

47
_____________________________ y _________________________________.
28) Defina cada uno de los conceptos.
a) Triángulo Equilátero: _________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
a) Triángulo Isósceles: ___________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
c) Triángulo Escaleno:___________________________________________________
_____________________________________________________________________
d) Triángulo Acutángulo:_________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
e) Triángulo Rectángulo:_________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
f) Triángulo Obtusángulo:________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
29) ________________________________ Dos o más polígonos son congruentes si
tienen el mismo tamaño y la misma forma.
30) ________________________________ Dos o más triángulos son congruentes si
tienen el mismo tamaño y la misma forma.

48
31) ___________________________________ Todo triángulo o polígono es
congruente consigo mismo. (∆ABC ≡ ∆ABC).
32) ____________________________________ Si un triángulo ∆ABC es congruente
con el triángulo ∆PQR, entonces el ∆PQR es congruente con el ∆ABC.
(∆ABC ≡ ∆PQR) → (∆PQR ≡ ∆ABC).
33) ____________________________________ Si el triángulo ∆ABC es congruente
con el ∆PQR y el ∆PQR es congruente con el ∆LMN, entonces el ∆ABC es congruente
con el ∆LMN. (∆ABC ≡ ∆PQR ^ ∆PQR ≡ ∆LMN) → ∆ABC ≡ ∆LMN.
34) ___________________________ si los lados de un triángulo ∆LMN se hacen
corresponder con los lados correspondientes de otro triángulo ∆ABC, de manera que
sus lados se correspondan dos a dos. Esto es AB ≡ LM, BC ≡ MN y AC ≡ LN.
35) ____________________________ si los ángulos de un triángulo ∆ABC se hacen
corresponder con los ángulos correspondientes de otro triángulo ∆LMN, de manera
que sus ángulos se correspondan dos a dos. Esto es <A ≡ <L, <B ≡ <M y <C ≡ <N.
36) ___________________________ son cada uno de los elementos que se hacen
corresponder (ocupan posiciones relativamente iguales) en dos triángulos o
polígonos semejantes ó congruentes.
37) Si las partes homologas de dos triángulos o dos polígonos son congruentes
entonces dichos triángulos o polígonos son______________________________
38) Si no todas las partes homologas de dos triángulos o dos polígonos son
congruentes entonces dichos triángulo o polígonos no son
_________________________________________________________________
39) En todo triángulo en donde dos de sus ángulos tienen diferentes medidas al
ángulo de mayor medida se opone ____________________________________, y al
lado de mayor longitud se opone un ángulo de
________________________________________________________________
40) Si en un triángulo ∆ABC, m<A = m<B, entonces los lados opuestos a estos
ángulos tendrán____________________________________________________

49
41) En todo triángulo equilátero se cumple que
________________________________________________________________
42) ______________________________ Si los lados homólogos de dos triángulos (o
dos polígonos) son congruentes, entonces dichos triángulos (o polígonos) son
congruentes.
43) _______________________________ Si dos lados de un triángulo y el ángulo
comprendido por ellos son congruentes con los elementos homólogos de otro
triángulos, entonces dichos triángulos son congruentes.
44) _______________________________ Si dos ángulos de un triángulo y el lado
comprendido por ello son congruentes con los elementos homólogos de otro
triángulo, entonces dichos triángulos son congruentes.
45) _______________________________ Es el segmento de perpendicular que va
desde uno de los vértices de un triángulo al lado opuesto o a su prolongación.
46) En todo triángulo se pueden trazar _________________________________
47) _____________________________ Es el punto donde se intersecan las tres
alturas de un triángulo, este punto puede estar en el interior, en el exterior o en un
vértice del triángulo.
48) _____________________________ Es el segmento de recta que une un vértice
del un triángulo con el punto medio del lado opuesto al ángulo.
49) En todo triángulo se pueden trazar _________________________________
50) ______________________________ El punto donde al trazar las tres medianas
estas se cortan.
51) _______________________________ Es la semirrecta que va desde uno de los
vértices de un ángulo de un triángulo al lado opuesto y que divide a ese ángulo en
dos ángulos congruentes.
52) En todo triángulo se pueden trazar _________________________________, las
cuales se intersecan en un punto llamado_____________________________

50
53) _____________________________________________________________
Es la recta perpendicular a dicho lado en su punto medio.
54) En todo triángulo se pueden trazar _________________________________, las
cuales se cortan en el punto llamado_________________________________
55) Teorema Fundamental del triángulo: _______________________________
________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
56) En todo triángulo rectángulo la suma de las medidas de los dos ángulos agudos
es _______________________________________________________________
57) La medida de cada uno de los ángulos exteriores en cualquier triángulo es igual a
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
58) La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a
________________________________________________________________
59) Dos ángulos de un triángulo son consecutivos si
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
60) Teorema de Pitágoras:___________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________

51
61) A continuación te damos un listado de polígonos regulares, al lado de cada uno
escribe el número de lados que tiene cada uno.
i) Triángulo Equilátero:_____________ ii) Cuadrado:__________________
iii) Pentágono:____________________ iv) Hexágono:_________________
v) Heptágono:_____________________ vi) Octágono:_________________
vii) Eneágono:_____________________ viii) Decágono:_________________
ix) Undecágono:____________________ x) Dodecágono:______________
xi) Tridecágono:____________________ xii) Tetradecágono:____________
62) DEFINE CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CONCEPTOS.
i) Lado de un poligono. ii) Contorno. iii) Longitud. iv) Perímetro.
v) Unidades de Longitud. vi) Superficie. vii) Área. Viii) Unidades de Área. ix)
Radio de un polígono. x) Apotema de un polígono. xi) Postulado de la unidad de
área. xii) Postulado de la adición de áreas xiii) Circulo
xiv) Circunferencia xv) Fórmula de Herón.

52
1) En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18 cm de perímetro y DBEC es un rectángulo. El área
de la región achurada es:
A) 9 cm2
B) 9 3 cm2
C) 9 5 cm2
D) 9/2 5 cm2
E) 9/2 3 cm2
2) La base de un triángulo isósceles mide 30 cm. Si su perímetro es 72 cm., cada uno de sus lados
mide:
A) 14 cm. B) 18 cm. C) 21 cm. D) 42 cm. E) 36/15
3) El área de un triángulo rectángulo isósceles es 32 cm2. Entonces los catetos iguales miden:
A) 9 m. B) 8 m. C) 4 m. D) 12 m. E) 6 m.
4) Si en un triángulo equilátero la longitud de cada lado aumenta en una unidad, entonces ¿cuál de las
siguientes afirmaciones es verdadera?
A) su perímetro aumenta en 3 unidades
B) su área aumenta en 3 unidades cuadradas
C) su perímetro permanece constante
D) su área permanece constante
E) su altura aumenta en 1 unidad
5) Las medidas de los lados de un triángulo están en la razón 3 : 5 : 7 y su perímetro es
45 cm. Las longitudes de sus lados, en centímetros, son
A) 6, 10 y 14 B) 6, 10 y 29 C) 9, 12 y 24
D) 9, 15 y 21 E) 13, 15 y 17
6) En la figura se tiene AM = 3; AN = 3,5; MN = 4; BM = 1,5; el ∠AMN ≅ ∠ABC. ¿Cuál es el perímetro
del triángulo ABC?
A) 15 ¾
B) 13 ¼
C) 14 ½
D) 14 11/20
E) Otro valor

