resumen

1. NÚMEROS Y EXPRESIONES
DECIMALES

2. ¿POR QUÉ Y PARA QUÉ?
• Los números decimales se han convertido en los últimos años en protagonistas
de todos los cálculos -hasta el punto de que en la práctica desplazan
completamente a las fracciones - debido a la disponibilidad creciente del uso de
calculadoras y de ordenadores que hacen las operaciones con ellos (Centeno,
1988, p. 17).
• Las fracciones y los decimales son dos formas diferentes para representar las
mismas ideas, o si se prefiere para describir y manipular el mismo tipo de
situaciones.
• Uno de los fines principales de la enseñanza de las fracciones y decimales será
que los estudiantes vean ambos sistemas notacionales como modos de
representar los mismos conceptos, aunque ciertamente con ventajas distintas
según las situaciones.
El uso del sistema decimal es claramente ventajoso en dispositivos digitales, como
calculadoras, ordenadores y mediciones electrónicas

3. ¿A QUÉ OBJETO MATEMÁTICO
LLAMAREMOS NÚMERO DECIMAL?
• Fracción Decimal • Número decimal
𝑎
10𝑛
𝑛, 𝑎 ∈ ℕ EXPRESIÓN DECIMAL

4. SURGIMIENTO DELAS
EXPRESIONES DECIMALES
En 1585 el matemático belga Simón Stevin, en su libro La Disme,
propuso, fraccionar la unidad en décimas, centésimas, milésimas, etc.
para medir cantidades de magnitudes menores que la unidad. Con este
sistema, el resultado de una medida vendría siempre expresado
mediante un número entero y fracciones decimales.
7,35

5. ALGUNAS CONSIDERACIONES
• De esta manera para las fracciones decimales podemos usar un sistema de
representación decimal posicional equivalente al definido para los números
naturales. La parte situada a la izquierda de la coma es la ‘parte entera’ del número
decimal y la situada a la derecha de la coma la ‘parte decimal’.
• Los números naturales admiten un representante decimal cuya parte decimal es
cero.
• Un número decimal admite un representante cuya notación decimal tiene un
número finito de cifras.

6. ALGUNAS CONSIDERACIONES
El interés de la representación decimal de las fracciones decimales se debe
a la posibilidad que proporcionan de utilizar los algoritmos de cálculo
definidos para los números naturales. Desde el momento en que la parte
decimal de un número decimal se construye siguiendo las mismas reglas
que se usan para la parte entera podemos trasladar los algoritmos de
suma, resta, multiplicación y división entera al caso de los números
decimales sin más que añadir algunas consideraciones acerca de la
colocación de las comas. Esto permite abreviar los cálculos con fracciones
decimales.

7. DISTINCIÓN ENTRE EXPRESIÓN DECIMAL Y
NÚMERO DECIMAL
• Se llama número decimal a aquellos racionales que tienen una
fracción representante con denominador potencia de 10 (fracciones
decimales).
• Todos los números decimales son racionales, pero no todos los
racionales son decimales.
• Cualquier racional no decimal se puede expresar en notación decimal,
aunque el número de cifras a la derecha de la coma es infinito, con
cifras que se repiten.

8. ALGUNAS CONSIDERACIONES
• El número de cifras decimales es una característica de la expresión decimal
(numerales) no de los números, ya que un mismo número se puede representar
mediante diferentes expresiones decimales: 34’1 = 34’10 = 34’100, ... = 34'0999...
• Los números decimales se pueden expresar también “en forma polinómica”, con
potencias de base 10 (si se usa dicho número como base del sistema de numeración)
usando exponentes positivos y negativos. Por ejemplo:

9. ALGUNAS CONSIDERACIONES
• La notación decimal para expresar los números racionales es importante ya que es
más fácil trabajar con ella que con la notación de fracción.
• La notación decimal es también cómoda para encontrar un número racional
comprendido entre otros dos dados.
• La mayor ventaja es en la realización de operaciones aritméticas, ya que se pueden
usar algoritmos similares a los desarrollados para trabajar con números enteros.

10. CARACTERIZACIÓN DE LOS NÚMEROS
DECIMALES
Si r es un racional representado por su fracción irreducible n/d,
para que r sea un número decimal la descomposición del
denominador d en factores primos sólo debe tener potencias de 2 y/o
de 5.

