[1] El documento describe resortes helicoidales cilíndricos, los cuales se construyen con alambre arrollado en forma de hélice cilíndrica. [2] Estos resortes pueden someterse a tracción o compresión y su principal función es transmitir cargas axiales. [3] El análisis muestra que cuando el resorte está cargado, el alambre se encuentra principalmente sometido a torsión.
Estadística Anual y Multianual del Sector Eléctrico Ecuatoriano
1 teorico resortes_cilindricos_helicoidales
1. Resortes Cilíndricos Helicoidales -- Pág. 1 de 12
RESORTES CILÍNDRICOS HELICOIDALES
(TEÓRICO)
Prof. Ing. MAYER, Omar E. -- oemayer@gmail.com
NOVIEMBRE 2 008
Se agradece a Don SANTAROSA Juan Ignacio, padrón 87 740,
( juansantarosa@hotmail.com ), quien se ha servido escribir
expresiones matemáticas varias en MathType, realizar correcciones
idiomáticas varias y subindicar y supraindicar variables.
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DEFINICIÓN: Elementos de máquinas que poseen la propiedad de
experimentar grandes deformaciones (tal vez por excelencia), dentro del
período elástico, por la acción de las cargas que los solicitan, construidos
con materiales de alta elasticidad (típicamente acero).
El resorte helicoidal de compresión, como parte de los automotores, sustenta
las carrocería y carga de los mismos transmitiendo la carga total a los ejes
(puntas de eje) y / o árboles (palieres) de ruedas.
El resorte helicoidal de compresión es utilizado también en los motores
alternativos de combustión interna y en los compresores alternativos de
gases, como elemento asegurador del cierre de las válvulas de admisión y
escape.
RESORTES HELICOIDALES CILÍNDRICOS DE TRACCIÓN - COMPRESIÓN
Construidos (ver FIGURA 01 adjunta) por un alambre arrollado en forma de
hélice cilíndrica o cónica, poseen sus extremos con una configuración
‘ad – hoc’, a efectos la aplicación de la carga axial (tracción o compresión)
se realice en correspondencia con el eje de simetría de los cilindros o conos
que sustentan las hélices que conforman las distintas ‘fibras’ del alambre.
Muy por el contrario de lo que se pueda sospechar y como ya se verá, el
alambre, ante la acción de una carga axial para el resorte, es sometido
fundamentalmente a torsión.
Las características definitorias de un resorte ‘helicoidal cilíndrico’, el que se
somete al presente estudio, son:
a) d = Diámetro del alambre si el mismo es de sección circular (puede
no ser así).
r = Radio del alambre si el mismo es de sección circular (puede no
ser así).
b) D = Diámetro de la espira o ‘vuelta’ del resorte (hélice ‘central’).
R = Radio de la espira o ‘vuelta’ del resorte (hélice ‘central’).
c) ta = Paso axial de la espira o ‘vuelta’ del resorte.
d) Lr = Longitud del resorte.
2. Resortes Cilíndricos Helicoidales -- Pág. 2 de 12
e) Material conque esta construido.
(constante de elasticidad y límites de proporcionalidad y
elástico).
Antes de tratar los resortes en sí, se recordará que una ‘línea’ helicoidal
cilíndrica es una ‘línea’ desarrollable (‘volcable’ sobre un plano) y que una
vez desarrollada, la ‘línea’ resulta en una recta.
El esquema izquierdo de la FIGURA 02 adjunta, representa un plano
rectangular (practíquese con una hoja de papel) de lados 2 * Nºπ * R
(desarrollo o perímetro de un cilindro de radio R) y ta y con un trazo
diagonal.
Arrollado el plano (la hoja de papel) en forma de cilindro, como muestra el
esquema derecho de la misma figura, resulta un cilindro de radio R y altura
ta, con una línea helicoidal o hélice (formada por la diagonal de la hoja) de
radio R y de paso ‘axial’ ta. El ángulo β, a llamar ángulo de inclinación
de la hélice, es también ángulo entre cualquier tangente a la hélice y
cualquier plano transversal al cilindro que sustenta la hélice.
Así las cosas, el paso ta de una hélice cilíndrica resulta ser la distancia que
existe entre dos puntos sucesivos de la misma, cuando dicha distancia es
medida sobre la generatriz del cilindro que sustenta la hélice.
Pudiendo haberse trazado en el plano rectangular la diagonal ‘vista espejo’,
resulta una hélice ‘vista espejo’ y consecuentemente de comprender la
existencia de hélices ‘derechas’ y hélices ‘izquierdas’.
Dispuestos N planos (hojas) en forma de ‘escalera’, unidos uno a uno por
los vértices (uno de los vértices superiores del plano inferior con el vértice
inferior ‘opuesto’ del plano superior), todos ellos con un trazo diagonal
consecuente y de la misma ‘dirección’; una vez arrollados los mismos de
manera continua (uno tras otro), resultan N cilindros, uno arriba del otro, y
una hélice continua de N vueltas o espiras, de paso axial constante y de
valor ta.