53
7) En el cuadrado ABCD de lado 10 m, E punto medio de DC. El área del ΔABE es:
A) 5 m2
B) 10 m2
C) 15 m2
D) 25 m2
E) 50 m2
8- En la figura ABCD es un cuadrado. El área del triángulo AMN es:
9- El triángulo ABC de la figura tiene sus vértices ubicados en las coordenadas A = (1, 0,
0), B = (0, 1, 0) y C = (0, 0, 1). Su área y su perímetro miden, respectivamente
10-En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la figura 2, el ΔABC es equilátero. Si
AD = 6, el área del ΔAOD es

54
11-El ΔABC de la figura 7, es equilátero. Si AP : PC = CQ : QB = 1 : 2 y además PQ = 6,
entonces el área del ΔABP es
12.-En la figura 9, el rectángulo está formado por dos cuadrados de lado 6 cada uno de
ellos. Entonces, el área del ΔPRS es
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
13.-Se puede determinar en qué razón se encuentran las áreas de dos triángulos
semejantes si:
(1) Sus perímetros están en la razón 2 : 3.
(2) El perímetro del triángulo más pequeño es 40 cm.
a) (1) por sí sola.
b) (2) por sí sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
e) Se requiere información adicional.
14.-Si en la figura 8 los triángulos ABC y EAD son congruentes, entonces el perímetro del
polígono ABCED es
A) 32 cm
B) 40 cm
C) 42 cm
D) 48 cm
E) 56 cm

55
15.- En la figura, ABCD es un cuadrado de perímetro 4a cm y AFGE es un rectángulo, si AE = 1 cm y
AF = 2 cm. ¿Cuál es el perímetro de la figura sombreada?
a) 4a cm.
b) (4a - 3) cm.
c) (4a - 2) cm.
d) (4a - 1) cm.
e) (4a + 3) cm.
16.- Si un alambre de 60 cm. de largo se usa para construir tres cuadrados de igual lado, entonces
la suma de las áreas es:
a) 108 cm2 b) 25 cm2 c) 60 cm2 d) 72 cm2 e) 75 cm2
17.- El cuadrado ABCD de la figura, tiene un perímetro de 32 cm. y está
formado por 4 cuadrados congruentes subdividos a su vez en triángulos
semejantes. ¿Cuál es el área de la superficie sombreada?
a) 6 cm2
b) 3 cm2
c) 15 cm2
d) 10 cm2
e) 12 cm2
18.- Los rectángulos ABCD y PQRS son congruentes y se han superpuesto del modo que se indica
en la figura. Si AD = 4 cm., AB = 12 cm. y RQ = (2/3)BQ,
entonces ¿cuál es el área del rectángulo?
a) 12 cm2
b) 16 cm2
c) 24 cm2
d) 10 cm2
e) 12 cm2

56
19.- Si el perímetro de un rombo es de 52 cm. y una de sus diagonales mide 24 cm., entonces su
área es:
18.- El doble del área de un cuadrado cuyo lado mide 3 cm es:
19.- En la figura, se representan un cubo y un paralelepípedo de altura a. Si la cara sombreada del
cubo tiene un área de 64 cm2 y la cara sombreada del paralelepípedo tiene un área de 96 cm2,
entonces b mide:
a) 4 cm
b) 8 cm
c) 12 cm
d) 16 cm
e) 20 cm
20.-Si los catetos del triángulo ABC rectángulo en C de la figura 10, miden 15 cm y 20 cm,
entonces el área de la región achurada es

57
21.- En la figura 12, la suma de las áreas de los tres círculos congruentes es 3π, entonces
el área del triángulo equilátero PQR es
22.-En la figura 4, el punto G es el centro de gravedad del triángulo equilátero ABC de lado
18 cm. Entonces, el perímetro del triángulo ABG es
23.- El perímetro del triángulo isósceles de la figura es 2s. Si uno de sus lados iguales
mide a, entonces la base c mide:
24.- En la figura, el D ABC es rectángulo en C. D y E son puntos que dividen a BC en tres
segmentos iguales. Si B'C' // BC, AC = 12, AC' = 4 y B'C' = 3,
Entonces
9

58
25.- En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18 cm de perímetro y DBEC es un
rectángulo. El área de la región achurada es
26.-¿Qué pasa
con el área de
un triángulo si su altura se divide por dos y se mantiene su base?
A) Se reduce en media unidad cuadrada
B) Se reduce a la mitad
C) Se reduce a la cuarta parte
D) Se reduce en un cuarto de unidad cuadrada
E) Falta información para decir que ocurre con el
27.- Nombre del polígono regular cuya suma de ángulos internos es de 3240º
a) icoságono
b) decágono
c) octágono
d) pentágono
e) N. A.
28.- Hallar la medida de un ángulo interno de un polígono regular de 40 lados
a) 36º
b) 189º
c) 171º
d) 38º
e) 152º

59
29.- Nombre del polígono que tiene 65 diagonales
a) tridecágono
b) Tetradecágono
c) Decágono
d) tridecágono
e) hexadecágono
30.- Hallar el número de lados de un polígono cuya suma de ángulos internos es de
4500º
a) 27 lados
b) 13 lados
c) 23 lados
d) 26 lados
e) 25 lados
a) Eneágono
b) Nonágono
c) icoságono
d) Alternativas a) y b)
e) dodecágono
32.- Hallar la suma de los ángulos internos de un octadecágono regular (18 lados)
a) 6480º
b) 3240º
c) 3600º

60
d) 2880º
e) 6400º
33.- Hallar el número de lados de un polígono regular en que cada ángulo externo
mide 2º
a) 90 lados
b) 180 lados
c) 270 lados
d) 360 lados
e) 56 lados
a) tridecágono
b) Tetradecágono
c) eptadecágono
d) enadecácogono
e) pentadecágono
35.- Hallar el número de diagonales que tiene un polígono de 24 lados
a) 252 diagonales
b) 168 diagonales
c) 240 diagonales
d) 288 diagonales
e) 264 diagonales

61
36.- Hallar la medida de un ángulo interno de un octágono regular (8 lados)
a) 90º
b) 60º
c) 120º
d) 135º
e) 45º
37.- Hallar el número de lados de un polígono regular en que cada ángulo interno
mide 175º
a) 72 lados
b) 36 lados
c) 54 lados
d) 5 lados
e) N. A.
38.- Hallar el número de lados de un polígono regular donde cada ángulo interno
mide 165º
a) 18 lados
b) 12 lados
c) 36 lados
d) 15 lados
e) 24 lados

62
39.- Hallar el número de diagonales que tiene un hexágono
a) 9 diagonales
b) 11 diagonales
c) 10 diagonales
d) 6 diagonales
e) N. A.
40.- Hallar el número de lados de un polígono cuya suma de ángulos internos es de
28 ángulos rectos
a) 18 lados
b) 9 lados
c) 16 lados
d) 30 lados
e) N. A.
41.- En la figura se muestra un hexágono regular, 𝐴𝐸̅̅̅̅ 𝑦 𝐸𝐵̅̅̅̅ son diagonales, entonces el
valor de x =?
a. 10°
b. 15°
c. 20°
d. 30°
e. 45°
42.- ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono de 20 lados?
a. 3.200° b. 3.240° c. 3.160° d. 3.300° e. 3.500°
43.- ¿Cuántas diagonales tiene un heptágono?
a. 14 b. 20 c. 9 d. 72 e. 28
44.- En el pentágono regular de la figura, ¿cuál es el valor de x?