11. TÉCNICA DE OBTENCIÓN DE EXPRESIONES
DECIMALES
• Primera técnica
Una primera técnica consiste en encontrar la fracción equivalente a la dada cuyo
denominador sea una potencia de 10, escribir el numerador, contar en el numerador,
empezando por la derecha, tantas cifras como ceros tiene el denominador y colocar la
coma decimal.
• Segunda técnica
Se basa en la relación entre fracción y división entera. Sabemos que en una fracción
impropia la división del numerador por el denominador permite encontrar la parte entera
de la fracción.

12. TÉCNICA DE OBTENCIÓN DE EXPRESIONES
DECIMALES
Segunda técnica
La técnica pone de manifiesto una interpretación del número decimal como
cociente exacto de dos números enteros: el numerador y el denominador de
una fracción. A la técnica de dividir consistente en añadir ceros a los restos
para seguir dividiendo se le llama ‘división decimal’.

13. EXPRESIÓN DECIMAL DE NÚMEROS
RACIONALES NO DECIMALES. EXPRESIONES
DECIMALES PERIÓDICAS
Con los números racionales no decimales nunca se obtiene resto cero, por lo que
la división podría proseguir indefinidamente. Pero como los restos tienen que
ser menores que el divisor, sólo existen un número finito de restos diferentes.
Por tanto, en algún momento habrá de repetirse un resto. A partir de ahí, una
parte de la división se repetirá. Esto produce un cociente en el que la parte
situada a la derecha de la coma se compone de infinitas cifras algunas de las
cuales se repiten indefinidamente.
Al conjunto de cifras que se repiten se le llama ‘periodo’ y al cociente de la
división ‘expresión periódica’.

14. EXPRESIONES DECIMALES PERIÓDICAS
PURAS Y MIXTAS.
• Cuando la parte decimal de una expresión decimal periódica consiste
únicamente en la repetición indefinida del periodo, la expresión
decimal se llama ‘periódica pura’.
• Si además existe una parte no periódica se dice que la expresión
decimal es ‘periódica mixta’.

15. FRACCIÓN GENERATRIZ DE LOS
RACIONALES REPRESENTADOS POR ESTAS
EXPRESIONES
Llamamos fracción generatriz de una expresión decimal a la fracción que la genera, es
decir, aquella fracción tal que dividido el numerador por el denominador, da lugar a la
expresión dada.
• Fracción generatriz de una expresión decimal finita
Bastará tomar una fracción cuyo numerador es la expresión decimal del número sin la coma y cuyo
denominador es la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal.
• Fracción generatriz de un número cuya expresión decimal es periódica
Se multiplica el número por potencias de diez elegidas de tal forma que al restar dos de esas
expresiones la parte decimal desaparezca. De ahí se obtiene el valor del número como cociente de
enteros

16. OBSERVACIONES
• 1. Los números decimales, como por ejemplo 3/4, que tienen una expresión
decimal finita 0,75, se pueden representar también con expresiones decimales
periódicas: basta escribir una serie ilimitada de ceros después del 5, 0,7500000 ...
También podemos comprobar que se pueden representar como 0, 74999...
• 2. Incluso los números naturales se pueden expresar con una notación decimal
con infinitas cifras decimales; por ejemplo, 1=0,9999...
• 3. En la práctica, no obstante, los números decimales se expresan de la forma
más simple posible, es decir con un número finito de cifras decimales.
• 4. En cambio todo número racional que no sea decimal, requiere un número
ilimitado de cifras en su expresión decimal, que se repetirán en períodos (puros o
mixtos).

17. OBSERVACIONES
Todo número racional tiene una representación decimal finita o periódica; todos
los números cuya expresión decimal es finita o periódica son números racionales.
• 5. Más adelante veremos que también se usan “expresiones decimales no periódicas”
para los números irracionales (por ejemplo, π = 3,14159 ...)
• 6. Una desventaja teórica de la expresión decimal es que no es única para los números
decimales. Por ejemplo: 2,6 = 2,5999... Los cálculos con números decimales se operan
de manera ventajosa si se usa las expresiones decimales finitas.
• 7. La expresión decimal de los racionales no decimales sí es única, pero las notaciones
periódicas para los racionales no decimales son incómodas para operar con ellas o
incluso imposibles de realizar.