En los resortes cilíndricos helicoidales, el alambre resulta ser de dimensiones
‘transversales’ bastante inferiores al diámetro del cilindro, por lo que en un
principio y así se hará, ‘se confundirá’ el alambre con una ‘línea’ como la
referenciada anteriormente.
Recordando que ambos extremos de los resortes se configuran de manera
tal que la dirección de la carga (tracción o compresión) a la que se someten
dichos resortes se corresponda con el eje de simetría del cilindro que
sustenta la hélice, las FIGURAS 01 y 03 adjuntas representa un resorte de
tracción.
Construidos estos elementos de máquinas, fundamentalmente con acero y
recordando el comportamiento similar que presenta este material a la tracción
como a la compresión, el análisis de un resorte de tracción resulta válido
para uno de compresión, con independencia de los signos.
Estando descargado un resorte de tracción, no hay motivo alguno para que
el mismo y ante dicho estado de carga, no posea sus espiras ‘pegadas’.
3. Resortes Cilíndricos Helicoidales -- Pág. 3 de 12
Teniendo presente las ‘escasas’ dimensiones de la sección transversal del
alambre frente al diámetro del resorte, puede considerarse un ángulo β de
inclinación de la hélice pequeño, principalmente si el resorte está
descargado; idéntica situación se considera para el resorte cargado y para el
estudio que se expone, a efectos simplificar el mismo.
Para el resorte de compresión, por el contrario, el ángulo de inclinación de
la hélice resulta del menor valor posible, cuando el resorte es cargado hasta
su admisibilidad, sin por ello llegar a ‘pegar’ sus espiras.
Para analizar el estado de tensiones de las secciones transversales del
alambre (en todas las secciones, el mismo estado de tensiones), fuera de
los extremos del resorte (los extremos merecen un análisis propio a no
considerar), secciónese el alambre por una de sus secciones transversales y
equilíbrese la misma con esfuerzos normales y tangenciales y momentos (de
flexión y de torsión) equivalentes a la acción del trozo (cargado) de resorte
extraído.
Formando cualquier sección transversal del alambre con el eje de simetría
del cilindro (dirección de la carga del resorte) el ángulo β de inclinación de
la hélice (ver FIGURA 03 adjunta), la carga F y descompuesta en
F * cos(β) (de la dirección de los planos que contienen a las secciones) y
en F * sen(β) (de dirección normal a los planos que contienen a las
secciones) trasladada a la sección en estudio, origina sobre la misma los
siguientes esfuerzos:
Por el traslado de F * cos(β):
Un Momento Torsor de valor ( )*cos *tM F Rβ=
Un Esfuerzo de Corte Cizallante de valor ( )*cosQ F β=
Por el traslado de F * sen (β):
Un Momento Flector de valor ( )*sin *fM F Rβ=
Un Esfuerzo Normal de valor ( )*sinN F β=
Supuesto β pequeño como se expuso, se supondrá:
( ) ( )cos 1 sin 0= =LLβ β
Atendiendo a dicha simplificación, el estado de esfuerzos a que se
encuentran sometidos todas las secciones transversales del alambre queda
reducido a:
*= =LLtM F R Q F
COMO OPORTUNAMENTE SE EXPUSO, EN UN RESORTE DE TRACCIÓN –
COMPRESIÓN, EL ALAMBRE SE ENCUENTRA SOMETIDO A TORSIÓN.
4. Resortes Cilíndricos Helicoidales -- Pág. 4 de 12
Considerando distribución parabólica de tensiones tangenciales cizallantes
(esfuerzo Q), distribución lineal de tensiones tangenciales de torsión (esfuerzo
Mt) y alambre de sección circular y siendo d el diámetro de la sección, Wp
su módulo resistente polar, la tensión tangencial máxima que se produce en
el mismo resulta de:
Tensión tangencial
mx
t
t
p
M
W
τ =Siendo τtmx = máxima debida ⇒
a la torsión
τcmx
Tensión tangencial
máxima debida al
esfuerzo cizallante Q
⇒ 2
4 4*
*
3 3* *mxc
F F
A r
τ
π
= = ;;;; resulta
2 3 2
2*4* 4*
3* * * 3* *
= + = + = +mx mx mx
t t
t c
p
M MF F
W r r r
τ τ τ
π π π
3 2 3
2* * 4* 2* * 2
* 1 *
* 3* * * 3
= + = + ÷
mx
F R F F R r
r r r R
τ
π π π
La expresión utilizada τtmx = Mt / Wp se fundamenta en el mismo ángulo de
distorsión para todas las generatrices de la espira y resultando que dicha
igualdad se presenta cuando los cuerpos que se estudian (a la torsión)
resultan de generatrices cilíndricas, dicha situación no se da en el resorte, el
cual resulta en un cuerpo ‘helicoidalmente toroidal’ (alambre de sección
circular).
Ante la hipótesis de que durante la torsión del alambre, las secciones
transversales del mismo se mantienen planas y los radios rectilíneos, el
ángulo de torsión resulta el mismo para todos los puntos de la sección,
NO ASÍ los ángulos de distorsión, en función de que la ‘generatriz’ interior
del ‘toroide’ se distorsiona mas que la exterior (ver FIGURA 04 adjunta) por
ser de menor longitud la interior que la exterior.