63
a. 540 b. 108 c. 72 d. 38 e. 36
45. En la siguiente figura se muestran triángulos rectángulos en los cuales se le han
construido polígonos regulares sobre sus catetos e hipotenusa. ¿En cuáles de las
opciones se puede afirmar que el área del polígono construido sobre la hipotenusa es
igual a la suma de las áreas construidas sobre los catetos?
a. Sólo I
b. Sólo II
c. Sólo III
d. Sólo IV
e. Todas
46. En la figura el triángulo AED es equilátero y EBCD es un rombo. Si 𝐶𝐹̅̅̅̅ ⊥ 𝐴𝐵̅̅̅̅ 𝑦 𝐷𝐶̅̅̅̅ = 4,
entonces ¿Cuál es el área de la región sombreada
a.
b.
c.
d.
e.
47.- En el pentágono ABCDE de la figura, ¿cuántas diagonales de pendiente positiva se
pueden trazar?
a. ninguna
b. una
c. dos
d. tres
e. cuatro
48.- El área de un trapecio de bases 10 y 12, y altura 3 es:
a. 66 b.11 c. 33 d. 25 e. 16 ½
49.- ¿Cuántas diagonales tiene un polígono reglar de 22 lados

64
a. 200 b. 209 c. 100 d. 220 e. 360
50.- ¿Cuánto mide un ángulo interior de un octágono regular?
a. 135° b. 120° c. 128° d. 108° e. 112,5°
51. El hexágono de la figura tiene lado √12, entonces ¿cuál es el área del trapecio ABCD?
a.
b.
c.
d.
e.
52. Si los polígonos de la figura so todos hexágonos regulares y los puntos E y K son
puntos medios de los lados DF y JP respectivamente, entonces ¿cuál es el área del
hexágono mayor si el área del menor es 2cm2
a.
b.
c.
d.
e.
53. Dado un paralelogramo ABCD, con 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝑥 + 4, 𝐵𝐶̅̅̅̅ = 𝑥 − 6, 𝑦 𝐶𝐷̅̅̅̅ = 2𝑥 −
16. ¿ Cuál es el valor de AD?̅̅̅̅̅
a. 20
b. 24
c. 28
d. 14
e. 10
54. En el paralelogramo ABCD, 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝑥 + 8, 𝐵𝐶̅̅̅̅ = 3𝑥 𝑦 𝐶𝐷̅̅̅̅ = 4𝑥 − 4. Entonces ABCD es
un:
a. Rectángulo
b. Rombo
c. Trapecio
d. Romboide
e. Pentágono

65
55. Si los ángulos interiores de un pentágono están en la razón 1 : 2 : 2 : 2 : 3, ¿cuánto
mide el ángulo menor?
a. 72°
b. 36°
c. 108°
d. 90°
e. 54°
56. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado de diagonal 8?
a. 32
b. 16
c. 32√2
d. 16 √2
e. 32√3
57. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular?
(1) La suma de sus ángulos interiores es 900°
(2) El número de diagonales que se pueden trazar en el es 14.
a. (1) por sí sola
b. (2) por sí sola
c. Ambas juntas, (1) y (2)
d. Cada una por sí sola (1) ó (2)
e. Se requiere información adicional
58. Determinar el área de un trapecio si su altura es 5 cm.
(1) Su mediana es 7 cm.
(2) La diferencia de sus bases es 4 cm.
a. (1) por sí sola
b. (2) por sí sola
59. en el cuadrado ABCD de la figura, ¿Cuánto mide el perímetro de la parte sombreada?
a. (1) por sí sola
b. (2) por sí sola

66
60: En la figura, AD = 3, DC = 4 y CB = 1. El área del cuadrilátero ABCD es:
anterioresvaloreslosdeNinguno)E
612)D
6212)C
66)B
626)A




61: En la figura, ABCD es un rectángulo y FCGI es un cuadrado. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El área de FCGI es 12
II) El área de ABFI es 6
III) El área de AEIH es 3
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) Solo II y III
62: Los vértices de una figura son: A(2, 0); B(0, 2); C(−2, 0) y D(0, −2). ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) El perímetro de la figura es 8 2 .
II) Cada diagonal mide 4.
III) El área de la figura es 4 2 .
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III

67
63: ¿Cuál de las afirmaciones es correcta para todos los paralelogramos?
A Si sus ángulos son rectos es un cuadrado.
B Los ángulos consecutivos son complementarios.
C Las diagonales son bisectrices.
D Los ángulos opuestos son congruentes.
E Los ángulos opuestos son suplementarios.
64: El cuadrado ABCD de lado a se ha dividido en 9 cuadrados congruentes entre sí, como se
muestra en la figura. El área del cuadrado PQRS es
9
a8
)E
9
a5
)D
4
a3
)C
3
a5
)B
9
a4
)A
2
2
2
2
2
65: En el plano de la figura, se muestra el polígono ABCD, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s) ?
I) El perímetro del polígono es 8 2 .
II) Cada diagonal del polígono mide 4.
III) El área del polígono es 4 2 .
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III

68
66: En la figura, ABCD es un rectángulo que se ha dividido en seis cuadrados congruentes. Si los
arcos corresponden a cuartos de círculo, entonces
¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?
I) La suma de las áreas sombreadas es igual al área de un círculo de radio
2
1
BC
II) La suma de los perímetros de las áreas sombreadas es igual al perímetro de una
circunferencia de radio
3
1
AB
III) La suma de los perímetros de las regiones sombreadas es mayor que el perímetro de
ABCD.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III
67: Dado el cuadrado ABCD de lado k en la figura, donde PB3PC  , QC2QD  y M es el punto de
intersección de DP y AQ, entonces el área del ∆ DMQ es
6
k
)E
9
k2
)D
9
k4
)C
3
k
)B
9
k
)A
2
2
2
2
2
68: En la figura, dadas las dimensiones del rectángulo ABCD, entonces la medida del lado BE en
el rectángulo DBEF mide
2
5
)A
5
1
)B
5
3
2
)C
5
2
)D 1)E

