problemas de universidad mayor de san andres

1. MEC´ANICA DE MATERIALES – MEC 221
1)
Las poleas A, B y C de la Figura adjunta tienen el mismo radio de 15
cm, y est´an conectadas mediante ejes de secci´on transversal circular y
longitudes determinadas donde: L = 20 cm. Sobre la periferia de todas
las poleas act´uan las fuerzas indicadas (todas ellas paralelas entre s´ı),
donde P =120 Kg. Se desea determinar:
(a) La magnitud de la fuerza que act´ua sobre la polea B, de modo que
se preserve el equilibrio est´atico. (b) El diagrama del momento torsional interno actuante sobre el eje. (c) La
relaci´on que deben tener los radios del eje circular entre las secciones AB y BC para que la tensi´on cortante
m´axima tenga id´entico valor en ambos tramos. (d) La relaci´on de las deformaciones angulares transversales
m´aximas de las dos secciones que tiene el eje que sostiene a las poleas.
2)
Determinar las reacciones en los empotramientos de los extremos del
´arbol circular fabricado de un ´unico material con di´ametro constante y
longitud determinada, el cual est´a sometido a la acci´on de los momentos
torsores externos en las posiciones indicadas en la Figura adjunta.
3)
Una barra prism´atica s´olida de secci´on transversal circular de radio R,
longitud L y m´odulo de rigidez torsional GIp determinados, est´a empotrada
en uno de sus extremos y sometida a la acci´on de un momento torsional
distribu´ıdo por unidad de longitud de intensidad constante m0 que act´ua
en toda su extensi´on; de modo que este elemento se comporte como eje.
Obtener f´ormulas para determinar la deformaci´on angular transversal m´axima y la deformaci´on longitudinal
m´axima que se presenta en este eje debido a la solicitaci´on actuante.
4)
Un eje circular de radio R con extremos fijos, est´a perforada axialmen-
te con una cavidad de radio 3R/5 hasta la mitad de su longitud como
muestra la Figura. A que distancia “z” del extremo izquierdo debe apli-
carse un par torsional M0, a fin de que los pares reactivos en los soportes
empotrados sean de id´entica magnitud ?.
5)
Una tuber´ıa circular de radio medio R y espesor de pared delgado e, se usa como
eje de modo que el momento torsor interno tiene magnitud Mt conocido. Demos-
trar que la tensi´on cortante m´axima producto de la solicitaci´on torsional a la que
est´a sometido este elemento en primera aproximaci´on posee magnitud determinada
por la f´ormula siguiente:
τm´ax =
Mt
2πeR2
6)
Una tuber´ıa de acero cuyo di´ametro exterior es de 4 cm y di´ametro
interior de 3,6 cm, est´a empotrada en ambos extremos y tiene
un brazo vertical en una ubicaci´on determinada. En los extremos
de este brazo se aplican sendas fuerzas horizontales P como se
muestra. Considerando las dimensiones indicadas en la Figura,
determinar el valor permisible de magnitud de la cupla de fuerzas
aplicada, si la tensi´on cortante l´ımite de fluencia del material es
de 1800 Kg/cm2 y se adopta un margen de seguridad de dise˜no
mec´anico de 30 %.
7)
En la Figura se aprecia un eje de secci´on circular linealmente varia-
ble con la posici´on de dimensiones determinadas, el cual est´a em-
potrado en un extremo y soporta los momentos torsores mostra-
dos. Que magnitud deber´a tener el momento torsor aplicado a la
mitad de la longitud si se requiere que la deformaci´on angular
transversal absoluta del extremo libre sea de valor nulo.

2. 8)
El sistema elevador de un ascensor consta de los elementos mos-
trados en la Figura. Cuando cierto n´umero de personas aborda
la cabina o gabinete, este desciende verticalmente 5,2 mm. Supo-
niendo el eje o ´arbol de acero (G=1, 8×105 Kg/cm2), determinar
el peso de los pasajeros que subieron a este ascensor, suponien-
do condici´on est´atica y que existen suficientes rodamientos para
impedir la flexi´on del eje circular.
9)
El eje circular AD est´a apoyado en sus extremos en sendos cojinetes
o rodamientos, y lleva dos poleas en B y C. La polea B tiene 20 cm
de di´ametro mientras que la polea C tiene 30 cm de di´ametro. El eje
transmite un m´aximo de 25 CV de potencia a rapidez angular de 1750
rpm. Las tensiones en las correas que abrazan las poleas est´an ajustadas
de modo que: T1
T2
=
T3
T4
= 2
Dibujar el diagrama de momento torsor interno para el eje AD tomando valores redondeados (sin decimales), y
determinar la tensi´on cortante m´axima que aparece al interior del eje debido a la solicitaci´on aplicada. Tambi´en
determinar la deformaci´on angular transversal m´axima producida en este elemento. Suponga que el eje es de
acero de 4 cm de di´ametro con m´odulo de Young igual a 1, 8×105 Kg/cm2.
10)
Un eje compuesto de dos materiales est´a constru´ıdo por un elemen-
to cil´ındrico interno i con m´odulo de elasticidad transversal Gi y
un tubo cil´ındrico externo e de id´entica longitud con m´odulo de
elasticidad transversal Ge como se muestra en la Figura. En base
a argumentos de simetr´ıa, demostrar que la distribuci´on de tensio-
nes cortantes est´a todav´ıa determinada por: γ =r
dφ
dz
. As´ı mismo,
demostrar que la distribuci´on de tensiones cortantes en la secci´on
transversal viene determinada por:
τ = Gi r
dφ
dz
0< r< Ri τ = Ge r
dφ
dz
Ri < r< Re
As´ı, el momento torsor actuante sobre esta secci´on en t´erminos de la tensi´on cortante puede ser escrito como:
Mt =
A
r τ dA = (GiIpi + GeIpe )
dφ
dz
donde:
Ipi =
πR4
i
2
Ipe =
π(R4
e − R4
i )
2
son los momentos de inercia polares de las porciones materiales interna y externa respectivamente, que
conforman este eje. Demostrar tambi´en que el ´angulo de deformaci´on transversal relativo entre los extremos
del eje de longitud L como se muestra en la Figura, est´a dado por la relaci´on:
φ =
MtL
GiIpi + GeIpe
y, la distribuci´on de tensiones cortantes, en t´erminos de estas propiedades del eje circular compuesto, puede
ser escrita como:
τ =



GiMtr
GiIpi +GeIpe
0 < r < Ri
GeMtr
GiIpi +GeIpe
Ri < r < Re