De aquí entonces, resulta una tensión tangencial de torsión mayor en el
interior de la espira que en el exterior de la misma (ver FIGURA 05 adjunta),
correspondiendo aplicar un coeficiente concentrador de tensiones, mas
teniendo en cuenta que los resortes trabajan las mas de las veces bajo
cargas (solicitaciones) variables.
El coeficiente C, llamado de Wahl, teniendo en cuenta dicha concentración
de tensiones tangenciales de torsión y la relación [ 1 + (2 / 3) * (r / R) ],
es graficado (ver FIGURA 06 adjunta) en función de la relación ( R / r ) y
proporciona el cálculo de τmx a través de:
3
2* *
*
*mx
F R
C
r
τ
π
=
5. Resortes Cilíndricos Helicoidales -- Pág. 5 de 12
La relación (R / r) se denomina índice del resorte y varía normalmente
entre 3 y 10, variación dentro de la cual se verificaría el coeficiente de
Wahl. Los valores de C se encuentran tablados en los manuales de resortes
y decrecen con el aumento del valor del índice.
ALARGAMIENTO DE UN RESORTE HELICOIDAL DE TRACCIÓN
Soportando una cierta carga F, un resorte de tracción sufrirá un cierto
alargamiento en su dirección axial llamado también flecha, deducible de
manera simplificada considerando lo siguiente:
Siendo que el alambre se encuentra sometido a torsión, dos secciones
transversales del mismo alejadas entre sí una magnitud diferencial de
longitud dL experimentan una rotación diferencial relativa dθ, dada por:
*
*
t
p
M
d dL
G J
θ =
donde Jp = Momento areolar polar de segundo orden de la sección del
alambre.
G = Módulo de elasticidad transversal del material con que está
construido dicho alambre.
Vista la sección transversal del alambre en estudio, como así también una
opuesta diametralmente, a través de una sección longitudinal del resorte
como muestra la FIGURA 07 adjunta, ambas secciones y debido a la torsión,
‘desplazan’ el extremo libre B del resorte haciéndolo la sección ‘izquierda’ a
la posición Bi y la ‘derecha’ a la posición Bd
Pudiendo ser descompuesto cada desplazamiento en un desplazamiento
transversal al eje de simetría del resorte y en uno longitudinal, los
desplazamientos transversales se anulan mutuamente (la rotación de cada
sección del alambre produce un desplazamiento transversal que es anulado
por la ‘misma’ rotación de la sección diametralmente opuesta (mejor aun, de
la sección infinitesimalmente vecina por detrás)) no ‘distorsionando’ el resorte.
-------
Siendo entonces B B´ = diferencial de alargamiento (diferencial de flecha)
producida por la rotación dθ entre las secciones de un elemento diferencial
de longitud dL del alambre, el alargamiento (flecha) total del resorte resulta
-------
de integrar B B´ = df a toda la longitud del alambre que constituye el
resorte.
Siendo ( ) ( )' *cos * cos= = = =L Li i
R
df BB BB BB AB d
AB
α θ α
6. Resortes Cilíndricos Helicoidales -- Pág. 6 de 12
resulta * * *= =
R
df AB d R d
AB
θ θ
Siendo
*
* *
* *
t t
p p
M M R
d dL df dL
G J G J
θ = ⇒ =
Siendo
2
*
* *
*
t
p
F R
M F R df dL
G J
= ⇒ =
2 2
0
* *
* *
* *
L
p p
F R F R
df dL f dL
G J G J
= ⇒ = ∫
2
*
*
* p
F R
f L
G J
=
con N = Número de vueltas o espiras ;;;;; resulta
2* * *L R Nπ=
3
3
*2* * *
* *
* 2* * *
= =LL
p
p
G JR N
f F F f
G J R N
π
π
Si con k se identifica la constante elástica del resorte, la misma resulta en:
3
3
*
*
*
2* * **
2* * *
p
p
F k f
G J
kG J
R NF f
R N
π
π
=
=
=
43
334
*
* * *2* * *
8* * **
8* *
4
p
p
G J
k
G r G rR N
k
R Nr R
J N
r
ππ
ππ
=
= =
= ÷
Del análisis de las distintas expresiones para la constante elástica k, o de
f = f(F), surge que:
a) A mayor G, resortes más rígidos, esto es, menos deformables ante una
misma carga
b) A mayor r (d), resortes más rígidos, esto es, menos deformables ante
una misma carga
c) A mayor R (D), resortes menos rígidos, esto es, más deformables ante
una misma carga
7. Resortes Cilíndricos Helicoidales -- Pág. 7 de 12
RESORTES DE TORSIÓN
Estando arrollado el alambre en forma de espiral plana, el mismo en estos
tipos de resorte trabaja sometido a solicitaciones normales y los resortes son
utilizados por ejemplo, en relojes mecánicos y en numerosos juguetes a
‘cuerda’, constituyendo justamente dicho elemento.