69
69: En la figura, ABCD es un rectángulo en el cual BC = 8 cm. Los triángulos son todos equiláteros
y congruentes entre sí. El perímetro de la región sombreada es
A) 42 cm
B) 46 cm
C) 48 cm
D) 50 cm
E) 56 cm
70: El largo de una piscina rectangular es el doble de su ancho. Se construyó una cerca,
rodeándola, separada un metro de sus bordes. Si el área cercada es de 40 m2
, ¿cuál es el largo de
la piscina de la figura?
A) 3 m
B) 6 m
C) 12 m
D) 80 m
E) m
2
1653







 
71: En el triángulo ABC de la figura, ADEF es un rombo, FCAF  y  mide 60º, entonces
¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?
BCAB)III
2
AB
FE)II
FCFE)I



A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III

70
72: La figura está formada por 6 cuadrados congruentes de 30 cm de lado cada uno. El área de la
región achurada mide
A) 50 cm2
B) 75 cm2
C) 100 cm2
D) 112,5 cm2
E) 125 cm2
73: ¿Cuánto mide el perímetro del polígono de la figura con p > q?
A) 4p + 3q
B) 4p + 4q
C) 3p + 3q
D) 3p + 2q
E) No se puede determinar
74: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado a, M y N son puntos medios de los lados AByAD
, respectivamente. ¿Cuál es el área del triángulo MAN?
2
)
2
a
A
4
)
2
a
B
8
)
2
a
C
4
)
a
D
8
)
a
E
75: ABCD es un rectángulo tal que AB = 5 y BC = 4. Si se ha dividido en cuadrados congruentes
como se muestra en la figura, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?
I) Área de la región sombreada es 13
II) Perímetro de la región sombreada es igual al perímetro de ABCD
III) Suma de los perímetros de las áreas no sombreadas es mayor que el perímetro del
rectángulo ABCD

71
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II, III
76: En el cuadrado ABCD de la figura T, M, L y P son puntos medios de los lados respectivos.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
TLPΔ)I  TMBΔ
CBLDTA)III
LTMΔPMLΔ)II


A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
77: ¿Cuál es la conclusión más precisa respecto al perímetro y al área de un cuadrado cuando su
lado se duplica?
A) El perímetro se duplica y el área se cuadruplica
B) El perímetro se cuadruplica y el área se duplica
C) El perímetro se duplica y el área aumenta en mayor proporción que el perímetro
D) El perímetro se cuadruplica y el área aumenta en menor proporción que el perímetro
E) El perímetro aumenta en mayor proporción que el área
78: En la figura AQ = 1 y QC = 2, entonces ¿cuál es el área del rectángulo ABCD?
A) 2
B) 6
23)E
33)D
32)C

72
79: En la figura ABCD es un cuadrado. El área del triángulo AMN es:
13)E
3
32
)D
2)C
1)B
8
9
)A

80: En la figura ABCD es un cuadrado de lado 3 cm y CQ = 33 cm. Si P, B y Q son puntos
colineales, entonces el área de la región NO sombreada mide:
2
2
2
2
2
cm18)E
cm9)D
cm312)C
cm39)B
cm36)A
81: En la figura, el cuadrado se ha dividido en 5 rectángulos congruentes entre sí, y cada
rectángulo tiene un perímetro de 30 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado?
A) 50 cm
B) 48 cm
C) 60 cm
D) 150 cm
E) Ninguno de los valores anteriores
82: Con un cordel de largo d se forma un cuadrado. ¿Cuánto mide el área del cuadrado?
16
)
8
)
4
)
2
)
)
2
2
2
2
2
d
E
d
D
d
C
d
B
da

73
83: EFGH es un rectángulo. Si CFBΔAHDΔ  y BEAΔDGCΔ  entonces ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
ADGDCG)III
ABDC)II
DABDCB)I



A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
84: ¿Cuál es el perímetro de la figura plana formada por 4 rombos congruentes cuyas diagonales
miden 8 cm y 6 cm?
A) 60 cm
B) 70 cm
C) 80 cm
D) 84 cm
E) 120 cm
85: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 10, en el cual se ha inscrito el trapecio isósceles
EFGH. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El área de EFGH es 48
II)  AEH   CFG
III) HJ = EF
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

74
86. El perímetro del rectángulo cuya superficie es 24 cm2
y uno de sus lados mide 3
cm. es:
a) 8 cm. b) 11 cm. c) 24 cm. d) 22 cm e) 48 cm.
87. La medida del lado de un cuadrado cuyo perímetro es 64 cm. es:
a) 4 cm b) 8 cm. c) 16 cm. d) 32 cm. e) 64 cm.
88. Si el radio de una circunferencia es 8 m. ¿Cuánto mide el perímetro del cuadrado
circunscrito a ella?
a) 16 m. b) 32 m. c) 40 m. d) 64 m. e) 256 m.
89. ¿Cuánto es la diferencia entre las áreas de una circunferencia de 6 m. de
diámetro y otra de 4 m. de radio?
a) 21 m2
b) 23 m2
c) 25 m2
d) 60 m2
e) 2 m2
90. ¿Cuál es el perímetro de un romboide en el cual uno de sus lados mide 7 cm. y el
otro lado mide 3,6 cm?
a) 8,6 cm b) 10,6 cm. c) 21, 2 cm. d) 25,2 cm e) Ninguna de las
anteriores
91. Un cuadrado de lado a tiene un área de 49 m2
. Un cuadrado de lado 3a tiene un
área de :
a) 147 m2
b) 196 m2
c) 294 m2
d) 441 m2
e) 2401 m2
92. En un rectángulo, el largo excede en 5 cm. al ancho. Si el perímetro mide 58 cm.,
su superficie es:
a) 63 cm2
b) 84 cm2
c) 102 cm2
d) 130,5 cm2
e) 204 cm2
93. La base de un triángulo isósceles mide 30 cm. Si su perímetro es 72 cm., cada uno
de sus lados mide:
a) 14 cm. b) 18 cm. c) 21 cm. d) 42 cm. e) 36/15

75
94. El área de la figura que se obtiene al unir los puntos (0,0); (-3,5) y (-3,0) es:
a) 0 u2
b) 3 u2
c) 6 u2
d) 7,5 u2
e) 15 u2
95. El área de un círculo es 25p cm2
. Entonces, el perímetro del cuadrado circunscrito
es:
a) 20 cm. b) 20 cm. c) 40 cm. d) 100 cm. e) 625 cm.
96. El área de un rectángulo es 200 m2
y su largo es 25 m. Por lo tanto, su perímetro
es:
a) 50 m. b) 58 m. c) 66 m. d) 225 m. e) 240 m.
97. Un papel cuadrado de 6 cm. de lado se dobla de modo que los cuatro vértices
queden en el punto de intersección de las diagonales. ¿Cuál es el área de la nueva
figura que resulta?
a) 6 cm2
b) 12 cm2
c) 18 cm2
d) 24 cm2
e) 36 cm2
98. La mediana de un trapecio mide 20 cm. Si una de las bases es el triple de la otra, entonces la
base mayor mide:
99. El perímetro de un cuadrado de lado 2n es igual al de un rectángulo cuyo largo es el triple del
ancho. ¿Cuál es la superficie del rectángulo?
a) 3n2 b) 4n2 c) 2n2 d) 9n2 e) 8n2
100. Los lados de un rectángulo mide 8 m. y 18 m. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado de igual
perímetro?
a) 6 m. b) 12 m. c) 13 m. d) 26 m. e) 52 m.
101. El área de un triángulo rectángulo isósceles es 32 cm2. Entonces los catetos iguales miden:
a) 9 m. b) 8 m. c) 4 m. d) 12 m. e) 6 m.
102. El área de un cuadrado es 36 cm2. Si un triángulo equilátero tiene el mismo perímetro que el
cuadrado, entonces el lado del triángulo mide:

