En los materiales cuando se genera un par de fuerza opuestas originan un par torsor

1. TORSIÓN
ESTE CAPITULO SE DEDICA AL ESTUDIO
DE LA TORSIÓN Y DE LOS ESFUERZOS Y
DEFORMACIONES QUE CAUSA

2. Torsión
• La torsión se refiere al torcimiento de un miembro
estructural cuando se carga con momentos que
producen rotación alrededor de su eje longitudinal. Los
pares que producen dicho torcimiento se denominan
momentos torsión antes, pares de torsión o torques.
• Consideremos una barra sujeta rígidamente en un
extremo y sometida en el otro a un par T (=Fd) aplicado
en un plano perpendicular al eje. Se dice que esa barra
esta sometida a torsión. El ensayo de torsión es un
mecanismo en que se deforma una muestra
aplicándole un par torsor.

3. TORSIÓN

4. TORSIÓN
• Cuando se somete a torsión un eje circular las
diferentes secciones transversales que se
pueden tener a lo largo del eje rotan
diferentes cantidades, cada sección lo hace
como una losa rígida, como lo indica la Figura
siguiente. El hecho de que las secciones de un
eje circular permanezcan planas se debe a su
simetría axial

5. TORSION

6. Deformaciones en un eje circular
• Para determinar la distribución de
deformaciones se ha sometido a un ángulo
detorsión φ a un eje circular de longitud L y
radio c. Se realiza una extracción imaginaria
de un cilindro de radio ρ
• La deformación representada con la letra
griega γ (gama), se mide por el cambio en los
ángulos formados por los lados delelemento.

7. Deformaciones en un eje circular

8. Deformaciones en un eje circular
• Como los círculos que definen dos de los lados
del elemento permanecen constantes, la
deformación γ debe ser igual al ángulo entre
la líneas AB y A’B. En la Figura se observa que,
para valores pequeños de γ, puede expresarse
la longitud de arco AA’ como: (1)
Pero, por otra parte; (2)
Igualando las dos ecuaciones anteriores y
despejando se obtiene que: (3)

9. Deformaciones en un eje circular
• Donde ρ y φ están expresados en radianes. La
ecuación anterior muestra que la deformación γ
en un punto dado de un eje sometido a torsión es
proporcional al ángulo de torsión φ y a la
distancia ρ desde el eje hasta el punto
considerado. Así, la deformación en un eje
circular varía linealmente con la distancia al
centro del eje. Se puede ver que la deformación
máxima en la superficie del eje se obtendrá
cuando ρ sea igual a C

10. Deformaciones en un eje circular
• Se deduce de la ecuación (3) que la
deformación a cortante es máxima en la
superficie del eje, donde ρ = C
• 𝛶max=
𝑐Φ
𝐿
(4)
• Eliminando Φ de las ecuaciones (3) y (4),
puede expresar la deformación a cortante ϒ a
una distancia ρ del eje de la flecha como:
• ϒ =
ρ
𝑐
𝛶max (5)

11. Esfuerzo en el rango elástico
• Hasta el momento ninguna relación esfuerzo-
deformación en particular se ha supuesto para el
análisis de ejes circulares en torsión.
• Considere ahora el caso en que el par de torsión T es
tal que todos los esfuerzos cortantes en el eje se
encuentran por debajo de la resistencia de cadencia τy.
Se sabe que esto significa que los ejes en el eje
permanecerán por debajo del limite de
proporcionalidad y también por debajo del limite
elástico. Por lo tanto se aplica la deformación de Hooke
y no habrá deformación permanente.

12. Esfuerzo en el rango elástico
• Aplicando la ley de Hooke para el esfuerzo y la
deformación a cortante: τ = Gϒ (6)
• Donde G es el modulo de rigidez o modulo de
corte del material. Multiplicado ambos miembros
de la ecuación (5), se escribe Gϒ =
ρ
𝑐
𝐺 𝛶max
o utilizando la ecuación (6)
τ=
ρ
𝑐
τmax (7)
El esfuerzo cortante en la flecha varia linealmente
con la distancia ρ desde el eje de la flecha

13. Esfuerzo en el rango elástico

14. Esfuerzo en el rango elástico
• En la figura (a) se muestra la distribución de
esfuerzos en un eje circular de radio C, y la
figura (b) la muestra en un eje circular hueco
de radio interior C1 y radio exterior C2. De la
ecuación (7) se encuentra que, en el segundo
caso: τ min=
𝐶1
𝐶2
τmax (8)

15. Esfuerzo en el rango elástico
• La sumatoria de todas las fuerzas elementales
ejercidas sobre cualquier sección transversal
del eje debe ser igual a la magnitud T del par
ejercido sobre el eje: ∫ρ(τ dA) = T (9)
• Sustituyendo τ de la ecuación (7) en la
ecuación (9): T= ∫ρτ dA =
τmax
𝑐
∫ρ2 dA
La integral en el ultimo miembro representa el
momento polar de inercia J de la seccion
transversal con respecto a su centro O.

16. Esfuerzo en el rango elástico
• Se tiene entonces que :T =
τmax J
𝑐
O, despejando para τmax
τmax =
𝑇𝑐
𝐽
(10)
Sustituyendo la ecu (10) en la ecua (7), se
expresa el momento cortante a cualquier
distancia ρ del eje de la flecha como τ =
𝑇ρ
𝐽
(11)

17. Esfuerzo en el rango elástico
• Las ecuaciones (10) y (11) se conocen como
las fórmulas de torsión elásticas. Recuerde de
la estática que el momento polar de inercia de
un circulo de radio C es; J=
• En el caso de un eje circular hueco de radio
interior C1 y radio exterior C2 el momento
polar de inercia es
• J=
1
2
πC2
4 -
1
2
πC1
4 =
1
2
π(C2
4 - C1
4 ) (12)
1
2
πC4

18. Ejercicio
• Un eje cilíndrico hueco de acero mide 1,5m de
longitud y tiene diámetro interior y exterior
iguales a 40 y 60 mm, respectivamente.
• (a) ¿Cual es el máximo par de torsión que
puede aplicarse al eje si el esfuerzo cortante
no debe exceder 120MPa?
• (b) ¿Cuál es el valor mínimo correspondiente
del esfuerzo cortante en el eje?

19. Ejercicio

20. Ejercicio
• (a) El máximo par de torsión permisible; T=?
Para que el τmax = 120MPa
T =
𝐽 τmax
𝑐
;
J=
1
2
π(C2
4 - C1
4)=
1
2
π(0,034 - 0,024 )=1,021X10-6
J= 1,021X10-6 m4 ; C = C2 = 0,03
T=
𝐽 τmax
𝑐
=
(1,021X10−6 m4)(120x106Pa)
0,03𝑚
=4,08KN.m

21. Ejercicio
• (b) esfuerzo mínimo de corte;
τ min=
𝐶1
𝐶2
τmax =
0,02𝑚
0,03𝑚
(120MPa)= 80 Mpa

22. Ejercicios

24. GRACIAS