76
103. Los lados de un rectángulo están en la razón de 3:8. Si su área es 600 cm2., entonces su lado
mayor mide:
a) 80 b) 40 c) 30 d) 15 e) Ninguna de las
anteriores
104. El área de un cuadrado es 81 cm2. ¿Cuál es el perímetro del triángulo equilátero construido
sobre su diagonal?
105. Las áreas de dos círculos son entre sí como 48:75. Entonces la razón entre sus radios es:
a) 48:75 b) 16:25 c) 2:1 d) 4:5 e) 75:48
106. Si el diámetro de una circunferencia mide 6 cm., entonces su semiperímetro es:
a) 18p cm. b) 4,5p cm. c) 3p cm. d) 6p cm. e) 9p cm.
107. En la figura, ABCD es un cuadrado de perímetro 4a cm y AFGE es un rectángulo, si AE = 1 cm y
AF = 2 cm. ¿Cuál es el perímetro de la figura sombreada?
a) 4a cm.
b) (4a - 3) cm.
c) (4a - 2) cm.
d) (4a - 1) cm.
e) (4a + 3) cm.
108. Si un alambre de 60 cm. de largo se usa para construir tres cuadrados de igual lado, entonces
la suma de las áreas es:
110. El cuadrado ABCD de la figura, tiene un perímetro de 32 cm. y está
formado por 4 cuadrados congruentes subdividos a su vez en triángulos
semejantes. ¿Cuál es el área de la superficie sombreada?
a) 6 cm2
b) 3 cm2
c) 15 cm2
d) 10 cm2

77
e) 12 cm2
111. Los rectángulos ABCD y PQRS son congruentes y se han superpuesto del modo que se indica
en la figura. Si AD = 4 cm., AB = 12 cm. y RQ = (2/3)BQ, entonces ¿cuál es el área del rectángulo?
a) 12 cm2
b) 16 cm2
c) 24 cm2
d) 10 cm2
e) 12 cm2
112. En el gráfico de la figura, ¿cuál es el área de la figura
sombreada?
a) 14 cm2
b) 38 cm2
c) 76 cm2
d) 56 cm2
e) 112 cm2
113. Con el 20% del perímetro de una circunferencia se construye una circunferencia de 16 cm.
de longitud. ¿Cuál es el radio de la circunferencia mayor?
114. Si la figura está formada por cinco cuadrados de perímetro 40 cm.
cada uno, ¿cuál es el perímetro de la figura?
a) 120 cm.
b) 160 cm.
c) 180 cm.
d) 200 cm
e) 250 cm.

78
115. La suma de las áreas de dos cuadrados es 52 cm2. Si el lado del cuadrado menor es 4 cm., el
lado del mayor es:
a) 36 cm. b) 16 cm. c) 9 cm. d) 6 cm. e) N. A.
116. El 30% del área de un rectángulo equivale al área de un cuadrado de lado 9 cm. ¿Cuál es el
área del rectángulo?
a) 24,3 cm2 b) 30 cm2 c) 81 cm2 d) 243 cm2 e) 270 cm2
117. El largo de un rectángulo es 2a - 3b y el ancho es a + b. El perímetro del rectángulo es:
a) 3a - 2b b) 6a - 2b c) 6a - 4b d) 6a - 8b e) N.A.
118. En la figura, ABCD rectángulo, M y N puntos medios de los lados respectivos. ¿Qué parte del
área del rectángulo es el área de la parte sombreada?
a) 1/2 b) 1/4
c) 2/3 d) 3/4
e) 3/8
119. El cuadrilátero de la figura es un rectángulo y los cuatro triángulos sombreados son isósceles y
congruentes. ¿Cuántas veces está contenido uno de los
triángulos en el rectángulo?
a) 8 b) 10
c) 12 d) 14
e) 16
120. El área de un cuadrado es 64 cm2. Si cada lado disminuye a la cuarta parte, ¿cuánto mide la
mitad del área del cuadrado resultante?
121. PQRS es un cuadrado cuyo perímetro mide 96 cm. y en que PQ está
dividido en tres partes iguales y QR está dividido en cuatro partes iguales.
¿Cuál es el perímetro del rectángulo KLMN?
a) 28 cm. b) 40 cm.
c) 16 cm. d) 32 cm.

79
e) 24 cm.
122. El ancho de un rectángulo es la mitad de su largo que mide t, entonces su perímetro está
expresado por:
a) 2t + 0,5t b) 6t c) 4t d) 3t e) t + 0,5t
123. En la figura ABCD es un cuadrado de perímetro igual a 96 cm., GECF es un cuadrado de
perímetro 68 cm. y JHCI es cuadrado de perímetro 20 cm. ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes
es(son) verdadera(s)?
I) BE > FI
II) EH = CD/2
III) EC = 2·CH + DF
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y II e) Sólo II y III
123. Si en un triángulo equilátero la longitud de cada lado aumenta en una unidad, entonces ¿cuál
de las siguientes afirmaciones es verdadera?
a) su perímetro aumenta en 3 unidades
b) su área aumenta en 3 unidades
cuadradas
c) su perímetro permanece constante
d) su área permanece constante
e) su altura aumenta en 1 unidad
121. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado si el radio de la circunferencia circunscrita a él es 4 2
cm?
a) 32 cm. b) 16 cm. c) 12 cm. d) 16 2 cm. e) 32 2 cm
125. Una oveja está atada a un cordel, fijo a una estaca, cuyo largo es p. Luego, la superficie
máxima del prado en la cual puede pastar mide:
a) p2
b) (p/2)2 c) p2 d) 2p e) 2p2

80
126. El pentágono está formado por el rectángulo ABDE cuya diagonal mide 10 cm. y el triángulo
equilátero BCD cuyo perímetro mide 18 cm. ¿Cuál es el perímetro del pentágono?
a) 34 cm.
b) 36 cm
c) 40 cm.
d) 44 cm.
e) 46 cm.
127. Si el perímetro de un rombo es de 52 cm. y una de sus diagonales mide 24 cm., entonces su
área es:
128. La figura corresponde a la de un cuadrado de perímetro 32 cm. ¿Cuál es el área del
cuadrilátero sombreado si cada línea que se traza dimidia la parte correspondiente de la figura?
a) 8 cm2
b) 6 cm2
c) 4 cm2
d) 2 cm2
e) 1 cm2
129. El doble del área de un cuadrado cuyo lado mide 3 cm es:
130. Una carpeta rectangular es dos veces más larga que ancha. Si el perímetro de la carpeta es
432 cm. ¿cuál es el largo de ésta?

81
131. El 50% de las caras de uno de los cubos de la figura, están pintadas de rojo y sólo dos caras del
otro cubo no están pintadas de rojo. ¿Cuántas caras rojas hay en total?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
132. En la figura siguiente, el área de la cara del cubo A es 16 cm2 y el área de la cara del cubo B es
36 cm2. La razón entre las aristas de los dos cubos es:
a) 2:3
b) 4:9
c) 1:3
d) 3:4
e) Ninguna de las anteriores
133. Cada arista del cubo de la figura, mide 2 cm. ¿Cuánto mide la superficie del cuadrilátero
sombreado?
a) 4 cm2
b) 8 cm2
c) 16 cm2
d) 2 2 cm2
e) 4 2 cm2
134. La caja de la figura tiene 20 cm de largo, 10 cm de ancho y 5 cm de altura. Si sólo la cara
superior está pintada de azul, ¿cuánto mide la superficie NO pintada de azul?
a) 200 cm2
b) 350 cm2

82
c) 500 cm2
d) 600 cm2
e) 700 cm2
135. En la figura, se representan un cubo y un paralelepípedo de altura a. Si la cara sombreada del
cubo tiene un área de 64 cm2 y la cara sombreada del paralelepípedo tiene un área de 96 cm2,
entonces b mide:
a) 4 cm
b) 8 cm
c) 12 cm
d) 16 cm
e) 20 cm
136. La mitad de cada una de las caras del cubo de la figura se ha sombreado. Si la superficie total
sombreada es de 48 cm2 ¿cuál es el volumen del cubo?
a) 64 cm3 b) 96 cm3
c) 128 2 cm3 d) 192 cm3
e) 288 cm3
137. Las longitudes de las aristas de los cubos de la figura, están en la razón 1 : 2. Si el volumen del
cubo mayor es de 64 cm3 ¿cuánto mide la arista del cubo menor?
a) 3
32 cm. b) 14 cm.
c) 4 cm d) 2 cm.
138. En el paralelepípedo rectangular de la figura, se cumple que a : b : c = 1 : 4 : 6. Si el área de la
cara sombreada es de 36 cm2, ¿cuál es el volumen del paralelepípedo?
a) 216 cm3
b) 648 cm3
c) 1.296 cm3
d) 1.944 cm3

83
e) 2.592 cm3
139. El 20% del área de un cuadrado es 5x2. ¿Cuánto mide el semiperímetro de ese cuadrado?
a) 2x b) 4x c) 5x d) 10x e) 20x
140. El área de un cuadrado de lado x es 36 cm2. Si y es la mitad de x, ¿cuánto vale 3y2?
a) 243 cm2 b) 54 cm2 c) 27 cm2 d) 18 cm2 e) Ninguna de las
anteriores
141. En la figura, DE // BC. Entonces x – y es:
A) 15º
B) 30º
C) 45º
D) 60º
E) 55º
142. En el triángulo ABC de la figura, la medida del ángulo  es:
A) 10º
B) 15º
C) 20º
D) 25º
E) 30º
143) El valor del ángulo  en el triángulo ABC de la figura es:
A) 20º
B) 30º
C) 80º
D) 100º
E) 120º

84
144) Al expresar  en función de “x” en el triángulo ABC de la figura, se obtiene:
A) 70º + x
B) 70º - x
C) x – 70º
D) 110º - x
E) x + 110º
145) En el triángulo ABC de la figura, el valor de “x” es:
A) 30º
B) 35º
C) 40º
D) 50º
E) 60º
146) En el triángulo ABC de la figura, x + y es:
A) 80º
B) 100º
C) 130º
D) 160º
E) 260º
147) En la figura, L1 // L2 ; L3  L1 y w = 5z.
¿Cuánto mide el ángulo x?
A) 40º
B) 50º
C) 60º
D) 75º
E) 85º

85
148) En la figura, DE // BC. Entonces x – y es:
A) 15º
B) 30º
C) 45º
D) 60º
E) 75º
149) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre falsa?. Un triángulo puede ser:
A) Isósceles y Rectángulo
B) Isósceles y Obtusángulo
C) Isósceles y Acutángulo
D) Escaleno y Obtusángulo
E) Equilátero y Obtusángulo
150) La clasificación del triángulo de la figura, es:
A) Escaleno - Acutángulo
B) Escaleno – Rectángulo
C) Isósceles – Acutángulo
D) Isósceles – Obtusángulo
E) Isósceles – Rectángulo
151) De acuerdo al triángulo de la figura, ¿cuál de las siguientes desigualdades es siempre
verdadera?
A) 2 < x < 14
B) 3 < x < 13
C) 4 < x < 12
D) 5 < x < 11
E) 6 < x < 10

86
152) ABCD es un cuadrado y el triángulo ABE es equilátero, entonces el ángulo “x” mide:
A) 75º
B) 90º
C) 105º
D) 110º
E) 120º
153) En el triángulo ACD de la figura, BC = BD y el ángulo  = 30º.
Luego, la medida del ángulo x es:
A) 15º
B) 30º
C) 45º
D) 50º
E) 60º
154) En el triángulo ABC de la figura,  = 100º,  = 110º y CD es altura. ¿Cuánto mide ?
A) 30º
B) 40º
C) 50º
D) 60º
E) 70º
155) En el triángulo DEF de la figura,  = 130º ,  = 80º y EH es altura. Entonces “x” en
función de “y” es:
A) y = x
B) y = 2x
C) y = 3x
D) x = 4y
E) y = 5x

87
156) En el triángulo ABC de la figura, AD es bisectriz del º60º100,  ABCyEACBAC
.¿Cuánto mide el ángulo ADC?
A) 60º
B) 70º
C) 80º
D) 90º
E) 100º
157) En el triángulo MNP de la figura, yNEDMEHNP º150,º120  es bisectriz del ángulo
MNP. Entonces “z” en función de “w” es:
A)
4
w
z 
B)
3
w
z 
C)
2
w
z 
D)
5
w
z 
E)
6
w
z 
158) En el triángulo ABC de la figura, AD = CD ,  DBC = 50º y CD es transversal de gravedad.
¿Cuánto mide el ángulo ACD?
A) 40º
B) 50º
C) 80º
D) 90º
E) 100º

88
159) En el triángulo MNT de la figura, MP = 8cm. QN = 12cm. PQ es mediana. Entonces MN –
MT es:
A) 2cm.
B) 4cm.
C) 6cm.
D) 8cm.
E)10cm.
160) En el triángulo PQR de la figura, RQ = 12cm, RE = x + 3 y DE es mediana. ¿Cuánto mide
x?
A) 2cm.
B) 3cm.
C) 4cm.
D) 5cm.
E) 6cm.
161) En el triángulo ABC de la figura, EF y DG son simetrales de los lados AB y AC
respectivamente; DGE = 30º. ¿Cuánto mide  ?
A)  B) 2
C)
2

D)
2
3
E)
2
5
162) En el triángulo ABC de la figura, G es centro de gravedad. Si AD = 24cm.,entonces GD mide:
A) 6cm.
B) 8cm.
C) 12cm.
D) 16cm.
E) 18cm.

89
163) En el triángulo ABC de la figura, G es centro de gravedad. Si GD = 3x , entonces CD es:
A) 4x
B) 5x
C) 6x
D) 7x
E) 9x
164) En el triángulo DFE de la figura, H y G son los puntos medios de EF y DE
respectivamente, HI  EF y GJ  DE. Si DK + KE + KF = 54cm. , entonces KE mide:
A) 6cm.
B) 9cm.
C) 18cm.
D) 27cm.
E) 36cm.
165) Si el triángulo ABC de la figura es rectángulo en C,
entonces el complemento del complemento del x mide:
A) 22º
B) 36º
C) 44º
D) 46º
E) 134º
166) En el triángulo ABC de la figura, se traza la transversal DE, ¿cuánto mide el ángulo x?
A) 63º
B) 70º
C) 117º
D) 103º
E) Ninguna de las anteriores

90
167) El ángulo BAD es ángulo exterior del triángulo ABC. Si AE es bisectriz del ángulo BAC,
entonces AEC + ACE =
A) 30º
B) 50º
C) 60º
D) 120º
E)150º
168) En la figura, DAC = CAB. Entonces el x mide:
A) 80º
B) 100º
C) 110º
D) 120º
E) 140º
169) En el triángulo ACD de la figura, BC = BD y el ángulo  = 30º. Luego, la medida del ángulo x
es:
A) 15º
B) 30º
C) 45º
D) 50º
E) 60º
170) En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C, Si     120º entonces el ángulo  mide:
A) 105º
B) 15º
C) 12,5º
D) 10º
E) 8º

91
171) En un triángulo, un ángulo interior mide 20º más que el otro, pero 35º menos que el tercero.
¿Cuál es la diferencia entre el suplemento del menor y el complemento del mayor?
A) 150º
B) 145º
C) 140º
D) 120º
E) 90º
172. Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus alturas, entonces se forman dos triángulos
A) isósceles rectángulos congruentes
B) acutángulos escalenos congruentes
C) acutángulos congruentes
D) escalenos rectángulos congruentes
E) equiláteros congruentes
173. En la figura 2, si ABC y BDF son triángulos equiláteros y BFEC es un rombo, entonces
¿cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) verdadera(s)?
I) x = z
II) x + y = EBD
III) x + y - z = 60º
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
174. Los vértices de una figura son: A(2, 0); B(0, 2); C(-2, 0) y D(0, -2). ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El perímetro de la figura es 28 .
II) Cada diagonal mide 4.
III) El área de la figura es 24 .
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III

92
175. En la figura 3, se muestra un hexágono regular, sobre sus lados se construyen exteriormente
triángulos equiláteros, cuyos lados son de igual medida que el lado del hexágono. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El área de la nueva figura duplica al área del hexágono.
II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del hexágono.
III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del hexágono.
A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
176. Dado el cuadrado ABCD de lado k en la figura 8, donde PB3PC  , QC2QD  y M es el punto
de intersección de DP y AQ , entonces el área del DMQ es
A)
9
k2
B)
3
2
k
C)
9
k4 2
D)
9
k2 2
E)
6
k2
177. En la figura 9, dadas las dimensiones del rectángulo ABCD, entonces la medida del lado BE
en el rectángulo DBEF mide
A)
2
5
B)
5
1
C) 5
3
2
D)
5
2
E) 1
178. En los triángulos ABC y DEF de la figura 10, se sabe que: DF//AC , EF//CB , 8GDAD  y
6FG  , entonces el área del triángulo ABC es:
A) 180
B) 120
C) 108
D) 72
E) 54

93
179. Si en la circunferencia de diámetro 30 cm de la figura 11, la distancia desde el centro O de
ella, hasta la cuerda AB es de 9 cm, entonces la cuerda AB mide
A) 6 cm
B) 12 cm
C) 18 cm
D) 20 cm
E) 24 cm
180. En la figura 12, se tiene un semicírculo de centro O y  BAC = 20º. El valor del x es
A) 20º B) 35º
C) 40º D) 55º
E) 70º
181. En la figura 13, O y O1 son los centros de las circunferencias. En el triángulo ABC, el ángulo
CAB mide 22º, entonces el valor del ángulo  es
A) 68º
B) 66º
C) 57º
D) 44º
E) ninguno de los valores anteriores
182. En la figura 14, PQ es un diámetro de la circunferencia de centro O y radio r. PR es tangente
en P y mide r. Si M es el punto medio de QR , entonces la longitud de PM , en términos de r, es
A) r
B)
2
5r
C)
2
3r
D)
2
2r
E)
3
r4

94
183. En una hoja cuadriculada como se muestra en la figura 15, se ha dibujado un triángulo ABC
donde cada cuadrado tiene lado 1, entonces sen =
A)
34
3
B)
4
5
C)
4
3
D)
34
5
E)
5
3
184: En la figura, se muestra un hexágono regular, sobre sus lados se construyen
exteriormente triángulos equiláteros, cuyos lados son de igual medida que el lado del
hexágono. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) El área de la nueva figura duplica al área del hexágono.
II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del
hexágono.
III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del
hexágono.
A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
185: La siguiente figura corresponde a un hexágono regular de perímetro 36 cm.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) El área del hexágono es igual a 2
cm354
II) 1:3: 
III) El complemento de β es 30º
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III

95
E) I, II y III
Evaluación Final

96

97

98
16) ABCD cuadrado, AC = 4 cm. 18) ABCD rectángulo
18) ABCD rectángulo, AC = 13 cm. 19) ABCD rectángulo, E punto medio de AB, AD = 6 m.,
DE = 10 m.
17) ABCD rombo, DE = 9 cm., EC = 12 cm. 20) ABCD rombo, DC = 10 cm., DE = 9 cm.

99
21) ABCD romboide, AB = 20 cm., BC = 12 cm., altura DE =
8 cm.
27) ABCD romboide, DC = 12 cm., AD = 5 cm., AE = 3 cm.
22) ABC triángulo cualquiera, AC = 12 cm., BC = 14 cm.,
AB = 24 cm, CD = 4 cm.
28) ABC triángulo cualquiera, AD = 2cm., BD = 6 cm., CD =
5 cm.
23) ACBC, AC = 1 m., BC = 3 m. 29) ABC triángulo equilátero, AB = 6 m.
24) ABC triángulo equilátero, CE altura, EB = 1 cm.
25) Radio OA = 9 cm.
30) AC = BC, CE altura, AC = 13 cm., CE = 12 cm.
31) Diámetro AB = 26 cm.
26) AB diámetro de la circunferencia AC = 8 cm., BC = 6
cm.
32) ABCD trapecio con altura de 4 cm., AD = 12 cm., AB =
14 cm., BC = 6 cm., CD = 10 cm.

100
33) ABCD trapecio con altura de 12 cm. y mediana 8 cm.,
AD = 4 cm., BC = 6 cm.
34) En la figura ABCD es un rectángulo de
lados 6 cm y 4 cm . El área de la parte no
sombreada es:
a)  24 4 cm2
b)  24 2 cm2
c)  24  cm2
d) 4 cm2
e) 2 cm2
35) En el triángulo equilátero ABC, AD  DE . Si
 = 54° encontrar el valor de x:
a) 24°
b) 60°
c) 840
d) 1140
e) 1560
36) En una circunferencia de centro O, tenemos
que OB OC ,COB =  BOA + 29° y 
DOC =  BOA. Entonces el ángulo  AOD
mide:
a) 610
b) 1220
c) 1480
d) 1510
e) 2120
37) En el cuadrado ABCD, E y F son puntos
medios. ¿ Qué parte del área del cuadrado es
el área sombreada?
a)
3
4
b)
4
5
c)
5
8
38) En un triángulo ABC, rectángulo en B, sobre
AC se encuentra D tal que AB = BD . El
ángulo ACB mide 34°. Hallar la medida del
ángulo DBC.
a) 150
b) 220
c) 340

101
d)
7
8
e)
9
10
d) 560
e) 112°
39) En figura, ABCD es un cuadrado de área
256 cm2
. Si //EF HG y AE = 3 ED = 3 DH ,
entonces el área de la figura sombreada es:
a) 40 cm2
b) 72 cm2
c) 104 cm2
d) 112 cm2
e) 144 cm2
40) Si la mitad del perímetro de un cuadrado es
el doble de 16, su diagonal mide:
a) 4
b) 16 2
c) 4 2
d) 16
e) 32 2
41) En el cubo de volumen 54 2 m3
determinar
la diagonal del cuadrilátero sombreado:
a) 3 2
b) 2 6
c) 3 6
d) 18 2
e) 18 6
42) El área un hexágono regular inscrito en una
circunferencia de perímetro 4  es:
a) 2 3 b) 4 3 c) 6 3
d)
3
6
e)
3
4
43) Desde un punto que dista 10 m del centro
de una circunferencia se traza una tangente a
esta que mide 8 m . La medida del diámetro de
la circunferencia es:
a) 4m b) 6 m c) 12 m d) 14 m
e) 20 m
44) Las medidas de los tres ángulos de un
triángulo son respectivamente: 𝑚𝐴̂ = 2𝑥, 𝑚𝐵̂ =
4𝑥 y 𝑚𝐶̂ = 4𝑥, hallar la medida de cada ángulo.
a) 𝑚𝐴̂ = 36º, 𝑚𝐵̂ = 72º y 𝑚𝐶̂ = 72º
b) 𝑚𝐴̂ = 36º, 𝑚𝐵̂ = 24º y 𝑚𝐶̂ = 120º
c) 𝑚𝐴̂ = 64º, 𝑚𝐵̂ = 36º 𝑚𝐶̂ = 80º
d) 𝑚𝐴̂ = 44º, 𝑚𝐵̂ = 56º y 𝑚𝐶̂ = 80º

102
45) En la figura, ABCD trapecio de área 252 cm2
y
mediana igual a 21 cm. Si AB : CD = 2 : 1 y AD : DE = 5 :
4. ¿ Cuál es el perímetro del triángulo CFB?
a) 32 cm
b) 30 cm
c) 34 cm
d) 42 cm
e) 54 cm
46) En el cuadrado ABCD de la figura, AB = m, AG
=1/4 AC , AC  FE , entonces FE en función de m
es igual a:
a) 2m
b)  /3 2m
c)  / 2 2m
d)  / 4 2m
e)  /8 2m
47) En la figura, el triángulo ABC es isósceles
rectángulo y AB es semicircunferencia de radio 6 cm.
¿Cuál es el área total de la figura?
a)  9 18 cm2
b)  9 36 cm2
c)  36 18 cm2
d)  36 36 cm2
e)  18 18 cm2
48) El área achurada de la figura mide: O : centro de la
circunferencia. 2 = radio de la circunferencia.
a)
2
2
 
b) 2 / 2
c) 2
d) 2 1 
e) N. A.
49) De acuerdo con la figura, la parte achurada
equivale a:
a) 8
b) 12
c) 16
d) 12
e) 20
50) En los rectángulos de la figura: PQ: QR = 5: 3;
NQ :QT = 2:1. Si RQ= QN = 6, ¿ Cuál es el área
total de la figura?
a) 17
b) 42
c) 47
d) 50
e) 78

103
51) Si en la figura todos los cuadrados son congruentes
y el área total es de 20 cm2
, entonces el valor de la
superficie sombreada es:
a) 5 cm2
b) 18 cm2
c) 10 cm2
d) 6,25 cm2
e) falta información
52) Desde el vértice C se ha trazado la altura CD y la
bisectriz CE , del ángulo ACB,  DCE =?
a) 5°
b) 10°
c) 15°
d) 20°
e) 25°
53) La mediana del triángulo equilátero construido
sobre el rectángulo mide 8 cm. Si 2AB AC ¿ Cuál
es el perímetro de la figura sombreada?
a) 24 cm
b) 8( 1 + 2 ) cm
c) 16( 1 + 2 ) cm
d) 32 cm
e) N.A.
54) La circunferencia de centro O está circunscrita al
triángulo equilátero. ¿Qué longitud tiene la
circunferencia si AD = 12 cm?
a) 8  cm
b) 10  cm
c) 12  cm
d) 14  cm
e) 16  cm

104
Anexos
LOS TRIANGULOS
1) <CAB = ? 2) <QPR = ?
3) x = ? 4) x = ?
5) x = ? 6) x = ?
7) x = ? 8) x = ?
C
80º
72º
A B
R
40º
125º
P Q
x
158º 136º
72º
x 67º
81º
X
70º
87º
x
32º
132º
x x x
x
x

105
9) <ABC = ? 10) x + y = ?
11) PR perpendicular con QR; 12) RT perpendicular con ST;
<PQR = ? a + b = ?
ANALIZA, LUEGO, SELECCIONA LA ALTERNATIVA CORRECTA
1. En la circunferencia de centro O y diámetro AC. Si AOB =
120°, entonces ACB = ?
a) 12,5°
b) 25°
c) 30°
d) 50°
e) 60°
2.- En la figura m, es punto medio del arco AB. Entonces, arco
Am = ?
a) 22,7°
b) 54°
c) 127,5°
d) 27°
3.- En la figura m, es punto medio del arco AB. Entonces, arco
Am=?
a) 2q
b) 2/3q -90°
c) q
d) 180°-q/2
C
3x
x 2x
A B
y
140º x 105º
R
30º
P Q
T
a b
R S

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